考研数学三(微积分)-试卷36.doc
[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编25.doc
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23 (2011年)求不定积分
24 (1994年)计算二重积分 ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y+1}
13 (2003年)设a＞0，f(x)=g(x)= 而D表示全平面，则 =______．
14 (2016年)设D={(x，y)｜｜x｜≤y≤1，一1≤x≤1}，则 =______．
15 (1992年)级数 的收敛域为______．
16 (1997年)差分方程yt+1一yt=t2t的通解为______．
19 (1998年)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得
20 (2010年)求极限 ．
21 (1991年)假设曲线L1：y=1一x2(0≤x≤1)与z轴和Y轴所围区域被曲线L2：y=ax2分为面积相等的两部分．其中a是大于零的常数，试确定a的值．
3 (2003年)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则函数 （)
（A）在x=0处左极限不存在．
（B）有跳跃间断点x=0．
（C）在x=0处右极限不存在．
（D）有可去间断点x=0．
4 (2012年)曲线 渐近线的条数为( )
（A）0．
（B）1
（C）2．
（D）3．
5 (1993年)设f(x)为连续函数，且 ，则F'(x)等于( )
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 (2016年)求极限
微积分(经济类)考研真题
1..使得试补充定义设)1()1,21[,)1(1sin 11)(f x x x x x f ∈--+=πππ6.._____)1ln 1[lim 20=++→x x x 极限](/03数四考研题5.3.设常数a ≠12,则∞n lim →ln[]n na n a 2112()-+-n=( ).02数三、四考研题1.设对任意的总有且则(A)(B)(C)(D)存在且等于零.存在但不一定等于零.一定不存在.不一定存在.)()(x x ϕ≤≤x ,g x f )(,x lim ∞→x g )(=-)(x ϕ[]0,x lim ∞→x f )(( ).00数三考研题.______2lim,0,02.30=+>>→xxx x b a b a 则均为常数若00数四考研题(D)(C)(B)(A)xx f x g f x f ( ).)()()0()('有可去间断点在有跳跃间断点在存在且为不恒等于零的奇函数设=则函数,,;;;.4.03数三考研题处左极限不存在处右极限不存在x =0x =0x =0x =0)(考研真题一上连续在]1,21[)(x f .03数三考研题上连续在使试补充定义设]0,21[)()0(0,21,)1(1)(x f f x x x f ∈---=π.7.03数四考研题1x πsin 1x π](.__________,,5)(cos sin lim8.0===--→b a b x ae xx x 则若04数三、四考研题得( ).)2)(1()2sin(||)(9.2x x x x x x f ---=在下列哪个区间内有界函数);1,0((B));0,1((A)-);2,1((C)).3,2((D)04数三、四考研题2..,),()(10.且内有定义在设x f +∞-∞04数三、四考研题.0)((D);)(0(C);)(0(B);)(0(A)( ).,0,0,0,1)(,)(lim 的取值有关处的连续性与在点的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则a x x g x g x x g x x g x x x x f x g a x f x ====⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→)(11.极限.________12sinlim 2=+∞→x xx x 05数三、四考研题12.________.1lim )1(=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→nn n n 06数三、四考研题13.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; )1ln x +;11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)(07数三、四考研题=-+-11lim x e e _____________.32cos 0xx 17.18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,14.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=cx c x x x f ,2,1)(2在),(+∞-∞则._____=c x内连续,设,0b a <<则n n nn b a 1)(lim --∞→+(A) ;a (B);1-a (C) ;b (D) .1-b 15.( ).等于16.设某企业生产线上产品合格率为0.96, 不合格产品中只有43进行再加工且再加工的合格率为0.8,其余均为废品80元20元2万元, 每件合格品获利, 每件废品亏损, , 问企业每天至少生产多少产品,?为保证该企业每天平均利润不低于产品可08四考研题08数三、四考研题08四考研题09数三考研题3..则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、三考研题09数二、三考研题若111lim=--xx e a x x , 则a 等于( ).(A)0(B)1(C) 2(D)3→⎭⎫ ⎝⎛⎪][20.;;;.10数三考研题4..考研真题二设函数在点处可导则函数在点的充分条件是)(x f a =x ,)(x f a =x (A)(B)(C)(D))(a f =且0)(a f =0';)(a f >且0)(a f >0';)(a f <且0)(a f <0'.)(a f =且0)(a f 0';≠处不可导).(1.00数三、四考研题,00,00,1cos )(则处连续其导数在若若设λλ=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x x f ,2.的取1)(0)1(1)()(|1|)(3既非充分也非必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件处可导的在是处连续在其中设函数(D)(C)(B)(A)x x f x x x x x f ===-=ϕϕϕ则,).