分式的基本性质-经典例题及答案
《分式的基本性质》典型例题
《分式的基本性质》典型例题例1下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2a ab a b =（2）acbc a b =例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）322) (b a ab b a =-（2）) (111232+=+++a a a a例3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）y x y x 02.05.03.02.0-+（2）y x y y x 3412.0--例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）32211a a a a -+--（2）2332-+-+x x x例5已知不论x 取什么数时，分式53++bx ax （05≠+bx ）都是一个定值，求a 、b 应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：例8不改变分式的值，使分式yx y x 4.05.03121-+的分子、分母中的多项式的系数都是整数．例9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）b b a a +=+11；（2）ba b a b a +=++122； （3）x x x x x x 2222323-=--+-；（4）b a a b b a +-=--122．例10化简下列各式：（1）323453b a b a -；（2）bb a a 821624+-； （3）()()()()62332222-+-+-+x x x x x x x x参考答案例 1 分析分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0≠M 是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）∵已知分式a b /中已隐含了0≠a ，∴用a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式b a /中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包括了0=c ，当分式的分子、分母都乘以0=c 时，分式没意义，故（2）是错误的.例2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32b a 是由2ab 乘以ab 得到的，由分式的基本性质，b a -也要乘以ab ，所以括号内应填ab b a )(-（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12+=++a a a 除以1+a 得到右边分子1+a ，按照分式的基本性质，1)1()1(23+-=+÷+a a a a ，故括号内应填.12+-a a解：（1）322)(ba ab b a ab b a ⋅-=-（2）)1(1112232+-+=+++a a a a a a 例3分析要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数(512.0=)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y x y x -+=251510 法2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x yx y x y x y x -+=-+=2515102503020 （2）原式y x y x y x y x 4015301260)3241(60)2151(--=⨯-⨯-= 说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）32211a a a a -+--)1()1(322a a a a -+----=11232---+=a a a a （2）2332-+-+x x x )23(32-+--+=x x x 2332+-+=x x x例5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当0=x 时，5353=++bx ax 1=x 时，5353++=++b a bx ax ∵不论x 取什么实数，53++bx ax 是一个定值 ∴5353=++b a ，∴153155+==a a ∵b a 35=∴b a 53= 把b a 53=代入原式，得 535)5(53535353=++=++=++bx bx bx bx bx ax ∴a 、b 的关系为b a 35=；定值为53 例6解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为1S 2米，上底面积为2S 2米. 则1S G P =,214S S = ∴214PS PS G ==∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：P S P S S G 44222==(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P 4牛/2米.说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）n m 25-；（2）a b -4；（3）yx x ---63；（4）b a b a 32+-+． 例7分析根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．解：（1）同时改变分子和分式的符号，得nm n m 2525-=-；（2）同时改变分母和分式的符号，得ab a b 44-=-； （3）先确定是分母的符号，再变号，得()yx x y x x y x x +=+--=---636363； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得()ba b a b a b a b a b a +--=+--=++-323232． 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成yx x y x x -=---6363或b a b a b a b a +--=++-3232； 2．对于（4）题，也可处理成ba ab b a b a +-=++-2332的形式． 例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．