初二三角形压轴题分类解析

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专题03 全等三角形的六种模型全梳理(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

专题02三角形压轴题真题分类(原卷版)—2022-2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题

专题02《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与8字模型有关的压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：与内角外角平分线有关的压轴题1.（上海）（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，且B 、P 、D 三点共线，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B Ð的度数．2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝°；②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．3．（江苏）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC∠和BCD ∠的角平分线，点AB 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C 为y轴右侧一动点．（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．探究：（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．题型二：与8字模型有关的压轴题5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝14∠ABC，∠EDP＝14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．7．（江苏）已知：线段AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、C D ．(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系为；(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BC D ．若∠B ＝36°，∠D ＝44°，则∠P 的度数=°；(3)如图3，∠BAD 和∠BCD 的三等分线AP 和CP 相交于点P ，123BAD ∠=∠，143BCD ∠=∠，试探究∠B 、∠D 、∠P 三者之间存在的数量关系，并说明理由．(4)如图4，CP 、AG 分别平分∠BCE 、∠FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，请猜想∠P 、∠B 、∠D 之间的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．6．如图①，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．试解答下列问题：(1)在图①中，写出一个关于∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的关系的等式．(2)在图②中，若∠B ＝96°，∠C ＝100°，求∠P 的度数；(3)在图②中，若设∠C ＝α，∠B ＝β，∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ，试问∠P 与∠C ，∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P ），并说明理由；(4)如图③，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为．8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．题型三：与燕尾模型有关的压轴题9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．10．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．11．（江苏）模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC ∠=__________︒；②如图3，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4，ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则1BO C ∠=__________︒；②如图5，BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则7BOC ∠=__________︒；③如图6，ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒，则ADB =∠__________︒；④如图7，BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B Ð、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC ∠与A ∠、B Ð、C ∠之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若60A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=o ；②如图3，ABE ∠、ACE ∠的2等分线（即角平分线）BF 、CF 相交于点F ，若60BAC ∠=︒，130BEC ∠=︒，求BFC ∠的度数；拓展：（3）如图4，i BO ，i CO 分别是ABO ∠、ACO ∠的2020等分线（12320182019i = ，，，，，），它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、2019O ．已知BOC m ∠=︒，BAC n ∠=︒，则1000BO C ∠=度．题型四：与动角有关的压轴题13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE 的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF 的度数（用含有a的代数式表示）14．如图1，含30°角的直角三角板()30DEF EDF ∠=︒与含45︒角的直角三角板的斜边在同一直线上，D 为BC 的中点，将直角三角板DEF 绕点D 按逆时针方向旋转()0180αα∠︒<<︒，在旋转过程中：（1）如图2，当α∠=________︒时，//DE AB ；当α∠=______︒时，DE AB ⊥；（2）如图③，当直角三角板DEF 的边DF 、DE 分别交BA 、CA 的延长线于点M 、N 时；①1∠与2∠度数的和是否变化？若不变，求出1∠与2∠度数的和；若变化，请说明理由；②若使得122∠=∠，求出1∠、2∠的度数，并直接写出此时α∠的度数；③若使得2123∠≥∠，求α∠的度数范围．15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E不与A、B重合），连接DE．(1)如图①，当CA=CB=4时，①请直接写出DE的取值范围：②判断△DOE的形状并说明理由；③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围；(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．16.（辽宁大连）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．。

初二全等三角形难题压轴题

全等三角形难题易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解:△CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA（公共边）,所以△CAB≌△DBA（AAS）.二、错用两边及一角对应相等说明全等例2如图,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3如图，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解:△ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4如图，已知AC，BD相交于点O，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS）.。

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总八年级数学全等三角形中的动点问题汇总教学重点难点是如何利用熟悉的知识点解决陌生的问题。

解决这类问题的思路如下：1.利用图形想到三角形全等；2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程和速度；3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

典型例题】例1.在△ABC中，∠XXX为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF、BD之间的位置关系为何，数量关系为何？请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）。

例 2.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。

1）求证：△ADF≌△CEF。

2）试证明△DFE是等腰直角三角形。

3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由。

4）求△CDE面积的最大值。

变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE。

连接DE、DF、EF。

在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF。

1）求证：DF=BF。

三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形一．选择题（共3小题）1．（2014?山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边a2a2Ca2a2aEC=EP=PC==×a=aa②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）EF=EF=3．（2013?河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的DAC=二．填空题（共6小题）4．（2015?泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的…如此继续下去，结果如下表，则a n=3n+1（用含n的代数式表示）．的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律，则S2012=．的面积是，求出==×，=×，求出××××，××××××，×××…××（个AB=），的面积是××=×，=，=×=×﹣××，×××××××××××××…××）故答案为：AF=5，那么正方形ABCD的面积等于．=，即=．（x，x ．无需算出算出正确的是②．（只填序号）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．ab=chh=h=）（））））=h=）））））（（ab9．（2013?贺州）如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1三．解答题（共5小题）10．（2013?昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间11．（2013?青羊区一模）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是CFCFBC=3 CD=；AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA AC=CD=AC=∠DCB=×，ABD=×BE=×÷的长为AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；BM=ME=AGAC=CD=BM=CG=CF=ME=a AG=DF=×a=BE=BM=DFME=AG BD仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

初二三角形全等几何压轴题

初二三角形全等几何压轴题
初二三角形全等几何压轴题三角形是一种最常见的多边形，它的三条边和三个内角都是确定的，在数学中，我们可以使用它来探究各种几何理论。

今天我们要讨论的是一道初二三角形全等几何压轴题。

题目是：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数均相等，点D是边BC的中点，求证：线段AD与线段AC相等。

