人教A版高中数学必修3课件：2.2.2.2标准差(共16张PPT)
高中人教A版数学必修3课件2 本章整合
码与前一个号码的差都等于分段间隔.
10
解析:按分层抽样时,在一年级抽取 108×
= 4(人),在二年级、
10
270
三年级各抽取 81×
= 3(人),则在号码段 1,2,…,108 中抽取 4 个
270
号码,在号码段109,110,…,189中抽取3个号码,在号码段
190,191,…,270中抽取3个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层
抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样;如果按系统抽样时,抽取
出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能
为系统抽样,②④都不能为系统抽样.
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题二 用样本的频率分布估计总体分布
1
[(1 -)2 + (2 -)2 + … + ( -)2 ]
1
[(1 -)2 + (2 -)2 + … + ( -)2 ]
标准差与方差的意义:标准差和方差都是描述一组数据围绕平均数波动的程度
定义:散点图中的点分布在一条直线附近
相关关系→线性相关
回归方程
求法:最小二乘法求回归方程系数
计总体,因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性的样本对整个统
计问题起着至关重要的作用.高考中主要考查三种抽样方法的比较
和辨析以及应用.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1已知某校的初中学生人数、高中学生人数、教师人数之
比为20∶15∶2,现在用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容
高中数学必修3全册(人教A版)
精选2021版课件
35
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
程序框图如下：
开始
当型循环结构
i=1
循环体
条件 是
否
s=0 i=i+1
i<=100?
否 输出s
是 s=s+i
结束 精选2021版课件
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三．五种基本算法语句
INPUT “提示内容”;变量
可对程序中 的变量赋值
（1）提示内容和它后面 的“；”可以省略
（2）一个语句可以给多个变 量赋值，中间用“，”分隔
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1x an2
v3 v2 x an3
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一
次多项式的值的方法，精选称2021为版课秦件 九韶算法。
31
秦九韶算法的特点：
条件 是
否
WHILE 条件 循环体
WEND
20
直到型循环语句
开始
i1
i=1
S 0
直到型循环结构
S=0
DO
SSi
i i 1
i 100?
是
输出S
直到型循环语句 S=S+i
否
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT S
结束
高中数学必修3第二章 2.2.2
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识点一 众数、中位数、平均数思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大.梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数).(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 a .s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b .数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.1.中位数是一组数据中间的数.( × )2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(√)3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.(√)类型一众数、中位数、平均数的应用命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元.(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1≈2 209.1＋6＋5＋10＋1(2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：分组 频数 频率 [121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 (1)频率分布表如下：分组 频数 频率 [121,123) 2 0.10 [123,125) 3 0.15 [125,127) 8 0.40 [127,129)40.20[129,131] 3 0.15 合计201.00(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3， 平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.012＝40；中位数为39.99＋0.225＝39.998；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2. 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.类型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小. (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等，则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 解 x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； s 2甲＝17[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2] ＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2] ＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.所以s2甲＜s2乙，故甲车间产品较稳定.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23考点中位数题点求茎叶图中的中位数答案 B解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A.1＋a,4B.1＋a,4＋aC.1,4D.1,4＋a考点平均数题点由两组数的关系求平均数和方差答案 A解析∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数y＝110·(y1＋y2＋…＋y10)＝110·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝110·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝1＋a，其方差s22＝110·[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是()A.73.3,75B.73.3,80C.70,70D.70,75考点 中位数题点 求频率分布直方图中的中位数 答案 A解析 由图可知小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70,80)之间的有18人，所以中位数落在[70,80)这组内，且为70＋103≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标，即70＋802＝75.4.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8， 可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72， ∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.1.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.一、选择题1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( ) A.85分，85分，85分 B.87分，85分，86分 C.87分，85分，85分D.87分，85分，90分考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 C解析 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85，故选C.2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：次品数0123 4频率0.50.20.050.20.05则次品数的平均数为()A.1.1B.3C.1.5D.2考点平均数题点由表或图估计平均数答案 A解析设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()A.65 B.65C.2D. 2 考点方差与标准差题点求方差与标准差答案 D解析∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴a＋65＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D.4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是()A.甲棉种；甲棉种B.乙棉种；甲棉种C.甲棉种；乙棉种D.乙棉种；乙棉种考点用样本数字特征估计总体数字特征题点平均数与方差的综合应用答案 C解析根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71.∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70； 乙棉种的平均值x乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69. 甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2， 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定.故选C.5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为( )A.62,62.5B.65,62C.65,62.5D.62.5,62.5考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 答案 C解析 ∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1，0.10.4×10＝2.5，∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 D解析 由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b ＝12×(15＋15)＝15，c ＝17，∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，① (x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6D.62.8,3.6考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 A解析 甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， 所以x 甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81， x乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8. 所以x 甲＜x 乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定.二、填空题10.一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 答案 2 2解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，∴此组数据的标准差s ＝2 2.11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305， 所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组.12.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 答案 5743解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5， ∴4＋x 2＝5，∴x ＝6.∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5，这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.三、解答题13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 故直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，得a ＝224， 即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).四、探究与拓展14.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差的综合应用 答案 B解析 由题图知，A 组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A ＜x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A ＞s B .15.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.考点平均数题点由表或图估计平均数答案50 1 015解析由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).。
【课件】新课标人教A版数学必修3：2.2.1用样本的频率分布估计总体分布课件
频率分布
样本中所有数据（或数据组）的频数和样 本容量的比，叫做该数据的频率.
