最新人教版高中数学必修3第二章“总体方差(标准差)的估计”教案
人教版高中数学必修三2.2用样本估计总体教案(2)
［教材习题研讨］P62探究方法点拨答案：（1）能.如：众数、中位数、平均数等，但它们各有特点，具体问题时应综合考虑.（2）可以.如：标准差、方差.P 63思考1正确理解每个数字特征的意义.答案：2.03这个中位数的估计值是由频率分布直方图中得来的，是在假设数据取值连续或均匀的基础上估计出的，但实际问题中数据的取值往往是不均匀的，出现偏差就不难理解.思考2体会“近似”“估计”答案：的确是这样.如：一个班级学生数学考试成绩的中位数不能反映班内“问题学生”与其他学生的具体差距.P64探究答案：我们必须问清所谓收入的平均水平具体指的是什么，若是中位数时，实际情况大体与我们从字面上的理解相符，若是平均数，则需要进一步了解企业各类岗位收入的离散情况，再作判断.P 64练习中位数对极端值不敏感.答案：（1）因为有的公路建设投资2200万元，属极端情况，大多数在20和100之间，此时平均数难以正确客观反映各项目投资的实际分布状况，不宜选用.而众数20万只说明投资20万的项目最多，不能反映其他项目的投资数额.中位数对极端值不敏感，能回避极端数额的影响，25万也较客观，故选中位数.（2）它的缺点是不能提供各项目投资金额的分布和离散情况.P 70练习深入问题，细致分析.1.答案：用科学计算器可得x甲=900，x乙=900，s甲=23.80＜s乙=41.63，所以甲种水稻的产量稳定.2.答案：（1）用科学计算器可得x=496.86g，s=6.55g；（2）有14袋，所占百分比为66.7%.3.答案：（1）在上述数据中，最大值是50.1，最小值是1.5，极差是50.1－1.5=48.6.如果将组距定为7，那么由48.6÷7=6.94，组数为7，这个组数是适合的.于是组距为7，组数为7.根据本题中数据的特点，第1小组的起点可取为1.5，第1小组的终点可取为8.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是［1.5，8.5），［8.5，15.5），…，［43.5，50.5）.平均数、方差、标准差都可用科学计算器直接得出，但必须掌握笔算方法，因为有时科学计算器不许使用.列频率分布表如下表.（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.频率组距1.5,8.5)8.5,15.5)15.5,22.5)22.5,29.5)29.5,36.5)36.5,43.5)43.5,50.5)死亡率图2－2－13（2）x=19.25，s=12.50，如上图“1”位置即平均数是频率直方图的“重心”.死亡率在［6.75，31.75］内的国家有19个，所占比例63%，这说明该疾病死亡率地域性差异较大.P72习题2.2A组最后一行的合计不要遗忘，它可以及时检测你的过程有无错误.1.答案：（1）茎叶图如下.汞含量汞含量0.01.140096710482851.21.31.41.51.61.71.81.92.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.02.17494121522824881图2－2－14（2）分布比较分散，大多在0.8到1.6之间.（3）比1.00 ppm大.（4）x=1.08 ppm，s=0.45.（5）28条.2.答案：在数据中，最大值是385，最小值是25，极差是385－25=360.如果将组距定为40，那么由360÷40=9，组数为9，这个组数是适合的.于是组距为40，组数为9.根据本题中数据的特点，第1小组的起点可取为25，第1小组的终点可取为65，分组是［25，65），［65，105），…，［345，385］.作茎叶图先确定中间数取数据的哪几位，填写数据时边读边填，无需按大小排列.列频率分布表如下表. 绘制频率分布直方图的一般步骤：（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.频率 分组[25,65)[65,105)[105,145)[145,185)[185,225)[225,265)[265,305)[305,345)[345,385]图2－2－15利用科学计算器得x=238，s=113.94.中位数、众数、平均数如上图所示.平均数是直方图的重心，众数在最高小矩形的中点处，中位数的左右矩形的面积应相等，它们虽都是常用统计量，但数学意义不同，各具特色.3.答案：可以查阅一下这所大学招生的其他信息，中位数是550分，只能说明有50%的学生高于此分数，仍有50%的录取学生的分数低于550分，该生分数520分仍有可能.该例反映了中位数对极端值不敏感这一特点.中位数对极端值不敏感.4.答案：四种说法都正确，一队的平均失球数少于二队，故第一句正确；二队标准差较小，说明技术水平稳定；一队平均失球数是1.5，而其标准差却是1.1，离散程度较大，由此可判断一队表现不稳定；平均失球数是2.1，标准差只有0.4，每场得失球数相差不多，可见二队的确很少不失球.5.答案：（1）难度较大.平均数是3.5万，共50人，所以他们的总收入是165万，而最高收入者一人收入100万，可推知其他人的收入不高.（2）不能.极差只能反映数据变化的最大范围，却不能体现数据的具体分布情况.（3）可以根据自身的情况作出选择，初聘人员的收入一般在较低档.（4）1.5万.均值受极端值影响很大.正确理解平均数、中位数、众数、方差、标准差等各统计量的意义.6.答案：利用科学计算器得x甲=1.5，s甲=1.28，x乙=1.2，s乙=0.87.因x甲=1.5＞x乙=1.2，s甲=1.28＜s乙=0.87，可知，机床乙先比较平均数，了解平均水平的差距情况，差距显著则可以结合实际情况做出判断选择.若差距不明显则需进一步比较方差或平均数.样本数的性能较好.7.答案：（1）x=199.75，s=95.26.（2）抽取一样本后得x=169.17，s=56.30.（3）再抽取一样本后得x=166.29，s=59.65.（4）获取一容量是10的样本得x=218.30，s=118.97.同一个总体，抽取的样本不同，平均数、标准差等都会发生改变，这会影响对总体的估计，对总体估计的偏差取决于样本的质量.实际应用时在许可的前提下，适当增加样本容量来提高样本代表性，减少估计偏差.B组据的选取应运用正确的样本抽取方法，如用抽签法，切忌挑选数据，使样本缺乏代表性，使所取样本失去研究价值.1.答案：（1）第一次好；（2）第一次；（3）G最强，E最弱；（4）运动员F、H最不一致，C、G、L、I看起来最一致.2.答案：略.了解总体的情况是检查样本的目的，因此要求样本应具有很好的代表性，选择恰当的抽样方法获取高质量的样本.样本的良好客观代表性，完全依赖于恰当的抽样方法.。
高中数学标准差教案
高中数学标准差教案
一、教学目标：
1. 了解标准差的概念和计算公式。
2. 掌握计算标准差的方法。
3. 能够应用标准差进行数据分析和比较。
二、教学重点与难点：
重点：标准差的概念和计算方法。
难点：如何应用标准差进行数据分析。
三、教学准备：
1. PowerPoint课件
2. 教材、教具和练习册
3. 计算器、笔、纸
四、教学过程：
1. 导入：通过实际案例引入标准差的概念，让学生了解什么是标准差及其作用。
2. 讲解：介绍标准差的定义和计算公式，讲解计算标准差的步骤和方法。
3. 示例：给出一组数据，指导学生计算该组数据的标准差，并讲解计算过程。
4. 练习：让学生练习计算标准差的相关题目，巩固所学知识。
5. 应用：引导学生应用标准差进行数据分析，比较不同数据集之间的差异。
6. 总结：总结本节课的重点内容，并给出练习题供学生课下巩固。
五、课后作业：
1. 完成练习册上的相关题目。
2. 收集数据并计算数据的标准差。
3. 阅读相关资料，了解标准差在实际生活中的应用。
六、教学反思与评价：
本节课以提出实际问题引入标准差的概念，引导学生自主探究和计算，通过示例和练习巩固所学知识，使学生能够灵活运用标准差进行数据分析和比较，达到了预期的教学目标。
在未来的教学中，可以增加更多的实际案例，让学生更好地理解标准差的应用。
高中数学《总体分布的估计》教案1(1) 新人教A版必修3
总体分布的估计（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标：知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想【创设情境】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】<一>、众数、中位数、平均数〖探究〗：P62（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
2019-2020学年度最新高中数学新人教版必修3教案：第2章 2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-含答案
