初二三角形压轴题分类解析汇报
完整版初二三角形压轴题分类解析
济南初中数学压轴 --------姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. 〔1〕如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 B D，订交于点 E，连结 BC．求∠ AEB的大小；〔2〕如图 8，ΔOAB 固定不动，保持Δ OCD的形状和大小不变，将Δ OCD绕着点 O 旋转〔Δ OAB 和ΔOCD 不能重叠〕，求∠ AEB的大小 .BC BCEEAODAOD图 7图 8同类变式：如图 a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共极点 C，连结 AF 和 BE.(1) 线段 AF和 BE有如何的大小关系 ?请证明你的结论；(2) 将图 a 中的△CEF绕点 C旋转必定的角度，获得图 b，(1) 中的结论还建立吗 ?作出判断并说明原因；(3) 假定将图 a 中的△ABC绕点 C旋转必定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可 )，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不用说明原因 .图 c3. 如图 9，假定△ABC和△ADE 为等边三角形，M , N 分别为EB, CD 的中点，易证：CD BE ，△AMN 是等边三角形．〔1〕当把△ADE 绕A 点旋转到图 10 的地点时，CD BE 能否仍旧建立？假定建立, 请证明；假定不建立，请说明原因；〔2〕当△ADE 绕A 点旋转到图 11 的地点时，△AMN 能否仍是等边三角形？假定是，请给出证明，假定不是，请说明理由．图 9 图 10 图 11同类变式：，如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB AC ，AD AE ，BAC DAE ，且点B，A， D在一条直线上，连结BE，CD，M ，N 分别为BE，CD 的中点．〔1〕求证：①BE CD ；②AM AN ；〔2〕在图①的根基上，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180o ，其余条件不变，获得图②所示的图形．请直接写出〔 1〕中的两个结论能否仍旧建立 .CCNEN DB AMMD DBAE图①4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连结BG与D E订交于点H．图②GA〔1〕证明：△ABG≌△ADE； CH 〔2〕试猜想BHD的度数，并说明原因；F EB 〔3〕将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转〔 0°＜BAE＜180°〕，设△ABE的面积为S ，△ADG的面积为S2 ，判断S1 与S2 的大小关系，并赐予证明．15.：如图，△ABC是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC，交AC 于点G ，在GD 的延伸线上取点E ，使DE DB，连结AE，CD ．〔1〕求证：△AGE≌△DAC ；〔2〕过点E 作EF ∥DC ，交BC 于点F ，请你连结AF ，并判断△AEF 是如何的三角形，试证明你的结论．ADGEB F C二、垂直模型〔该模型在根基题和综合题中均为要点观察内容〕考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF⊥AE，垂足为 F，过 B 作 BD⊥BC交 CF 的延伸线于 D．求证：〔 1〕AE＝CD；〔2〕假定 AC＝12 cm，求 BD 的长．2. 〔西安中考〕如图 (1), △ ABC中, ∠BAC=900 , AB=AC, AE是过 A 的一条直线 , 且 B、C在 A、E的异侧 , BD ⊥AE于 D, CE ⊥AE于 E 。
专题03 全等三角形的六种模型全梳理(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)
专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略—2023-2024学年八年级数学上册(浙教版)(解析版)
全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】 ........................................................................................ 1 【解题模型二 一线三等角模型】 ............................................................................................................... 8 【解题模型三 三垂直模型】..................................................................................................................... 15 【解题模型四 倍长中线模型】 ................................................................................................................. 22 【解题模型五 旋转模型】 (28)【典型例题】【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】例题：（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C ∠=∠．【答案】见解析【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得． 【详解】证明：连接BD ，AB CB =，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD ∴≌（）． A C ∴∠=∠．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．【变式训练】【答案】他的发现正确，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可． 【详解】解：他的发现正确，理由如下： 在ABD △与ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACD △≌△，∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，∴AD 不仅平分BAC ∠，且平分BDC ∠．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）中国现役的第五代隐形战斗机歼−20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角,A B ∠∠必须相等．(1)实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA PB =，CA CB =就能满足要求，说明理由； (2)若30,40A P ∠=︒∠=︒，求ACB ∠的度数． 【答案】(1)见解析 (2)100°【分析】（1）连接PC ，证明APC BPC ≌△△，即可解答． （2）由三角形的外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接PC ，在APC △和BPC △中，PA PB CA CB PC PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴APC BPC ≌△△（SSS ）, ∴A B ∠=∠．（2）∵APC BPC ≌△△，30,40A P ∠=︒∠=︒， ∴30A B ==︒∠∠，∵C C A B A E C B E =+∠∠∠，,,ACE APC A BCE BPC B ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∴23040100ACB APC A BPC B A BPA B ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=⨯︒+︒=︒． 