第三章 信号与线性系统 吴大正 教材课件

离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
单位序列及其响应
单位序列和单位阶跃序列 单位序列 单位阶跃序列
δ (k ) = {
1，k=0 0, k ≠ 0
ε (k ) = {
ε (k ) =
k i = −∞
0，k<0 1, k>=0
∞
δ(k)= ε(k)-ε(k-1)
∑ δ (i) = ∑ δ (k − j )
h(1)=0-a0h(0)=-a0 ； h(2)=0-a0h(1)=(-a0)2； h(3)=0-a0h(2)=(-a0)3；
h(k)=(-a0)kε(k)
迭代法不易写出阶数较高时闭式解
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 2、等效初值法 给系统赋了一定的初始(条件)值，且可由迭代法先求得n阶系统的 n个初始条件h(0), h(1),…, h(n-1)。 例5：二阶系统h(k)+a1h(k-1)+a0h(k-2)=(k) δ 解：由迭代法可得初始条件： h(0)=1-a1•0-a0 • 0=1，h(1)=0-a1 • 1-a0 • 0=-a1 k≥1时求 ≥ 时求 时求h(k)的问题变为零输入响应问题： 的问题变为零输入响应问题： 的问题变为零输入响应问题
那么：zs (k) = ∑ f (i)h(k − i) = ⋯+ f (−1)h(k +1) + f (0)h(k) + f (1)h(k −1) y
i=−∞
i=∞
+ f (2)h(k − 2) +⋯
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 卷积和定义： 卷积和定义： 定义
f1 (k ) * f 2 (k ) =
最后
y (k ) = a k u (k )
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 时域经典法
y(k) = yh(k) + yp(k)
齐次解 齐次解yh(k) : 特解
y(k)+an-1y(k-1)+…+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0(后向)
对应的特征方程为：λn+an-1λn-1 + …+a1λ+a0=0
y ( − 1 ) = y zi ( − 1 ) = 0 y (−2) = y (−2) = 1 zi 2
yzi(k)=(-1)k-2(-2)k，k≥-2
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 ii) 求yzs(k)(零状态响应) yzs(k) =C1(-1)k+C2(-2)k +(1/3) 2k ε(k)(全响应的形式) (1)=代入yf(0) =1 yf(1)=-1 Why?
任意离散序列可以表示为如图3 .1
f (k) ={ f (k)}=⋯+ f (−1)δ (k +1) + f (0)δ (k) + f (1)δ (k −1) + f (2)δ (k − 2) +⋯= ∑ f (i)δ (k −i)
i=−∞ i=∞
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
图3 .1
λ1、 = a + jb = ρe ± jβ ; ρ k [C cos( βk ) + D sin( βk )] 2
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
例2 已知： y ( k ) + 3 y ( k − 1) + 2 y ( k − 2) = 0
y ( −2) = 2, y ( −1) = 1，求 y ( k )
注意此例初始值是k=0和1的值即外施激励接入以后的值，所求 解是全响应
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 零输入和零状态
y(k)=yzi(k)+ yzs(k)
特征根是N个单根的情况：
y zi (k ) = ∑ C i λi
i =1
n
k
y zs (k ) = ∑ C s λi + y p (k )
δ (k ) 时，系统的零状态响应
h(k)+a0h(k-1)=(k ) (零状态h(k)=0, k<0) δ
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 将差分方程中h(k)放在左边，其余各项放在右边，形成递推式 放在左边，其余各项放在右边， 将差分方程中 放在左边
递推过程：h(0)=1-a0h(-1)=1；
∇f (k) = f (k) − f (k −1)
def
∆f (k ) = f (k + 1) − f (k )
def
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 常系数线性差分方程的求解方法： 常系数线性差分方程的求解方法：
y(k)+an-1y(k-1)+…+a1y(k-n+1)+a0y(k-n) =bmf(k)+bm-1f(k1)+…+b1f(k-m+1)+b0f(k-m)
解：列出特征方程并求根
λ2 + 3λ + 2 = 0, λ1 = −1, λ2 = −2
