函数零点的题型总结
函数零点问题题型与思路分析.doc
“函数零点问题”题型与思路分析浙江张振继一、判断函数/(兀)的零点的个数(或求出函数/(兀)的零点)思路：(1)解方程/(X)= 0 ,求出该方稈的解即可；(2)通过作出幣数y = f(x)的图象，数形结合求解.例1填空：(1)函数/(x) = 2?-3x+l零点的个数为 ______________ ；(2)函数f(x) = x3-2x2-x + 2零点为_____________ ・(3)方程2V = x2根的个数为______ .解：(1)解方程/(X)=2X3-3X+1=0,即(2X3-2)-(3X-3)=0于是，有2(x —1)(无2+兀 + 1)_3(兀一1) = 0,即(X-1)[(2X2+2X-1)=0,由于△ = 22—4x2x(—l)>0,・・・方程(X —1)[(2F+2X —1)=0有三个不同的实数根,故函数f(x) = 2?-3x + l有3个零点.(2)解方程/(兀)=疋一2/—兀+2 = 0,即f(x) = (x3 - 2x2) - (x - 2) = 0,于是,有(兀一2)(兀一1)(兀+1) = 0,解得X, =2, x2 =l,x3 =-1.故函数f(x) = / — 2甘—兀+ 2零点为—1,1, 2.(3)在同一坐标系中分别作出两个函数y = 2\y = x2的图彖，观察两函数图彖有3个交点，经过检验，得方程有3个不同的实根西=2,® =4,禺€(-1,0)・应填3.例2 (1)试探究方程lg(x-1) + lg(3-x) = lg(a- x)(a G R)的实数解的个数.(2)当。
为何值时，方稈\nx + 2x-a = 0在(1,2)内实数解？x — \ > 0,13 解：(1)由] 3-x>0, ^.6Z=-X2+5X-3(1<X<3),由图象可知当亍a —兀=(3 — x)(x — 1).或a<\时无解;当a =—或1VG W3时，方程仅有一个实数解；当3VQV —时，方程有两个实数解. 44(2)原方程可化为lnx + 2x = a，所谓当当。
高一函数零点题型归纳
高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。
以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。
接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。
二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。
因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。
三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。
如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。
四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。
解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。
由于售价的整数部分为10，则售价为30元。
再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。
五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。
函数零点的题型归纳与解题技巧
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
导数中的零点问题
导数中的零点问题题型一：零点的基本解法1、已知函数$f(x)=2\ln x-x+mx,x\in[2e,+\infty)$，求实数$m$的取值范围。
2、已知函数$f(x)=x\mathrm e^x-a(x+1)^2/2,x\in[0,+\infty)$有两个零点，求实数$a$的取值范围。
1) 若$a=\mathrm e$，求函数$f(x)$的极值。
2) 若函数$f(x)$有两个零点，求实数$a$的取值范围。
3、已知函数$f(x)=a\mathrm e^{2x}+(a-2)\mathrm e^x-x$。
1）讨论$f(x)$的单调性。
2）若$f(x)$有两个零点，求$a$的取值范围。
4、已知函数$f(x)=-(2ax+ax+(x-2)\mathrm e^x)/2,a>0$。
1）求函数$f(x)$的单调区间。
2）若函数$f(x)$存在$3$个零点，求$a$的取值范围。
题型二：切线与零点关系1、曲线在点$(1,1)$处的切线方程为；过点$(1,1)$处的切线方程为。
2、已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3+mx+n(m,n\in\mathbb{R})$。
1）若$f(x)$在$x=1$处取得极大值，求实数$m$的取值范围。
2）若$f(1)=\frac{1}{2}$，且过点$p(2,1)$有且只有两条直线与曲线$y=f(x)$相切，求实数$m$的值。
3、已知函数$f(x)=ax^2+bx-3x$在$x=\pm 1$处取得极值。
1）求函数$f(x)$的解析式。
2）若过点$A(1,m)$可作曲线$y=f(x)$的三条切线，求实数$m$的取值范围。
题型三：极值与零点关系1、已知函数$f(x)=x^3-6x^2+3x+t(t\in\mathbb{R})$。
1）求函数$f(x)$的单调区间。
2）设函数$g(x)=f(x)$有三个不同的极值点，求$t$的取值范围。
3）设函数$g(x)=\mathrm e^{f(x)}$有三个不同的极值点，求$t$的取值范围。
2014.11.18函数零点、二分法、任意角题型全总结
函数零点、二分法、任意角题型全总结题型一：求零点或零点的个数方法1、解方程：根据零点的定义，)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的根，所以方程0)(=x f 根的个数就是函数)(x f y =零点的个数.练：方程 f(x)=96370x x-∙-=的零点是例1、 求函数2223+--=x x x y 的零点. 例2：(2010年福建理科)函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为( )A0 B1 C2 D3方法2数形结合：函数)((x g x h y -=）的零点,也就是)(x h y =图象)(x g y =图象交点横坐标,所以函数)((x g x h y -=）的零点个数就是)(x h y =图象与)(x g y =图象交点个数.例：(2012年北京文科)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为( )A0 B1 C2 D3练：1、方程223x x -+=的实数解的个数为 _______ 。
（2）2、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） 3、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围是 }1|{>a a4、（10浙江）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x f B ．()01<x f ，()02>x f C ．()01>x f ，()02<x f D ．()01>x f ，()02>x f5、直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。
6、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______方法3、零点存在性定理例1、求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。
函数零点的题型总结
【题组通关】
1.已知a>1,方程 ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则 + +2x1x2的取值范围为( A )
(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)
(C)( ,+∞)(D)( ,1)
解析:方程 ex+x-a=0的根,即y= ex与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,
(A)(24,25)(B)(18,24)
(C)(21,24)(D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四 函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·eα=e2,β(ln β-2)=e4,则αβ的值为( )
所以函数f(x)在区间( , )内必有零点,选B.