(,;;;.4.03数四考研题.0)(),,((D);0)(),,((C));()(),,((B));()(),,((A)( ).,0)(,0)(,],[)(5.00000000=∈='∈>∈>∈<'>''x f b a x x f b a x b f x f b a x a f x f b a x b f a f b a x f 使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点使得至少存在一点误的是则下列结论中错且上连续在设04数三、四考研题._______|,1lnarctan 6.122=+-==x x x x d x d ye e e y 则设04数四考研题.____322=+-=b a b x b a x y 表示为可以通过轴相切与已知曲线则,x 3.03数三考研题.____值范围是03数三考研题327.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.07数三、四考研题8.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim→存在,则0)0(=f ;07数三、四考研题5..若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;若x x f x )(lim→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim 0--→存在,则)0(f '存在.(B)(D)(C)9.设某产品的需求函数为)(P Q Q =其对应的价格P 的弹性2.0=P ξ,则当10 000件时,价格增加1_________元.元会使产品收益增加需求为09数三考研题6..考研真题三-=+arctan 2.,)1(πe x y x渐近线的单调区间和极值求函数并求该函数图形的00数三、四考研题1.设)(x f 的导数在a x =处连续则(A)a x =是)(x f 的极小值点(B)a x =是)(x f 的极大值点(C)))(,(a f a 是曲线)(x f y =的拐点(D)a x =不是)(x f 的极值点))(,(a f a 也不是曲线;;;又,,1)(lim-=-→ax x f ax ',).(01数三、四考研题的拐点.)(x f y =2.已知)(x f 在),(+∞-∞内可导且e xf x =∞→)(lim )]1()([lim )(lim--=-+∞→∞→x f x f cx c x x xx 求c 的值.',,,01数三、四考研题3.某商品进价为a (元/件)根据以往经验b (元/件)时当销售价为,,,销4.售量为c 件(c b a ,,均为正常数且a b 34≥)市场调查表明销售价每下降,,10%销售量可增加40%现决定一次性降价试问当销售价定为多少时并求出最大利润.?,,,,获得最大利润可01数四考研题存在),(b a ∈ξ使))(()()(a b f a f b f -=-ξ(D),.'.0)('),3,0(.1)3(,3)2()1()0(,)3,0(,]3,0[)(=∈==++ξξf f f f f x f 使试证必存在且内可导在上连续在设函数.)(,).(),()(,1最小？并求出最小值为何值时问内的驻点为在设a t a a t at a t f a t +∞-∞-=>6.03数三考研题7.03数四考研题设函数)(x f 在],[b a 上有定义),(b a 内可导则当0)()(<b f a f 时),(b a ∈ξ使0)(=ξf 对任何),(b a ∈ξ有0)]()([lim =-→ξξf x f x (A)(B)在存在,,,,;;,( ).02数三、四考研题5.当)()(b f a f =时),(b a ∈ξ使0)(=ξf (C)存在,;',7..;)()0,0(,)(0(A)( ).|,)1(|)(8.的拐点不是曲线但的极值点是则设x f y x f x x x x f ==-=04数三、四考研题.)()0,0(,)(0(D);)()0,0(,)(0(C);)()0,0(,)(0(B)的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是x f y x f x x f y x f x x f y x f x ======.cos sin 1lim9.2220-→x xx x 求)(04数三、四考研题.,),)(1()();0()(.),20,0(,510010.降低价格反而使收益增加围内变化时说明价格在何范并用弹性为收益其中推导求需求量对价格的弹性为需求量其中价格设某商品的需求函数d d d d E R E Q d P d RE E Q P P Q -=II >I ∈-=04数三、四考研题11.当a 取下列哪个值时, 函数a x x x x f -+-=1292)(23(A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8.恰有两个不同的零点.( )05数三、四考研题12.设,cos sin )(x x x x f +=下列命题中正确的是( ).(A))0(f 是极大值,)2(πf 是极小值;)0(f 是极小值,)2(πf 是极大值;(B)(C))0(f 是极大值,)2(πf 也是极大值;)0(f 是极小值,)2(πf 也是极小值.05数三、四考研题(D)13.以下四个命题中, 正确的是( ).(A)若)(x f '在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(B)若)(x f 在(0,1)内连续, 则)(x f 在(0,1)内有界;(C)若)(x f '在(0,1)内有界, 则)(x f 在(0,1)内有界;(D)若)(x f 在(0,1)内有界, 则)(x f '在(0,1)内有界.05数三、四考研题14.求.111lim 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-→x e x x x 05数三、四考研题8..15.设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导, 且1)2(,)()(=='f e x f x f , 则_______)2(='''f .16.设函数)(x f 在0=x 处连续1)(lim220=→x x f x 则(A)0)0(=f 且)0(f '存在(B)1)0(=f 且)0(f '存在(C)0)0(=f 且)0(+'f 存在(D)1)0(=f 且)0(+'f 存在(且).17.设0,0,arctan sin 11),(>>--+=y x x y xy xy yy x f π,求(1)),(lim )(y x f x g y +∞→=;(2))(lim 0x g x +→,,.;;;.06数三、四考研题06数三、四考研题06数三、四考研题18.=+++++∞→)cos (sin 21lim323x x x x x x x ____________.07数三、四考研题19.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数三、四考研题20.设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 确定,试判断曲线)(x y y =在)1,1(附近的凹凸性.,点07数三、四考研题21.设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导且存在相等,又).