解：y x y x y x y x y x y x 121510153052213031214.05.03121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+． 说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．例9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式．解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232x x -与2-x 是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：()()222222223--+-=--+-x x x x x x x x ()()121222+=-++-=x x x x （4）此题是约分变形．因此分母化成()()b a b a -+-的形式，与分子约去公因式b a -可得．说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2=a ，3=b 时，311322+≠+．（2）、（3）题同理． 例10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．解：（1）2222323151533453b a b b a a b a b a b a -=⋅⋅-=-； （2）()()()b a a b a a b b a a 2442448216222224-=+-+=+-； （3）()()()()()()()()()()132121362332222-=+----+=-+-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x ． 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式ba 242-已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．。
分式的基本性质及练习
分式的基本性质【基础知识点】1、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。
2、分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3、分式的通分把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
※思考：分数通分的方法及步骤是什么？答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。
分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。
4、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
※找最简公分母的步骤：（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； （2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
※回顾分解因式找公因式的步骤： （1） 找系数：找各项系数的最大公约数； （2） 找字母：找相同字母的最低次幂； 例 对于分式5312-+x x ， （1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0；分式练习题一、选择题1．下列式子是分式的是（ ）A ．2x B ．x2 C ．πxD ．2yx + 2．下列各式计算正确的是（ ）A ．11--=b a b aB ．abb a b 2= C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ）A ．()()y x y x +-73B ．n m n m +-22C ．2222ab b a b a +-D ．22222yxy x y x +-- 4．化简2293m m m --的结果是（ ）A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.mm-35．若把分式xyyx +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍6．若分式方程xa xa x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—27．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ ） A ．54 B. 47 C.1 D.458．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ）A ．x x -=+306030100 B ．306030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．306030100+=-x x 9.已知k ba cc a b c b a =+=+=+，则直线2y kx k =+一定经过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 10.使分式2xx +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >- D ．2x < 11.如果分式2xx-的值为0，那么x 为（ ）． A 、－2 B 、0 C 、1 D 、2 12.化简分式2bab b +的结果为（ ） Ａ．1a b + Ｂ．11a b + Ｃ．21a b +Ｄ．1ab b+ 13.如果2a b =，则2222a ab b a b-++= ( )A ． 45 B ． 1 C ． 35D ． 214.计算aba bb a a +⎛⎫-÷⎪⎝⎭的结果为（ ） A ．a bb- B ．a bb+ C ．a ba- D ．a ba+ 15.若分式32+-x x 无意义,则x 的值是 ( ) (A)0 (B)2 (C)3 (D)-316.当2=x 时,下列各式的值是0的是 ( ) (A)21-x (B)422-+x x (C)2322+--x x x (D)742--x x17.与分式ba b a --+-的值相等的是 ( ) (A) ba b a -+- (B)b a ba -+ (C)b a b a +- (D) ba b a --+ 18.下列分式中不能进行约分的是 ( )(A) a b b a -- (B) 392+-x x (C)yx y x ++22 (D)xyx xy 63-二、填空题 1.要使分式231x x +-有意义，则x 需满足的条件为 ．