利用方程根的存在性定理判断函数零点所在区间的步骤:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数 f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a),f(b);③若函数在该区间上连续且f(a)·f(b)<0,则方程在该区间内必有根.
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
数学-精品专题----七种零点问题
题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间 (3)一、单选题 (3)二、多选题 (6)三、填空题 (9)四、解答题 (14)题型二：方程法判断零点个数 (16)一、单选题 (16)二、多选题 (18)三、填空题 (20)四、解答题 (22)题型三：数形结合法判段函数零点个数 (24)一、单选题 (24)二、多选题 (28)三、填空题 (31)四、解答题 (34)题型四：转化法判断函数零点个数 (39)一、单选题 (39)二、多选题 (42)三、填空题 (44)四、解答题 (46)题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 (48)一、单选题 (48)二、多选题 (50)三、解答题 (53)题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 (57)一、单选题 (57)二、多选题 (59)三、填空题 (61)四、解答题 (62)题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数 (63)一、单选题 (63)二、多选题 (66)三、填空题 (68)四、解答题 (71)1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6.对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题【分析】结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】1133log 4log 10a =<=，3372,12b b =<<<，对于函数()()2ln 0f x x x x=->， ()f x 在()0,∞+上递增，()()22ln 210,e 10ef f =-<=->，所以()f x 存在唯一零点x c =，()2,e c ∈，使()0f c =，所以对于2ln c c=，有()2,e c ∈，所以a b c <<.故选：AA ．3,4（）B ．4,5（）C ．5,6（）D ．8,9（）【答案】B【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.【详解】()12ln 3f x x x=-- ,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在,()0x ∈+∞时为单调增函数，11(3)2ln332 1.0993033f =--≈⨯--<， 11(4)4ln2340.69330.478044f =--≈⨯--=-<，11(5)2ln532 1.60930.018055f =--≈⨯--=>，11(6)2ln632(ln 2ln3)2 1.7926630.4140f =--=+≈⨯--=>，因为()f x 在,()0x ∈+∞内是递增，故(8)0,(9)0f f >> ，函数是连续函数，由零点判断定理知，()f x 的零点在区间(4,5)内，故选：B ．【分析】先根据题意解方程，解出5e 910k-=，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.【详解】将200,5,20A t L ===代入()()1e kt L t A -=-，解得：5e 910k-=，其中5e x y -=单调递减，而414e e --⎛⎫= ⎪⎝⎭，4910000e 106561-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而4y x -=在()0,∞+上单调递减，所以115204ee910-⨯-=<，结合单调性可知1113249<<e e 10e ---<，即1115551015209<0e e e 1-⨯-⨯-⨯<<，而050e 91e 10-⨯==>，其中5e xy -=为连续函数，故记忆率k 所在区间为1(0,)20. 故选：A【分析】根据零点存在性定理进行求解.【详解】易知()f x 在R 上单调递增且连续．由于()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．故选：B【分析】求出c 的值，利用零点存在定理得出31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()f x 的单调性可得出结论.【详解】因为()f x 的定义域为()0,∞+，()1e 0xf x x'=+>，则函数()f x 在其定义域上为增函数，3e 16>，则32e 4>，则3233e ln 4022f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，因为()1e 40f =-<，由零点存在定理可知31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()2310g x x x '=--=可得1=x 2=x .当x <或x >时，()0g x '>x <<()0g x '<.所以，1c =<.因为2223log log 3log 422a =<=<=，所以，01cb a <<<<，故()()()f a f b fc >>.故选：A.6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ）【分析】依据函数零点存在定理去判断2()log f x x x =+的零点所在的区间即可. 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数， 222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B二、多选题【分析】由题可得4()e x f x a x π-'=-，由()14f π=-可知，()04f π'=，进而可求1a =，然后再证明即得；再利用数形结合可得()'f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.【详解】∵4()e 1x f x a x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵4()e x f x a x π-'=-+，又函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1-，∵函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，又44()e 1144f a ππππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵4x π=时，函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上取得最小值，可得原条件的一个必要条件()04f π'=，∵44()e 1044f a a ππππ-'=-=-+=，即1a =，下面证明充分性：当1a =时，4()e 1xf x x π-=-，4()e xf x x π-'=-，令()4e xg x x π-=-，则()4os exx g x π-'=>，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又44(0)e 0,()e 02f f πππ-''=-<=->，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点4x π=，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，∵函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为()14f