双线性变换法

双线性变换法的设计步骤：
第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟
滤波器的频率指标{wk} wk 2tan(Wk )
T2 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s) 第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
2、双线性变换法的设计方法
w 2 tan(W)
T2
设计模拟
双线性变换
Wp,Ws
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满
足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与
脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
w p , w s Ap=0.3945dB As= 15.0000dB
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
[,]
[πT/,πT/]
w' p/T
w
p/T
Ww'T
W
模拟频率与数字 频率的关系为：
w 2 tan(W)
T2
W2arctan(wT)
2
1、双线性变换法的基本原理
s域到z域的映射关系
w
2
W
tan( )
T2
jw
j2 T
tanW( )
2
j2 T
sinW( )
2
cosW( )
jW
jW
2 T
e2
jW
e 2
解：
(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
H(z)
H(s)
s 2 T
1z1 1z1
s2
0.3423 0.8275s0.3423sT211zz11
0.1587 0.3155 z10.1587 z2
10.6026 z10.2337 z2
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
双线性变换法
主要内容
一、双线性变换法的基本原理 二、双线性变换法的设计方法
重点与难点
重点 1、双线性变换法的基本原理 2、双线性变换法的设计方法
难点 1、双线性变换法的基本原理
问题的提出
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
AF到DF
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
3dB
Amplitude
0.7
脉冲响应不变法
脉冲响应不变法
存在频谱混叠，所设计的
DF不满足给定指标。
双线性变换法
双线性变换法不存在频
谱混叠，所设计的DF满足
给定指标。
0
0
1/3
1
Normalized frequency
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
✓ 结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。
为简单起见，一般取T=2
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
解： 双线性变换法设计的DF的系统函数为：
H双(z)0.13 660.206.9376z6z11
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器
H(s)
1 sT 1
2tan(Wp /2)
s
2 T
1 1
z1 z1
H (z)
taW np/(2)1 (z1)
0.3660.36z61
1taW np/(2)(taWp n/2()1)z1 10.269z71
1、双线性变换法的基本原理
稳定性分析
(2/T)2 w2 z (2/T)2 w2
1) <0, |z|<1 S域左半平面映射到z域单位圆内 2) 0, |z|=1 S域虚轴映射到z域单位圆上
3) >0, |z|>1 S域右半平面映射到z域单位圆外
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
1、双线性变换法的基本原理
%determine the DF filter [numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs) %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); plot(w/pi,20*log10(abs(h))); axis([0 1 -50 0]);grid; xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws];h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：
1eWp H脉(z)1eWp z1
1 eπ/3 1 eπ/3 z 1
令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应。
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设
计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波
器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
1
jW
2
2 T
1 1
e jW e jW
e 2 e 2
jw
2 T
1ejW 1ejW
s jw z ejW
2 1 z1 s
T 1 z1
z 2/T s 2/T s
双线性变换
1、双线性变换法的基本原理
稳定性分析
2 1 z1 s T 1 z1
z2Ts 2 T s
令s= +jw，则有：
z
(2/T)2 w2 (2/T)2 w2
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现
Wp=pi/3; b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[1 1]; a=[1 -exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1]; w=linspace(0,pi,512); h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w); plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)) ); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Amplitude'); set(gca,'ytick',[0 0.7 1]); set(gca,'xtick',[0 Wp/pi 1]); grid;
数字频率W 变换到模拟频率w
w 2 tan(Ω)
T2
w
2 T
tan(W/
2)
ws
wp
W
Wp
Ws p
1、双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点
➢ 优点：无混叠 ➢ 缺点：幅度响应不是 常数时会产生幅度失真
w
w
2 T
tan(W/
2)
ws
H ( jw)
wp
H(e jW )
W
p
W
Wp
Ws
2、双线性变换法的设计方法
(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标
wpmaxwB {p2w1 pw 102,
Bwp2 }0.3714 wp22w02
3-dB cutoff frequency [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s') %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s')
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance
%DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T; %determine the order of AF filter and the
例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。
解: 模拟带阻指标
wp1=6rad, wp2=13rad, ws1=9rad, ws2=1rad1,Ap1dB, As 10dB