2.当x = 时，分式xx 11-无意义．3.若分式242--x x 的值为0，则x 的值为 ．4.计算：222a a bb b a⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭ ．5.计算：2933a a a -=-- ． 6.已知113x y -=,则代数式21422x xy yx xy y----的值为7.当x 时,分式)1(1-x x 有意义8.指出下列各式yx y x n mn mabx +-++--1,32,722,2,7,0,21222中的分式: 9.根据分式的基本性质填空: (1)22()()x yy x y -=-； (2)22()1a a a a -=---10.不改变分式的值,使分子、分母的第一项系数都是正数,则=--+-ba b a 2411.分式412-x 和分式)2(21x -的最简公分母是三、解答题1.已知02=-a a ，求1112421222-÷+--∙+-a a a a a a 的值．2.先化简，再求值．.31,3,2222==--+-y x y x y x y x 其中3.通分： （1）3241,34,21x x x x x +--； （2）222254,43,32b a ab a -； （3）)(,)(x y b y y x a x --； （4）)2)(2(,)2(12-+-x x xx （5）21,22---x x x x ； （6）263,14222---x x xx x ；4. 当x 为何值时，分式xx x --21|| 的值为0？5.对于分式243+-x x ,x 取哪些值时;(1)分式的值为零; (2)分式有意义; (3)分式的值是负数.。
分式(含答案)
分式【回顾与思考】1．形如 的式子，叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。
2．分式的基本性质：分式的分子、分母都 的整式，分式的值 。
3．分式的值为零的条件是 ，分式有意义的条件是 。
4．分式的混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算是先算 ，再算 ，遇到括号，先算括号内的【例题经典】1.熟练掌握分式的概念：性质及运算例1 （12x=______． 【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0．（2）同时使分式2568x x x -++有意义，又使分式223(1)9x x x ++-无意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠-4且x ≠-2B ．x=-4或x=2C ．x=-4D ．x=2（3）如果把分式2x y x+中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．不变 D ．扩大2倍2. 分式的加、减、乘、除混合运算（1）221211221++--÷++-x x x x x x （2）2232214()2442x x x x x x x x x+---÷--+- 【点评】注意分式混和运算的顺序。
【基础训练】1．某玩具厂要加工x 只“福娃”，原计划每天生产y 只，实际每天生产(y+z)只,（1）该厂原计划 天完成任务（2）该厂实际用 天完成任务2．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D.23．计算22142a a a -=-- ． 4．函数1x y x =-自变量x 的取值范围是5．将分式12 x-y x 5 +y 3 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ） A ．x-2y 3x+5y B ．15x-15y 3x+5y C ． 15x-30y 6x+10y D ．x-2y 5x+3y6．若分式xyy x +(x 、y 为正数)中， x 、y 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 12C ．不变D ．缩小为原来的14 7．若代数式21x x -+的值是零，则x ＝ ． 8．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为 【能力提升】9．化简：2113()1244x x x x x x x -++-÷++++.10.课堂上，李老师出了这样一道题： 已知352017-=x ，求代数式)1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+-的值。
初中数学精品试题：七(下)第5章 分式的基本性质
例题：已知x －3y ＝0，且xy ≠0，求x 2－y 2x 2－xy ＋y 2的值．变式1：已知：y x －x y ＝5，求分式3x 2＋xy －3y 22x 2－xy －2y 2的值．变式2：阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设xa －b ＝y b －c ＝z c －a ＝k ，则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝0，∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：已知y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z ，其中x ＋y ＋z≠0，求x ＋y －z x ＋y ＋z的值．变式3：先阅读(1)小题的解题过程，再解答第(2)小题．(1)已知a 2－3a ＋1＝0，求a 2＋1a2的值． 解：由a 2－3a ＋1＝0，知a≠0.所以等式两边同除以a ，得a －3＋1a ＝0，即a ＋1a＝3. 所以a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝7. 二、问鼎巅峰一、精题精练(2)已知y 2＋3y －1＝0，求y 4＋1y 4的值．在分式中，常出现给出一个或几个条件，然后进行分式求值计算，我们简称其为有条件的分式求值问题，解这类问题，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，常用方法有整体代入法，设参辅助法等.例题：解：∵x －3y ＝0，即x ＝3y ，∴原式＝（3y ）2－y 2（3y ）2－3y 2＋y 2＝9y 2－y 29y 2－3y 2＋y 2＝87变式1解：∵y x －x y＝5，∴y 2-x 2＝5xy ，即x 2-y 2＝-5xy 原式＝3（x 2－y 2）＋xy 2（x 2－y 2）－xy＝＝1411 变式2：解：设y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z＝k ，则y ＋z ＝kx ，z ＋x ＝ky ，x ＋y ＝kz ， 所以y ＋z ＋z ＋x ＋x ＋y ＝k (x ＋y ＋z )，即2(x ＋y ＋z )＝k (x ＋y ＋z )，因为x ＋y ＋z ≠0，所以解得k ＝2，那么x ＋y ＝2z ，所以x ＋y －z x ＋y ＋z ＝2z －z 2z ＋z ＝13变式3：解：由y 2＋3y －1＝0，知y≠0，所以等式两边同除以y ，得y ＋3－1y ＝0，即y －1y＝－3， 所以y 4＋1y 4＝(y 2)2＋1（y 2）2＝(y 2＋1y 2)2－2＝[(y －1y )2＋2]2－2 ＝[(－3)2＋2]2－2＝121－2＝119四、参考答案三、回味展望。