π=-，综上，1a =故A 正确；∵4()e xf x x π-'=-+，令4()e 0x f x x=π-'=-，得4e x x π-，由函数图象可知4e x ,y y x π-==在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个交点，即存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得040e x x π-，又3243()e 10,()e 04f >f ππππ--''=-+=-<，故03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，∵在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 唯一的极大值点0x ，040000()e 11x f x x x x π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭02sin 14x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，03,424x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵00()2sin 12114f x x π⎛⎫=--<-= ⎪⎝⎭.故CD 正确.故选：ACD.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（ ）A ．函数()x f x -=3是“类周期函数”B ．函数()3f x x =是“类周期函数”C ．如果函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数 【答案】ACD【分析】根据类周期函数的定义，分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，若函数()xf x -=3是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即33x T x T ---=⋅，即(3)30T x T ---⋅=，即30T T --=，令()3Tg T T -=-，因为()()1200110,11033g g =-=-<=-=>，且函数()g T 在0,1上连续，所以函数()3Tg T T -=-在0,1上存在零点，即方程30T T --=在0,1上有解，即存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()x f x -=3是“类周期函数”，故A 正确；对于B ，若函数()3f x x =是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即()33x T T x+=⋅，则()33x T T x+=，即1x T Tx x+=+对任意的x 恒成立，则0T =，矛盾，所以不存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()3f x x =不是“类周期函数”，故B 错误.对于C ，若函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即cos()cos x T T x ωωω+=；故1T =或1T =-， 当1T =时，cos()cos x x ωωω+=，由诱导公式得2k ωπ=，k Z ∈；当1T =-时，cos()cos x x ωωω+=-，由诱导公式得()21k ωπ=+，k Z ∈；故“k ωπ=，k Z ∈”，故C 正确；对于D ，如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-， 则(1)()f x f x -=-，即(1)()((1))(1)f x f x f x f x -=-=--+=+；故它是周期为2的周期函数；故D 正确.9．（2021·江西·模拟预测）已知实数1m n <<，设方程()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--=的两个实数根分别为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集为12(,)x xB ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集可能为空集C ．121x m x n <<<<D ．121m x n x <<<< 【答案】AD【分析】构造二次函数()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，分析函数()f x 的图象特征即可判断作答.【详解】令()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，R x ∈， 因1m n <<，则函数()f x 的图象对称轴1(,1)3m n x m ++=∈，且()f x 在1(,)3m n ++-∞上递减，在1(,)3m n +++∞上递增，又()(1)()0m n f m m --=>，()(1)()0n m f n n --=<，(1)(0()1)1m f n -->=，于是得函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且满足121m x n x <<<<，不等式()0f x <的解集为12(,)x x ，所以A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确.故选：AD三、填空题在ABC 中，函数y x =+若命题“x ∃∈若函数()f x 【答案】∵∵∵【分析】∵利用大边对大角和正弦定理可证；∵变形后利用基本不等式进行求解最大值；∵先把命题否定，得到对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况求出a的取值范围；∵先根据(1)2af =-得到32a b c =--，得到(2)f a c =-，接下来分0c >与0c ≤，利用零点存在性定理得到答案.【详解】在ABC 中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理得：sin sin a bA B=，所以sin sin A B >，同理可证，当sin sin A B >时，A B >，故在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，∵正确；因为1x <，所以10x -<，201x ，所以()221111111y x x x x ⎡⎤=-++=--++≤-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当()211x x -=-，即1x =等号成立，所以函数2(1)1y x x x =+<-的最大值是1-∵错误；命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，当0a =时，310x -+>不恒成立，当0a ≠时，只需0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得：19a <<，综上：若命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则19a <<；∵正确；(1)2a b c a f ++==-，所以32ab c =--，因为(0)f c =，3(2)42422a f a b c a c c a c ⎛⎫=++=+--+=- ⎪⎝⎭，当0c >时，(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02af =-<，故()(0)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()0,1上，至少存在一个零点，当0c ≤，(2)0f a c =->，()(2)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()1,2上至少存在一个零点，综上：函数()f x 在区间(0,2)内必有零点，∵正确. 