2019-2020学年度最新高中数学新人教版必修3教案：第2章2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-含答案1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)[基础·初探]教材整理1众数、中位数、平均数阅读教材P72～P73的内容，完成下列问题．1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．3．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．4．三种数字特征的比较1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)中位数一定是样本数据中的某个数．()(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．()【答案】(1)×(2)×2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数【解析】众数为50，平均数x＝18(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为12(50＋50)＝50，故选D.【答案】 D3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64【解析】x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.【答案】 A教材整理2 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 阅读教材P 72～P 73的内容，完成下列问题．在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．教材整理3 标准差、方差阅读教材P 74～P 77例2上面的内容，完成下列问题． 1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示， s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 2．方差的计算公式 标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．【解析】 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.【答案】(1)7(2)2[小组合作型](2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？【精彩点拨】先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数，再结合影响平均数的因素作答．【尝试解答】(1)由题中表格可知：众数为1 200，中位数为1 220，平均数为(2 200＋1 250×6＋1 220×5＋1 200×10＋490)÷23＝1 230(元/周)．(2)虽然平均数为1 230元/周，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．1．众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．2．在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．[再练一题]1．已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．【解析】 ∵中位数为5，∴4＋x2＝5，即x ＝6.∴该组数据的众数为6，平均数为－1＋0＋4＋6＋6＋156＝5.【答案】 6 5甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】【尝试解答】 (1)x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．2．关于统计的有关性质及规律(1)若x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a；(2)数据x1，x2，…，x n与数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.[再练一题]2．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x 甲，x 乙， 则x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473， s 2乙＝16[(02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．125 121 123 125 127 129 125 128 130129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．【尝试解答】 (1)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×58＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x －＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为x －＝125.75.1．利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．[再练一题]3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2-2-20所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：图2-2-20(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．【解】(1)由题图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为：55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.[探究共研型]探究【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．探究2如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息．探究3众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．探究4【提示】(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．探究5【提示】(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的．(2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性)．某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【精彩点拨】x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数．【尝试解答】该组数据的平均数为14(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：(1)当x≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x＝8，此时中位数为9.(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x＋10)．若14(x＋28)＝12·(x＋10)，则x＝8，而8不在8<x≤10的范围内，所以舍去．(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.[再练一题]4．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________．【解析】 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.【答案】 101．样本101,98,102,100,99的标准差为( ) A.2B ．0C．1 D．2【解析】样本平均数x＝100，方差为s2＝2，∴标准差s＝2，故选A.【答案】 A2．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-2-21所示．图2-2-21①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③【解析】甲的中位数81，乙的中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分x＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.