为了解决这道题，我们可以先画出三角形ABC和点D，
并给出角A、B、C三个内角均相等。

根据定义，我们可以得出：（1）由于角A、B、C均相等，所以边AB、BC、AC也
是相等的。

（2）由于点D是边BC的中点，所以线段BD等于线段CD的一半。

（3）由第一步和第二步得出，线段AD等于线段AC。

由此可见，线段AD和线段AC是相等的。

以上就是解决初二三角形全等几何压轴题的详细步骤，从中可以看出几何常识的重要性，以及在解决实际问题时应该怎样运用数学知识，建立正确的推理框架。

同时，也提醒学生们要善于发现问题的规律，以便更好地解决问题。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。

三角形压轴题解析

三角形【知识脉络】【基础知识】 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 2、三角形的表示三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 3、三角形的分类： (1)按边分类：（2）按角分类三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C _B _A4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=12 BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是 ABC的角平分线；② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC. (2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线； ③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图3图4ABCD E 图1图26、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 7、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

专题三角形重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册必刷题(人教版)

专题01 高分必刷题-三角形重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含《三角形》这一章在各次月考、期末中除压轴题之外的全部主流题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：三角形的边长问题、多边形的内角和与对角线、三角形的三个角平分线模型、三角形的角度计算、8字模型、燕尾模型、折叠模型，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。