【点睛】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．3.如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝，∠FAC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠FAC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC (1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AFCE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠FAC ＝∠EAC ．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝12AE·CB＝12×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-12α时，（2）中结论仍然成立．【解析】 【分析】（1）首先判断出C DBF ∠=∠，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔΔCDE BDF ≅，即可判断出DE DF =．（2）猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ABD ACD∆≅∆，即可判断出60BDA CDA ∠=∠=︒；然后根据60EDG ∠=︒，可得CDE ADG ∠=∠，ADE BDG ∠=∠，再根据CDE BDF ∠=∠，判断出EDG FDG ∠=∠，据此推得ΔΔDEG DFG ≅，所以EG FG =，最后根据CE BF =，判断出CE BG EG +=即可．（3）根据（2）的证明过程，要使CE BG EG +=仍然成立，则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒−=︒−，据此解答即可．(1)证明：360CAB C CDB ABD ∠+∠+∠+∠=︒，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，36060120180C ABD ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，又180DBF ABD ∠+∠=︒，C DBF ∴∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，CD BDC DBF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()CDE BDF SAS ∴≅，DE DF ∴=．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=． 证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，111206022BDA CDA CDB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，又60EDG ∠=︒，CDE ADG ∴∠=∠，ADE BDG ∠=∠，由（1），可得ΔΔCDE BDF ≅，CDE BDF ∴∠=∠，60BDG BDF ∴∠+∠=︒，即60FDG ∠=︒，EDG FDG ∴∠=∠，在DEG ∆和DFG ∆中，DE DF EDG FDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()DEG DFG SAS ∴≅， EG FG ∴=，又CE BF =，FG BF BG =+，CE BG EG ∴+=；(3)解：要使CE BG EG +=仍然成立， 则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒−=︒−，∴当1902EDG α∠=︒−时，CE BG EG +=仍然成立． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【解题模型二 一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B 、C 在MAN ∠的边AM AN 、上，点E 、F 在MAN ∠内部的射线AD 上，12∠∠、分别是ABE 、CAF V 的外角．若AB AC =，12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌．【应用】如图②，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ABC 的面积为9，则ABE 与CDF 的面积之和为 ．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据A BAE ABE ∠=∠∠，BAC CAF BAE ∠=∠+∠，得出ABE CAF ∠=∠，根据12∠=∠，得出AEB CFA ∠=∠，再根据AAS 证明即可； 应用：根据全等三角形的性质得出：ABECAFSS=，进而得出CDFCAFACDSSS+=，根据2CD BD =，ABC的面积为9，得出263ACDABCSS ==，即可得出答案．【详解】探究证明：∵A BAE ABE ∠=∠+∠，BAC CAF BAE ∠=∠+∠， 又∵1BAC ∠=∠， ∴ABE CAF ∠=∠， ∵12∠=∠， ∴AEB CFA ∠=∠， 在ABE 和CAF V 中，AEB CFA ABE CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABE CAF △≌△；应用解：∵ABE CAF V V ≌， ∴ABECAFS S=，∴CDFCAFACDSSS+=，∵2CD BD =，ABC 的面积为9， ∴263ACDABCSS ==，∴ABE 与CDF 的面积之和为6， 故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】≌ABF CAD ；，在ABC 中，．若ABC 的面积为与CDE 的面积之比． 【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）1:4【分析】（1）根据90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒即可得到90BAF CAF ∠+∠=︒，90DCA CAF ∠+∠=︒，从而得到BAF DCA ∠=∠，即可得到证明；（2）根据BAC BFE CDE ∠=∠=∠得到BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，即可得到BAF DCA ∠=∠，即可得到证明；（3）根据ABC 的面积为15，2CE BE =，即可得到5ABE S =△，10AEC S =，结合2DE AD =可得103ADC S =△，203EDC S =，根据AB AC =，BAC BFE CDE ∠=∠=∠得到≌ABF CAD ，即可得到BEF S ，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒，∴90BFA CDA ∠=∠=︒，90BAF CAF ∠+∠=︒，90DCA CAF ∠+∠=︒， ∴BAF DCA ∠=∠， 在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌； （2）解：成立，理由如下， ∵BAC BFE CDE ∠=∠=∠，∴BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，BFA CDA ∠=∠， ∴BAF DCA ∠=∠， 在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌；（3）解：∵ABC 的面积为15，2CE BE =， ∴5ABE S =△，10AECS=，∵2DE AD =， ∴103ADC S =△，203EDCS =，∵BAC BFE CDE ∠=∠=∠，∴BAF CAF DCA CAF ∠+∠=∠+∠，BFA CDA ∠=∠，∴BAF DCA ∠=∠，在ABF △与CAD 中，∵BFA CDA BAF DCA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABF CAD ≌ ∴105533BEF S =−=， ∴520:1433BEF CDE S S ==::； 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．