【答案】 A3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】 B4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2-2-22，则图2-2-22(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．【解析】(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.【答案】(1)13(2)62.5(3)645．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2-2-23所示：图2-2-23(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度；②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s甲乙小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．学业分层测评(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2-2-24所示，则( )图2-2-24A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．【答案】 C2．若样本1＋x 1,1＋x 2,1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1,2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是( )A ．平均数是10，方差为2B ．平均数是11，方差为3C ．平均数是11，方差为2D ．平均数是10，方差为3【解析】 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s ，那么x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的平均数为x ＋a ，方差为s .【答案】 C3．如图2-2-25是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x 甲，x 乙；标准差分别是s 甲，s 乙，则有( )图2-2-25A.x 甲＞x 乙，s 甲＞s 乙B.x 甲＞x 乙，s 甲＜s 乙C.x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙D.x 甲＜x 乙，s 甲＜s 乙【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．【答案】 C4．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13 B ．2,1 C ．4，13D ．4,3【解析】 平均数为x ′＝3x －2＝3×2－2＝4，方差为s ′2＝9s 2＝9×13＝3.【答案】 D5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图2-2-26所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )图2-2-26A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83【解析】 由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d ，则6×0.27＋15d ＝1－0.01－0.03－0.09，∴d ＝－0.05.∴b ＝(0.27×4＋6d )×100＝78，a ＝0.27. 【答案】 A 二、填空题6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.【解析】 由题意知x ＋232＝22，则x ＝21. 【答案】 217．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2-2-27所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．图2-2-27【解析】x甲＝70，x乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2乙＝15×(52＋12＋12＋32)＝7.2.【答案】甲甲8．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为2，则xy＝________.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(2)2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.【答案】96三、解答题9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2-2-28的频率分布直方图．图2-2-28由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应约位于第四个小矩形内．设其底边为x ，高为0.03，∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．[能力提升]1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A ．6 B.6 C ．66D ．6.5【解析】 ∵x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61＋x )＝6，∴x ＝5.方差为：s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.【答案】 A2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2-2-29中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1图2-2-29则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.【答案】 B3．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．【解析】 设这40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x . 则s 2＝140×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 40－x )2] ＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40x 2－2x (x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010. 【答案】 0.9310104．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下： [0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5)，2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？【解】(1)频率分布表(2)频率分布直方图如图：众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的.。
人教版高中数学必修三 第二章 统计用样本估计总体导学案2(高三数学)
用样本估计总体导学案2(高三数学)知识梳理：(必修3教材65-83)1．作频率分布直方图的步骤：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图频率=频率。
注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距2．频率分布折线图和总体密度曲线折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
3．用茎叶图刻画数据的两个优点,(1)所有数据都可以从数据中得到;(2)茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.4.平均数、众数、中位数、标准差和方差（1）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。
一般用来表示，计算公式：（2）、众数：一组数据中出现次数最多的数。
（3）、中位数：将数据从小到大的顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。
若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。