题型1：三角形的边长问题1．（2022·四川·成都）已知三角形两边长分别为4和9，则此第三边x 的取值范围是（） A ．5＜x ＜13B ．4＜x ＜9C ．18＜x ＜26D ．14＜x ＜22【详解】解：由三角形的三边关系得：9494x -<<+，即513x <<，故选：A ．2．（2021·河南周口）一个三角形的三边长分别为3，5，x ，若x 为偶数，则这样的三角形有（）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【详解】解：根据题意得：5353x -<<+，即28x <<，∵x 为偶数，∴x 取4，6，即这样的三角形有2个．故选：A3．（2022·辽宁·沈阳）三角形两边长分别为4和7，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（） A ．15或12B ．15或19C ．16或17D ．19或23【详解】解：设三角形第三边的长为a ，∵三角形的两边长分别为4和7，∴7−4＜a ＜7＋4，即3＜a ＜11， ∵a 为偶数，∴a ＝4或a ＝6或a ＝8或a ＝10，当a ＝4时，这个三角形的周长＝4＋4＋7＝15；当a ＝6时，这个三角形的周长＝6＋4＋7＝17；当a ＝8时，这个三角形的周长＝8＋4＋7＝19；当a ＝10时，这个三角形的周长＝10＋4＋7＝21；综上所述，这个三角形的周长可能是15或17或19或21．故选：B ．4．（2022·四川成都）已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程42x -=的解，则ABC 的周长为（） A ．4B ．5C ．7或11D ．7【详解】解：2(2)30b c -+-=，20b ∴-=且30c -=，2b ∴=、3c =，a 为方程42x -=的解，2a ∴=或6a =，又c b a c b -<<+，即15a <<，2a ∴=，则ABC 的周长为2237++=，故选：D ．5.已知实数x ，y 满足|x ﹣6|+＝0，则以x ，y 的值为两边的等腰三角形的周长为（）A ．27或36B ．27C ．36D ．以上答案都不对【解答】解：∵实数x ，y 满足|x ﹣6|+＝0，∴x ＝6，y ＝15．∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为6、15、15，∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．故选：C ．6．（2022·辽宁沈阳）已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，化简||||||a c b b c a a b c +-+-++--=_________．【详解】解：a ，b ，c 是一个三角形的三条边长，0＞∴+-a c b ，0＞-+b c a ，＜0a b c --，∴||||||a c b b c a a b c +-+-++--()a c b b c a a b c =+-+-+---a c b b c a a b c =+-+-+-++a b c =++，故答案为：a b c ++．7．已知a ，b ，c 分别为三角形的三边长，则化简|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a +b |的结果为（） A ．a +b +cB ．﹣a +b ﹣3cC ．a +2b ﹣cD ．﹣a +b +3c【解答】解：|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a +b |＝﹣a +b +c ﹣b +c +a +c ﹣a +b ＝﹣a +b +3c ，故选：D ．题型2：多边形的内角和、对角线8．（2022·广西·兴安）正多边形的一个内角等于144，则该多边形是正（）边形． A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：设正多边形是n 边形，由题意得（n -2）×180°=144°n ．解得n =10，故选：C ． 9．（2022·浙江·温州）若n 边形的内角和等于外角和的4倍，则边数n 是（） A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：根据题意得：()21803604n -⨯︒=︒⨯，解得：10n =，即边数n 是10．故选：C10．（2022·浙江杭州）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n =________．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，依题意，得：()21802360n -⨯︒=⨯︒，解得：6n =．故答案为：6．11．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°． 12．（2020·四川·宜宾）如果一个多边形从一个顶点出发可以做7条对角线，则它的内角和是______．【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n −3＝7，解得n ＝10．十边形的内角和为：()1801021440︒⨯-=︒，故答案为：1440°． 13．一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，（1）求此正多边形的边数；（2）它有多少条对角线？【解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．∴多边形的边数为9；（2）∵n边形的对角线条数为：n（n﹣3），∴当n＝9时，n（n﹣3）＝×9×6＝27，故有27条对角线．题型3：三角形的三个角平分线模型1、三角形的两内角角平分线模型14．（2022·山东滨州）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．【详解】∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∠A＝88°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=46°，∵∠2+∠4+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-46°=134°，故答案为：134°．15．（2022·山东济南）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（）A．97°B．117°C．63°D．153°【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣12∠ABC﹣12∠ACB＝180°﹣12(∠ABC+∠ACB)，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣12×126°＝117°，故选：B．16．（2021·江苏·麒麟）如图，BI，CI分别是△ABC的角平分线，∠BIC=130°，则∠A=_______．【详解】解：∵BI ，CI 分别是△ABC 的角平分线，∴∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∵∠BIC ＝130°， ∴∠IBC ＋∠ICB ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠A ＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．17．（2021·福建·莆田）在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O ，∠BOC ＝125°，则∠A 的度数为___．【详解】解：如图，∵∠BOC =125°，∴∠OBC +∠OCB =180°-125°=55°，∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于O 点，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠OBC +∠OCB ）=110°， ∴∠BAC =180°-110°=70°．故答案为：70°．2、三角形两外角角平分线模型18．如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC ＝．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC ＝∠DAC ，∠ECA ＝∠ACF ；又∵∠B ＝40°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC +∠ACF ＝（∠B +∠2）+（∠B +∠1）＝（∠B +∠B +∠1+∠2）＝110°（外角定理）， ∴∠AEC ＝180°﹣（∠DAC +∠ACF ）＝70°．故答案为：70°．19．（2022·山东烟台）如图，已知ABC ，80A =∠，BF 平分外角CBD ∠，CF 平分外角BCE ∠，BG 平分CBF ∠，CG 平分外角BCF ∠，则G ∠=_________．【详解】解：∵∠DBC ＝∠A +∠ACB ，∠ECB ＝∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠ECB ＝∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ， ∵∠ACB +∠A +∠ABC ＝180°，∴∠DBC +∠ECB ＝∠A +180°＝80°+180°＝260°，∵BF 平分外角∠DBC ，CF 平分外角∠ECB ，∴∠FBC 12=∠DBC ，∠FCB 12=∠ECB ，∴∠FBC +∠FCB 12=（∠DBC +∠ECB ）＝130°， ∵BG 平分∠CBF ，CG 平分∠BCF ，∴∠GBC 12=∠FBC ，∠GCB 12=∠FCB ，∴∠GBC +∠GCB 12=（∠FBC +∠FCB ）＝65°，∴∠G ＝180°﹣（∠GBC ﹣∠GCB ）＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．3、三角形一个内角一个外角角平分线模型20．（2022·河南南阳）已知△ABC 中，①如图1，若点P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠P ＝90°＋12∠A ；②如图2，若点P 是∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－∠A ；③如图3，若点P 是外角∠CBF 和外角∠BCE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－12∠A ；上述说法正确的是__________________．【详解】解：①正确．P 点是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点， 111()(180)90222PBC PCB ABC ACB A A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠， 111180()1809090222P ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒+∠；②错误．