()(),()(b g b f a g a f ==证明:(Ⅰ)存在),,(b a ∈η使得)()(ηηg f =; (Ⅱ)存在),,(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.的最大值07数三、四考研题22. 设函数)(x f 在区间[-1是连续0=x 是函数的(A)跳跃间断点;(B)可去间断点(C)无穷间断点;(D)振荡间断点则,1],x g =)(( ).;.08数三、四考研题23.求极限.sin ln 1lim 2x x x x →08数三、四考研题9..25.设,)()(10d t x t t x f -=,10<<x 求)(x f 的极值、单调区间和凹凸.||区间24.已知函数)(x f 连续且,2)(lim 0=→xx f x 则曲线)(x f y =0=x 处切线方程为_______.上对应08数四考研题08数四考研题26.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),可09数一、三考研题若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-,则=b ________.27.28.设函数)(x f ,)(x g 具有二阶导数,且,0)(<x g a x g =)(0是)(x g 的极值,则))((x g f 在0x 的极大值的一个充分条件是( ).(A)0)(<a f (B)0)(>a f (C)0)(<a f (D)0)(>a f ''''''''29.设x x f 10ln )(=,x x g =)(,10)(x e x h =,则当x 充分大时有( ).(A))()()(x f x h x g <<(B))()()(x f x g x h <<(C))()()(x h x g x f <<(D))()()(x h x f x g <<求极限x xx xln 11)1(lim -.→+∞30.10数三考研题;;;.10数三考研题/;;.;10数三考研题10数三考研题10..设xxx f )(sin =,求d x .2sin 7.02数三、四考研题考研真题四.______)(,1)(ln =+='x f x x f 则设95数三考研题.________,arcsin )(=+=x C x d x x xf 则设96数三考研题._____=x 98数三考研题1.3.4..)(arcsin 2d x x 求不定积分95数四考研题2.).(,0)(,1)0(x f x F F 试求已知>=6.填空d x x x arcsin =00数四考研题._____0,)()(x x f x F 时且当的原函数为设≥5.,)1(2)()(2x xe x F x f x+=99数四考研题)(x f 8.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x d x x x09数二、三考研题11..考研真题五00数三考研题.__________12=++∞-xxe e d x1..131+∞-++=xx e e d xI 计算00数四考研题2.).()1()((0,1),1ξξξξf f --='∈使得试证明至少存在一点已知抛物线qx px y +=2 (其中0<p ,0>q )在第一象限内与直线5=+y x 相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值5..01数三考研题).()()()(),,0(,,25)1(,),0()(111x f d uu f x d u u f td u u f t x f x f t x xt 求足条件且对所有内连续在设函数+=+∞∈=+∞01数四考研题6.满).(2)(),1,0()(3)1(,)1,0(,]1,0[)(31012ξξξξf f d xx f e f x f x ='∈=-使得证明存在且满足内可导在上连续在区间设01数四考研题7.._____)|(11||=+--d x e x x x 03数四考研题8.|)(,21),1(3110),1(21)(.)()(3.2则若若其中设x g x x x x x f d u u f x g x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+==,)1,0(,]1,0[)(x f 且满足内可导在上连续在设01数三考研题4..;;;)2,0(连续不连续递减无界内在区间(D)(C)(B)(A)01数三考研题)(.)1()()1(101k d x x f xe kf k x ->=12..,)0,1(),1,0()(的一段连续曲线是第一象限内连接点设B A x f y =9..)(,316,,,3的表达求的面积之和为的面积与曲边三角形梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点x f x CBM OCMA O x M C +),(y x M 若03数四考研题.0],,0[,)(0的销售量为到时刻设某商品从时刻k T t kt t x t >∈=10.式.______)1(,21,1,2121,)(12.2=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-=d x x f x x xe x f x 设04数三、四考研题).()(,)((D));()(,)((C);0,),()((B);0)((A)( ).,)()(,0,1,0,0,0,1)(13.0x f x F x F x f x F x F x x F x x F d t t f x F x x x x f x ='='=+∞-∞==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=但不一定满足内可导在且满足内可导在点不可导在内连续在点不连续在则设),(+∞-∞),(+∞-∞04数四考研题.)((2);)()((1).)(0,)(,0.)(,0,,0,)(14.1122的最小值的表达式求的面积表示矩形对任何之间的面轴与曲线表示夹在设t S t S S t S t F y t x t t S t x F y x S x e x e x F x x -=≤≤≤≤->=⎩⎨⎧>≤=-04数四考研题(1)的值并确定时的商品剩余量k t ,.的该商品销售完时将数量为A T 试求,03数四考研题.],0[(2)上的平均剩余量在时间段T ,],[)(),(11.b a x g x f 且满足上连续在设04数三考研题,)()(),,[,)()(=∈≥b ab ax a x ad t t g d t t f b a x d t t g d t t f .)()(≤b ab ad x x xg d x x xf 证明欲在积13..15.设)(),(x g x f 在[0,1]上的导数连续, 且.0)(,0)(,0)0(≥'≥'=x g x f f (1).)()()()()(1g a f d x x g x f d x x f x g a≥'+'⎰⎰证明: 对任何],1,0[∈a 有05数三、四考研题16.下列结论中正确的是( ).