【答案】(1)①BE CF =；②180BCA α+∠=︒(2)EF BE AF =+【分析】（1）①由90BCA ∠=︒，90BEC CFA α∠=∠==︒，可得BCE CAF ∠=∠，从而可证BCE CAF ≌△△，故BE CF =；②添加180BCA α+∠=︒，可证明BCA BEF ∠=∠，则ACF CBE ∠=∠，根据AAS 可证明BCE CAF ≌△△，即可得证①中的结论仍然成立；（2）题干已知条件可证BCE CAF ≌△△，故BE CF =，EC FA =，从而可证明EF BE AF =+．【详解】（1）解：①BE CF =，理由如下：∵90BCA ∠=︒，∴90ACF BCE ∠+∠=︒，∵90BEC AFC α∠===∠︒，∴90ACF CAF ∠+∠=︒，∴BCE CAF ∠=∠，∵AC BC =，∴()AAS BCE CAF △≌△，∴BE CF =；②添加180BCA α+∠=︒，使①中的结论仍然成立，理由如下：∵BEC CFA α∠=∠=，∴180180BEF BEC α∠=︒−∠=︒−，∵BEF EBC BCE ∠=∠+∠，∴180EBC BCE α∠+∠=︒−，∵180BCA α+∠=︒，∴180BCA α∠=︒−，∴180BCA BCE ACF α∠=∠+∠=︒−，∴EBC ACF ∠=∠，∵AC BC =，BEC CFA α∠=∠=，∴()AAS BCE CAF △≌△，∴BE CF =；故答案为：180BCA α+∠=︒；（2）EF BE AF =+，理由如下：∵BCA α∠=，∴180180BCE FCA BCA α∠+∠=︒−∠=︒−，∵BEC α∠=，∴180180EBC BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−，∴EBC FCA ∠=∠，∵AC BC =，BEC CFA α∠=∠=，∴()AAS BEC CFA △≌△，∴BE CF =，EC FA =，∴EF EC CF FA BE =+=+，即EF BE AF =+．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD+CE(2)DE ＝BD+CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD ＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，ABD CAEBDA CEAAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC•h ＝12，S △ABF ＝12BF•h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF+S △ABD ＝S △FBD+S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【解题模型三 三垂直模型】例题：（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，90,,ACB AC BC BE CE ∠=︒=⊥于E ，AD CE ⊥于D ，2.7cm, 1.8cm AD DE ==．(1)求证：ACD CBE ≌．(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)0.9cm BE =．【分析】（1）由垂直得90ADC CEB ∠=∠=︒，求出ACD CBE ∠=∠，然后利用AAS 即可证明ACD CBE ≌；（2）根据全等三角形的性质可得 2.7cm CE AD ==，BE CD =，根据CD CE DE =−求出CD 即可得到BE 的长．【详解】（1）证明：∵AD CE ⊥，BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD ACB BCE BCE ∠=∠−∠=︒−∠，∵90CBE BCE ∠=︒−∠，∴ACD CBE ∠=∠，在ACD 与CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ACD CBE ≌； （2）解： 由（1）知，ACD CBE △△≌， ∴ 2.7cm CE AD ==，BE CD =，∵ 2.7 1.80.9cm CD CE DE =−=−=，∴0.9cm BE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练】 1．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知：90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CM ⊥，BE CM ⊥，垂足分别为D ，E ．在ACD 和CBE ∴ACD CBE ≌，（ CD BE =∵ACD CBE ≌，【答案】(1)①CBE ∠；同角的余角相等；ADC BEC ∠∠=，ACD CBE ∠=∠，AC BC =；AAS ；②AD CE =(2)不成立，DE BE AD −=，见解析【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；（2）根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；【详解】（1）∵AD CM ⊥，BE CM ⊥，∴90ACB BEC ADC Ð=Ð=Ð=°，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒，∴ACD ∠= CBE ∠ （ 同角的余角相等 ）在ACD 和CBE 中， ADC BEC ∠∠=，ACD CBE ∠=∠，AC BC = ，∴ACD CBE ≌，（ AAS ）∴CD BE =．②结论：AD BE DE =+．理由：∵ACD CBE ≌，∴ AD CE = ，∵CE CD DE BE DE =+=+，∴AD BE DE =+．（2）不成立，结论：DE BE AD −=．理由：∵AD CM ⊥，BE CM ⊥，∴90ACB BEC ADC Ð=Ð=Ð=°，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒，∴ACD CBE ∠=∠在ACD 和CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD CBE △△≌，（AAS ）∴AD CE =，CD BE =，∴DE BE DE DC CE AD -=-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．2．在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC∠+∠=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC∠+∠=90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．(3)∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．．如图，已知：在ABC中，）的位置时，求证：ADC CEB≅；【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD -BE ．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．（3）结论：DE=BE -AD ．证明方法类似．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BECAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC -CD=AD -BE ．