分式的基本性质
根据分式的基本性质，可以得到：
a a b b
a a b b
这就是说，分子与分母同时改变符号，分式的值不变。
根据有数的除法法则，我们知道：
2 2 3 3
分式也有类似法则：
2 2 3 3
a a b b
a a b b
这就是说，只改变分子（或分母）的符号，分子本身的符号也要改 变，分式的值才不变。
x y （3） （4） ax 5 y ( x y) bx
分析：分子或分母符号的改变相当于分子与分母的商的符号的改变，可通过改 变分式本身的符号，使分式的值不变。当分子或分母是多项式时，应改变整个 分子或分母的符号，而不是仅仅变第一项的符号。
例题2 不改变分式的值，把下列分式 的分子与分母的各项系数都化为整数：
（1）
x x2 4
（2）
x 1 1 x x2
分析：要使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数，一般先将分子，分母 的多项式按降幂排列，如果分子，分母的首项是负数，那么就提出负号，然后 按符号法则运算。
（1）2 a
2 a b 3 2 b 3
（2） 0.01x 0.5 0.3 x 0.04
分析：要把分子，分母的各项系数都化为整数，首先要求出分子，分母中所有 分数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子，分母同乘以这 个最小公倍数。
例题3 不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母的最高次项的系数都为正数：
①分子与分母同时改变符号， 分式的值不变。 ②只改变分子（或分母）的 符号，分子本身的符号也要 改变，分式的值才不变。
概括：分子，分母与分式本身 的符号，改变其中任何两个， 分式的值不变。
知识点077--分式的基本性质(解答题)
三．解答题〔共34小题〕1．填写出未知的分子或分母：〔1〕,〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕观察分母的变化,根据分式的基本性质,则分子分母应同乘以x﹣y；〔2〕观察分子的变化,根据分式的基本性质,则分子分母是同除以y+1．解答：解：根据分式的基本性质,则〔1〕分子分母应同乘以x﹣y,故分母3x〔x﹣y〕=3x2﹣3xy；〔2〕分子分母是同除以y+1,分母变为y+1．点评：此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化,再进一步根据分式的基本性质进行填空．分式的基本性质：分式的分子、分母同除以〔或除以〕一个不等于0的式子,分式的值不变．2．已知：,求证x+y+z=0．考点：分式的基本性质.专题：证明题.分析：设恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式,再进行证明．解答：解：设=k,则x=ka﹣kb,y=kb﹣kc,z=kc﹣ka,x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0,∴x+y+z=0．点评：设出恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式是解答本题的关键．3．〔1〕你能利用分式的基本性质,使分式的分子不含"﹣〞号吗〔不能改变分式的值〕？试一试,做一做,然后与同伴交流．〔2〕不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含"﹣〞号：①；②．〔3〕你能不改变分式的值,使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据分式的分子、分母和分式本身任意两处都乘以﹣1,分式的值不变解答．解答：解：〔1〕能．==；〔2〕①==；②=；〔3〕①==；②==．点评：本题主要考查分式的分子、分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处,分式的值不变,熟练掌握这一性质对今后的解题大有帮助．4．不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含"﹣〞号．〔1〕；〔2〕；〔3〕．考点：分式的基本性质.分析：根据分式的基本性质作答．①分数值除以﹣1,分母除以﹣1,②③分子分母同时除以﹣1．解答：解：〔1〕=；〔2〕=；〔3〕=﹣．点评：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．5．〔1〕=；〔2〕=；〔3〕=；〔4〕=．考点：分式的基本性质.分析：根据分式的基本性质作答．〔1〕同时×n．〔2〕同时÷4ac．〔3〕同时×x．〔4〕同时÷〔x+y〕．解答：解：〔1〕bn+n；〔2〕3b；〔3〕2x2；〔4〕x+y．点评：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．6．利用分式的基本性质不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以最小公倍数12,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以最小公倍数50,分式的值不变．解答：解：〔1〕原式=；〔2〕原式=．点评：本题主要考查分式的基本性质的应用,分式的基本性质是分式约分和通分的依据,需要熟练掌握．7．根据分式的基本性质,对于分式,当分式的分子和分母都乘以10时,分式的值不变,但原分式可变形为了．这样,分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法,把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数,但不能改变分式的值．