设计IIR滤波器的双线性变换法
数字信号处理实验三 ——用双线性变换法设计IIR数字滤波器
修正，以抵消畸变的影响。
（4
H z Ha s s 2 1z1 T 1z1
IIR数字滤波器设计流程图
模拟低通滤波器原型设计 buttap,cheb1ap,cheb2ap,
besselap,ellipap函数
设计指标
求最小阶数N，ωc Buttord,cheblord Cheb2ord,ellipord
实验原理及方法
由于幅度为1，把ω 看做Ω 的函数求解，得到：
1 j T
0 z
2 e j
1 j T
2
2 tan1
T 2
2 T
tan
2
这说明Ω和ω的关系是非线性的，但是没出现混叠。在把Ω变换为
ω时产生了非线性畸变。为了克服它带来的问题，通常要使Ω按上式预
实验内容及步骤
1、读懂所给参考程序，熟悉程序的整体结构和功能。 2 、 设 计 一 个 CB 型 低 通 DF ， 通 带 截 频 fp=3000Hz ， 衰 耗 满 足 Apmax=3dB ， 阻 带 截 频 fT=3400Hz, 衰 耗 ATmin=31dB, 取 样 频 率 fs=8000Hz。写出其模拟滤波器方程及数字滤波器方程。 3、设计一个BW型低通DF，满足：通带截频fp=100Hz，衰耗满足 Apmax=3dB ， 阻 带 截 频 fT=400Hz, 衰 耗 ATmin=15dB, 取 样 频 率 fs=2000Hz。写出其模拟滤波器方程及数字滤波器方程。 4、设计一个BW型高通DF，满足：通带截频fp=400Hz，衰耗满足 Apmax=3dB ， 阻 带 截 频 fT=350Hz, 衰 耗 ATmin=15dB, 取 样 频 率 fs=1000Hz。写出其模拟滤波器方程及数字滤波器方程。
设计IIR滤波器的双线性变换法
⑥ 求相对f s2=45.125kHz处的阻带的最小衰减
|
H
(
j s
)
|2
1
1 (s /
c
)2
N
满足： s
的任意T值。
T
只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映
射产生频率混迭现象即可。
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典型例题
例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器
设计参数：通带数字截止频率 p 0.25 ，通带内最大 衰减 Ap 0.5dB，阻带数字截止率 s 0.55 ，阻带内
设计IIR滤波器的双线性变换法
设计思想 1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频 域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频 率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不 能用来设计高通和带阻滤波器。 原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
脉冲响应不变法的映射过程图示
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求 得 c 0.588148
反归一化得：
H (s) Ha (s / c )
0.203451 (s 0.588148)(s2 0.588148s 0.345918)
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典型例题
⑤ 用双线性变换式求得H(z) 。
H
(z)
H
(s)
s
1 1
z z
1 1
(1
0.259328z
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
2、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换 方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系
IIR数字滤波器的设计(采用脉冲响应不变法和双线性变换法)
%IIR数字滤波器的设计；%采用脉冲响应不变法和双线性变换法；clear;close all;clc;wp1=0.3*pi;wp2=0.4*pi; %初始化指标参数ws1=0.1*pi;ws2=0.6*pi;Rp=1;As=40;Fs=2000;T=1/Fs;ripple=10^(-Rp/20);attn=10^(-As/20);Omgp1=wp1*Fs;Omgp2=wp2*Fs;Omgp=[Omgp1 Omgp2];Omgs1=ws1*Fs;Omgs2=ws2*Fs;Omgs=[Omgs1 Omgs2];B=Omgp2-Omgp1;w0=sqrt(Omgp1*Omgp2);[n wc]=cheb1ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s'); %设计切比雪夫1型滤波器[z0 p0 k0]=cheb1ap(n,Rp);ba1=k0*real(poly(z0));aa1=real(poly(p0));[ba aa]=lp2bp(ba1,aa1,w0,B);ww=Omgs1:Omgs2;hh=freqs(ba,aa,ww);dBHH=20*log10((abs(hh)+eps)/max(abs(hh)));%[ba aa]=butter(n,wc,'s');[bd ad]=impinvar(ba,aa,Fs);[H w]=freqz(bd,ad);dBH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H)));%画图；subplot(1,2,1);plot(ww/2/pi,abs(hh));xlabel('频率:Hz');ylabel('H(e^{j\omega})');title('幅频响应');set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[ws1*Fs/2/pi wp1*Fs/2/pi wp2*Fs/2/pi ws2*Fs/2/pi]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[attn 1/sqrt(2) ripple]);grid; subplot(1,2,2);plot(ww/2/pi,dBHH);xlabel('频率:Hz');ylabel('dB');title('幅频响应');grid;set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[ws1*Fs/2/pi wp1*Fs/2/pi wp2*Fs/2/pi ws2*Fs/2/pi]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-As -3 -Rp 0]);figure;subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(H));xlabel('频率:\pi');ylabel('H(e^{j\omega})');title('幅频响应');axis([0 1 0 1.1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0 attn 1/sqrt(2) ripple 