（3）DE=BE -AD ；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CD -CE=BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【解题模型四 倍长中线模型】 八年级统考期中）如图，在ABC 中， (1)求BC 边的长的取值范围？(2)若AD 是ABC 的中线，求AD 【答案】(1)17BC <<(2)1722AD << 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可；（2）延长AD 至E ，使AD DE =，连接BE ，证明ADC EDB V V ≌，得到AC BE =，由三角形三边关系得到17AE <<，则1722AD <<．【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：AC AB BC AC AB −<<+，∵34AB AC ==，，∴17BC <<；（2）解：延长AD 至E ，使AD DE =，连接BE ，在ABE 中，∵BD DC ADC BDE AD DE =∠=∠=，，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，∴AC BE =，由三角形的三边关系：BE AB AE BE AB −<<+，∴17AE <<， ∴1722AD <<．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】 ．如图，在ABC 中， 【答案】(1)见解析(2)AC BE =，AC BE ∥(3)2AD BC =，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ，即可证得；(2)由ACD EBD △△≌，可得AC BE =，C EBC ∠=∠，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS ，可证得BAC ABE ≌，据此即可解答．【详解】（1）证明：AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDBBD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD EBD ∴≌； （2）解：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，故答案为：AC BE =，AC BE ∥；（3）解：2AD BC =证明：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，90BAC ∠=︒90BAC ABE ∴∠=∠=︒在BAC △和ABE △中，90AB BA BAC ABE AC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BAC ABE ∴≌， 2BC AE AD ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 2．（2023·全国·八年级假期作业）如图1，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ．（1）试证明：△ACD ≌△EBD ；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD 为△ABC 的中线，BMI 交AD 于C ，交AC 于M ，若AM ＝GM ，求证：BG ＝AC ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD ＝CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．（2）延长AD 到F ，使AD ＝DF ，连接BF ，根据SAS 证△ADC ≌△FDB ，推出BF ＝AC ，∠CAD ＝∠F ，根据AM ＝GM ，推出∠CAD ＝∠AGM ＝∠BGF ，求出∠BGF ＝∠F ，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ACD 和△EBD 中，CD BD ADC EDBAD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△EBD （SAS ）．（2）证明：延长AD 到F ，使AD ＝DF ，连接BF ，∵AD 是△ABC 中线，∴BD ＝DC ，∵在△ADC 和△FDB 中BD DC ADC BDFAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△FDB （SAS ），∴BF ＝AC ，∠CAD ＝∠F ，∵AM ＝GM ，∴∠CAD ＝∠AGM ，∵∠AGM ＝∠BGF ，∴∠BGF ＝∠CAD ＝∠F ，∴BG ＝BF ＝AC ，即BG ＝AC ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键. 【探究与发现】（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接【理解与应用】是DEF 的中线，若是ABC 的中线，【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPFPD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==， 在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ −<<+，即53253x −<<+，x ∴的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD =BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．【解题模型五旋转模型】【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）902︒−【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中，AB ACCAE BAD AE AD=⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴ CE⊥BD．（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=902α︒−【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】 1．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点．（1）求证：AE ＝CD ；（2）若∠DBC ＝45°，求∠BFE 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE ＝105°．【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE ≌△CBD （SAS ），进而得证；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE ，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，∴BD ＝BE ，∠EBD ＝120°，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠ABD+∠DBC ＝∠ABD+∠ABE ＝120°，∴∠DBC ＝∠ABE ，∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE ＝CD ；（2）解：由（1）知∠DBC ＝∠ABE ＝45°，BD ＝BE ，∠EBD ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝12（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE ＝180°﹣∠BED ﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2．