(A)⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都收敛;⎰+∞+1)1(x x d x与⎰+1)1(x x d x都发散;(C)⎰+∞+1)1(x x d x发散,⎰+1)1(x x d x收敛;⎰+∞+1)1(x x d x收敛,⎰+1)1(x x d x发散.(B)(D)05数四考研题06数四考研题17.设函数)(x f 与)(x g 在]1,0[上连续)()(x g x f ≤则对任何)1,0(∈C (A)⎰⎰≥ccd t t g d t t f 2121)()((B)⎰⎰≤ccd t t g d t t f 2121)()((C)⎰⎰≥11)()(c cd t t g d t t f (D)⎰⎰≤11)()(c cd t t g d t t f 且,,).(;;;.18.如图,连续函数)(x f y =在区间]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半1的上、,在区间]2,0[],0,2[-上的图形分别是直径为2的下、.设=xdt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周径为上半圆周⎰1231-2-3-O xy设函数),(y x f 连续,则二次积分等于( ).19.1sin 2),(xdy y x f dx ππ⎰⎰07数三、四考研题07数三、四考研题14..(A)+ππyd x y x f dy arcsin 1),(; -ππyd x y x f dy arcsin 10),(;(C)+yd x y x f dy arcsin 21),(ππ;-yd x y x f dy arcsin 210),(ππ.(B)(D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.设某商品的需求函数为,2160p Q -=其中p Q ,分别表示需求量和价,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( ).(A)(B)(C) (D)10; 20; 30;40.格07数三、四考研题08数三考研题21.函数,1143x x x x x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求积分⎰=222._____)(d x x f 22.曲线方程为)(x f y =函数在区间],0[a 上有连续导数'ad x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABOD 面积(B)梯形ABOD 面积(C)曲边三角形ACD 面积(D)三角形ACD 面积.则定积分表示;;;,⎰08数三、四考研题23. )(x f 是周期为2的的连续函数,(1)证明对任意实数+=22)()(t t d x x f d x x f ;(2)证明d t d s s f t f x g x t t-=+02)()(2)(是周期为2的周期函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡都有t ⎰⎰⎰⎰08数三、四考研题24.使不等式x d t ttxln sin 1>成立的x 的范围是(0,1)1,2π)ππ,2)+∞,π)(D)(C)(B)(A);(((;;.( ).25.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B)上的09数三考研题⎰09数三考研题15..设曲线)(x f y =,其中)(x f 是可导函数,且0)(>x f ,)(x f y =与直线y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形,绕x 体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍,求该曲线方程.26.=0,x =1已知曲线)(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)09数三考研题轴旋转一周所得的立27.设可导函数)(x y y =由方程=+-xy x x t d x x d x e 020sin 2确定,则.__________0==x d x d y⎰⎰28.设位于曲线)()ln 1(12<+=x e x x y 下方,x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 __________.≤+∞29.比较+10)]1[ln(|ln |d t t t n与1|ln |d t t t n ),2,1(=n 的大小,说明理.设+=1)]1[ln(|ln |d t t t u nn ),2,1(=n ,求极限n n M lim .⎰⎰ΛΛ⎰→∞(1)(2)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在)3,0(内存在二阶导数,且),3()2()()0(220f f d x x f f +==(1)证明:存在),2,0(η使)0()(f f =η;(2))3,0(ξ,使0)(=ξf .⎰∈∈''30.10数三考研题10数三考研题由证明:存在10数三考研题10数三考研题16..考研真题六.)0(22围成的区域和直线x y a x a a y -=>-+-=,是由曲线其中D σ2.00数三考研题.__________,,,,=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x z g f x y g y x xy f z 则均可微其中设1.00数三考研题,两个市场的需求假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品3.00数三/四考研题函数分别是;12,2182211Q P Q P -=-=),:,(),/:(2121Q Q P P 并且该企业生产吨单位即需求量分别表示该产品在两个市场的销售量和吨万元单位分别表示该产品在两个市场的价格和其中.,.5221Q Q Q Q Q C +=+=即表示该产品在两个市场的销售总其中这种产品的总成本函数是,(1)试确定两个市场上该产品的销售量和价如果企业实行价格差别策略量2=-xy e xy 和求d xd u ,.=-z x x d t tt e 0sin .,arctan,ln ,22d z xyv y x u u z v 求已知=+==5.00数四考研题设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数又函数)(x y y =及)(x z z =别由下列两式确定：6.,01数三考研题.;,,(2).,并比较两种价格策略下的总利润大使该企业的总利润最大化其统一的价格试确定两个市场上该产品的销售量及如果企业实行价格无差别策略使该企业获得最大利润}.2|),{(,),(,0,0,21),(222x y x y x D d x d y y x f x y x y x y x f ≥+=⎩⎨⎧≤≤≤≤=其中求其它设4.00数四考研题D格小分17..求二重积分的值,其中D 是由直线x y =,1-=y 及1=x 围成的平面区域.7.+d x d y xe y ]1[+y x )(22201数三考研题D设函数),,(z y x f u =有连续偏导数),(y x z z =由方程所确定d u 9.