BP 是ABC ∆中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的外角的平分线，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCE ACE ∠=∠，ACE ∠是ABC ∆的外角，PCE ∠是BPC ∆的外角，ACE ABC A ∴∠=∠+∠，PCE PBC P ∠=∠+∠，∴111222ACE ABC A ∠=∠+∠，∴1122ABC A PBC P ∠+∠=∠+∠，即∠P=12∠A ；③正确，BP 、CP 为ABC ∆两外角的平分线，11()22BCP BCE A ABC ∴∠=∠=∠+∠，11(2)2PBC CBF A ACB ∠=∠=∠+∠，由三角形内角和定理得：180BPC BCP PBC ∠=︒-∠-∠1180[()]2A A ABC ACB =︒-∠+∠+∠+∠1180(180)2A =︒-∠+︒1902A =︒-∠；．故答案为：①③．21．（2022·山东泰安）如图①、②中，42A ∠=︒，12∠=∠，34∠=∠，则12O O ∠+∠的度数为（）A ．111B ．174C ．153D ．132【详解】解：∵①②中，∠A =42°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴①中，1124(1234)(18042)6922∠+∠=∠+∠+∠+∠=⨯︒-︒=︒，故∠O 1=180°−69°=111°； ②中，∠O 2=∠4−∠2=12[(∠3+∠4)−(∠1+∠2)]=12∠A =21°；∴∠O 1+∠O 2=111°+21°=132°，故选：D ． 22．（2021·江苏无锡）如图，△ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，AD 为∠CAB 的平分线，与∠ABC 的平分线BE 交于点E ，BG 是△ABC 的外角平分线，AD 与BG 相交于点G ，则∠ADC 与∠GBF 的和为（）A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°【详解】解：∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵AE ，BE 分别平分∠CAB ，∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12∠CAB +12∠CBA =45°，∵BG 平分∠CBF ，∴∠CBG =12∠CBF ，∵∠CBE =12∠CBA ， ∴∠CBE =∠CBG +∠CBE =12∠CBF +12∠CBA =90°，∴∠G =90°-45°=45°，∵∠ADC =∠BDG ， ∴∠ADC +∠GBF =∠BDG +∠DBG =180°-∠G =135°，故选：B ． 23．（2022·山东泰安）如图，在△ABC 中，设∠A ＝x °，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A ，得∠A 1；∠A 1BC与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2021与∠A 2021CD 的平分线相交于点A 2022，得∠A 2022，则∠A 2022是（）度．A ．202012x B ．202112x C ．202212x D ．202312x【详解】解：∵∠ACD 是△ABC 三角形的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，∴∠A =∠ACD -∠ABC ，∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC ，∵BA 1和CA 1分别是∠ABC 和∠ACD 的角平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，∴∠A 1=12∠ACD -12∠ABC =12∠A =12x °，同理可得，∠A 2=12∠A 1=12×12x °，∠A 3=12∠A 2=12×12×12x °，…，∴∠A 2022=202212x °，故选：C ．题型4：三角形的角度计算24．（2022·浙江绍兴）如图，AB CD ∥，AE 平分∠BAC ，且与CD 相交于点E ，若∠C ＝50°，则∠AEC 的度数为___________．【详解】解：因为AB CD ∥，180C BAC ∴∠+∠=︒，又50C ∠=︒，130BAC ∴∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1652EAC BAC ∴∠=∠=︒，180()65AEC C EAC ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：65︒．25．（2022·江苏无锡）将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）如图摆放，则图中∠1的度数为_______．【详解】解：由三角形的外角性质得：∠1=30°+90°=120°．故答案为：120°．26．（2022年江苏）一副三角板如图放置，45A ∠=︒，30E ∠=︒，DE AC ∥，则1∠=_________︒．【详解】解：如图，∵DE AC ∥，∴245A ∠=∠=︒，30E ∠=︒，90F ∠=︒，60D ∴∠=︒，124560105D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：105．27．（2022·江苏·江阴）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，点B 在AE 上，那么图中∠ABC =_____°．【详解】解：∵∠BAC =45°，∠BCA =60°，∴∠ABC ＝180°−（∠BAC ＋∠BCA ）＝75°．故答案为：75． 28．（2022·江苏·江阴）如图，已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝80°，∠C ＝40°，则∠DAE =_________度．【详解】解：∵∠B =80°，∠C =40°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =180°-80°-40°=60°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC =30°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =10°， ∴∠DAE =∠BAE -∠BAD =30°-10°=20°，故答案为：20．29．（2018·山东德州）如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠DAE 的度数．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，∠ABC =40°，∠ACB =80°，∴∠BAC =180°-40°-80°=60°， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =30°；（2）∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =180°-90°-40°=50°，∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =50°-30°=20°．30．（2021·北京）如图，在ABC 内，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC ∠交AC 边于E ，60BAC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求DAC ∠的度数．【详解】解：BE 平分ABC ∠，12ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠，25ABE ∠=︒，50ABC =∴∠︒，AD 是BC 边上的高，90ADB ∴∠=︒，则在ABD △中，90BAD ABD ∠=︒-∠9050=︒-︒40=︒，DAC BAC BAD ∠=∠-∠，60BAC ∠=︒， 604020DAC ∴∠=︒-︒=︒．31．（2020·黑龙江）如图，已知∠A ＝20°，∠B ＝27°，AC ⊥DE ，求∠1，∠D 的度数．【详解】∵AC ⊥DE ，∴∠APE =90°．∵∠1是△AEP 的外角，∴∠1=∠A +∠APE ．∵∠A =20°， ∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE 中，∠1+∠D +∠B =180°，∵∠B =27°， ∴∠D =180°﹣110°﹣27°=43°．32．（2021·湖北）如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠B =76°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，DF ⊥CE 于点F ，求∠CDF 的度数．【详解】解：∵∠A =40°，∠B =76°∴∠ACB =180°﹣40°﹣76°=64°，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE =∠BCE =32°， ∴∠CED =∠A +∠ACE =72°∵CD ⊥AB ，DF ⊥CE ，∴∠CDF +∠ECD =∠ECD +∠CED =90°，∴∠CDF =∠CED =72°．33．如图，AD 是△ABC 的高，AE 、BF 是△ABC 的角平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝60°，∠C ＝70°．（1）求∠CAD 的度数．（2）求∠BOA 的度数．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠CAD ＝180°﹣90°﹣70°＝20°；（2）∵∠BAC ＝60°，∠C ＝70°，∴∠BAO ＝30°，∠ABC ＝50°，∵BF 是∠ABC 的角平分线， ∴∠ABO ＝25°，∴∠BOA ＝180°﹣∠BAO ﹣∠ABO ＝180°﹣30°﹣25°＝125°．题型5：8字模型34．（2021·黑龙江）如图，90A D ∠=∠=︒，若31B ∠=︒，则DCE ∠=______°.【详解】解：∵31B ∠=︒，90A ∠=︒,∴90903159DCE ACB B ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：59 35．（2022·重庆）如图，已知1135∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=______度．