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以分母的最小公倍数6,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数10,分式的值不变．解答：解：〔1〕分子分母都乘以6,得===；〔2〕分子分母都乘以10,得===．点评：本题主要考查分式的基本性质,分式的基本性质是约分和通分的依据,需要熟练掌握并灵活运用．8．已知,求分式的值．考点：分式的基本性质.分析：先将整理变形,转化为,再将分式化简,求出分式的值．解答：解：由整理变形,转化为,分式=．故答案为．点评：解决本题的关键是将式子整理变形,对分式进行化简．9．若,求的值=3．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：将通分变形,转化为x﹣y=﹣3xy,再把它整体代入原式约分求值．解答：解：∵,∴x﹣y=﹣3xy,再把它整体代入原式：==3．故答案为3．点评：正确对已知的式子进行变形,用已知的式子把未知的式子表示出来,是代数式求值的一种基本思路．10．不改变分式的值,把分式中的分子、分母的各项系数化为整数,并使次数最高项的系数为正数．考点：分式的基本性质.分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数为正数,而对分式本身的符号未做规定,所以根据分式的符号法则使分式中分子、分母与分式本身改变两次符号就行了,所以〔1〕分子、分母同时变号,〔2〕分母与分式本身同时变号．解答：解：=．点评：本题运用了分式的基本性质,分子、分母的各项系数化为整数的方法是分子分母上同时乘以分母的公倍数12,同时本题又考查了分子,分母,分式本身符号之间的关系．11．已知+=3,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：由+=3,得y+x=3xy,代入所求的式子化简即可．解答：解：∵+=3,∴y+x=3xy,∴===．点评：运用整体代入法是解答本题的关键．12．已知x2﹣4xy+4y2=0,那么分式的值等于多少？考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件x2﹣4xy+4y2=0,求出x与y的关系,再代入所求的分式中进行解答．解答：解：∵x2﹣4xy+4y2=0,∴〔x﹣2y〕2=0,∴x=2y,∴==．故分式的值等于．点评：根据已知条件x2﹣4xy+4y2=0,求出x与y的关系是解答本题的关键．13．已知,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：可以设=k,则x=3k,y=4k,z=5k,把这三个式子代入所要求的式子,进行化简就可以求出式子的值．解答：解：设=k〔k≠0〕,则x=3k,y=4k,z=5k,∴．点评：利用这个题目中的设法,把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题,是解题的关键．14．已知分式的值是a,如果用m,n的相反数代入这个分式所得的值是b,问a与b的关系是否能确定？若能确定,求出它们的关系,若不能确定,请说明理由．考点：分式的基本性质.分析：把分式中的m、n分别换成﹣m、﹣n化简后比较即可．解答：解：互为相反数．∵b==,∴a+b=+=0,∴ab互为相反数．答：a与b的关系能确定,它们互为相反数．点评：本题只要把分式中的m、n换成它们的相反数化简整理即可．15．阅读下列解题过程,然后解题：题目：已知〔a、b、c互不相等〕,求x+y+z的值．解：设,则x=k〔a﹣b〕,y=k〔b﹣c〕,z=k〔c﹣a〕,∴x+y+z=k〔a﹣b+b﹣c+c﹣a〕=k•0=0,∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：已知：,其中x+y+z≠0,求的值．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据提示,先设比值为k,再利用等式列出三元一次方程组,即可求出k的值是2,然后把x+y=2z代入所求代数式．解答：解：设===k,则：,〔1〕+〔2〕+〔3〕得：2x+2y+2z=k〔x+y+z〕,∵x+y+z≠0,∴k=2,∴原式===．点评：本题主要考查分式的基本性质,重点是设"k〞法．16．已知：,求代数式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：设t=,则x、y、z可以用同一个字母来表示,然后将其代入代数式,然后将代数式化简即可．解答：解：设t=,则x=2t ①y=3t ②z=4t ③将①②③代入代数式,得==,所以,代数式的值是．点评：本题体现了转化思想,将未知数x、y、z转化为含有相同字母的量,然后代入所求代数式,只要将代数式化简即可．17．不改变分式本身的符号和分式的值,使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同．〔1〕,；〔2〕,．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可；〔2〕根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可．解答：解：〔1〕=；〔2〕．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母与本身的符号,任意改变其中的两个,分式的值不变；若只改变其中的一个,分式的值会改变的．18．已知a,b,c,d都不等于0,并且,根据分式的基本性质、等式的基本性质与运算法则,探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．〔1〕和；〔2〕和；〔3〕和〔a≠b,c≠d〕．〔提示：可以先用具体数字试验,再对发现的规律进行证明．〕考点：分式的基本性质；等式的性质.专题：计算题.分析：先利用具体的数计算,然后发现各组中的两个分式相等；再对〔2〕进行证明：等式两边加上1,通分即可．解答：解：例如：取a=1,b=2,c=3,d=6,有,则〔1〕；〔2〕；〔3〕观察发现各组中的两个分式相等．现选择第〔2〕组进行说明证明．已知a,b,c,d都不等于0,并且,所以有：,所以有：=．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以〔或除以〕一个不为0数〔或式〕,分式的值不变．也考查了等式的基本性质．19．不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数,同时不改变分式的值,可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题,可同乘以2,3,4的最小公倍数12即可；〔2〕要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数,同时不改变分式的值,可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题,可同乘以10即可．