故答案为：∵∵∵11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2e x f x ax x =+-，且2a >-，()f x '为()f x 的导函数，下列命题：∵存在实数a ，使得导函数()f x '为增函数； ∵当0a >时，函数()f x 不单调；∵当21a -<≤-时，函数()f x 在R 上单调递减； ∵当1a =时，函数()f x 有极值．在以上命题中，正确的命题序号是______． 【答案】∵∵∵∵【分析】求()f x '，令0a =可判断∵；根据零点存性定理可判断022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使得()00f x '=，可判断∵；令()()g x f x '=，求()g x '，由()g x '的符号判断()g x 的单调性，可求得()0g x ≤恒成立即()0f x '<恒成立可判断∵；求()f x '的单调性，根据零点存在性定理可知()00,1x ∃∈，使得()00f x '=可判断∵，进而可得正确答案.【详解】由()()2e xf x ax x =+-可得()()2e 1x f x ax a '=++-，对于∵，若0a =时，()2e 1xf x '=-为增函数，故∵对；对于∵，若0a >时，2222e 10af a a --⎛⎫'--=--< ⎪⎝⎭，()010f a '=+>，022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以函数()f x 不单调，故∵对；对于∵，令()()2e 1x g x ax a =++-，则()()22e xg x ax a '=++，当21a -<≤-时，由()0g x '>得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0g x '<得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭所以()g x 在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()22max e1a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--，要使220e 1a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-≤-，则令22t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则112t a =--，所以e 12t t ≤+，令()()e 1102t t m t t =---≤≤，()1e 2t m t '=-，则()m t 在11,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，而()11110e 2m -=+-<，()00e 010m =--=所以()0m t ≤恒成立，从而()22max e10a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--≤，即()0f x '≤恒成立，即()f x 在R 上单调减．故∵正确；对于∵，当1a =时，()()3e 1x f x x '=+-，()()4e x f x x ''=+，可知()()3e 1xf x x '=+-在(),4-∞-单调递减，在()4,-+∞单调递增，因为()020f '=>，()2110ef '-=-<，()00,1x ∃∈，使得()00f x '=，所以函数()f x 有极值，故∵对．综上所述：∵∵∵∵都正确，故答案为：∵∵∵∵. 12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则k =__________．【答案】-3或2【分析】对函数()f x 求导，借助导数探讨其单调性，再用零点存在性定理分析计算即得.【详解】对函数()23x f x x =--求导得：()2ln 21x f x '=-，由()0f x '=得22log xe =，解得22log (log )x e =，当22log (log )x e <时，()0f x '<，当22log (log )x e >时，()0f x '>，于是得()f x 在22(,log (log ))e -∞上递减，在22(log (log ),)e +∞上递增，显然，13(3)0,(2)084f f -=>-=-<，则函数()f x 在区间(3,2)--上存在一个零点，又(2)10,(3)20f f =-<=>，即函数()f x 在区间(2,3)上存在一个零点，因函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则3k =-或2k =，所以3k =-或2k =.故答案为：-3或2【分析】令21()()log 2x f x x =-，利用零点存在性定理可得a ∈，1(0,)2b ∈，从而可得12a b <- 【详解】令21()()log 2x f x x =-，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （1）110022=-=>，111()log ()0222f =-=-<，21()log 2a a =，所以a ∈.122log b b =，0b >，21b ∴>，1(0,)2b ∴∈，∴12a b <- ∵：ln()a b -可能小于等于0，∴∵错误，∵：0b a -<，0221b a -∴<=，∴∵正确， ∵：0a b >>，∴11a b <，11a b∴->-，∴∵正确，∵：(1,2)a ∈，2log 0a ∴>， 1(0,)2b ∈，2log 0b ∴<，22log 0log a b ∴>>.∴∵正确，故答案为：∵∵∵.【分析】对于选项∵∵∵，直接代入求解即可判断；对于选项∵∵，先根据条件构造函数，判断函数的单调性，利用零点存在性定理判断即可.【详解】∵()224f x x x x =+-=，得240x x x +-=⇒=x =满足条件，故∵满足题意；∵()22,132,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，当1x ≤时，220x x x =⇒=或12x =；当1x >时，()2232321x x x x x -=⇒-=⇒=或3x =，即3x =；满足条件，故∵满足题意；∵()()21x f x e x x =+-=，令()2xg x e x =+-，易知()g x 为R 上的增函数，又()()010020,1120g e g e =+-<=+->，由零点存在性定理得()g x 在区间()0,1存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()ln f x ax x a =--（01a <<），()ln ln 10ax x a x x a x a --=⇒+-+=， 令()()ln 1h x x a x a =+-+，又01a <<，则10a ->，易知()h x 为()0,∞+上的增函数， 又()()11131ln 12ln 20,1ln111044444h a a a h a a ⎛⎫=+-+=-++<=+-+=> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理得()h x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()220f x x x x x=+=⇒=无实数解， 故∵满足题意；故答案为：∵∵∵∵.【点睛】本题主要考查了对布劳威尔不动点定理的理解，考查了零点存在性定理；考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力.属于中档题.【分析】分别求出f (x )、g (x )零点所在区间，即可得到f (x ＋3)、g (x －4)的零点所在区间，结合题意，即可得到b －a 的最小值.【详解】∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x ，∵'2()1f x x x =-+，∵'2213()1()024f x x x x =-+=-+>恒成立，∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x 在R 上是单调递增函数.