2021年1月15日四川省高2021届绵阳二诊文科数学试题答题卡
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即4433AB CD k k --+==，PQ y b k x a -≤=≤- y bx a --的取值范围⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 8．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.10．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 11．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】 由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．7．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 8．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60-B ．12-C ．12D ．60 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】【分析】 根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.【详解】函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=， 即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-， 令()ln 5h x x x =+-，∴()111x h x x x -'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，∴44a ≤，∴01a <≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.10．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C．4 D．2【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由16PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3==c e a ． 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．12．函数()cos2x f x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1n i i i x y =+=∑（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos2x f x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419i ii x y =+=⨯+=∑ 故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（ ） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（ ）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ； （2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程； （2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。
2021届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1）B．（0，1）C．{﹣1，1} D．{1}2．已知直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A．0 B．2 C．±2 D．43．已知平面向量＝（1，），＝（2，λ），其中λ＞0，若|﹣|＝2，则＝（）A．2 B．C．D．84．已知函数f（x）＝x3+sin x+2，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．已知cosα+sin（α﹣）＝0，则tanα＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a（a＞0）围成的封闭图形的面积为e a﹣1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A．2.718 B．2.737 C．2.759 D．2.7857．已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}（r，s∈R）也是等差数列；命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），都有sin x＜cos x．则下列命题是真命题的是（）A．￢p∧q B．p∧q C．p∨q D．￢p∨q8．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A．＝80，s2＜25 B．＝80，s2＝25 C．＝80，s2＞25 D．＜80，s2＞259．已知圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上，有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0（a∈R）的距离为1，则a＝（）A．±B．±C．±1 D．±10．若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，6）C．（6，+∞）D．（﹣6，+∞）11．已知正实数x，y满足ln＞lg，则（）A．2x＞2y B．sin x＞sin y C．lnx＜lny D．tan x＜tan y12．已知点F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点P为E左支上一点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，且，则a＝（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝．14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数．15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在一点P使＝0，且|PF|＝|F1F2|，则E的离心率为．116．关于x的方程sin2x+2cos2x＝m在区间[0，π）上有两个实根x1，x2，若x1﹣x≥，则实数m的取值范围是．2三、解答题：共70分。
四川省高考数学二诊试卷文科含答案解析
2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i 为虚数单位，那么复数 =〔〕A ．+ i B ． ﹣ iC ．﹣+iD ．﹣ ﹣i2．集合A={x|x 2+4≤5x ，x ∈R}，B={y|y ＞2}，那么A ∩B=〔〕 ．〔2，+∞〕 B ．〔4，+∞〕 C ．〔2，4] D ．[2，4] 3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm 〕、体重〔kg 〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R 2， 那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C ．身高为170cm 的学生体重一定为 D ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg．等差数列 n }的前n 项和为S n ，假设S 10 ，那么 3+a 8 〔〕4{a =55 a=A ．5B ．C ．10D ．115．设a=〔 〕 ，b=〔 〕 ，c=ln ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6．执行如下图的程序框图，那么输出 b 的值为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．167．将函数f 〔x 〕= sinx+cosx 的图象向右平移后得到函数 g 〔x 〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k 的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣39．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元D．