且求,,.zy x ze ye xe =-02数三考研题10.设闭区域0,:22≥≤+x y y x D .),(y x f 为D 上的连续函数,且-=d u d v v u f y x f ),(8),(π求).,(y x f --y x 122,02数四考研题D设)2(y x f e z x --=-,且当0=y 时,2x z =,则=8.01数四考研题________.∂∂xz 11.}.|),{,)sin 2222)(22ππ≤+=+=-+-y x y x D d y x e I y x其中积分区域计算二重积分(x d y (D03数三、数四考研题12.求又且满足具有二阶连续偏导数设2222222222)(21,[),(,1),(y gx g y x x f v u g v f u f v u f ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂,y ,].03数三、数四考研题13.=-=⎩⎨⎧≤≤==>d x y g x f D x a x g x f a ._______)()(,010,)()(,0表示全平面而其它设则d ,x y ,I D03数三、数四考研题14.y y y x f D y y y x f C y y y x f B y y y x f A y x y x f ),()(;),()(;),()(;),()(),(),(0000000000处的导数不存在在处的导数小于零在处的导数大于零在处的导数等于零在取得极小值在点设可微函数====.,则下列结论正确的( ).是03数三考研题18..22.设函数)(u f 可微且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1, 2)处的全微分_______)2,1(=d z, .06数三、四考研题19.设)(u f 具有二阶连续导数, 且,),(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g 求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂05数三、四考研题20.计算二重积分,|1|22-+d y x σ其中}.10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D05数三、四考研题21.求2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 和最小值.(上的最大值05数四考研题处的.__________,0)(,)(,)(]),([),(15.2=∂∂∂≠+=vu fy g y g y g x y y xg f v u f 则且其中函数确定由关系式函数可微04数三考研题).(1)1(4,)(16.222222如右图所围成的平面区域和是由圆其中求=++=+++y x y x D d y y x σDOxyD 04数三、四考研题其中18.设,)cos(,)cos(,cos 2223222221+=+=+=d y x I d y x I d y x I σσσ(A)123I I I >>;321I I I >>;312I I I >>;213I I I >>.(C)(D)(B)DDD},1|),{(22≤+=y x y x D 则( ).05数三、四考研题17.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________|)0,1(=d z 05数三、四考研题19..24.x d y ,其中D 是由直线0,1,===x y x y ,所围成的平面区域.(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点23.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x yϕ. 已知且,06数三、四考研题06数三、四考研题25.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y x x y f z 则=∂∂-∂∂y zy x z x _______.07数三、四考研题26.设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+<+≤+=2||||1,11||||,),(222y x y x y x x y x f 计算二重积分,),(Dd y x f σ其中}.2|||),({≤=y x y x D ,|+07数三、四考研题27.设,),(42y x e y x f +=则函数在原点偏导数目字存在的情况是)0,0(x f (A)'存在,)0,0(y f '存在;(B))0,0(x f (C)'存在,(D)都不存在.( ).)0,0(y f '不存在;)0,0(x f '不存在,)0,0(y f '存在;)0,0(x f ')0,0(y f ',08数三考研题28.设函数连续其中区域则为图中阴影部分f ,),(x d y v u F ==∂∂uF( ).,(x )D uv ,20..);(2u vf );((B)u vf );((C)2u f uv ).((D)u f uv (A)29.⎰⎰=-Dd x d y y x ._____)(2其中1:22≤+y x D .⎰⎰08数三考研题求二重积分Dd x d y xy ,)1,max(其中}.20,20|),{(≤≤≤≤=y x y x D 30.08数三考研题31.设),(y x z z =是由方程)(22z y x z y x ++=-+ϕ其ϕ具有2阶导数且1-≠'ϕ时(1)d z ;(2)记,1),(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=y z x zy x y x u 求.xu ∂∂所确定的函数,求,中08数三、数四考研题.32.求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 大和最小值下的最08数三、数四考研题33.设)(x f 是连续奇函数)(x g 是连续偶函数{},x y x x y x D ≤≤-≤≤=,10|),(则正确的=Dd x d y x g y f ;0)()((A)=+D d x d y y g x f ;0)]()([(C),区域,( ).=Dd x d y y g x f ;0)()((B)=+Dd x d y x g y f ;0)]()([(D)08数四考研题34..________ln 2110=x d y x d xy 08数四考研题35.设e x Z )(+=,则=∂∂xz _____________.x y )0,1(36.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.09数一、三考研题37.求二重积分-Dd x d y y x )(,其中{}.x y y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(2209数二、三考研题09数三考研题计算二重积分d x d y y x D+3)(,其中D 由曲线21y x +=与直线02=+y x 及02=-y x 围成.