∵f (0)＝1>0，f (－1)＝506-<，∵f (x )在区间[－1，0]上存在唯一零点，∵f (x ＋3)在区间[－4，－3]上存在唯一零点；又∵g (x )＝1－x ＋22x －33x ，∵'2()1g x x x =-+-，∵'2213()1()024g x x x x =-+-=---<恒成立，∵g (x )＝1－x ＋22x －33x 在R 上是单调递减函数，∵g (2)＝503-<，g (1)＝106>，∵g (x )在区间[1，2]上存在唯一零点，∵g (x －4)在区间[5，6]上存在唯一零点，由F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)＝0，得f (x ＋3)＝0或g (x －4)＝0，故函数F (x )的零点均在[－4，6]内，则b －a 的最小值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、函数零点与方程，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.四、解答题16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数22()e x f x ax -=-（e 为自然对数的底数，R a ∈）.(1)若1a =-，求证：()'f x 在区间()0,1内有唯一零点； (2)若()f x 在其定义域上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)[0,2e].【分析】（1）把1a =-代入，求出()'f x 并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答. （2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.(1)当1a =-时，()22e xf x x -=+，求导得：2()2e 2x f x x -'=-+，令2()2e 2x x x ϕ-=-+，则2()4e 20x x ϕ-'=+>，则函数()ϕx 在R 上单调递增，即函数()'f x 在R 上单调递增，而(0)20f '=-<，221(1)2e 22(1)0e f -'=-+=->，由函数零点存在性定理知，存在唯一0(0,1)x ∈，有0()0f x '=，所以()'f x 在区间()0,1内有唯一零点.(2)函数22()e x f x ax -=-的定义域是R ，依题意，R x ∀∈，2()2e 20x f x ax -'=--≤成立， 当0x =时，20-≤成立，R a ∈，当0x >时，2e x a x -≥-，令2e ()xg x x -=-，0x >，2221()0e x x g x x +'=>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又当0x >时，()0g x <恒成立，于是得0a ≥，当0x <时，2e x a x -≤-，令2e ()xh x x -=-，0x <，2221()e x x h x x +'=，当12x <-时，()0h x '<，当102x -<<时，()0h x '>， 因此，()h x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,0)2-上单调递增，当12x =-时，min 1()()2e 2h x h =-=，于是得2e a ≤，综上得：02e a ≤≤，所以a 的取值范围是[0,2e].【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.f x 零点的个数；，求a 的取值范围答案见解析；(2)6a ≤【分析】（1）对()f x 求导有()()(1)e (0)xf x x x a x '=-->，再研究()e (0)xg x a x x -=>的单调性，结合()01f '=及零点存在性定理，讨论a 的范围判断f x 零点的个数.（2）讨论0a ≤、0e a <<、e a =、e a >，结合fx 的符号研究()f x 的单调性并结合(1)ef =求参数a 的范围.(1)()()()2e (1)(1)e (0)x xf x x x a x x x a x '=---=-->，令()e (0)x g x a x x -=>，则()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而()01f '=， 当0a ≤时，e x x a =无解；当0e a <<时，由(0)0g a =-<，(1)e 0g a =->，故e x x a =有一个在(0,1)上的解；当e a =时，由(1)0g =，故e x x a =的解为1；当e a >时，由(1)e 0g a =-<，()(e 1)0a g a a -=>，故e x x a =有一个在(1,)+∞上的解； 综上，当0a ≤或e a =时，导函数f x 只有一个零点.当0e a <<或e a >时，导函数f x 有两个零点.(2)当0a ≤时，e 0x x a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值(1)e f =.当0a >时，由（1）知：()g x 在(0,)+∞上单调递增，则必存在正数0x 使得00e 0xx a -=.若e a >则01x >，在(0,1)上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(1,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在()0,x +∞上00e 0x x a ->，则()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减，又(1)e f =，不合题意.若e a =则01x =，在(0,)+∞上0f x ，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)e f =，不合题意.若0e a <<则001x <<，在0(0,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(),1x 上00e 0x x a ->，则()0f x '<，在()1,+∞上00e 0x x a ->，则()0f x '>，所以()f x 在()00,x 和(1,)+∞上单调递增，在()0,1x 上单调递减，则(0)3(1)e 2a f f =-≥=，解得62e a ≤-，即062e a <≤-.综上，62e a ≤-.题型二：方程法判断零点个数一、单选题【分析】由奇偶性定义可判断出A 正确；令()0f x =可确定B 正确；根据()f x 定义域为R ，()112f =-，可知若最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，根据()10f '≠可知C 错误；由0x =时，cos x π取得最大值，21x +取得最小值可确定D 正确. 【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()()()()22cos cos 11x xf x f x x x ππ--===+-+， ()f x ∴为偶函数，A 正确；对于B ，令()0f x =，即cos π0x ，()2x k k πππ∴=+∈Z ，解得：()12x k k =+∈Z ， ()f x ∴有无数个零点，B 正确；对于C ，()112f =-，∴若()f x 的最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，则()10f '=； ()()()222sin 2cos 1xx x xf x xππππ++'=-+，()2sin 2cos 11042f πππ+'∴==-≠，1x ∴=不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，1cos 1x π-≤≤，211x +≥；则当cos 1x π=，211x +=，即0x =时，()f x 取得最大值1，D 正确.故选：C. 2．