【详解】解：连接BC ，∵32180A D ACB DBC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，23∠∠=，∴A D ACB DBC ∠+∠=∠+∠，∴A D EBD ACF ACB DBC EBD ACF FCB EBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠． ∵1E F FCB EBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴1A D EBD ACF ∠+∠+∠+∠=∠．∵1135∠=︒， ∴21270A EBD ACF D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠=︒．故答案为：270．36．如图，AE 是∠BAD 的平分线，CE 是∠BCD 的平分线，且AE 与CE 相交于点E ．若∠D ＝40°，∠B ＝30°，则∠E 的度数为______．【详解】解：∵AE 是∠BAD 的平分线，CE 是∠BCD 的平分线，∴12DAE BAE DAB ∠=∠=∠，12DCB DCE DCB ∠==∠∠，∵∠D =40°，∠B =30°，∠D +∠DCB =∠B +∠BAD ①，∴∠BAD -∠DCB =10°，∴∠DAE -∠DCE =5°，∵∠D +∠DCE =∠E +∠DAE ②，由①+②，得：2∠D +∠DCB +∠DCE =∠E +∠B +∠BAD +∠DAE ，80°+3∠DCE =30°+∠E +3∠DAE ，∴50°-3（∠DAE -∠DCE ）=∠E ， ∴∠E =35°．故答案为：35°．37．（2022·山西吕梁）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，∠AFC=63°，则∠BAF的度数为____________________ ．【详解】解：过点F作FG∥AB，如图所示，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FG，∴∠DCF=∠GFC，∠BAF=∠GF A，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF=∠FCE=x，则∠GFC=x，∠GF A=∠AFC-∠GFC=63°-x，∴∠BAF=∠AFG =63°-x，在∆CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠EAF=632x︒-，在∆AEH中，∠EHA=180°-∠EAH-∠E=180°-632x︒--57°=123°-632x︒-，∵∠EHA=∠FHC，∴117°-x=123°-632x︒-，解得：x=17°，∴∠BAF=63°-17°=46°，故答案为：46°．38．（2020·安徽）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．【答案】（1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）38°；（3）2∠P =∠B +∠D【详解】解：（1）在AOD △中，180AOD A D ∠=︒-∠-∠，在BOC 中，180BOC B C ∠=︒-∠-∠，AOD BOC ∠=∠（对顶角相等），180180A D B C ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；（2）40D ∠=︒，36B ∠=︒，4036OAD OCB ∴∠+︒=∠+︒，4OCB OAD ∴∠-∠=︒，AP 、CP 分别是DAB ∠和BCD ∠的角平分线，12DAM OAD ∴∠=∠，12PCM OCB ∠=∠，又DAM D PCM P ∠+∠=∠+∠，1()382P DAM D PCM OAD OCB D ∴∠=∠+∠-∠=∠-∠+∠=︒；（3）根据“8字形”数量关系，OAD D OCB B ∠+∠=∠+∠，DAM D PCM P ∠+∠=∠+∠，所以，OCB OAD D B ∠-∠=∠-∠，PCM DAM D P ∠-∠=∠-∠，AP 、CP 分别是DAB ∠和BCD ∠的角平分线，12DAM OAD ∴∠=∠，12PCM OCB ∠=∠， ∴1()2D B D P ∠-∠=∠-∠，整理得，2P B D ∠=∠+∠．39．（2020·河北·保定）图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系：；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P 的度数.（3）图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC ，∴∠A+∠D=∠C+∠B ；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ，② ∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，∴∠DAP=∠PAB ，∠DCP=∠PCB ，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P ，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.题型6：燕尾模型40．（2018·云南·腾冲）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3，∴∠A+∠1=∠P+∠3 ，∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ，∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P；（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ，∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3，∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，∴∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∴∠A+∠C=2∠P41．如图（1），由三角形的内角和或外角和可知：∠ABC＝∠A+∠C+∠O在图（2）中，直接利用上述的结论探究：①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O＝80°∠B＝120°，求∠ADC的度数②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．【解答】解：①根据题意得：∠OAB+∠OCB＝∠B﹣∠O＝120°﹣80°＝40°，∵AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，∴∠OAD+∠OCD＝×40°＝20°，∴∠ADC＝∠O+∠OAD+∠OCD＝80°+20°＝100°；②由题意得：∠ADC＝∠OAD+∠OCD+∠O，∠ABC＝∠OAB+∠OCB+∠O，∵AD、CD是∠OAB、∠OCB的平分线，∴∠BAD＝∠OAD、∠OCD＝∠BCD，∴∠ABC＝2∠ADC﹣∠O．42．（2022·全国）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论．．．．．．，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2 、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A 的度数=__________°．【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB，∴∠DCE＝12(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝110(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴110(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣110x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．题型7：折叠模型43．（2021·江西）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB ＝___．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B =90°-50°=40°，由折叠可知∠DA ′C =∠A ＝50°，∴∠A ′DB =∠DA ′C -∠B =50°-40°=10°，故答案为：10°．44．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若∠ABE ＝25°，则∠EFC '的度数为（）A ．122.5°B ．130°C ．135°D ．140°【解答】解：Rt △ABE 中，∠ABE ＝25°，∴∠AEB ＝65°；由折叠的性质知：∠BEF ＝∠DEF ；而∠BED ＝180°﹣∠AEB ＝115°，∴∠BEF ＝57.5°；易知∠EBC ′＝∠D ＝∠BC ′F ＝∠C ＝90°， ∴BE ∥C ′F ，∴∠EFC ′＝180°﹣∠BEF ＝122.5°．故选：A ．45．（2022·四川宜宾）如图，将四边形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 落在1A 处，若1288∠+∠=︒，则A ∠的度数是_______．【详解】解：如下图，∵四边形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 落在A 1处，∴∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2），∵∠1+∠2=88°，∴∠3+∠4=180°-12×88°=180°-44°=136°，在△AEF 中，∠A =180°-（∠3+∠4）=180°-136°=44°，故答案为：44°．46．（2021·湖北·咸丰）如图，在三角形纸片ABC 中，7470A B ∠=︒∠=︒，．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，如果130∠=︒，那么2∠=___________．【详解】解：如图延长AE 、BF 交于点C '，连接C C '．在△AB C '中，∠A C 'B ＝180°−74°−70°＝36°，∵∠ECF ＝∠A C 'B ＝36°，∠1＝∠EC C '＋∠E C 'C ，∠2＝∠FC C '＋∠F C 'C ，∴∠1＋∠2＝∠EC C '＋∠E C 'C ＋∠FC C '＋∠F C 'C ＝2∠A C 'B ＝72°， ∵∠1＝30°，∴∠2＝42°，故答案为：42°．47．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B ＝度．【解答】解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED ＝180°，∠2+2∠BDE ＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案为：40°．。