1]);grid;subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(H));xlabel('相频响应');ylabel('相位');title('相频响应');axis([0 11.1*min(angle(H)) 1.1*max(angle(H))]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-1 0 1]);grid;subplot(2,2,3);plot(w/pi,dBH);xlabel('频率:\pi');ylabel('dB');title('幅度响应');axis([0 1 -80 10]); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-As -3 -Rp 0]);grid;subplot(2,2,4);zplane(bd,ad);%采用双线性变换法；omgp1=(2/T)*tan(wp1/2);omgp2=(2/T)*tan(wp2/2);omgp=[omgp1 omgp2]; omgs1=(2/T)*tan(ws1/2);omgs2=(2/T)*tan(ws2/2);omgs=[omgs1 omgs2]; Bw=omgp2-omgp1;omgw0=sqrt(omgp1*omgp2);[n0 wc0]=cheb1ord(omgp,omgs,Rp,As,'s'); %设计切比雪夫1型滤波器[z0 p0 k0]=cheb1ap(n0,Rp);a1=k0*real(poly(z0));b1=real(poly(p0));[bc1 ac1]=lp2bp(a1,b1,omgw0,Bw);[be ae]=bilinear(bc1,ac1,Fs);[HH w1]=freqz(be,ae);dbHH=20*log10((abs(HH)+eps)/max(abs(HH)));%画图figure;subplot(2,2,1);plot(w1/pi,abs(HH));xlabel('频率:\pi');ylabel('H(e^{j\omega})');title('幅频响应');axis([0 1 0 1.1]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0 attn 1/sqrt(2) ripple 1]);grid;subplot(2,2,2);plot(w1/pi,angle(HH));xlabel('相频响应');ylabel('相位');title('相频响应');axis([0 1 1.1*min(angle(HH)) 1.1*max(angle(HH))]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-1 0 1]);grid;subplot(2,2,3);plot(w1/pi,dbHH);xlabel('频率:\pi');ylabel('dB');title('幅度响应');axis([0 1 -80 10]); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0 ws1/pi wp1/pi wp2/pi ws2/pi 1]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-As -3 -Rp 0]);grid;subplot(2,2,4);zplane(be,ae);%生成信号，并进行滤波；f1=100;f2=200;phi1=0;phi2=0;fs=1000;T=1;t=0:1/fs:T;A=1;y0=A*sin(2*pi*f1*t)+A*sin(2*pi*f2*t);N=length(t);noise=0.5*randn(1,N);f=y0+noise; %信号+噪声y=filter(bd,ad,f);%y=filter(be,ae,f);xx=-fs/2:1/T:fs/2;ff=abs(1/fs*fftshift(fft(f)));yy=abs(1/fs*fftshift(fft(y)));%画图figure;subplot(1,2,1);plot(t,f);axis([0,1,-3.5,3.5]); xlabel('t/s');ylabel('f');title('信号+噪声时域波形'); subplot(1,2,2);plot(t,y);xlabel('t/s');ylabel('y');title('滤波后时域波形'); figure;subplot(1,2,1);plot(xx,ff);xlabel('f/Hz');ylabel('ff');title('信号+噪声频谱图'); subplot(1,2,2);plot(xx,yy);xlabel('f/Hz');ylabel('yy');title('滤波后频谱图');Ps=A^2;Pn1=sum(noise.^2)/N;SNR1=10*log10(Ps/Pn1);disp('输入信噪比如下：');SNR1yy=filter(bd,ad,noise);Pn2=sum(yy.^2)/N;SNR2=10*log10(Ps/Pn2);disp('输出信噪比如下：');SNR2disp('信噪比增益如下：');SNR2-SNR1。
实验十二 用双线性变换法设计IIR数字滤波器
用双线性变换法设计IIR数字滤波器[实验目的]熟悉模拟巴特沃茨滤波器设计和用双线性变换法设计IIR数字滤波器的方法。
[实验原理]利用双线性变换设计IIR数字滤波器，首先要设计出满足指标要求的模拟滤波器的传递函数Ha(S),然后由Ha(S)通过双线性可得所要设计的IIR数字滤波器的系统函数H(Z)。
[实验内容及要求]用双线性变换法设计IIR滤波器是IIR滤波器设计的经典方法，首先根据模拟滤波器的指标设计出来相应的模拟滤波器，然后将设计好的模拟滤波器转换为满足给定技术指标的数字滤波器。
在MATLAB的数字信号处理工具箱中提供了相应的设计函数，常用的有：1、butterworth数字和模拟2、零极点增益模型到传递函数模型的转换函数3、低通到低通模拟滤波器的转换函数4、双线性变换函数5、Butterworth数字和模拟滤波器设计函数6、计算butterworth低通原型模拟滤波器的极点和增益函数7、计算离散时间系统的频率响应函数用双线性变换法设计BUTTERWORTH低通IIR数字滤波器，要求使用buttord，butter，biliner。
滤波器技术指标：取样频率1HZ，通带内临界频率0.2HZ，通带内衰减小于1db，阻带临界频率0.3HZ，阻带内衰减大于25DB。
解：wp=0.2*2*pi;ws=0.3*2*pi;rp=1;rs=25;fs=1;ts=1/fs;wp2=2*fs*tan(wp/2*ts);ws2=2*fs*tan(ws/2*ts);[n,wn]=buttord(wp2,ws2,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n)[bap,aap]=zp2tf(z,p,k)[b,a]=lp2lp(bap,aap,wn)[bz,az]=bilinear(b,a,fs);[h,w]=freqz(bz,az);subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(h));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');n = 6wn = 1.7043z =[]p =-0.2588 + 0.9659i-0.2588 - 0.9659i-0.7071 + 0.7071i-0.7071 - 0.7071i-0.9659 + 0.2588i-0.9659 - 0.2588ik =1bap =0 0 0 0 0 0 1 aap =1.0000 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.0000 b =24.5076a =1.0000 6.5850 21.6809 45.2558 62.976555.5591 24.5076频率幅度频率幅度。