问题发现：如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，=90ACD ∠︒，CA CD =，CB CE =，连接AE ，BD ，线段AE ，BD 之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt ACD △绕点C 逆时针旋转，线段AE ，BD 交于点F ，则AE 与BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE BD =，AE BD ⊥；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE ≌△DCB ，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS 证ACE DCB ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD ，交AE 于点F ，如图所示：∵90ACD ︒=∠，∴90ACE DCB ︒∠=∠=，又∵,CA CD CB CE ==,∴ACE DCB ∆≅∆（SAS ），,AE ED CAE CDB ∴=∠=∠， ∵90CDB CBD ︒∠+∠=，∴90CAE CBD ︒∠+∠=，∴90AFD ︒∠=，∴AF FB ⊥，AE BD ∴⊥， 故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；拓展探究：成立．理由如下：设CE 与BD 相交于点G ，如图1所示：∵90ACD BCE ︒∠=∠=，∴ACE BCD ∠=∠，又∵CB CE =，AC CD =，∴ACE DCB ∆≅∆（SAS ），∴AE BD =，AEC DBC ∠=∠，∵90CBD CGB ︒∠+∠=，∴90AEC EGF ︒∠+∠=， ∴90AFB ︒∠=，∴BD AE ⊥，即AE BD =，AE BD ⊥【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC∠+∠=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC∠+∠=90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．【详解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS)∴ AD=BE 且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 八年级假期作业）在ABC 中， (1)【证明推断】求证：DN DM =；小明给出的思路：若要证明DN DM =，只需证明BDN △≌△你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE ，BF ，如图所示，求证：AE BF =；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE BF ⊥，见解析【分析】（1）在ABC 中，根据点D 是BC 的中点，得出2AD BD BC==，由AD BC ⊥，DEF 是直角三角尺，得出90EDF ∠=︒，从而得到BDN ADM ∠=∠，在BDN 和ADM △中，立即证明全等，由性质即可解答DN DM =；（2）根据BDN ADM △≌△，得出BN AM =，BND AMD ∠=∠，DN DM =，从而得到BNF AME ∠=∠，由于DEF 是含45°直角三角尺，推出FN EM =，利用SAS 即可证明BNF 和AME △全等，从而求解；（3）猜想：AE BF ⊥，理由：根据BNF AME △≌△和90FDE ∠=︒，得出90AEM APD ∠+∠=︒，又根据APD FPQ ∠=∠，等量代换得到90FQP ∠=︒从而证明．【详解】（1）证明：在ABC 中，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45B C ∠==︒∠，又∵点D 是BC 的中点， ∴2AD BD BC ==，且AD BC ⊥，1452BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒∴90ADN BDN ∠+∠=︒，又∵DEF 是直角三角尺，∴90EDF ∠=︒，即90ADN ADM ∠+∠=︒，∴BDN ADM ∠=∠ 在BDN 和ADM △中45B DAM BD AD BDN ADM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BDN ADM △≌△，∴DN DM =；（2）证明：∵BDN ADM △≌△∴BN AM =，BND AMD ∠=∠，DN DM =∴BNF AME ∠=∠，且由于DEF 是含45°直角三角尺，∴DF DE =，∴DF DN DE DM −=−即FN EM =在BNF 和AME △中BN AM BNF AMEFN EM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BNF AME △≌△，∴AE BF =；（3）解：作图正确（如图所示）猜想：AE BF ⊥，理由如下：∵BNF AME △≌△，∴BFN AEM ∠=∠，∵90FDE ∠=︒，∴90AEM APD ∠+∠=︒又∵APD FPQ ∠=∠，∴90FPQ BFN ∠+∠=︒，∴90FQP ∠=︒，∴AE BF ⊥．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．。
专题02三角形压轴题真题分类(原卷版)—2022-2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题
专题02《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与8字模型有关的压轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：与内角外角平分线有关的压轴题1.（上海）（1）在锐角ABC ∆中，AC 边上的高所在直线和AB 边上的高所在直线的交点为P ，110BPC ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图，AF 和CE 分别平分BAD ∠和BCD ∠，当点D 在直线AC 上时，且B 、P 、D 三点共线，100APC ∠=︒，则B ∠=_________．（3）在（2）的基础上，当点D 在直线AC 外时，如下图：130ADC ∠=︒，100APC ∠=︒，求B Ð的度数．2．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝°；②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．3．（江苏）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC∠和BCD ∠的角平分线，点AB 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）4．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C 为y轴右侧一动点．（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．探究：（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．题型二：与8字模型有关的压轴题5．（江苏）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．6．（四川）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2，BP、DP分别平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度数；②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，猜想∠P与∠A、∠C之间数量关系，并给出证明．