全等三角形压轴题及分类解析

B AOD C E图88年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. 1如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,连结AC 和BD,相交于点E,连结BC ．求∠AEB 的大小；2如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠,求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点,△ACM,△CBN 都是等边三角形,且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数;③ 若AN 、MC 相交于点P,BM 、NC 交于点Q,求证：PQ ∥AB;湘潭·中考题同类变式：如图a,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF 和BE. 1线段AF 和BE 有怎样的大小关系请证明你的结论；2将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,1中的结论还成立吗作出判断并说明理由； 3若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c 草图即可,1中的结论还成立吗作出判断不必说明理由.图c3. 如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,,M N 分别为,EB CD 的中点,易证：CD BE =,△AMN 是等边三角形．1当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时,CD BE =是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由；2当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时,△AMN 是否还是等边三角形若是,请给出证明,若不是,请说明理由．同类变式：已知,如图①所示,在ABC△和ADE△中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．1求证：①BE CD =；②AN AM =；图9 图10 图11C BO D 图7 A EA BCMNOPQ2在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形．请直接写出1中的两个结论是否仍然成立.4. 如图,四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形,连接BG 与DE 相交于点H ．1证明：△ABG ≌△ADE ；2试猜想∠BHD 的度数,并说明理由；3将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0°＜∠BAE ＜180°,设△ABE 的面积为1S ,△ADG 的面积为2S ,判断1S 与2S 的大小关系,并给予证明． 5.已知：如图,ABC △是等边三角形,过AB 边上的点D 作DG BC ∥,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取点E ,使DE DB =,连接AE CD ，． 1求证：AGE DAC △≌△；2过点E 作EF DC ∥,交BC 于点F ,请你连接AF ,并判断AEF △是怎样的三角形,试证明你的结论．二、垂直模型该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容考点1：利用垂直证明角相等1. 如图,△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：1AE ＝CD ； 2若AC ＝12 cm,求BD 的长．2. 西安中考如图1, 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E ;图1 图2 图3 1试说明: BD=DE+CE.2 若直线AE 绕A 点旋转到图2位置时BD<CE, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何写结论,并说明理由;3 若直线AE 绕A 点旋转到图3位置时BD>CE, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何写出结论,可不说明理由;3. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠． 1若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题： ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF AF -填“>”,“<”或“=”号；②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；2如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE,CF 是△ABC 的高,且BP=AC,CQ=AB,试确CF GE D BAH ABCE F DDABCE F ADFC EB图1图2图3CEND A BM图① C AEM BDN图②定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图,在等腰R t△ABC 中,∠ACB =90°,D 为BC 的中点,DE ⊥AB ,垂足为E ,过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ,连接CF ． 1求证：CD=BF ； 2求证：AD ⊥CF ；3连接AF ,试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．提示：对比此题的条件和上面那题的条件,对比此题的图形和上题的图像,有什么区别和联系 3. 如图1,已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上,连接AE ,GC .1试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论；2将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转,使E 点落在BC 边上,如图2,连接AE 和GC .你认为1中的结论是否还成立若成立,给出证明；若不成立,请说明理由.4.如图1,ABC ∆的边BC 在直线l 上,,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF FP =（1）在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想； 3将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为2中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由.三、等腰三角形中考重难点之一考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图,ABC ∆中,AB AC =,90BAC ∠=︒,D 是BC 中点,ED FD ⊥,ED 与AB 交于E ,FD 与AC 交于F ．求证：BEAF =,AE CF =． 2. 两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置,,,E AC 三点在一条直线上,连结BD ,取BD 的中点M ,连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状,并说明理由．压轴题拓展：三线合一性质的应用已知Rt ABC ∆中,AC BC =,90C ∠=︒,D 为AB 边的中点,90EDF ∠=︒,EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB 或它们的延长线于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时如图1,易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明；若不成立,DEF S ∆,CEF S ∆,ABC S ∆又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明．l1 A B F EC P ABEC F P Q2 lABECF P l 3Q AB CD E F 图9提示：此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相似;3. 已知：如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G ;1 BF =AC 2 CE =12BF 3CE 与BC 的大小关系如何;考点2：等腰直角三角形45度的联想1. 如图1,四边形ABCD 是正方形,M 是AB 延长线上一点;直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E 在AB 边上滑动点E 不与点A,B 重合,另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.⑴ 如图14―1,当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE,EF 的长度,猜想DE 与EF 满足的数量关系是； ② 连接点E 与AD 边的中点N,猜想NE 与BF 满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2,当点E 在AB 边上的任意位置时,请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在Rt△ABC 中,AC ＝BC,∠ACB ＝90°,D 是AC 的中点,DG ⊥AC 交AB 于点G.1如图1,E 为线段DC 上任意一点,点F 在线段DG 上,且DE=DF,连结EF 与 CF,过点F 作FH ⊥FC,交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．2若E 为线段DC 的延长线上任意一点,点F 在射线DG 上,1中的其他条件不变,借助图2画出图形;在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在1中得出的结论是否发生改变．