元11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么?=．．假设等比数列n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+++=．14{a=615．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有〔填写所有正确命题的编号〕．16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m=．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分4-4：坐标系与参数方程].选修[（22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i为虚数单位，那么复=〔〕数A．+ i B．﹣i C．﹣+iD．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．应选：B．2．集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，那么A∩B=〔〕A．〔2，+∞〕B．〔4，+∞〕C．〔2，4] D．[2，4]【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，A∩B={x|2＜x≤4}=〔2，4]．应选C．3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm〕、体重〔kg〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2，那么以下说法正确的选项是〔〕A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为D．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加时体重约增加×．【解答】解：根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，×170﹣，预测身高为170cm的学生体重为，C错误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加×，D错误．应选：B．．等差数列n}的前n项和为S n，假设S10，那么3+a8〔〕4{a=55a=A．5 B．C．10 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5〔a3+a8〕，由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n的前n项和为S n，S10}=55，∴S10=〔3+a8〕=55，==5a解得a3+a8．=11应选：D．5．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=〔〕＜b=〔〕=，c=ln＜ln1=0，b＞a＞c．应选：B．6．执行如下图的程序框图，那么输出b的值为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，应选：D．7．将函数f〔x〕= sinx+cosx的图象向右平移后得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】将函数化简，通过向右平移后得到函数g〔x〕的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解．【解答】解：函数f〔x〕= sinx+cosx=2sin〔x+〕，图象向右平移后得：2sin〔x﹣+〕=2sin〔x﹣〕=g〔x〕，由x﹣=k，k∈Z，可得：x=k，当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=．应选D．8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心〔1，﹣2〕，假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．应选：A．9．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】此题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．应选：A．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元【考点】由三视图求面积、体积．D．元【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造本钱约为=×240≈元．应选：C．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备B设备2 43 1假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是由约束条件画出可行域，如下图的阴影局部由，结合图象可知，在A处取得最大值，由可得A〔50，100〕，此时××100=50万元，应选：C．12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，f〔t〕=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f〔t〕=2在1，∞〕有2个解，[+，当x＜0时，根据函数恒过点〔0，3〕，分类讨论，即可求出当k＞0时，f〔t〕=2时有3个解，问题得以解决．【解答】解：函数f〔x〕为“复合5解“，∴f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，∴f〔t〕=2，∵当x＞0时，f〔x〕= =，∴f〔x〕=，当0＜x＜1时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x＞1时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，∴f〔x〕min=f〔1〕=1，∴t≥1，∴f〔t〕=2在[1，+∞〕有2个解，当x≤0时，f〔x〕=kx+3，函数f〔x〕恒过点〔0，3〕，当k≤0时，f〔x〕≥f〔0〕=3，t≥3f〔3〕=＞2，∴f〔t〕=2在[3，+∞〕上无解，当k＞0时，f〔x〕≤f〔0〕=3，∴f〔t〕=2，在〔0，3]上有2个解，在〔∞，0]上有1个解，综上所述f〔f〔x〕〕=2在k＞0时，有5个解，应选：D二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么? = 32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，那么? =| |?| |?cosA=5×8×=32．故答案为：32．n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+﹣．14．假设等比数列{a=6++=1【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n2a3﹣a11221=6a1}的公比为，且=6，可得a〔﹣〕，解得．可∴得a n=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=6，a1〔22﹣1〕=6，解得a1=2．a n=2n．那么+ + + =+ + ==1﹣．故答案为：1﹣．15．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④〔填写所有正确命题的编号〕．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′中D，′对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m= 1或﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F〔，0〕，设A〔x，y〕，由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，那么x=2，那么y=±2，那么A〔2，2〕或A〔2，﹣2〕，当A点坐标〔2，2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，即=，解得：m=1，同理A点坐标〔2，﹣2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，﹣1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，=，解得：m=﹣1，故m为1或﹣1，故答案为：1或﹣1．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．【考点】余弦定理．