（3）在图3中，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝14∠ABC，∠EDP＝14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请直接写出∠P与∠A、∠C的关系，无需证明．7．（江苏）已知：线段AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、C D ．(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系为；(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BC D ．若∠B ＝36°，∠D ＝44°，则∠P 的度数=°；(3)如图3，∠BAD 和∠BCD 的三等分线AP 和CP 相交于点P ，123BAD ∠=∠，143BCD ∠=∠，试探究∠B 、∠D 、∠P 三者之间存在的数量关系，并说明理由．(4)如图4，CP 、AG 分别平分∠BCE 、∠FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，请猜想∠P 、∠B 、∠D 之间的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由．6．如图①，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．试解答下列问题：(1)在图①中，写出一个关于∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的关系的等式．(2)在图②中，若∠B ＝96°，∠C ＝100°，求∠P 的度数；(3)在图②中，若设∠C ＝α，∠B ＝β，∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ，试问∠P 与∠C ，∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P ），并说明理由；(4)如图③，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为．8．（江苏）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．题型三：与燕尾模型有关的压轴题9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．10．（山西晋中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．11．（江苏）模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC ∠=__________︒；②如图3，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4，ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则1BO C ∠=__________︒；②如图5，BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则7BOC ∠=__________︒；③如图6，ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒，则ADB =∠__________︒；④如图7，BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B Ð、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．12．（福建）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC ∠与A ∠、B Ð、C ∠之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若60A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=o ；②如图3，ABE ∠、ACE ∠的2等分线（即角平分线）BF 、CF 相交于点F ，若60BAC ∠=︒，130BEC ∠=︒，求BFC ∠的度数；拓展：（3）如图4，i BO ，i CO 分别是ABO ∠、ACO ∠的2020等分线（12320182019i = ，，，，，），它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、2019O ．已知BOC m ∠=︒，BAC n ∠=︒，则1000BO C ∠=度．题型四：与动角有关的压轴题13．（江苏泰州）直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G．（1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE 的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF 的度数（用含有a的代数式表示）14．如图1，含30°角的直角三角板()30DEF EDF ∠=︒与含45︒角的直角三角板的斜边在同一直线上，D 为BC 的中点，将直角三角板DEF 绕点D 按逆时针方向旋转()0180αα∠︒<<︒，在旋转过程中：（1）如图2，当α∠=________︒时，//DE AB ；当α∠=______︒时，DE AB ⊥；（2）如图③，当直角三角板DEF 的边DF 、DE 分别交BA 、CA 的延长线于点M 、N 时；①1∠与2∠度数的和是否变化？若不变，求出1∠与2∠度数的和；若变化，请说明理由；②若使得122∠=∠，求出1∠、2∠的度数，并直接写出此时α∠的度数；③若使得2123∠≥∠，求α∠的度数范围．15．（河南郑州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，三角板OMN的直角顶点与O重台，∠MON=90°，直角三角形板MON绕点O旋转使边OM交AC于点D，边ON交BC于点E（D、E不与A、B重合），连接DE．(1)如图①，当CA=CB=4时，①请直接写出DE的取值范围：②判断△DOE的形状并说明理由；③判断四边形ODCB的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围；(2)如图②，判断并说明线段AD，DE和BE的数量关系．16.（辽宁大连）已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM与直线AB交于点E．过点A作AF∥CE，AF与BC所在的直线交于点F．（1）如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明∠ABD＝∠CAF；（2）若∠BAC＝80°，∠BMC＝120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．。
初二全等三角形难题压轴题
全等三角形难题易错点剖析一、错用三角对应相等说明全等例1如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.错解:△ADB≌△BCA.因为∠C=∠D,∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.分析:两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.正解:△CBE≌△DAE.因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA（公共边）,所以△CAB≌△DBA（AAS）.二、错用两边及一角对应相等说明全等例2如图,已知△ABC中,AB=AC,D，E分别是AB，AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.错解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.分析:错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.正解:△ADC≌△AEB.因为AB=AC,D，E为AB，AC的中点，所以AD=AE.在△ADC和△AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）.三、错用部分当整体说明全等例3如图，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,∠B=∠C,AD=CE,所以△ABE≌△ACD（SAS）.分析:错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.正解:△ABE与△ACD全等.因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△ABE和△ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.四、错用减法运算说明全等例4如图，已知AC，BD相交于点O，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS）.。