双线性变换法设计数字滤波器
双线性变换法设计IIR数字滤波器一：实验目的1）熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和方法。
2）掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。
3）观察对心电图信号的实际滤波作用，获得数字滤波器的感性认识。
二：实验原理在滤波器的设计过程中，毕竟那是一个重要环节，所谓逼进就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼进，以求得一个因果、稳定且客户实现的传递函数。
目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。
借助模拟滤波器的逼进方法，用模拟与大树自语的某种变换，完成数字滤波器的逼进，这是一类简单而又行之有效的方法。
双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩到-π/T~π/T之间，再用z=e sT转换到z平面上。
也就是说，第一步现将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T~π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系1e S T将此横带变换到整个z平面上去。
这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的胆汁关系，消除了多只变换性，也就消除了频谱混跌现象，映射关系如图所示。
为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到1S 平面轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以上的正切的变换实现Ω=2/Ttan(1ΩT/2)（1-1）式中，T 仍是采样间隔。
当1Ω由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。
将上式（1-1）写成111122222T Tj j T T j j e e j T e e ΩΩΩΩ--Ω=•+ （1-2）将此关系解析延拓到整个S 平面和1S 平面，令j Ω=s, 1j Ω=S 1,则得111221tan()21e s Ts TS T e T T --==•+(1-3)再将S 1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面：z=S1T e （1-4）从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为;11211ZS T Z ---=+(1-5) 122122T T S S Z T TS S ++==--(1-6)式（1-5）和式（1-6）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此成为双线性变换。
数字信号处理课程设计用双线性变换法设计IIR滤波器
目录一、摘要 (3)二、设计思想 (3)2.1 IIR数字滤波器设计思路 (3)2.2设计IIR数字滤波器的两种方法 (4)2.3双线性变换法的基本原理 (5)2.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 (6)三、程序源代码和运行结果 (6)3.1低通滤波器 (6)3.2高通滤波器 (9)3.3带通滤波器 (12)3.4带阻滤波器 (14)四、网络结构图 (17)五、心得体会 (19)参考文献 (19)一、摘要数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器(FIR)两种。
本文介绍IIR数字滤波器的设计。
二、设计思想2.1 IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示y(n)=Σb r x(n-r)+Σa k y(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数:不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数{b,a},去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。
IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。
6.3 双线性变换法
10
§6.5 设计IIR数字滤波器的频率变换法
又称为
•
“模拟域频率变换法 频率变换的两种基本方法 ” 法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率 变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换， 由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。
又称为
“数字域频率变换法 ” 法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成 数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类 型的数字滤波器。
p 2 T 2 tg (
p
用脉冲响应不 ) tg0.125 0.4142136 变法怎么设计？
s
tg (
s
2
2
) tg0.275 1.1708496
T
② 确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。
N lg( k sp ) lg( sp ) 2.66
∴ 取滤波器阶次 N = 3
13
• 典型例题
例1：设计一个 3 阶巴特沃斯型数字高通滤波器 ，3dB数字截频为0.2π弧度，求该滤波器的系统 函数。
解：
① 3阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为：
注意：这里是 模拟低通的， 应该是多少？
去归一化得到低通系统
函数： H aL ( s ) H aL ( p ) p
s c
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。
① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T ， ； T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