【分析】〔1〕由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；2〕由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．【解答】解：〔1〕因为sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=，所以sin〔A﹣〕﹣cos〔A﹣〕=，那么sinA﹣cosA﹣〔cosA+ sinA〕=，化简得cosA=，又0＜A＜π，那么A=；2〕因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1，即sin2B=2sin2C，由正弦定理得，b2=2c2，那么b=c，又a=，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，那么5=2c2c2﹣2c2×，解得c=1，+那么b=c=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？【考点】众数、中位数、平均数．【分析】〔1〕分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，分别求出P〔A〕和P〔B〕，比拟即可．【解答】解：〔1〕由题意得：T1的平均数为：=，同理，可得T2的平均数为：=，故，甲图书馆借书的平均等待时间是分钟，乙图书馆借书的平均等待时间是分钟；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔A〕=P〔T1≤3〕=P〔T1=1〕P〔T1=2〕P〔T1=3〕=++；++设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔B〕=P〔T2≤3〕=P〔T2=1〕P〔T2=2〕P〔T2=3〕=++，++故P〔B〕＞P〔A〕，由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些，故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．〔2〕三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的体积．【解答】解：〔1〕直线DE∥平面ABC．证明如下：VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，AC?平面ABC，DE?平面ABC，∴直线DE∥平面ABC．2〕VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE=，∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=，∴DE⊥VC，S△ADE△CDE==，=S∴三棱锥A﹣BDE的体积V A﹣BDE=V B﹣ADE===．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由可得，解得a2，b2．〔Ⅱ〕设直线AB的方程：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k2+1〕x2+8ktx+〔4t2﹣8〕=0．△=16〔8k2﹣t2+2〕＞0，．写出直线PA、的方程，求出M、N坐标，由 =得〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕x1+x2〕+8t=0．把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．得t．【解答】解：〔Ⅰ〕由可得，解得a2=8，b2=2．∴椭圆的方程为：〔Ⅱ〕设直线AB的方程：．y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k21〕x28ktx〔4t2﹣8〕=0．+++△=16〔8k2﹣t22〕＞0，①+直线PA的方程，∴M〔0，〕同理N〔0，〕．由=得，〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕〔x1+x2〕+8t=0②把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直线l是否过定点Q〔0，﹣2〕21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax020．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕令f′〔1〕=﹣1解出a，得出f〔x〕的解析式，在利用导数判断fx〕的单调性，得出最值；II〕令g′〔x〕=0有解且x0为g〔x〕的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h〔x〕=xf 〔x〕+1+ax2，判断h〔x〕的单调性即可得出结论．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=﹣2a，f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′〔1〕=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f〔x〕=lnx﹣2x，f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=，当0时，f′〔x〕＞0，当x时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，]上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，f〔x〕的最大值为f〔〕=﹣1﹣ln2．〔II〕g〔x〕=lnx﹣2ax x2，g′〔x〕=x+﹣2a=，+令g′〔x〕=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕单调递增，∴g〔x〕无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′〔x〕=0有两解x1，x0，∵x0是g〔x〕的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′〔x0〕=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f〔x0〕+1+ax02=x0lnx0﹣，设h〔x〕=xlnx﹣，那么h′〔x〕=﹣x2++lnx，h″〔x〕=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″〔x〕＞0，当x时，h″〔x〕＜0，h′〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，h′〔x〕≤h′〔〕=ln＜0，h〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，即x0lnx0﹣＞0，x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，由此能求出点P的极坐标．【解答】解：〔1〕∵双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由〔Ⅰ〕知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为〔4cos〔〕，〕，即〔2，〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】〔1〕当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=﹣2时，不等式f〔x〕≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；2〕x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2021年4月5日。
2024届绵阳二诊试题及答案、数学文