解答：解：〔1〕原式=；〔2〕原式=．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式,分式的值不变．20．材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的"一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估计好比分母．分母越大,则分数的值越小．〞材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的X凯同学失学了．班长说："唉,分母变小了,分数值增大了〞．请你针对上述两个材料就"分子与分母〞这个话题,结合你身边的实例,谈谈你对分母变大,分数值变小的理解．考点：分式的基本性质.专题：开放型.分析：根据分子不变,分母越大,则分数的值越小对两个材料中"分子与分母〞这个话题进行理解．解答：解：材料一：一个人实际才能为n,自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值,他自己对自己的估计越大,那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下,分母越大,分数值越小．人越高估自己,就是越自负,即使才能再高,也会因为分母大而使自己的总体分数下降．简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高,就越容易产生自满的心理,就越不容易取得进步,做出成绩．材料二：人数变少了,减少了得分中较小的数字,但平均分增大了．点评：本题考查了分式的基本性质在实际生活中的应用,趣味性较强,但难度不大．21．如果把分式中的a、b都扩大2倍,那么分式的值扩大2倍．考点：分式的基本性质.分析：根据要求对分式变形,然后根据分式的基本性质进行约分,观察分式的前后变化．解答：解：如果把分式中的a、b都扩大2倍,则==,则原分式的值扩大了2倍．故答案为扩大2倍．点评：此题考查了分式的基本性质．22．已知a+=5,求的值．考点：分式的基本性质.专题：常规题型.分析：把已知条件两边同时乘方,再根据完全平方公式展开,求出a2+的值,然后根据分式的基本性质,分子分母都除以a2,整体代入进行计算即可求解．解答：解：∵a+=5,∴〔a+〕2=25,即a2+2+=25,∴a2+=23,=a2+1+=23+1=24．故答案为：24．点评：本题考查了分式的基本性质以与完全平方公式,整体思想的利用是解题的关键．23．〔2009•##〕附加题：若a=,b=,试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征,以与你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论．考点：分式的基本性质；有理数大小比较.专题：压轴题；分类讨论.分析：本题中观察a,b可得出的结论是一个分式,如果分式的分子和分母都加1后,得到的新的分式比原来的分式大．进而我们可推断出如果分式的分子和分母都加一个任意的正数后,得到的新的分式比原来的大．解答：解：若m、n是任意正整数,且m＞n,则．若m、n是任意正实数,且m＞n,则．若m、n、r是任意正整数,且m＞n；或m、n是任意正整数,r是任意正实数,且m＞n,则．若m、n是任意正实数,r是任意正整数,且m＞n；或m、n、r是任意正实数,且m＞n,则．点评：本题主要考查了分式的基本性质以与有理数的大小的比较．24．〔2008•##州〕请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式：x2﹣4xy+4y2,x2﹣4y2,x﹣2y．考点：分式的基本性质.专题：开放型.分析：根据分式的定义和概念进行作答．解答：解：〔4分〕=〔6分〕=．〔8分〕点评：本题是一道开放型题目,但所求的结果一定要符合题目的限制条件．25．已知：=2,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件求出〔a﹣b〕与ab的关系,再代入所求的分式进行求值．解答：解：∵=2,∴b﹣a=2ab,故a﹣b=﹣2ab,∴====5．点评：根据已知条件求出〔a﹣b〕与ab的关系,再进行整体代入是解答本题的关键．26．已知,求分式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：由已知可知x﹣y=﹣3xy,然后代入所求的式子,进行约分就可求出结果．解答：解：∵∴y﹣x=3xy∴x﹣y=﹣3xy∴====．点评：正确对已知式子进行化简,约分．正确进行变形是关键．27．问题探索：〔1〕已知一个正分数〔m＞n＞0〕,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．〔2〕若正分数〔m＞n＞0〕中分子和分母同时增加2,3…k〔整数k＞0〕,情况如何？〔3〕请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．考点：分式的基本性质；分式的化简求值.专题：阅读型.分析：〔1〕使用作差法,对两个分式求差,有﹣=,由差的符号来判断两个分式的大小．〔2〕由〔1〕的结论,将1换为k,易得答案,〔3〕由〔2〕的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大；结合实际情况判断,可得结论．解答：解：〔1〕＜〔m＞n＞0〕证明：∵﹣=,又∵m＞n＞0,∴＜0,∴＜．〔2〕根据〔1〕的方法,将1换为k,有＜〔m＞n＞0,k＞0〕．〔3〕设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y,增加面积为a,由〔2〕的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大；则可得：＞,所以住宅的采光条件变好了．点评：本题考查分式的性质与运算,涉与分式比较大小的方法〔做差法〕,并要求学生对得到的结论灵活运用．28．已知=3,求分式的值．〔提示：分式的分子与分母同除以a,b〕．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据分式的基本性质,分式的分子分母都除以ab,分式的值不变,再把换成3计算即可．解答：解：分式的分子分母都除以ab,得==,∵=3,∴=﹣3,所以原式==．点评：本题利用分式的基本性质,分子分母都除以ab,巧妙运用已知条件是解本题的关键,也是解本题的突破口．29．