⎰⎰求函数yz xy M 2+=在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值.38.39.10数三考研题10数三考研题21...,,2,1,0,cos sin 40==n n n I n x d x x I 求设Λπ00数三考研题1.q p a (A)n a a q a a p n n n n n n n n n ,,2,1,2||,2||2.的敛散性都不定都收敛与条件收敛若则下列命题正确的是设=-=+=Λ;().则,q p a (B)n n n 都收敛与绝对收敛若;则,q p a (C)n n n 与条件收敛若;则,03数三考研题∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n .)()1|(2)1(12及其极值的和函数求幂级数x f x n x nn <-+|3.03数三考研题的敛散性都不定q p a (D)n n n 与绝对收敛若;则,1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 4.设有以下命题:①;,)(212收敛则收敛若-+n n n u u u ②;,1000收敛则收敛若+n n u u 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 04数三考研题考研真题七④.,,)(都收敛则收敛若+nn n n v u v u 则以上命题中正确的是( ).(A)①②;②③;③④;①④.1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n (B)(C)(D)③;,1lim1发散则若+∞→>nnn n u u u 1∑∞=n 5.设,,2,1,0Λ=>n a n 若n a 发散,--1)1(n n a 收敛, (A)-12n a 收敛,2n a 发散;收敛,-12n a 发散;(B)∑∞=1n ∑∞=1n 则下列结论正确的是( ).∑∞=1n ∑∞=1n 2n a ∑∞=1n ∑∞=1n 22.. 6.求幂级数⎪⎭⎫⎝⎛-+21121n x n 在区间)1,1(-内的和函数).(x S ∑∞=1n 05数三考研题8. 求幂级数∑∞-+---1121)12()1(n n n n n x 的收敛域及和函数)(x S .7.若级数n a 收敛( ).则级数,∞=1n ∑(A)收敛;(B)收敛;n ∞=1n ∑n a ∞=1n ∑-)1(n a (C)收敛;(D)++12n n a a 收敛.n a ∞=1n ∑1+n a ∞=1n ∑(C)-+212)(n n a a 收敛;(D)--212)(n n a a 收敛.∑∞=1n ∑∞=1n 05数三考研题06数三考研题06数三、数四考研题9.将函数431)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数,并指出其收敛区间.07数三考研题10.设银行存款的年利率0.05,并依年复利计算A 万元实现第一年取出19万元28元n 年取出10+9n 万元A 至少为多少万元第二年取出…第问并能按此规律一直提取下去,,,,?r =.某基金会希望通过存()款万,08数三考研题11.幂级数nn nn x n e ∑∞=--12)1(的收敛半径为_____________.09数三考研题23..考研真题八x y y e y y 2.1)0(,1)0(02='==-'-''的解满足条件求微分方程00数三考研题1.2.已知满足+= (n 为正整数),且n ef n =)1(,求函数项级数之和)(x f n )(x f n e x ∑∞=1n )(x f n n x )(f 'n x 1-.01数三考研题3. (1)验证函数)()3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n满足微分方程y =++(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数!......y 'y ''e x .∑∞=0n ;)3(3n x n!02数三考研题),()(),(),()()(内满足以下条件在其中函数设x g x f x g x f x F +∞-∞=4..2)()(,0)0()()('),()('且e x g x f f x f x g x g x f x =+===:.)((2))((1)的表达式求出;所满足的一阶微分方程求x F x F 03数三考研题,1),(2222v fu f v u f =∂∂+∂∂又且满足具有二阶连续偏导数设,6..)(21,[),(222222y gx g y x xy f v u g ∂∂+∂∂-=求],03数三、四考研题.)()(;)()().()(8642642425.864的表达式所满足的一阶微分方程求的和函数为设级数x S x S x S x x x x II I +∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅Λ04数三考研题7.微分方程0=+'y y x 满足初始条件2(1)=y 的特解为_______.05数三、四考研题24..9.在xOy 坐标平面上, 连续曲线L 过点)0,1(M 其上任意点)0),(≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数0>a )(1)求L 的方程;(2)当L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为38时, 确定a 的值.8. 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个的解C x y x y ),(),(21为任意常数, 则该方程通解是(A)[];)()(21x y x y C - (B)[];)()()(211x y x y C x y -+(C)[];)()(21x y x y C +(D)[].)()()(211x y x y C x y ++:06数三、四考研题06数三、四考研题(10.微分方程321⎭⎫⎝⎛-=x y x y d x d y 满足1|1==x y 的特解为=y ___________.07数三、四考研题11.设函数)(x f 具有连续的一阶导数,且满足,)()()(0222+'-=xx dt t f t x x f 求)(x f 的表达式.⎰07数四考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y ______.08数三考研题13.微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是._______=y 08数四考研题14.设某商品的收益函数为),(P R 收益弹性为,13P +其中P 为价格,且,1)1(=R 则.__________(=P R 设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+的两个特解, 常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解,21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ).(A)21=λ,21=μ(B)21-=λ,21-=μ(C)32=λ,31=μ(D)32=λ,32=μ'12.10数三考研题)15.若;;;.10数三考研题。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2008年)已知f(x，y)=则( )A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。