八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总
八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总八年级数学全等三角形中的动点问题汇总教学重点难点是如何利用熟悉的知识点解决陌生的问题。
解决这类问题的思路如下：1.利用图形想到三角形全等；2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程和速度；3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。
典型例题】例1.在△ABC中，∠XXX为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF、BD之间的位置关系为何，数量关系为何？请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）。
例 2.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。
1）求证：△ADF≌△CEF。
2）试证明△DFE是等腰直角三角形。
3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由。
4）求△CDE面积的最大值。
变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE。
连接DE、DF、EF。
在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF。
1）求证：DF=BF。
初二三角形全等几何压轴题
初二三角形全等几何压轴题
初二三角形全等几何压轴题三角形是一种最常见的多边形，它的三条边和三个内角都是确定的，在数学中，我们可以使用它来探究各种几何理论。
今天我们要讨论的是一道初二三角形全等几何压轴题。
题目是：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数均相等，点D是边BC的中点，求证：线段AD与线段AC相等。
为了解决这道题，我们可以先画出三角形ABC和点D，
并给出角A、B、C三个内角均相等。
根据定义，我们可以得出：（1）由于角A、B、C均相等，所以边AB、BC、AC也
是相等的。
（2）由于点D是边BC的中点，所以线段BD等于线段CD的一半。
（3）由第一步和第二步得出，线段AD等于线段AC。
由此可见，线段AD和线段AC是相等的。
以上就是解决初二三角形全等几何压轴题的详细步骤，从中可以看出几何常识的重要性，以及在解决实际问题时应该怎样运用数学知识，建立正确的推理框架。
同时，也提醒学生们要善于发现问题的规律，以便更好地解决问题。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。
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立吗？作出判断不必说明理由 C ,连接AF 和BE.北师大版七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. ( 1)如图7,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角 形OCD,连结AC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ AEB 的大小；(2)如图8 ,△ OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△ OCD 绕着点 0旋转(△ OAB 和厶OCD 不 能重叠)，求/ AEB 的大小.同类变式：如图a ,A ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2)将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;⑶若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成3.如图9,若厶ABC 和厶ADE 为等边三角形,CD BE , △ AMN 是等边三角形.(1)当把△ ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由；(2)当厶ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.济南初中数学压轴姜姜老师M , N 分别为EB,CD 的中点，易证:图9 图10 图114.如图,(1) (2) MAE图①图②四边形 ABCD^四边形 AEFG^为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点H.证明：△ ABG 也△ ADE ; 试猜想 BHD 的度数，并说明理由;将图中正方形 ABCD^点A 逆时针旋转(0°<BAE v 180°),设厶ABE 的面积同类变式：已知，如图①所示，在厶ABC 和厶ADE 中，AB AC , AD AE , BAC DAE ，且点B , A, D 在一条直线上，连接 BE , CD ,M , N 分别为BE , CD 的中点.(1)求证：① BE CD •，②AM AN .(2)在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立为S , △ ADG 的面积为S 2，判断S 与S 2的大小关系，并给予证明.5•已知：如图， △ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点D 作DG // BC ,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取 点 E ,使 DEDB ,连接 AE , CD . (1)求证：△ AGE DAC ；(2) 过点E 作EF // DC ,交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断△ AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论.二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 ：利用垂直证明角相等1. 如图，△ ABC 中，/ ACB = 90 °, AC =BC, AE 是BC 边上的中线，过C 作CF 丄AE ，垂足为F ，过B 作BD 丄BC 交CF 的延长线于 D.CC NDABDACEBFBCA ，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给2.(西安中考)如图 ⑴，已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC,AE 是过A 的一条直线，且B 、C在 A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。
图(1)图(2) 图(3)(1)试说明：BD=DE+CE.⑵若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD 与 DECE 的关系如何？写结论，并说明理 由。