已知,求和的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：首先求得a=2b,c=2d,然后代入计算．解答：解：∵∴a=2b,c=2d∴==∴=．点评：本题的关键是求得a,b的关系．30．已知y=3xy+x,求代数式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件y=3xy+x,求出x﹣y与xy的关系,再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式,进行整体代入求解．解答：解：因为y=3xy+x,所以x﹣y=﹣3xy,当x﹣y=﹣3xy时,．点评：运用整体代入法时解答本题的关键．本题首先根据已知条件得到x﹣y=﹣3xy,再把要求的代数式化简成含有x ﹣y的式子,然后整体代入,使代数式中只含有xy,约分后得解．31．根据分式的基本性质,对于分式,当分式的分子和分母都乘以10时,分式的值不变,但原分式可变形为了．这样,分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法,把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数,但不能改变分式的值．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以分母的最小公倍数6,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数10,分式的值不变．解答：解：〔1〕分子分母都乘以6,得===；〔2〕分子分母都乘以10,得===．点评：本题主要考查分式的基本性质,分式的基本性质是约分和通分的依据,需要熟练掌握并灵活运用．32．填写出未知的分子或分母：〔1〕,〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕观察分母的变化,根据分式的基本性质,则分子分母应同乘以x﹣y；〔2〕观察分子的变化,根据分式的基本性质,则分子分母是同除以y+1．解答：解：根据分式的基本性质,则〔1〕分子分母应同乘以x﹣y,故分母3x〔x﹣y〕=3x2﹣3xy；〔2〕分子分母是同除以y+1,分母变为y+1．点评：此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化,再进一步根据分式的基本性质进行填空．分式的基本性质：分式的分子、分母同除以〔或除以〕一个不等于0的式子,分式的值不变．33．已知：,求证x+y+z=0．考点：分式的基本性质.专题：证明题.分析：设恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式,再进行证明．解答：解：设=k,则x=ka﹣kb,y=kb﹣kc,z=kc﹣ka,x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0,∴x+y+z=0．点评：设出恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式是解答本题的关键．34．〔1〕你能利用分式的基本性质,使分式的分子不含"﹣〞号吗〔不能改变分式的值〕？试一试,做一做,然后与同伴交流．〔2〕不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含"﹣〞号：①；②．〔3〕你能不改变分式的值,使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据分式的分子、分母和分式本身任意两处都乘以﹣1,分式的值不变解答．解答：解：〔1〕能．==；〔2〕①==；②=；〔3〕①==；②==．点评：本题主要考查分式的分子、分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处,分式的值不变,熟练掌握这一性质对今后的解题大有帮助．。
分式知识点及例题
分式知识点及例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
例如：1/x，（x ＋ 1)／（x 2) 等都是分式。
需要注意的是，分母不能为 0，否则分式无意义。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如：若分式 2x/（3x 1) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6x 2)，其值不变。
三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
例如：对分式 6x/9 进行约分，分子分母的公因式为 3，约分后得到2x/3。
四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
最简公分母的确定方法：1、取各分母系数的最小公倍数；2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3、同底数幂取次数最高的。
例如：1/2x 和 1/3y 的最简公分母为 6xy。
五、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
例如：（2x/y) ×（3y/4x) ＝ 3/2 ；（2x/y) ÷（3y/4x) ＝（2x/y) ×（4x/3y) ＝ 8x²/3y²2、分式的加减法同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
例如：1/x ＋ 2/x ＝ 3/x ； 1/2x 1/3y ＝（3y 2x) ／ 6xy六、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式的基本性质练习及答案
分式的基本性质练习及答案分式的基本性质练及答案一、判断正误并改正:① y6a2-b2(－a－b)2/3 = y(6a2-b2)/(a-b)② (x+ax)/(x+2)(x-3)(x+y)+(x-y)/y+ay = -1/(2+x) = (x-y)/(x+y)(x-y)2二、认真选一选1.下列约分正确的是: C。
a/(b-a) = 2/(2b-a)2.下列变形不正确的是: D。
(6x+3)/(2x+1) ≠ -a-2/(a+2x+2) ≠ (2x+1)/(a(b+1))3.等式成立的条件是: A。
a ≠ 1 且b ≠ 14.如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值不变。
5.不改变分式的值，使1-2x的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为: B。