（2022·北京·模拟预测）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3故选：C【分析】利用()()f x a f a x +=-知()f x 关于直线x a =对称的性质验证A ；求得3102f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭可判断B ；化简()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =，得()x k k Z π=∈，进而判断C ；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A ，由已知得11()sin()sin 2()sin sin 222f x x x x x πππ-=-+-=-，即()()π-≠f x f x ，故()f x 不关于2x π=对称，故A 错误；对于B ，331sin sin 310222f πππ⎛⎫=+=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，利用二倍角公式知()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 1x =-，即()x k k Z π=∈，所以该函数在区间[]0,10内有4个零点，故C 错误；对于D ，求导2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+-，令cos x t =，由57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2()21g t t t =+-，利用二次函数性质知()0g t ≥，即()0f x '≥，可知()f x 在区间57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x ,x ≥1.，则函数()||y f x x =-零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】当1x <时和1≥x 时，分别化简函数()||y f x x =-的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当1x <时，22y x x =+-=，所以不存在零点；当1≥x 时，220t x x x x=+-=>，也不存在零点，所以函数()||y f x x =-的零点个数为0.故选：A.二、多选题【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，A 错误； 对B ：()()11x x f x f x x x-++-==-=--，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，B 正确；对C ：当0x >时，()111x f x x x+==+，单调递减，C 正确； 对D ：因为0x ≠，10x +>，所以()0f x =无解，即()f x 没有零点，D 错误．故选：BC .【分析】写出()f x 的分段函数形式，A 应用正余弦函数的性质判断()f x 的周期性，B 由已知可得12cos 2cos 21x x ==，则112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C 、D 的正误.【详解】将函数()f x 化作分段函数，即cos 2,sin cos ()cos 2,sin cos x x x f x x x x -≥⎧=⎨<⎩，A ，(2)[sin(2)cos(2)]sin(2)cos(2)()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=，()f x 是周期为2π的函数，对；B ，由12()()2f x f x +=得12|()||()|1f x f x ==，则12cos 2cos 21x x ==， 此时112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），可得1212()2k k x x π++=，对； C ，由解析式得(0)()12f f π==，()f x 在[,]22ππ-上不单调，错；D ，由解析式知3()()12f f ππ==-，即()()1g x f x =+在[0,2]π上至少有两个零点，错.故选：AB.7．（2022·全国·高三专题练习）若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解，则下列式子中可以为()g f x ⎡⎤⎣⎦的是（ ） A ．22x x + B ．1x + C ．cos x e D ．ln(||1)x +【答案】ACD【分析】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解，逐个判断选项即可得出答案.【详解】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解.对于A ，22x x x =+，即20x x +=，方程有解，故A 正确； 对于B ，1x x =+，即01=，方程无解，故B 错误；对于C ，当cos ,x e x =令cos ()x h x e x =-，因为(0)0f e =>，1022f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由零点的存在性定理可知，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以方程有解，故选项C 正确；对于D ，当ln(||1)x x +=时，0x =为方程的解，所以方程有解，故选项D 正确.故选：ACD.【分析】对A ：根据偶函数的定义即可作出判断；对B ：由有界性0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，且32x π=时sin |||cos |1x x +=-即可作出判断；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，可得函数()f x 有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.【详解】解：对A ：因为()sin |||cos()|sin |||cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故选项A 正确；对B ：因为0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，所以sin |||cos |1x x +≥-，而32x π=时sin |||cos |1x x +=-，所以()f x 的最小值为1-，故选项B 正确；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，令()0f x =，可得54=x π，74π，又由A 知函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在区间[]2,0π-上也有两个零点54π-，74π-，所以函数()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点，故选项C 正确；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2x ππ<<，所以3444x πππ<-<，而sin y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项D 错误.故选：ABC.三、填空题【答案】42ω<<或22ω<≤.【分析】先求出零点的一般形式，再根据()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点可得关于整数k 的不等式组，从而可求ω的取值范围.