绵阳市高中2021级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACDC BACAD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．721014．12-15．1216．0y ±=三、解答题：本大题共6小题，共70分．（2）111111()(23)(25)22325n n a a n n n n +==-++++，······························8分∴1111111(...)257792325n T n n =-+-++-++·················································10分11=104101025n n n =-++．······················································12分18．解：（1）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，···········································2分2100(20203030)=4>3.84160405050⨯-⨯=⨯⨯⨯······················································4分故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；········································5分（2）按分层抽样喜欢旅游的男性为2人，记为A 1，A 2，女性为3人，记为B 1，B 2，B 3，····························································································6分随机抽取2人的事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，····················8分不同性别的事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，···10分故两人是不同性别的概率63==105P ．···············································12分19．解：（1）∵43sin BA BC bc A⋅=⋅ ∴4cos 3sin a B b A ⋅=⋅··································································2分∴4sin cos 3sin sin A B B A =，····················································3分∴4tan 3B =，则3cos 5B =，·························································4分又∵424BA BC c ⋅= ，∴4cos 24ac B c =，·····································································5分∴cos 6a B =，∴65610cos 3a B ==⨯=；·····························································6分（2）由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅，··································7分∴2210012b c c =+-，·································································8分又48a b c ++=，则38b c +=，····················································9分∴22(38)10012c c c -=+-，·······················································10分∴21c =，·················································································11分∴114102184225ABC S ac sinB =⋅=⨯⨯⨯=．··································12分20．解：（1）设),(11y x A ，),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-=py x kx y 222，消y 整理得：0422=+-p pkx x ，························2分所以：pk x x 221=+，p x x 421=，·················································3分22112211)22()22(22x p kx x p kx x p y x p y k k FB F A +-++-=-+-=212121))(22(2x x x x p x kx ++-=041()22(22=-=+-=p k p k k ，·············································4分∴4=p ，即抛物线E 的方程为：y x 82=；·····································5分（2）由（1）可知：k x x 821=+，1621=x x ···················································6分且064642>-=∆k ，所以：12>k ，184)(||22122121-=-+=-k x x x x x x ，······································7分直线FA 的方程为：2211+-=x x y y ，所以：11114424kx x y x x M -=-=，····8分同理：22224424kx x y x x N -=-=，所以|4444|||||2211kx x kx x x x MN N M ---=-=······················································9分|)(416)(16|2122121x x k x x k x x ++--=···································································10分1618|1|18222≥-=--=k k k ······································································11分解得：125-<≤-k 或251≤<k ．·············································12分21．解：（1）2cos )3(2x a x x f '-+=，····················································1分∴2cos (0035)f '=+=，···································································2分切线斜率为5，················································································3分曲线()f x 在x =0处的切线方程为y =5x ．···············································4分（2）解法一：①当[]0,x π∈时'()2cos 23f x x ax =-+，····················5分若0a <时，2cos 23x ax >-恒成立，若0a ≥时'()f x 在[]0,π上单调递减．················································6分∴''()()2230f x f a ππ≥=--+≥，则102a π≤≤，···························7分综上：12a π≤；··············································································8分②当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时若0a ≥时，2cos 23x ax >-恒成立，∴'()0f x ≥恒成立，········································································9分若0a <时'()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴''()()302f x f a ππ≥-=+≥，则30a π-≤<，······························10分∴3a π≥-，··················································································11分综上所述：312a ππ-≤≤．