⑶若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问BD 与DE CE 的关系如何？写出结论，可不 说明理由。
3.直线CD 经过 BCA 的顶点C, CA=CB E F 分别是直线CD 上两点，且 BEC CFA.(1)若直线CD 经过 BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 BCA 90°,90°，则 EF __________ BE AF (填“ ”，“ ”或“ ”号)；②如图2，若0° BCA 180°，若使①中的结论仍然成立，贝U 与 BCA 应满足的关系是 ____________________________(2)如图3,若直线CD 经过 BCA 的外部, 予证明.于点F ,连接CF (1)求证：CD=BF⑵求证：AD L CF;⑶连接AF,试判断△ ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ ABC 是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD 是BC 边上的中线，过 C 作AD 的垂线，交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证：/ ADC =Z BDE.3.如图1，已知正方形 ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接 AE , GC .(1)试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论;(2)将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在BC 边上,如图2,连接AE 和GC .你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由考点2 :利用角相等证明垂直1.已知BE CF 是厶ABC 的高，且BP=AC CQ=AB 试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2.如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ ACE =90°, D 为BC 的中点，DEL AB 垂足为E ,过点B 作BF// AC 交DE 的延长线4.如图1, ABC 的边BC 在直线I 上，AC BC,且AC BC, EFP 的边FP 也 在直线I 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；(2)将 EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接AP, BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；B(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成三、等腰三角形（中考重难点之一） 考点1:等腰三角形性质的应用1.如图，ABC 中，AB AC , BAC 90，D 是 BC 中点，ED 证：BE AF ， AE CF .FD , ED 与AB 交于E , FD 与AC 交于F .求2. 两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置, 取BD 的中点M ,连结ME,MC •试判断 EMC 的形状，并说明理由.E,AC 三点在一条直线上, 连结BD ,不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，S DEF , S CEF , S ABC是BC 边的中点，连结 DH 与BE 相交于点立，给出证明；若不成立，请说明理由压轴题拓展：（三线合一性质的应用） 已知Rt ABC 中，AC BC , C 90 , D 为AB 边的中点， EDF 90 ,EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交 AC 、CB （或它们的延长线）于 E 、F .1当 EDF 绕D 点旋转到DE AC 于E 时（如图1）,易证S DEF S CEF -S ABC •当 EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 2又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.3.已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45 ° , CD 丄AB 于D, BE 平分/ ABC,且BE X AC 于E,与 CD 相交于点 F, HG 。
（1） BF=AC （2） CE=^BF ⑶CE 与BC 的大小关系如何。
CF B图2图3CBM⑵如图14—2，当点E 在AB 边上的任意 位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF ，进而猜想此时 DE 与EF 有怎样的数 量关系并证明0 MS14-12. 在 Rt A ABC 中，AC = BC, / ACB= 90 ° D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点 G. （1）如图1, E 为线段DC 上任意一点，点 F 在线段DG 上，且DE=DF,连结EF 与 CF, 过点F 作FH 丄FC,交直线AB 于点H . ①求证：DG=DC②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明.（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点, 占八F 在射线DG 上，（1）中的其他条件不变，借助图 2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在 （1）中得出的结论是否发生改变. （本小题直接写出结论，不必证明）考点2 :等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A, B 重合），另一条直角边与/ 的平分线BF 相交于点F⑴如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时:通过测量DE, EF 的长度，猜想 DE 与EF 满足的数量关系是 连接点E 与AD 边的中点N,猜想NE 与BF 满足的数量关系是请证明你的上述两猜想同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ ABC 为等边三角形, M 是BC 延长线上一点, 直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、（1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时C 重合），斜边与/ ACM 的平分线CF 交于点F①猜想AE 与EF 满足的数量关系是②连结点 E 与AE 边得中点N,猜想EE 和CF 满足的数量关系 是 ③请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E 在EC 边 得任意位置时，AE 和 EF 有怎样的 数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1.如图：E 在线段 CD 上，EA EB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90 ,设AD= X ,BC= y ，且 x,y 满足 X 2y 2 6x 8y 25(1)求AD 和BC 的长；(2)你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论; (3)你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图①，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以0P 所在直线为对称轴的全等三角形。