B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在。
D．fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。
正确答案：B解析：故fx’(0，0)不存在。
所以fy’(0，0)存在。
故选B。
知识模块：微积分2．(2016年)已知函数f(x，y)=则( )A．fx’-fy’=0。
B．fx’+fy’=0。
C．fx’-fy’=f。
D．fx’+fy’=f。
正确答案：D解析：由复合函数求导法则故fx’+fy’=f。
知识模块：微积分3．(2003年)设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( )A．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。
B．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。
C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。
D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。
正确答案：A解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy’(x0，y0)=0，即f(x0，y)在y=y0处的导数等于零，故应选A。
本题也可用排除法分析，取f(x，y)=x2+y2，在(0，0)处可微且取得极小值，并且有f(0，y)=y2，可排除B，C，D，故正确选项为A。
知识模块：微积分4．(2017年)二元函数z=xy(3一x—y)的极值点是( )A．(0，0)。
B．(0，3)。
C．(3，0)。
D．(1，1)。
正确答案：D解析：根据二元函数极值点的条件zx’=y(3一x—y)一xy=y(3—2x—y)，zy’=x(3一x—y)一xy—x(3一x一2y)，zxx”=一2y，zxy”=3—2x一2y，zyy”=一2x。
考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。
正确答案：π2/э2 涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C 涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6 涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4 涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，则当x→0时，g(x)是f(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价的无穷小D．等价无穷小正确答案：A解析：故g(x)是f(x)的高阶无穷小，应选A．知识模块：微积分2．设f(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：B解析：所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选B．知识模块：微积分3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：B解析：知识模块：微积分填空题4．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分5．=__________正确答案：解析：当x→0时，知识模块：微积分6．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分7．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分8．=__________正确答案：2解析：知识模块：微积分9．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分10．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11．若正确答案：涉及知识点：微积分12．设正确答案：涉及知识点：微积分13．求正确答案：涉及知识点：微积分14．求正确答案：涉及知识点：微积分15．求正确答案：涉及知识点：微积分16．设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x—sinx，当x=0时，比较这两个无穷小的关系．正确答案：所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x—sinx是同阶非等价的无穷小．涉及知识点：微积分17．设f(x)连续，且，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：涉及知识点：微积分18．设f(x)二阶连续可导，f”(0)=4，求下列极限。
考研数学三(微积分)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（）A．x2B．1—cosxC．D．x—tanx正确答案：D解析：利用等价无穷小代换。
由于x→0时，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D。
知识模块：微积分2．函数f（x）=（x2+x—2）|sin2nx|在区间上不可导点的个数是（）A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：设g（x）=x2+x—2，φ（x）=| sin2πx|，显然g（x）处处可导，φ（x）处处连续，有不可导点。
只须考查φ（x）不可导点处g（x）是否为零。
φ（x）=|sin2πx|的图形如图1—2—3所示，在，1，其余均可导。
因为g（0）=—2≠0，处不可导，在x=1可导，其余点均可导。
故选B。
知识模块：微积分3．∫2xlnxln（1+t）dt=（）A．B．C．ln（1+Inx）—ln（1+2x）D．ln（1+lnx）—2ln（1+2x）正确答案：A解析：故选A。
知识模块：微积分4．设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g”（x）＜0。