·································································12分解法二：由（1）可知23=5>0(0)f +'=，∴()f x 在[]2ππ-，上必是单调递增函数，···············································5分令2cos )3(2x a x x f '-+=，则()302≥a f ππ'-=+，()120f a ππ'=-≥，··············································6分∴312a ππ-≤为()f x 在[]2ππ-上是增函数成立的必要条件，···················7分令2cos )3(2x a x x f '-+=，下证：当312a ππ-≤≤时，()≥0f x '对任意[]2，x ππ∈-恒成立，···················8分①当102a π≤≤时，[]2x ππ∈-，则11[42，ax ∈-，12[1]2，ax -∈-，∴2cos 2312(0)≥≥x ax a f x x -+-'=；·····················································9分②当30a π-<≤时，[0]，x π∈，20ax ->，很显然()2cos 30f x x '>+>；[0]2，x π∈-，()f x '为增函数，()()302≥≥≥f x f a ππ''-+；·························10分∴当312a ππ-≤≤时，()≥0g x 对任意[]2，x ππ∈-恒成立，·························11分∴312a ππ-≤，使得()f x 在[]2，ππ-上是单调函数．·····························12分22．（1）由题意：11)2()32222=+-=+t t y x （，且0132≥-=t x ，··················2分∴曲线C 的普通方程为：)0(14922≥=+x y x ·························································3分∴曲线C 的极坐标方程为14sin 9cos 2222=+θρθρ（22πθπ≤≤-），即θρ22sin 5436+=（22πθπ≤≤-）；··················································5分（2）由（1）得θρ22sin 5436+=，因为且OA ⊥OB ，不妨设)(1θρ，A ，)2(2πθρ+，B ，·····························6分∴θρ221sin 5436+=，······································································7分∴2222)2(sin 5436πθρ++==θ2cos 5436+，··········································8分∴2211OB OA +222211ρρ+=····················································································9分36cos 54sin 5422θθ+++=3658+=3613=．·········································10分23．（1）证明：因为))(11(22by ax b a ++2222y aby b ax x +++=a by b ax y x 22222⋅++≥222)(2y x xy y x +=++=，············3分∴()ba by ax y x 11222+≤++，·······································································4分当且仅当aby b ax 22=，即by ax =时，等号成立；·····································5分（2）函数245144)(22++++=x x x x x f 245)12(22+++=x x x []222)1(23)1(+⋅+⋅++=x x x x ·························7分根据（1）的结论，[]652131)1(23)1(222=+≤+⋅+⋅++x x x x ，··································8分当且仅当)1(23+=x x ，即2=x 时，等号成立．·····································9分∴函数)0(245144)(22>++++=x x x x x x f 的最大值为65，此时x =2．·····················10分。
2021年四川省高考数学诊断性试卷(文科)
2021年四川省高考数学诊断性试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设Z 为整数集，集合A ={x|x 2≤3}，则Z ∩A 的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 设复数z =1−i(i 为虚数单位)的共轭复数为z −，则z −⋅(1+z −)=( )A. 3+iB. 3−iC. 1−3iD. 1+3i3. 方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，象征着“同心”.在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度)( )A. 16B. 17C. 18D. 194. 已知命题p ，q 是简单命题，则“￢p 是假命题”是“p ∨q 是真命题”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异.如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y(万人)与时间t(天)的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是( )A. y =a +bxB. y =a +b √xC. y =a +be xD. y =a +blnx6. 已知函数f(x)={2−x,x ≤2log 0.5(x −1),x >2，则f[f(−3)]=( )A. 2B. −2C. −12D. 127. 在正四棱柱(底面为正方形且侧棱垂直于底面)ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BC =2AA 1，M 是BC 的中点，则异面直线BD 1与MC 1所成角的大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π68. 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%，可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过30%的情况下，该投资人可能获得的最大盈利为( )A. 40万元B. 50万元C. 60万元D. 70万元9. 已知直线l ：bx −ay +ab =0(ab >0)经过点P(−1,2)，则2a +b 的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 910. 将函数y =sin2x 图象上的每一个点按向量a⃗ =(φ,m)(其中φ和m 为常数，且|φ|<π2)移动后，所得图象关于直线x =π12对称，则φ的值可能为( )①π3；②π6；③−π6；④−π3． A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④11. 已知F(c,0)(其中c >0)是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点，圆x 2+y 2−2cx +b 2=0与双曲线的一条渐近线l 交于A 、B 两点，已知l 的倾斜角为30°，则tan∠AFB =( )A. −√2B. −√3C. −2√2D. −2√312. 设a =0.20.2，b =0.20.3，c =0.30.2，d =0.30.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A. c >a >d >bB. c >d >a >bC. c >a >b >dD. d >c >b >a二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知一组数据−3，2a ，4，5−a ，1，9的平均数为3(其中a ∈R)，则中位数为______ ． 14. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，已知2acosC =2b +√3c ，则角A 的大小为______ ．15. 