实验六 用双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验六用双线性变换法设计IIR数字滤波器一、实验目的学会运用MATLAB设计数字低通、带通、高通、带阻滤波器的设计方法。
二、实验涉及的matlab子函数bilinear功能：双线性变换——将s域映射到z域。
调用格式：[numd,dend]= bilinear (num,den,Fs)，将模拟域系统函数转换为数字域的系统函数，Fs为采样频率。
三、实验原理下面举例说明用双线性变换法设计各种数字滤波器的过程。
例1、采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，要求：wp=0.25*pi，rp=1db，ws=0.4*pi，as=15db，滤波器采样频率Fs=100hz。
MATLAB源程序为：%数字滤波器指标wpd=0.25*pi; %滤波器的通带截止频率wsd=0.4*pi; %滤波器的阻带截止频率Rp=1;As=15; %输入滤波器的通阻带衰减指标%转换为模拟原型滤波器指标Fs=100;T=1/Fs;wp=(2/T)*tan(wpd/2);ws=(2/T)*tan(wsd/2);%模拟原型滤波器计算[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s') %计算阶数n和截止频率[z0,p0,k0]=buttap(n); %归一化切比雪夫1型原型设计ba=k0*poly(z0); %求原型滤波器系数baa=poly(p0); %求原型滤波器系数a[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,wc);%变换为模拟低通滤波器%用双线性变换法计算数字滤波器系数[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs) %双线性变换%求数字系统的频率特性[H,w]=freqz(bd,ad);dbH=20*log10(abs(H)/max(abs(H))); %化为分贝值subplot(2,2,1),plot(w,abs(H));ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,pi,0,1.1]);grid subplot(2,2,2),plot(w,angle(H));ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,pi,-4,4]);grid subplot(2,2,3),plot(w,dbH);title('幅度响应(dB)'); ylabel('dB');xlabel('频率');axis([0,pi,-40,5]);grid subplot(2,2,4),zplane(bd,ad); axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');运行结果为： n = 5wc = 103.2016bd = 0.0072 0.0362 0.0725 0.0725 0.0362 0.0072 ad = 1.0000 -1.9434 1.9680 -1.0702 0.3166 -0.0392 则所求滤波器的系统函数为54321-5432-10.0392z 166z 3.01.0702z z 68.911.9434z 1z 072.00z 362.00z 725.00z 725.000.0362z 0.0072H(z)---------+-+-+++++=|H |幅度响应φ相位响应幅度响应(dB)d B频率-1-0.500.51Real PartI m a g i n a r y P a r t零极图例2、采用双线性变换法设计一个椭圆数字高通滤波器，要求通带250hz ，1db ，阻带150hz ，20db ，滤波器采样频率为Fs=1000hz 。
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第五章 第2讲
16
典型例题
② 频率预畸变
c
tg c
2
tg(0.1 ) 0.3249(rad/s)
∴ 数字高通滤波器的系统函数为：
H (z)
HaL (
p)
p
c
1 1
z z
1 1
1
p3
2 p2
2p
1
p
0.32491 1
z z
1 1
(1 z 1 )3
1.859208 3.3358z 1 2.241976z 2 0.57016z 3
模拟域频率变换法
1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换
设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 H aL ( p)，
p为模拟域内的拉氏变量 。
在模拟域内从低通到高通变换：即以 p-1代替 p。
HaH ( p) HaL (1 / p)
反后归的一高化通。滤即 波以器的p传输s 函数c 带H(入s)上。式，得到反归一化
均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随
频率增加越来越密。
双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍
然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。
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7
设计IIR滤波器的双线性变换法
频率预畸变
为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟
低通滤波器系统函数之前必须按式 c
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17
典型例题
例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截
频为c 0.2π弧度，阻带下边频 ＝s 0.05π弧度，阻带衰
减 As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。
解： ① 频率预c 畸t变g 求2c模拟tg低(0通.1的 )截频0.3和2c4阻9(带ra下d/边s) 频 s
H
(s)
H
aH
(
s c
)
H
aL
(
c s
)
双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。
H (z) H (s) s11zz11
H ( p) aL
p
c
1 1
z z
1 1
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第五章 第2讲
15
设计IIR数字滤波器的频率变换法
变换关系：直接由归一化低通原型变换成数字高通滤波器时：
p
c
1 1
t g(c )
2
进行
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原
型Ha(s) 确定 H(s) Ha (s / c ) ；最后求得数字系统
函数：H (z)
H (s) s
1 1
z z
1 1
Ha (s)
s
1 c
1 1
z z
1 1
频率预畸变示意图
用双线性变换法设计IIR滤波器的过程总结
H (e j ) 频率预畸变 H ( j) H (s) 双线性变换 H (z)