若g（x0）=a是g（x）的极值，则f[g（x）]在x0取极大值的一个充分条件是（）A．f’（a）＜0B．f’（a）＞0C．f”（a）＜0D．f”（A）＞0正确答案：B解析：{f[g（x）]}’=f’[g（x）]．g’（x），{f[g（x）]}”={f’[g（x）]．g ‘（x）}’=f”[g （x）]．[g ‘（x）]2+f’[g（x）]．g”（x），由于g（x0）=a是g（x）的极值，所以g’（x0）=0。
所以{f[g（x0）]}”=f’[g（x0）]．g”（x0）=f’（a）．g”（x0），由于g”（x0）＜0，要使{f[g（x）]}”＜0，必须有f’（A）＞0。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
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考研数学三（微积分）-试卷36
(总分：64.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
2. 2.00）
A.|r|＜1
B.|r|＞1
C.r=一1
D.r=1
3.设u n =(一1) n( )． 2.00）
A.
B.
C.
D.
4.设幂级数n (x一2) n在x=6处条件收敛，则幂级数 2.00）
A.2
B.4
D.无法确定
二、填空题(总题数：4，分数：8.00)
5.已知 2.00）
填空项1:__________________
2.00）
填空项1:__________________
2.00）
填空项1:__________________
8. 2.00）
填空项1:__________________
三、解答题(总题数：24，分数：48.00)
9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
10. 2.00）
__________________________________________________________________________________________
11.计算 2.00）
__________________________________________________________________________________________
12.计算二重积分 2.00）
__________________________________________________________________________________________ 13.设半径为R的球面S的球心在定球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大？（分数：2.00）
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14.设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫a b f(x)dx∫x b 2.00）
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15.设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，
（分数：2.00）
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16.设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0y=f(x)，y=0，x=a围成区
2.00）
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17.设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明： 2.00）
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18.设f(x)为连续函数，计算 2.00）
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19.交换积分次序并计算∫0a dx∫0x 2.00）
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20.设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0 2.00）
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21. 2.00）
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22. 2.00）
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23.设n收敛，举例说明级数n2不一定收敛；若n是正项收敛级数，证明
（分数：2.00）
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24.设0≤a n＜ 2.00）
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25.若正项级数n收敛，证明： 2.00）
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26.设a n n xdx． (1)求n +a n+2 )的值； (2)证明：对任意常数λ＞0，
数：2.00）
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27.设a n =∫01 x 2 (1一x) n dx，讨论级数 2.00）
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28.设{na n }收敛，且n一a n一1 )收敛，证明：级数 2.00）
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29.设a n＞0(n=1，2，…)且{a n } n一1∞单调减少，又级数1) n a n发散，判断
数：2.00）
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30.证明： (1)设a n＞0，且{na n }有界，则级数n2收敛； (2)若2 a n =k＞0，则级
数 2.00）
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31.设，2，…；a n＞0，b n＞0)，证明： (1)若级数n收敛，则级数n收
敛； (2)若级数n发散，则级数 2.00）
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32.设{u n }，{c n )为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足c n u n一c n+1 u n+1≤0，且
发散，则n也发散；(2)若对一切正整数n满足 c n+1≥a(a＞0)，且则
（分数：2.00）
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