所有数据（或数据组）的频数的分布变化 规律叫做样本的频率分布.
频率分布的表示形式有： ①样本频率分布表 ②样本频率分布条形图 ③样本频率分布直方图
2.2.1用样本的频率分布 估计总体分布(1)
我国的缺水情况
• 我国是世界上严重缺水的国家之一。
茎叶图
甲
乙
8 463 368 389
1
0 1 25 2 54 3 1 61679 4 49 50
注：中间的数字表示得分的十位数字。
旁边的数字分别表示两个人得分的 个位数。
茎叶图的特征：
(１)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上 没有原始数据信息的损失；二是茎叶图中的数据可 以随时记录，随时添加，方便记录与表示；
极差 组距
4.1 0.5
8.2
3.将数据分组(8.2取整,分为9组)
4.列出频率分布表.
5.画出频率分布直方图
画频率分布直方图
步骤：
1.求极差： 4.3 - 0.2 = 4.1
2.决定组距与组数：组数=
极差 组距
=
4.1 0.5
= 8.2
3.将数据分组
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
组距0.5
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 123456789
组距0.5
0.6 0.5 0.4 组距0.5 0.3 0.2 0.1
0 123456789
组距0.5
所得到的结论的统计意义
• 3t这个标准一定能保证85%以上的居民用水 不超标吗？
• 不一定！ • 原因1、样本只是总体的代表，并且具有随
高中数学人教A版必修三课时习题：第2章 统计 2.2.2.2含答案
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征第2课时方差、标准差课时目标1.理解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差和标准差，掌握用样本方差或标准差去估计总体方差或总体标准差的方法．2．会用平均数和方差对数据进行处理与比较．识记强化标准差及方差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．标准差的平方s2叫做方差，也为测量样本数据分散程度的工具．若样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数，则s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2]；s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是( )A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大C ．2x －＋3和s 2D ．2x －＋3和4s 2＋12s ＋9 答案：B解析：由平均数、方差的求法可得．6．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相同D ．不能确定 答案：B解析：方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72，故选B.二、填空题7．已知样本9、10、11、x 、y 的平均数是10，方差是2，则xy ＝________. 答案：96解析：由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20，又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，xy ＝96.8．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.答案：6.8解析：x ＝15(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.9．若k 1，k 2，…，k 8的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 8－3)的方差为________． 答案：12解析：设k 1，k 2，…，k 8的平均数为k ，则18[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 8－k )2]＝3，而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 8－3)的平均数为2(k －3)，解析：x 9＝x 8＋19(x 9－x 8)＝5＋19×(4－5)＝449，s 29＝89[s 28＋19(x 9－x 8)2]＝89[22＋19(4－5)2]＝29681. 13．下图为我国10座名山的“身高”统计图，请根据图中信息回答下列问题。
高中数学《2.2等差数列》第2课时课件新人教A版必修
请您根据提供的信息说明，求 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小 了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 审题指导 本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知 识和等差数列的函数特征． [规范解答] 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场 出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1， a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记 为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10； 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}， 则cn＝anbn. (2分)
fx2－fx1 (2) k＝ (x1≠x2)． x2－x1 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． 如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－ d 代入 a(a＋3d)＝－8， 2
解 由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7 ＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两 根，又d>0，解之，得a3＝－6，a7＝2. a1＋2d＝－6， a1＝－10， 再解方程组 解得 a1＋6d＝2， d＝2， 则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12， 即an＝2n－12.