【详解】令()0f x =，则1sin 62x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()1,66k x k k Z ππωπ-=+-∈，故()166kk x πππω+-+=，因为()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，所以存在整数k ，使得： ()()()()()()()123421116666213166663k k k k k k k k ππππππωωππππππππωω+++⎧+-+++-+⎪≤⎪⎪⎨⎪++-+++-+⎪<⎩<≤⎪，若k 为偶数，则()()()13233423k k k k πππωωπππωππω⎧+⎪+≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎩<≤⎪， 整理得到：()444433733232k k k k ωω⎧+≤<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故0k ≥， 当2k ≥时，4394322k k +>+，故∵无解，当0k =时，有4437922ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩即742ω<<.若k 为奇数，则()()()42313323k k k k πππππωωπππωω⎧++⎪≤<≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎪⎩，整理得到：()444333102223k k k k ωω⎧⎛⎫≤<+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故1k ≥-，当3k ≥时，3452k k >+，故∵无解，当1k =-时，有4433722ωω⎧-≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，无解.当1k =时，有284391322ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，故91322ω<≤.综上，742ω<<或91322ω<≤.故答案为：742ω<<或91322ω<≤. 【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.【分析】根据m 的范围分类讨论f (x )的零点即可.【详解】∵m ＝0时，f (x )={x 2+3x,x ≤0,x −1,x >0，令f (x )＝0，则x ＝0或x ＝－3或x ＝1，即f (x )有三个零点，满足题意；∵m ≠0时，令f (x )＝0，则x ＞0时，101mx x +-=+，则21x m =-(*)， x≤0时，230x x m ++=(**)，显然x ≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x ＞0时的方程(*)最多只有一正根，为了满足题意，则x ＞0时必有1根，则1－m ＞0，且根为x ∵m ＜1；x ≤0时方程必然有两个负根，则Δ094090004m m m m ⎧>->⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩， ∵0＜m ＜1；综上所述，m ∵[)0,1.故答案为：[)0,1.四、解答题【分析】（1）求得11e f x ax a x =+-+，分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由()0f x =可得出20ax x a -+=，由102a <<结合判别式可判断出方程20ax x a -+=的根的个数，由此可证得结论成立.(1)解：函数()f x 的定义域为R ，()()()()2211e 11e x x f x ax a x a ax a x '⎡⎤=+-+-=+-+⎣⎦.当0a =时，则()()1e xf x x '=-+，由()0f x '<可得1x >-，由()0f x '>可得1x <-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞； 当0a ≠时，由()0f x '=可得11=-x a或1x =-. ∵当0a <时，111a-<-，由()0f x '<可得11x a <-或1x >-，由()0f x '>可得111x a -<<-，此时函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；∵当0a >时，111a ->-，由()0f x '<可得111x a -<<-，由()0f x '>可得1x <-或11x a >-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(2)解：由()0f x =可得20ax x a -+=，因为102a <<，则()()21412120a a a ∆=-=-+>，即关于x 的方程20ax x a -+=有两个不等的实根， 所以，当102a <<时，()f x 在R 上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为0，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.【答案】(1)2个(2)存在，且a 的取值范围是0,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）解方程()0f x =，即可得解；（2）由()00f =，分析可知当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤，分0a =、0a <、0a >三种情况分析，结合一次函数的基本性质可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.(1)解：当3a =时，()()3221f x x x x x =+=+，令()0f x =，可得0x =或1x =-，此时函数()f x 有2个零点.(2)解：当(),2x ∈-∞时，由()()32111032f x ax a x =+-≤.当0x =时，对任意的R a ∈，()00f =，满足题意； 当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤， 若0a =，则有30-≤，合乎题意； 若0a <，当3302ax a-<<时，()2310ax a +->， 则()2310ax a +-≤对任意的()(),00,2x ∈-∞⋃不可能恒成立，舍去； 若0a >，则有()4310a a +-≤，解得37a ≤，此时307a <≤.综上所述，当307a ≤≤时，当(),2x ∈-∞时，()0f x ≤恒成立. 题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（ ）． ①当时，函数没有零点；②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数； ③当时，函数有两个不同零点；④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1． A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【分析】画出函数图象即可判断①，令解方程即可判断③，将零点问题转化成函数图象交点的问题，利用数形结合即可判断②和④.