(-2x+1)/(x2-3x+3)6.下面化简正确的是: B。
(2a+1)/(x2+y2-2x+2y(a-1)) = -17.下列约分正确的有: A。
(2+xy)/(x12+1)(a+m) =1/2xy+2+ab+mb/(3x3)三、解答题:1.约分：① (m2-4x)/(4-1-36yz2) = (m-2x)/(2m+1-x6yz)② (a-4)/(a+48-2m) = (2x-y)/(10-15y)③ (2m-m)/(2a-4m-16) = -1/2④ (2x-y)/(10-15y) = (2x-y)/(5-3y)(5+y)⑤ (a-1)/(x-y)(x-y)2 = a-1/[(x-y)2(x+y)]⑥ -(x-y)/(x-y)(x+y)2 = (y-x)/(x-y)(x+y)22.先化简,再求值:① a2-8a+16/a2+ab = (a-4)/(a+b) = (5-4)/(5+2) = 1/7② a2-16a+2ab+b2/2 = [(a-8)2-60]/2 = (52-60)/2 = -43.已知 $a+2b=2$，求 $2a+ab+b^2$ 的值。
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讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：初三上课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题分式的基本性质
授课日期及时段
教学目的1、掌握分式的基本性质；
2、会利用分式的基本性质对分式进行约分；
3、认识最简分式；
重难点1、理解分式的基本性质；
2、运用分式的基本性质进行分式化简；
【考纲说明】
掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。
【趣味链接】
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。
【知识梳理】
分式
1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.
2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.
3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.
有理式
有理式的分类：有理式
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示为：（其中M≠0）
约分和通分
1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.
2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.
最简分式与最简公分母：
约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
【经典例题】
【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A．10 B．9 C．45 D．90
【例2】下列等式：①=-;②=;③=-;
④=-中,成立的是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）
A． B． C． D．
【例4】分式，，，中是最简分式的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例5】当x _____ 时，分式无意义.
【例6】约分：
（1）；（2）．
【例7】通分：
（1），；（2），．
【例8】（2011浙江衢州）化简：
不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数【例9】
【例10】如果x+=3，则的值是多少？
【课堂练习】
1．根据分式的基本性质，分式可变形为（）
A． B． C．- D．
2．下列各式中，正确的是（）
A．=; B．=; C．=; D．= 3．下列各式中，正确的是（）
A． B．=0 C． D．4．（2005·天津市）若a=，则的值等于_______．5．（2005·广州市）计算=_________．
6．公式，，的最简公分母为（）
A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1） D．（x-1）2（1-x）3
7．，则？处应填上_________，其中条件是__________．
8．已知a2-4a+9b2+6b+5=0，求-的值．
9．已知x2+3x+1=0，求x2+的值．
10．已知x+=3，求的值．
【课后作业】
1、.使分式有意义的条件是（）
A．x≠2 B．x≠－2 C．x≠2且x≠－2 D．x≠0 2、当x为任意实数时,下列分式中,一定有意义的一个是（）
A． B． C． D．
3、.已知分式，要使分式的值等于零，则x等于（）
A． B．- C． D．-
4、当x=－1时，下列分式中有意义的是（）
A． B． C． D．
5、下列分式中，当x=－3时没有意义的是（）
A． B． C． D．
6、.当x___________时，分式有意义．
7、在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
（1）（2）
（3）（4）
8、x取什么值时，分式⑴没有意义？⑵有意义？⑶值为零？
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________
本次课后作业：_______________________________________________________________________________ ____
需要家长协助：_______________________________________________________________________________ _____
家长意见：_______________________________________________________________________________ _________
【参考答案】
经典例题
1．D 2．A 3．D 4．C 5、 6．（1）（2） 7．（1），
（2），8、 2 9、
10、
课堂练习
1．C 2．A 3．D 4．- 5． 6．B 7．（x-1）2，x≠1 8．3
9．7 10．
课后作业
1、C
2、C
3、D
4、B
5、C
6、不等于
7、（1）a （2）x （3）2ab+12b （4）9x2-4
8、（1）x=1 （2）x（3）x=-2。