已知直线经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并交抛物线于A 、B 两点，在抛物线的准线上的一点C 满足CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|= ______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在棱BB 1和CD 上运动，但始终保持MN 的长度为√5，设P 为MN 的中点.则BP 的长度为 ；点P 的轨迹所形成图形的长度为 ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S5=35，且a4是a1与a13的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1<4，求证：1S1+1S2+⋯+1S n<34，其中n∈N∗．18.团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观看过电影《夺冠(中国女排)》对影迷们随机进行了一次抽样调查，其列联表如表(单位：人)．(1)根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否观看过电影《夺冠(中国女排)》与年龄层次有关？(2)(ⅰ)现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠(中国女排)》的概率；(ⅰ)将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观看过电影《夺冠(中国女排)》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：19.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点．(1)求证：经过A、B、E三点的截面平分侧棱PD；(2)若PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，求四面体ABEP的体积．ax2−x．20.已知函数f(x)=e x−12(1)设f′(x)是f(x)的导函数，讨论函数y=f′(x)的单调性；(2)当a≤1−1时，求函数f(x)在[−1,+∞)上的最小值．e21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(−1,32)，且离心率为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不与坐标轴垂直的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：当l的方向变化时，|MN|与|PF|的比值为常数．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：{x=√3+2cosαy=−1+2sinα(其中α为参数).以O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设点A的极坐标为(3,−2π3)，点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．23.设函数f(x)=x|x−a|，其中a为常数．(1)当a=1时，求不等式f(x)<2的解集；(2)若方程f(x)=1有三个不等实根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵Z为整数集，集合A={x|x2≤3}={x|−√3≤x≤√3}，∴Z∩A={−1,0，1}，∴Z∩A的元素个数为3．故选：B．求出集合A，利用交集定义求出Z∩A，由此能求出Z∩A中的元素个数．本题考查集合的运算，涉及到交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：复数z=1−i(i为虚数单位)的共轭复数为z−=1+i，则z−⋅(1+z−)=(1+i)(2+i)=1+3i，故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为α，则小菱形的边长为a，一个大菱形的面积为：2×12×2a⋅2a⋅sinα=4a2⋅sinα，一个小菱形的面积为：2×12×a⋅a⋅sinα=a2⋅sinα，∴任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度)：a2⋅sinα2×4a2⋅sinα−a2⋅sinα=17．故选：B．设大菱形的边长为2a，其中一个顶角为α，则小菱形的边长为a，进而求出各自的面积，即可求解结论．本题主要考查几何概型的面积比，属于基础题目．4.【答案】A【解析】解：￢p 是假命题，则p 是真命题，推出p ∨q 是真命题，是充分条件， 反之，不成立， 故选：A ．根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．5.【答案】C【解析】解：函数图像随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快，属于指数型函数的特征，只有选项C 为指数型函数． 故选：C ．由题意结合所给曲线的特点确定回归方程的类型即可． 本题主要考查函数模型的选项及其应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2−x,x ≤2log 0.5(x −1),x >2，则f(−3)=2−(−3)=5， 则f[f(−3)]=f(5)=log 124=−2；故选：B ．根据题意，由函数的解析式求出f(−3)的值，即可得f[f(−3)]=f(5)，计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设B 1C 1的中点为N ，连结BN ，ND 1，因为ABCD −A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，且底面ABCD 为正方形， 设BC =2a ，则AA 1=a ，因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，故B N//C 1M ，所以异面直线BD 1与MC 1所成的角即为∠NBD 1， 因为BB 1=a ，B 1N =12B 1C 1=a ，则BN =√2a ，C 1N =12B 1C 1=a,C1D 1=2a ，故ND 1=√a 2+(2a)2=√5a ，BD 1=√(2a)2+(2a)2+a 2=3a ， 在△BND 1中，由余弦定理可得cos∠NBD 1=NB 2+BD 12−ND 122⋅NB⋅BD 1=2222⋅√2a⋅3a=√22， 又∠NBD 1∈(0,π2]，所以∠NBD 1=π4， 故异面直线BD 1与MC 1所成角的大小为π4． 故选：C ．设B 1C 1的中点为N ，连结BN ，ND 1，得到BN//C 1M ，从而得到异面直线BD 1与MC 1所成的角即为∠NBD 1，然后在△BND 1中，由余弦定理求解即可．本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键找到两条异面直线所成的角，要注意异面直线所成角的取值范围，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：设投资甲、乙两个项目分别为x 、y 万元， 由题意有{x +y ≤3000.5x +0.2y ≤90x ≥0y ≥0，且最大盈利为z =30%x +20%y ，所以由图知，当z =30%x +20%y 过x +y =300，0.5x +0.2y =90的交点(100,200)时有最大值，所以z =0.3×100+0.2×200=70万元， 故选：D ．根据题设不等关系列出不等式，以及盈利的代数式，然后利用线性规划的方法进行求解即可．本题主要考查线性规划的实际应用 ，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵直线l：bx−ay+ab=0经过点P(−1,2)，∴−b−2a+ab=0，即2a+b=ab，得到1a +2b=1，因为ab>0，故ba >0,ab>0，2a+b=(2a+b)(1a +2b)=4+ba+4ab⩾4+2√ba×4ab=8，当且仅当ba =4ab，即a=2,b=4时等号成立，则2a+b的最小值为8，故选：C．由题意得到1a +2b=1，利用基本不等式，求得2a+b的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)移动后得到y= sin[2(x−φ)]+m，∵所得图象关于直线x=π12对称，∴2(π12−φ)=π2+kπ，k∈Z，∴φ=−π6−kπ2，k∈Z，又|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π6；当k=−1时，φ=π3，∴φ的值可能为π3，−π6．故选：A．平移后得到y=sin[2(x−φ)]+m，再结合正弦函数的轴对称，可得φ=−π6−kπ2，k∈Z，然后根据φ的范围限制，即可得解．