（极点）
u , l ：下边频和上边频
sl：下阻带上边频
su ：上阻带下边频
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21
设计IIR数字滤波器的频率变换法
满足以上映射关系的变换式推导过程：
s
s(z)
(z
e j0 )( z e j0 ) (z 1)(z 1)
z2
2z cos0
z2 1
1是稳定的
∴ S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的。
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第五章 第2讲
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设计IIR滤波器的双线性变换法
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设计IIR滤波器的双线性变换法
有关双线性变换公式的说明
有些文献中双线性变换的关系为:
s
2 T
1 1
z 1 z 1
(先前为：s
1 1
z 1 z 1
)
两式存在 2 /T的系数差别
抽样间隔T的选取：
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设计IIR滤波器的双线性变换法
双线性变换的频率对应关系
双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了
模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：
tg(
)
2
可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关
系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为
满足： s
的任意T值。
T
只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映
射产生频率混迭现象即可。
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典型例题
例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器
设计参数：通带数字截止频率 p 0.25 ，通带内最大 衰减 Ap 0.5dB，阻带数字截止率 s 0.55 ，阻带内
s
c2ctg
s
2
1.341267(rad/s)
② 确定低通滤波器的阶次 N
N 1 lg(100.1As 1) 3.8976 2 lg( s / c )
∴ 取N＝4
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典型例题
③ 查表得N=4时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数
1 HaL ( p) ( p2 0.7654 p 1) ( p2 1.8478p 1)
2
j
面的单位圆
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设计IIR滤波器的双线性变换法
1 s
令s
j
, 带入 z
1
得：
s
z 1 j 1 j
(1 )2 2
z
(1 )2 2
当 0 时， z 1
此式表明： S平面的左 半平面轴映 射到了Z平 面的单位圆 内，可保证 系统函数经 映射后稳定 性不变。
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设计IIR滤波器的双线性变换法
3、双线性变换法的基本思路：
从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 H (e j ) ，
逼近模拟滤波器的频率响应 H ( j) ,进而求得H(z)。
“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： tg( 1T ) 2
将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的
特别地，设 0 < z = r < 1,则有：
s
r
2
2r cos0
r2 1
1
(1
r)2
2r(1 r2 1
cos 0
)
0
此式表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面
再令 z e代j入 上式 ，得：
s
e j2
2e j e j2
cos0
1
1
j
cos0 cos sin
j
此式表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴
cos(1 2 )
cos 0
cos(1
2
2
)
0
2
0 0.5
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典型例题
③ 求模拟低通截止频率和阻带下边频
c
1
cos 0 cos 1 sin 1
cos0.5 cos0.75 sin 0.75
1
s
cos0 cosu sin u
cos(0.5 ) cos(0.925 ) sin( 0.925 )
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
2、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换 方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系
低通幅度响应
带通幅度响应
0
sb：模拟的阻带下边频
0：中心频率
映 射 关 系
0
0
（零点）
z
e j0
s
0
0, z 1 s j
④ 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)
H (z)
HaL (
p)
p
c
1 1
z z
1 1
(1 z 1 )4
2.3103 5.4743z 1 5.346z 2 2.4366z 3 0.4324z 4
⑤ 所设计的高通滤波器的幅度特性与相位特性图示
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典型例题
0.0662272(1 z1)3 1)(1 0.6762858z1
0.3917468z 2
)
应滤 波 器 的 幅 度 响 应 与 相 位 响
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§5 设计IIR数字滤波器的频率变换法
又称为
频率变换的两种基本方法
“模拟域频率变换 法”
法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
模拟低通与数字带通的频率变换关系：
c
cos0 cosu sin u
,
sb
cos0 cossu sin su
,
cos 0
cos(l u
2
cos(u l
) )
2
当 c 时 1，反归一化处理：
p s z 2 2z cos0 1
求 得 c 0.588148
反归一化得：
H (s) Ha (s / c )
0.203451 (s 0.588148)(s2 0.588148s 0.345918)