《信号与系统要点复习》吴大正第四版
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▪ 傅氏正变换
▪ 傅氏反变换
二、欧拉公式
三、常用信号傅里叶变换
1、第1组 ---时域：模拟单频信号 ⏹ 傅里叶变换：
)(ωδπA A A ↔
t
t f F t d e )()( j ωω-∞
∞
-⎰
=ωωωd e )(21)( j t
F t f ⎰∞∞-π
=0000j j 0j j 01cos (e e )21
sin (e e )
2j t
t t t t t ωωωωωω--=
+=-[]
)()(cos 000ωωδωωδπω-++↔t []
)()(sin ωωδωωδπω--+↔j t 1
t
)
(t δ 0
ω
t
)(ωδ
1 1)(t δ
时域单位冲激函数及频谱
A
t
)
(t δ ω
t
)(ωδ
)(2ωδπA
时域直流函数及频谱
正弦、余弦函数及频谱
⏹频谱图：
⏹物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们
的密度频谱都是冲激函数。
2、第2组时域：数字信号
⏹单位冲激序列函数为周期且
波形图频谱图
⏹单脉冲信号
波形图频谱图
t
e0jωt0
cosω
00
t
sinω
∑∞
-∞
=
-
=
n
T
nT
t
t)
(
)(δ
δ
2
ω
π
=
T
T
∑
∑∞
-∞
=
∞
-∞
=
-
=
-
↔
n
n
T
n
n
T
t)
(
)
(
1
2
)(
ω
ω
δ
ω
ω
ω
δ
π
δ
()a()b
)
2
(
Sa
)
(
)(
ωτ
τ
ω=
↔F
t
f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。
波形图
四、傅里叶变换的几个重要结论（性质）
（1）带宽受限于无限
时域受限 频域无限 频域受限 时域无限
（2）时域卷积与频域卷积
)()()()(2121ωωF F t f t f •⇒* )()()()(2121t f t f F F •⇐*ωω
（3）尺度展缩
∑∑∞
-∞=∞
-∞=-=-↔
n n T n n n n T
t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ
2
2
-
)
(||1)()(||)(a t f a a F a F a at f ⇐⇒
ω
从波形和频谱上看：时域压缩则频域扩展
反之：时域扩展则频域压缩
（4）离散性与周期性
时域周期（1T ）
频域离散（1
12T πω=） 频域周期（s ω 时域离散（s
Ts ωπ
2=
）
（5）互易性（或对称性）
)
()(2)
()(t F f F t f -⇐-⇒ωπω 典型应用： )(211)(ωπδδ⇒⇒t
（6）时移与频移
0)()()()(00t j t j e
t f F e F t t f ωωωωω⇐-⇒--
所谓傅里叶变换的性质：是指当当型号的时域（或频域）发生某种改变（或作运算）之后，在频域（或时域）相应的变化规律。通信系统中借助于这些性质的应用解释其构成原理。
五、帕什瓦尔定理（关于信号的能量谱与功率谱的结论）
1、内 容：信号的时域能量 = 信号的频域能量
信号的时域功率 = 信号的频域功率
2、表达式:
⎰
⎰∞
∞
=
=2
2
)(1
d )(d F t t f E ω
ω
（1）信号能量
式中，称之为能量谱密度。
（2）信号功率
式中称之为功率谱密度。
帕什瓦尔定理是从时域和频域2个研究角度来研究一个信号的特性，所以该定理表征的是一个能量信号的时域能量和它的频域能量是相等的。一个功率信号的时域功率和它的频域功率是相等的。
六、滤波器（特殊的线性系统）
定义：讲输入信号中的某些频率成分滤除掉而将剩余的频率成分输出的器件。
因为是现行系统所以满足一下特性：
输出信号的时域波形=输入信号的时域波形与滤波器的单位冲激相应相卷积。
输出信号的频谱（傅氏变换）=输入信号的傅氏变换与滤波器的传递函数相乘。