本小题直接写出结论,不必证明边经过点A,且60o1如图1当点E 在BC 错误!猜想AE 与EF 错误!连结点E 错误!２如图２当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时,ＡＥ和EF 有怎样的数量关系,并说明你的理由四、角平分线问题1. 如图：E 在线段CD 上,EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x ,BC ＝y ,且,x y 满足2268250x y x y +--+=D B E图1E图（2）图12－2图12－11求AD 和BC 的长；2你认为AD 和BC 还有什么关系并验证你的结论； 3你能求出AB 的长度吗若能,请写出推理过程；若不能,请说明理由.2. 如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； 2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由;3.北京市中考模拟题如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作CE AB ⊥于E ,并且1()2AE AB AD =+,则ABC ADC ∠+∠等于多少4. 如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.1说明BE=CF 的理由；2如果AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.五、中点问题1. 在△ABC 中, D 为BC 的中点, 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平行线BG 于点G ;DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG . 1求证: BG CF =；2请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明2.如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC边的中点．求证：2AB DE =．3. 已知ABC ∆中,AB AC =,BD 为AB 的延长线,且BD AB =,CE为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =提示：倍长中线试试附加思考题：此题有很好地思维训练价值,值得深入思考探究以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒090θ<<后,如图②所示,⑴问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．1．判断与说理1如图11－1,△ADE 中,AE=AD 且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE,交AD 、AE 于点C 、B,连接BC ．请你判断AB 、AC 是否相等,并说明理由；2△ADE 的位置保持不变,将△ABC 绕点A 逆时针旋转至图11－2的位置,AD 、BE 相交于O,请你判断线段BE 与CD 的关系,并说明理由．2．某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题：①如图12-1,在正三角形ABC 中,M 、N 分别是AC 、AB 上的点,BM 与相交于点O,若∠BON = 60°,则BM = CN.ACBDEE DGFC BA第23题图OP AM NE B CDF ACE F BD图① 图② 图③ 图11－1 图11－2ED DEACBBCO图12－3图12－4图12－5②如图12-2,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、AD 上的点,BM 与CN 相交于点O,若∠BON = 90°,则BM = CN.学习小组成员根据上述两个命题运用类比．．的思想又提出了如下的命题：③如图12-3,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O,若∠BON = 108°,则BM = CN. 友情提示：正多边形的各边相等且各内角也相等1请你从①、②、③三个命题中选择一个．．说明理由； 2请你继续完成下面的探索：①如图12-4,在正n 边形n ≥6中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O,问当∠BON 等于多少度时,结论BM = CN 成立不要求证明②如图12-5,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是DE 、AE 上的点,BM 与CN 相交于点O,当∠BON = 108°时,请问结论BM = CN 是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由. 解：1我选 .仅填写①、②、③中的一个理由如下： 23. 如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F; 请你猜想∠ADC 和∠BDE 关系,并证明你的猜想;4. 如下几个图形是五角星和它的变形．1图⑴ 中是一个五角星形状,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；2图⑴中的点A 向下移到BE 上时如图⑵五个角的和即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E 有无变化说明你的结论的正确性；3把图⑵中的点C 向上移动到BD 上时如图⑶,五个角的和即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 有无变化说明你的结论的正确性．4如图,在ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线,延长CD 到F,使FD=CD,延长BE 到G,使EG=BE,那么AF 与AG 是否相等 F 、A 、G 三点是否在一条直线上说说你的理由.5、操作实验：如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容,回答下列问题：思考验证：如图4, 探究应用：如图5,CB⊥AB,垂足为A,DA⊥AB,垂足为B ．E 为AB 1BE 与AD 是否相等为什么A CDEF 图9AB C D E 1AB C D E 2 BAC D E 3D B A B C 图1 图22小明认为AC 是线段DE 的垂直平分线,你认为对吗说说你的理由; 3∠DBC 与∠DCB 相等吗试说明理由．6. 如图13-1,在边长为5的正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点,且AE EF ⊥,2BE =. 1求EC ∶CF 的值；2延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点如图13-2,试判断AE EP 与的大小关系,并说明理由； 3在图13-2的AB 边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP 是平行四边形若存在,请给予证明；若不存在,请说明理由．7. 团体购买某 “素质拓展训练营”的门票,票价如表a 为正整数：团体购票人数 1～50 51～100100以上每人门票价a 元a3元a6元⑴某中学高一1、高一2班同学准备参加“素质拓展训练营”活动,其中高一1班人数不超过50,高一2的人数超过50但不超过80;当a=48时,若两班分别购票,两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费4452元;问这两个班级各有多少人⑵某校学生会现有资金4429元用于购票,打算组织本校初三年级团员参加该项活动;为了让更多的人能参加活动,学生会统一组织购票,购票资金恰好全部用完,且参加人数超过了100人,问共有多少人参加了这一活动并求出此时a 的值;8. 如下图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,AB+BD=AC,则∠B∶∠C 的值为．9. 如左下图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,则图中全等三角形的组数是A. 3B. 4C. 5D. 610. 两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME,MC ．试判断△EMC 的形状,并说明理由．11、1不用量角器,只利用刻度尺就能画出一个角的平分线,下面是小明的画法,你认为他的画法对吗请你按照小明的画法,画出图形,说明理由 ;①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC ＝OD ；②连结CD,利用刻度尺画出CD 的中点E ③画射线OE 射线OE 即为∠AOB 的角平分线;2请你探索只利用你的三角尺可以量长度、画直角．．．．．．．画出一个角的平分线的画法; 要求：①画出图形；②简要说明画法；③说明理由;12.1如图1,正方形ABCD 中,E 为边CD 上一点,连结AE,过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F,猜想AE 与AF 的数量关系,并说明理由；2如图2,在1的条件下,连结AC,过点A 作AM ⊥AC 交CB 的延长线于M,观察并猜想CE 与MF 的数量关系不必说明理由； 3解决问题：①王师傅有一块如图所示的板材余料,其中∠A =∠C =90°,AB=AD ．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；②王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方形呢若能,请你画出剪拼的示意图；若不能,简要说明理由．图13-1 A DC B E 图13-2 B C E DA F P F AB CDEFOADADAD…………方程组集合对应方程组解的集合 13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图,若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． 1将方程组1的解填入图中；2请依据方程组和它的解变化的规律,将方程组n 和它的解直接填入集合图中； 3若方程组⎩⎨⎧=-=+161my x ny x 的解是⎩⎨⎧-==9y 10x ,求m 、n 的值,并判断该方程组是否符合 2中的规律14．