【详解】当时，，函数图象如下图所示， ()1,0ln ,0x a x f x x x a x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()f x 0a =()f x 02a <<()f x 2a =()f x 2a >()f x ()0f x =0a =()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩由此可知该函数只有一个零点，故①不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有两个不同零点，∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点，则函数有两不同零点时的取值范围是，设对应的两个零点为，，即或，解得，， 则，所以它们互为倒数，故②正确；当时，函数解析式为，令，解得，令，解得或，由此可知函数有三个零点，故③不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有四个不同零点，∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点；0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩20a -<-<02a <<0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()f x a 02a <<1x 2x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==121x x ⋅=2a =()12,0ln 2,0x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()1200x x x++=<1x =-()ln 200x x -=>2e x =21e x =0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩2a -<-2a >0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x设对应的两个零点为，，，，即或，解得，， 当时，整理得，当时，， 则该方程存在两个不等的实数根和，由韦达定理得，所以，则故④正确； 故选：.2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ） A ．且 B ．且 C ．且 D ．且【答案】C【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程有7个不同实数解，则关于u 的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C.1x 2x 3x 4x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==10x a x++=210x ax ++=2a >0∆>3x 4x 341x x ⋅=12341e 11e aax x x x =⋅⋅=C ()221xf x =--x ()()20f x mf x n ++=7,m n 0m >0n >0m <0n >01m <<0n =10m -<<0n =()u f x =20u mu n ++=1u 2u ()f x 10u =2u m =-()u f x =()u f x=20u mu n ++=1u u =2u u =1u u =()u f x =()()20f x mf x n ++=20u mu n ++=10u =0n =20u mu +=2u m =-2u u =()u f x =10m -<-<01m <<01m <<0n =3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得， 在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点， 则实数a 的取值范围是， 故选：A4．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】B【分析】结合函数的对称性求得正确答案.【详解】令，得， 图象关于对称，在上递减. ，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增， 所以与有两个交点，()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x a =-()0,1(]0,1[]0,1[)1,+∞(),y f x y a ==()()g x f x a =-()()0g x f x a =-=()f x a =(),y f x y a ==()()g x f x a =-()0,1()112e e 1x xf x x --=---()112e e 01x xf x x --=--=-112e e 1x x x ---=-()21g x x =-()1,0()(),1,1,-∞+∞()11e e ,x x h x --=-()()()()1e e ,e e x x x x H x h x H x H x --=+=--=-=-()H x ()h x ()1,0()10h =()1ee e x xh x -=-R ()h x ()g x两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B二、多选题5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（ ）A ．任取，都有B ．，其中；C ．对一切恒成立；D ．函数有个零点； 【答案】ACD【分析】作出函数的图象.对于A ：利用图象求出，即可判断；对于B ：直接求出，即可判断；对于C ：由，求得，即可判断； 对于D ：作出和的图象，判断出函数有3个零点.【详解】作出函数的图象如图所示.所以.()1,0()112e e 1x xf x x --=---2sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩12,[1,)x x ∈+∞123()()2f x f x -≤11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k ∈N ()2(2)()k f x f x k k N *=+∈[0,)x ∈+∞()ln(1)y f x x =--3sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min (),()f x f x 1511222222k f f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1()(2)2f x f x =-()2(2)k f x f x k =+()y f x =ln(1)y x =-()ln(1)y f x x =--sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min ()1,()1f x f x ==-对于A ：任取，都有.故A 正确； 对于B ：因为，所以.故B 错误；对于C ：由，得到，即.故C 正确；对于D ：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点; 当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D 正确. 故选：ACD6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R 上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心12,[1,)x x ∈+∞()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=1151111,,222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112215112121222212kkf f f k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-1()(2)2f x f x =-1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2(2)kf x f x k =+()ln(1)y f x x =--()1,+∞()y f x =ln(1)y x =-2x =sin2ln10y π=-=12x <<()y f x =()ln 1y x =-2x >2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫⎝>=⎭()y f x =()ln 1y x =-()ln(1)y f x x =--()f x x ∈R ()()11f x f x -=-+[]0,1x ∈()22f x x x =+-()f x ()3,0-()f x。
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函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。