k k 齐次解： 齐次解： y(k ) = C1 (−1) + C2 (−2)
原方程的激励为零，所给初始条件与激励无关，可以用来确定待 定系数。则有：
y ( − 2 ) = C 1 ( − 1) −2 + C 2 ( − 2 ) −2 = 2 y ( − 1) = C 1 ( − 1) −1 + C 2 ( − 2 ) −1 = 1
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第七讲
教学要点： 教学要点： 差分方程及其求解
单位序列响应和单位阶跃响应 单位序列响应和单位阶跃响应
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
差分方程及其求解 差分方程及其求解
差分方程：由激励序列项（右边）和响应序列项 （左边）组成。 差分方程 阶数：响应序列的变量最高序号和最低序号的差数称为差分方程 的阶数。 后向差分方程：变量序号以递减方式排列 前向差分方程：变量序号以递增方式排列 后向差分方程 前向差分方程
j =0
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 单位序列响应： 单位序列响应： 当LTI离散系统的激励为单位序列 （h(k)=0, k<0;h(-1)= h(-2) …=0） 1、迭代法(递推法) 例 ：已知离散系统差分方程 y(k)+a0y(k-1)=f(k)求其单位序列响 应： 系统的单位序列响应方程
y(k)=C1(-1)k+C2(-2)k +(1/3) 2k ε(k)
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 iii) 将y(0)=0，y(1)=2代入
0 = C +C + 1 C = 2 1 2 1 3 3 ⇒ ⇒ y(k) =[2 (−1)k −(−2)k + 1 (2k )]ε(k) 3 3 2 = −C1 −2C2 + 2 C2 = −1 3
1 yzs (0) = C1 (−1) 0 + C2 (−2) 0 + ⋅ 20 = 1 3 1 yzs (1) = C1 (−1)1 + C2 (−2)1 + ⋅ 21 = −1 3
确定C ， 确定 1，C2
1 C 1 = − 3 C2 = 1
≥ ∴ y f (k) = − 1 (−1)k + (−2)k + 1 (2k ), k0 3 3
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 迭代法 例1 已知y(k)=ay(k-1)+x(k)，且y(k)=0，k<0，x(k)=δ(k)，求y(k)。
y (0) = ay (−1) + x(0) = δ (k ) = 1 y (1) = ay (0) + x(1) = a y (2) = ay (1) + x(2) = a 2 ⋮
k i =1
n
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
例4：设y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2kε(k)，y(0)=0，y(1)=2， 求yzi(k)、yzs(k)、y(k)。
解：i) 求yzi(k)(零输入响应) yx(k)=C1(-1)k+C2(-2)k (对应奇次方程的解的形式) 给定y(0) ，y(1)的值为激励作用后的值，因此要求激励作用前 的值y(-1) ，y(-2)来确定C1，C2 分别令k=0，1并将y(0) ，y(1)的值代入原方程得： 0+3y(-1)+2y(-2)=1 2+3·0+2y(-1)=2 代入式（3-1）得
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第八讲
教学要点： 教学要点： 卷积和的定义 卷积和的求解方法 卷积和的性质
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析
卷积和
f (m) , k = m f (k )δ (k − m) = f (m)δ (k − m) = 0, k ≠ m
离散系统的时域分析 第3析
LTI离散系统的响应 3.1 LTI离散系统的响应 3.2 单位序列和单位序列响应 3.3 卷积和
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 本章教学内容基本要求： 本章教学内容基本要求： 1、熟练掌握差分方程的经典解（齐次解、特解） 2、深刻理解初始值，熟练掌握初始条件的确定，零输 入和零状态响应解的求法。 3、熟练掌握卷积和和卷积和的性质。
4
Cak ε(k)
5
Acos[dk+k0] ε(k)
离散系统的时域分析 第3章 连续系统的复频域分析 例3：设y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k ε(k)，y(0)=0，y(1)=2，求y(k)。 解：i) 特征方程λ2+3λ+2=0⇒λ1=-1, λ2=-2, ⇒ yh(k)=C1(-1)k+C2(-2)k ii) 确定yp(k)的形式为A2k 代入方程得：A2k+3A2k-1+2A2k-2=2k 方程两边同乘2-k得 解得 A=1/3得 A+3A2-1+2A2-2=1 yp(k)=(1/3) 2k ε(k)