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板,做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒．长方形的宽与正方形的边长相等1现有正方形纸板50张,长方形纸板l 00张,若要做竖式纸盒x 个,横式纸盒y 个． ①根据题意,完成以下表格： ②若纸板全部用完,求x 、y 的值；2若有正方形纸板80张,长方形纸板a 张,做成上述两种纸盒,纸板恰好全部用完．已知 162<n<172,求n 的值．15．1如图1,图2,图3,在ABC △中,分别以AB AC ，为边,向ABC △外作正三角形,正四边形,正五边形,BE CD ，相交于点O ．说明：每条边都相等,每个角都相等的多边形叫做正多边形 ①如图1,求证：ABE ADC △≌△；②探究：如图1,BOC ∠= ；如图2,BOC ∠= ；如图3,BOC ∠= ． 2如图4,已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4,BOC ∠= 用含n 的式子表示；②根据图4证明你的猜想． 16．按照指定要求画图1如下图1所示,黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形,请在图2中,仿图1沿着虚线用四种不同的画法,把每图形分割成两个全等图形．2请将下面由16个小正方形组成的图形,用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线把它分割成两个全等图形17.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD,把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A 重合,两边分别与AB 、AC 重合,将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转;1当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时如图a,通过观察或测量BE 、CF 的长度,你能得出什么结论并说明理由；2当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时如图b,你在1中得到的结论还成立吗简要说明理由;本题12分18. 如图,在下列网格中,⊿ABC 和⊿DEF 全等,且DE 与AB 是对应线段,则符合条件的F 点的个数为 .个个 C. 3个个19、已知：如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,∠BAC=∠DAE=α,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． 1求证：BE CD =；2在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形．请直接写出1中的两个结论是否仍然成立；3在旋转的过程中,若直线BE 与CD 相交于点P,试探究∠APB 与∠MAN 的关系,并说明理由;结果用含α的代数式表示21.如右图所示,方格纸中有A 、B 、C 、D 、E 五个格点图中的每一个方格均表示边长为1个单位的正方形,以其中的任意3个点为顶点,画出所有的三角形,数一下,共构成________个三角形,其中有_______对全等三角形,它们分别____________________________ _______________________请选取一对非直角全等三角形,说明全等的理由．22．已知∠AOB=900,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C 重合,它的两条直角边分别与OA 、OB 或它们的反向延长线相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时如图1,易证：CD=CE当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立若成立,请给予证明；若不成立,请写出你的猜想,不需证明．23．如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ EM ＝BN ．其中,正确结论的个数是A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个24．锐角为45o的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BC 、FP 均在直线l 上,边EF 与边AC 重合．1将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连结AP ,BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；2将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连结AP ,BQ ．你认为1中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由．C EN DABM图①CAEMBDN图②第27题图··· ··A B CD EAE lEAQC P l25.如图,△ABC 和△ADC 都是每边长相等的等边三角形,点E 、F 同时分别从点B 、A 出发,各自沿BA 、AD 方向运动到点A 、D 停止,运动的速度相同,连接EC 、FC ．1在点E 、F 运动过程中∠ECF 的大小是否随之变化请说明理由；2在点E 、F 运动过程中,以点A 、E 、C 、F 为顶点的四边形的面积变化了吗请说明理由.3连接EF,在图中找出和∠ACE 相等的所有角,并说明理由． 4若点E 、F 在射线BA 、射线AD 上继续运动下去,1小题中的结论还成立吗直接写出结论,不必说明理由26．如图,方格纸中△ABC 的3个顶点分别在小正方形的顶点格点上,这样的三角形叫格点三角形,图中与△ABC 全等的格点三角形共有__________个不含△ABC ． 27、我校“心动数学”社团活动小组,在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点第k x 行k y 列处,其中11=x ,11=y ,当k≥2时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ,a 表示非负数a 的整数部分,例如=2,=0．按此方案,第2009棵树种植点所在的行数是4,则所在的列数是A 、401B 、402C 、2009D 、2010 28．如图,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,BC=4cm,点D 为AB 的中点．1如果点P 在线段BC 上以1 cm ／s 的速度由点B 向点C 运动,同时,点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,△BPD 与△CQP 是否全等, 请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使 △BPD 与△CQP 全等2若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇A EBCDF。

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BA OD CE图8 济南初中数学压轴 --------姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.同类变式：如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．图9 图10 图11CBOD图7 AE同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDBF二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ；（2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。

图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何?写结论,并说明理由。

(3) 若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF AF -（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．ABCE F DDAB CE F ADFC EB图1 图2 图3考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成BACEFQPD AABCDE F图9立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由．MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图33. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =12BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

l(1)A B(F) (E)C PABEC FP Q(2)lABCD EF考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是；② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时○1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . AD E图2G HF EDCBA图1○2连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .○3请证明你的上述猜想；（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1. 如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x , BC ＝y ，且,x y 满足2268250x y x y +--+=（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2. 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。