（4）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s来表示，计算公式：，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
（5）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式：。
5．有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况：（1）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；（2）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。
6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数的估计值．．．．．．是其中最高矩形底边中点的横坐标；中．位数．．．的估计值等于频率分布直方图中每．．的左边和右边的直方图面积相等；平均数个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
必修3第二章第二节方差、标准差
必修三 第二章 第二节 方差、标准差1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
P 74~ P 78，思考并回答下列问题） 阅读课本P 74-78内容回答下面问题：1．平均数、众数、中位数描述数据的 ；方差、极差和标准差描述数据 ，也可以说方差、标准差和极差反映 。
2．方差S 2= 。
①在刻画样本数据的分散程序上， 和 是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用 。
②标准差越大，数据的离散程度 ；标准差越小，数据的离散程度 。
3．计算样本数据1,2,,n x x x 的标准差的步骤是： （1） 算出样本数据的 x 。
（2） 算出每个样本数据与样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （3） 算出（２）中(1,2,)ix x i n -= 的平方。
（4） 算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差。
（5） 算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度 ；标准差较小，数据的离散程度 。
4.标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：0s ≥。
当0s =时，意味着所有的样本数据都等于 。
※ 典型例题例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.s =7 8 9944647 3例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中,正确的是( )．A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数2.从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为S12= 13.2,S22=26.26,则( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为。
方差与标准差教案
方差与标准差教案一、教学目标知识与技能：1. 理解方差的概念，掌握计算一组数据方差的方法。
2. 理解标准差的概念，掌握计算一组数据标准差的方法。
过程与方法：1. 通过实例分析，引导学生探究方差和标准差的计算方法。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数据的敏感性，提高学生分析数据、处理数据的能力。
2. 培养学生团队协作精神，提高学生沟通交流能力。
二、教学重点与难点重点：1. 方差的概念及其计算方法。
2. 标准差的概念及其计算方法。
难点：1. 方差、标准差的计算公式的推导。
2. 利用数学软件或calculator 计算一组数据的方差和标准差。
三、教学过程1. 导入：通过一组数据的波动情况，引发学生对数据波动性的思考，进而引入方差和标准差的概念。
2. 新课讲解：讲解方差和标准差的定义、计算方法，并通过实例进行分析。
3. 课堂互动：学生分组讨论，每组选取一组数据，计算其方差和标准差，并交流计算过程中的心得体会。
4. 练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，检验对方差和标准差的理解和掌握程度。
四、课后作业2. 选择一组数据，计算其方差和标准差，并与同学进行交流。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对方差和标准差的理解和应用能力。
关注学生在课堂上的参与程度，激发学生的学习兴趣，提高教学质量。
六、教学策略与方法1. 采用案例分析法，通过具体实例让学生深入了解方差和标准差的概念及计算方法。
2. 利用数学软件或计算器，让学生亲自动手计算方差和标准差，提高实践操作能力。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
4. 运用对比分析法，引导学生对方差和标准差进行深入理解，并掌握它们之间的关系。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论中的表现。
标准差教案高中数学
标准差教案高中数学
目标：学生能够理解标准差的概念，掌握计算标准差的方法，并能够应用标准差解决实际问题。
一、引入
1. 引导学生回顾方差的概念，并与标准差进行比较。
2. 提出问题：在统计学中，为什么需要引入标准差这个概念？
二、概念讲解
1. 定义：标准差是一组数据离散程度的一种度量，用来衡量数据集中的值与均值的偏离程度。
2. 计算公式：标准差的计算公式为：$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-
\overline{x})^2}{n}}$，其中$\sigma$代表标准差，$x_i$代表第i个观测值，
$\overline{x}$代表样本均值，n代表样本数量。
3. 解释标准差的意义：标准差越大，说明数据的波动性越大，反之亦然。
三、计算实例
1. 给出一组数据：67, 72, 75, 70, 68，让学生计算这组数据的标准差。
2. 指导学生按照公式计算，并进行详细步骤的解释。
3. 计算结果为2.88，说明这组数据的波动性不大。
四、练习
1. 提供多组数据让学生分组计算标准差，并进行比较。
2. 提出实际问题让学生应用标准差进行分析和解决。
五、总结
1. 总结标准差的重要性和应用场景。
2. 强调标准差是一种重要的统计学指标，能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。
六、作业
1. 练习计算标准差的题目。
2. 思考标准差在生活中的应用场景，并写出一篇小结。
以上为标准差教案的内容，希望对您有所帮助。
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总体方差（标准差）的估计
教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。
教学过程：
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
问：派谁参加比赛合适？
一、方差和标准差计算公式：
样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=
])()()[(n
122
221----++-+-x x x x x x n 方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
标准差大说明波动大。
一般的计算器都有这个键。
例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。
为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
x甲≈
x乙≈
s甲≈
s乙≈
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。
二、练习：
1、
根据以上数据，说明哪个波动小？
2、从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？
3、甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
问谁射击的情况比较稳定？
三、作业：
1、为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
哪种小麦长得比较整齐？
2、某农场种植的甲乙两种水稻，在连续6年中各年的平均产量如下：
哪种水稻的产量比较稳定？。