本题考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的轴对称，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx −ay =0，圆x 2+y 2−2cx +b 2=0化为(x −c)2+y 2=a 2，圆心(c,0)，半径为a ，l 与圆(x −c)2+y 2=a 2(其中c 2=a 2+b 2)相交于A ，B 两点，由l 的倾斜角为30°，可得b a =tan30°=√33，F(c,0)到直线l 的距离为|FD|=√b 2+a 2=b ，∴|BD|=√a 2−b 2， 则tan∠DFB =|BD||FD|=√a2−b 2b=√a 2b 2−1=√2，得tan∠AFB =tan2∠DFB =2tan∠DFB 1−tan 2∠DFB=2√21−2=−2√2．故选：C ．设出一条渐近线方程，化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求得圆心到渐近线的距离，由已知得到ba=√33，然后求解三角形即可求得tan∠AFB ．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：∵a =0.20.2，b =0.20.3，c =0.30.2，d =0.30.3， 函数y =0.2x 是R 上的减函数，∴a >b ； y =0.3x 是R 上的减函数，∴c >d 而y =x 0.3是R 上的增函数，∴b <d ； y =x 0.2 是R 上的增函数，∴a <c ．再根据a =√0.0410，d =√0.02710，∴a >d ．综上可得，c >a >d >b 故选：A ．由题意利用指数函数、幂函数的单调性，可得a ，b ，c ，d 的大小关系． 本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于中档题．13.【答案】3.5【解析】解：由题意得，−3+2a +4+5−a +1+9=18， 故a =2，数据按从小到大的顺序排列为−3，1，3，4，4，9， 故中位数3+42=3.5．故答案为：3.5．先由平均数公式求出a ，进而可求中位数．本题主要考查了求解一组数据的平均数及中位数，属于基础题．14.【答案】5π6【解析】解：因为2acosC =2b +√3c ， 所以2a ×a 2+b 2−c 22ab=2b +√3c ，整理得，b 2+c 2−a 2=−√3bc ， 由余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc=−√32， 因为A 为三角形内角， 所以A =5π6．故答案为：5π6．先利用余弦定理对已知条件进行化简，然后结合余弦定理可求cos A ，进而可求A ． 本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 由题意可得C(−1,y 0,)设B(x 1,y 1)，设B 在x 轴下方，因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1+1,y 1−y 0)=2(1−x 1,−y 0)，属于可得x 1+1=2(1−x 1)，可得x 1=13，将x 1=13代入抛物线的方程可得y 12=4×13=43， 所以y 1=−2√33，即B(13,−2√33)， 所以k BF =0−(−2√33)1−13=√3，所以直线AB 的方程为：y =√3(x −1)， 联立{y =√3(x −1)y 2=4x，整理可得3x 2−10x +3=0，解得：x =3或13， 所以可得A 的横坐标为3，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|AF|=3−(−1)=4， 故答案为：4．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标就及准线方程，设B 的坐标，及C 的坐标，由向量的关系可得B 的横坐标，代入抛物线的方程可得B 的纵坐标，进而可得直线BF 的斜率及方程，直线BF 的方程与抛物线联立求出A 的横坐标，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出|AF|的值．本题考查抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，及由向量得坐标的关系，直线与抛物线的综合，属于中档题．16.【答案】√52π4【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，连接BN ，BP ， 由BB 1⊥平面ABCD ，可得BB 1⊥BN ，所以△BMN 为直角三角形， 又由P 为MN 的中点，且|MN|=√5，可得BP =12MN =√52，由已知点P 在平面EFMN 内，其中E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，A 1D 1，B 1C 1的中点， 如下图，在Rt△BPE中，得PE=√BP2−BE2=√54−1=12，可得点P的轨迹所表示的图形是以E点为圆心，以12为半径的圆在矩形EFMN内部的部分，其弧长为π2×12=π4．故答案为：√52；π4．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，得到△BMN为直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得BP的长，然后得到点P的轨迹，结合弧长公式，即可求解．本题考查空间中的轨迹问题，属于难题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S5=35，得5a1+10d=35，因为a4是a1与a13的等比中项，所以(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简得a1=7−2d，且2a1d=3d2，解方程组，得a1=7，d=0或a1=3，d=2，故{a n}的通项公式为a n=7或a n=2n+1(其中n∈N∗)．(2)证明：因为a1<4，则a n=2n+1，于是S n=n(n+2)，于是1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，故1S1+1S2+⋯+1S n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34，其中n∈N∗．【解析】本题考查等差数列的通项公式及前n项和、等比中项的性质、数列的求和，以及不等式的证明，属于中档题．(1)由等差数列的前n项和公式、等比中项的性质、等差数列的通项公式可得关于a1和d 的方程组，解之即可得解；(2)利用裂项相消法求和证明即可．18.【答案】解：(1)根据表中数据，计算K 2=100×(40×20−30×10)270×30×50×50=10021，因为10021<5<5.024，所以不能在犯错误的概率不超过2.5%的前提下， 认为是否观看过电影《夺冠(中国女排)》与年龄层次有关． (2)(ⅰ)依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有5×3050=3(人)，没观看过的有2人， 记抽取的3人中有i 人观看过电影为事件A i (i =1,2，3)， 则P(A 2)=C 32⋅C 21C 53=3×210=35，P(A 3)=C 33C 53=110，从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人观看过该电影的概率为： P =P(A 2)+P(A 3)=35+110=710；(ⅰ)由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，则随机变量ξ服从二项分布B(10,710)， 所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)=10×710=7， 方差为D(ξ)=10×710×(1−710)=2.1．【解析】本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．(1)根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论．(2)(ⅰ)利用分层抽样方法抽取对应人数，计算所求的概率值； (ⅰ)由题意知ξ服从二项分布，由此计算ξ的数学期望和方差．19.【答案】(1)证明：设截面ABE 与侧棱PD 交于点F ，连结EF ，AF ，因为底面ABCD 为矩形，所以AB//CD ， 又AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以AB//平面PCD ，又AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ∩平面PCD =EF ， 所以AB//EF ，又因为AB//CD ，所以CD//EF ，因为E 为PC 的中点，所以F 为PD 的中点，即截面ABE 平分侧棱PD ；(2)解：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PA，又BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，取PB中点H，连接EH，因为E是PC的中点，所以EH//BC，即EH=1且EH⊥平面PAB，又Rt△PAB的面积S=12PA⋅AB=2，所以四面体ABEP的体积为V=V E−PAB=13S⋅EH=23．【解析】本题主要考查了线面平行的判定定理和线面平行的性质定理，以及线面垂直的判定定理和锥体的体积，同时考查了空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．(1)设截面ABE与侧棱PD交于点F，连结EF，AF，利用线面平行的判定定理证明AB//平面PCD，再利用线面平行的性质定理得到AB//EF，从而可得结论；(2)取PB中点H，连接EH，证明EH⊥平面PAB，求出Rt△PAB的面积，最后根据锥体的体积公式进行求解即可．20.【答案】解：(1)由已知f′(x)=e x−ax−1，f″(x)=e x−a，①a≤0时，f″(x)>0在R上恒成立，故f′(x)在R上递增，②a>0时，令f″(x)>0，解得：x>lna，令f″(x)<0，解得：x<lna，故f′(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增，综上：a≤0时，f′(x)在R递增，a>0时，f′(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；(2)由(1)知，①a≤0时，f′(x)=e x−ax−1在(−1,+∞)递增，又f′(0)=0，∴−1<x<0时，f′(x)<0，x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)min=f(0)=1；②0<a≤1e时，lna≤−1，由(1)知f′(x)在(−1,+∞)递增，又f′(0)=0，则f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)min=f(0)=1，③1e <a≤1−1e时，由(1)知：f′(x)在(−1,lna)递减，在(lna,+∞)递增，且f′(0)=0，f′(−1)=1e+a−1≤0，∴−1≤x<0时，f′(x)<0，x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，则f(x)min=f(0)=1，综上：函数f(x)在[−1,+∞)上的最小值是1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出导函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，结合导函数的单调性，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．21.【答案】解：(1)由已知可得：{ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)证明：设直线MN的方程为：x=ty+1(t≠0)，代入椭圆方程可得：(3t2+4)y2+6ty−9=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=−6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，所以|MN|=√1+t2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+t2⋅√36t2(3t2+4)2+363t2+4=12(t2+1)3t2+4，设线段MN的中点坐标为(x0,y0)，则y0=y1+y22=−3t3t2+4，x0=ty0+1=43t2+4，则MN的垂直平分线方程为y+3t3t2+4=−t(x−43t2+4)，令y=0，得点P的横坐标为x P=13t2+4，于是|PF|=|1−x P|=3(t2+1)3t2+4=14|MN|，故当l的方向改变时，|MN|与|PF|的比值为常数4．【解析】本题考查了椭圆的方程以及性质，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到定值问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．(1)由已知建立方程．联立方程即可求解；(2)设出直线MN的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出|MN|以及线段MN 的中点的坐标，由此求出直线MN 的垂直平分线方程，进而求出点P 的横坐标，即可求出|PF|，由此即可求解．22.【答案】解：(1)曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα(其中α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −√3)2+(y +1)2=4， 整理得x 2+y 2−2√3x +2y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0，化简为：ρ=4cos(θ+π6)． (2)设B(ρ,θ)，A 的极坐标为(3,−2π3)，所以OA 和OB 的夹角为θ+2π3，所以S △OAB =12×3×ρ×sin(θ+2π3)=32×4×cos(θ+π6)×sin(θ+2π3)，=6cos 2(θ+π6)，当θ+π6=0时，S △OAB 的最大值为6，即B(4,−π6).【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用和三角函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，极径的应用，三角函数的关系式的变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)a =1时，函数f(x)=x|x −1|={x −x 2,x <1x 2−x,x ≥1，当x <1时，由f(x)<2得：x −x 2<2，此不等式恒成立，故x <1， 当x ≥1时，由f(x)<2得：x 2−x <2，解得：1<x <2，故1≤x <2， 综上，不等式f(x)<2的解集是{x|x <2}； (2)f(x)−1={x 2−ax −1,x ≥a−x 2+ax −1,x <a ，①当a =0时，f(x)在其定义域上单调递增， 故函数f(x)=1有且只有一个实根； ②当a >0时，f(x)在(−∞,a2]上是增函数，在(a2,a)上是减函数，在[a,+∞)上是增函数；且f(a)=−1，故只需使f(a2)=−a24+a22−1>0，解得，a>2；③当a<0时，f(x)在(−∞,a]上是增函数，在(a,a2)上是减函数，在[a2,+∞)上是增函数；且f(a)=−1，故不可能有三个实根；综上所述，a>2，即a的取值范围是(2,+∞)．【解析】(1)代入a的值，解各个区间上的关于x的不等式，求出不等式的解集取并集即可；(2)化简f(x)−1，从而分类讨论确定函数的单调性及极值，从而解得．本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值函数的应用．。
四川省绵阳市2021届高三数学上学期第二次诊断性考试试题理
四川省绵阳市2021届高三数学上学期第二次诊断性考试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x∈N|－1≤x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝A.[－1，1)B.(0，1)C.{－1，1}D.{1}2.已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，直线l2：2x＋ay＋1＝0，若l1⊥l2，则a＝A.0B.2C.±2D.43.已知平面向量a＝(1，3)，b＝(2，λ)，其中λ>0，若|a－b|＝2，则a·b＝A.2B.23C.43D.84.二项式(2x－)6的展开式中，常数项为xA.－60B.－40C.60D.1205.已知函数f(x)＝x3＋sinx＋2，若f(m)＝3，则f(－m)＝A.2B.1C.0D.－16.已知曲线y＝e x(e为自然对数的底数)与x轴、y轴及直线x＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a－1。
现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857.已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n＋sb n}(r，s∈R)也是等差数列；命题q ：∀x ∈(2k π，2k π＋2π)(k ∈Z)，都有sinx<x 。
则下列命题是真命题的是 A.¬p ∧q B.p ∧q C.p ∨q D.¬p ∨q8.对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分。