人教A版高中数学必修三课件2.3变量间的相关关系(2).pptx
1.课本94页习题2.3A组1 2.《阳光课堂》41~43页题组集训3~7
40 30 20 10
0 0
脂肪
脂肪
20
40
60
80
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
诱思探究6
对一组具有线性相关关系的样本数据：
(x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) ，设其回归方程为
（1）公式：
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
bˆ i1 n
(xi x)2
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
i 1
aˆ y bˆx
回归方程为：yˆ bˆx aˆ
诱思探究8
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含 量的样本数据的回归方程为 yˆ 0.577x 0.448 ，由 此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量 的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量 的百分比约为多少？
度/℃
热饮 杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.
解：(1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因 此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出 去的热饮杯数越少
诱思探究4
回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
脂肪含量
整体上最接近
人教A版高中数学必修三课件2.2.2-1众数,中位数,平均数
对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质 量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错 误、测量错误等）时，用抗极端数据强的中位数 表示数据的中心值更准确。
缺点：（1）出现错误的数据也不知道； （2）对极端值不敏感有弊的例子：某人具 有初级计算机专业技术水平，想找一份收 入好的工作。这时如果采用各个公司计算 机专业技术人员收入的中位数作为选择工 作的参考指标就会冒这样的风险：
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平 人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数
据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资 和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且 中位数较大的公司就业.
三、三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其 它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。
思考讨论以下问题：
3、“用数据说话”，这是我们经常听到的一句 话。但是，数据有时也会被利用，从而产生误 导。例如，一个企业中，绝大多数人是一线工 人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一 些经理层次的人，年收入过到几十万元。这时 年收入的平均数比中位数大得多。尽管这时的 中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老 板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平 均数来回答有关工资待遇的指问。
地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列出的 数据可见，只有经理在平均数以上， 其余的人都在平均数以下，故用平均 数不能客观真实地反映该工厂的工资 水平。
课后练习
假设你是一名交通部门的工作人员，你打 算向市长报告国家对本市26个公路项目投 资的平均资金数额，其中一条新公路的建 设投资为2000万元人民币，另外25个项目 的投资是20~100万元。中位数是25万元， 平均数是100万元，众数是20万元。你会 选择哪一种数据特征来表示国家对每一个 项目投资的平均金额？你选择这种数字特 征的缺点是什么？
【创新设计】2014-2015学年高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
1 解 (1)x甲＝ (99＋ 100＋ 98＋ 100＋ 100＋ 103)＝ 100， 6 － 1 x乙＝ (99＋ 100＋ 102＋ 99＋ 100＋ 100)＝ 100. 6 1 2 s 甲 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(98－ 100)2＋ (100－ 100)2＋ 6 7 2 2 (100－ 100) ＋ (103－ 100) ]＝ ， 3 1 2 s 乙 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2＋ 6 (100－ 100)2＋ (100－ 100)2]＝ 1.
2．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是 (
)
A．众数
答案
A. 2
B．平均数
C．标准差
D．中位数
(
D．2
C )
B． 0 C．1
3．样本101，98，102，100，99的标准差为 答案 A
－
解析 样本平均数x＝100，方差为 s2＝2，∴标准差 s＝ 2， 故选 A.
4．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．
－
样本平均数 x是___________.
要点一 众数、中位数、平均数的简单运用
例1 在上一月调查的100位居民的月均用水量的问题中，制
作出了这些样本数据的频率分布直方图：
从中可以看出，月均用水量的众数估计是________；中位数 是________；平均数为________． 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t
－ －
规律方法
1.利用频率分布直方图估计数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两侧直方图的面积相等． (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际
高中数学 2.3.2方差与标准差课件 苏教版必修3
因为方差与原始单 数位 据不 的,且 同平方后可能夸 大了离差的,程 我度 们将方差的算根 术称 平为 方这
组数据标的 准差 standarddeviatio.标n准差也可
以刻画数据的稳 . 定性
一般 , 地
设一组样 x1,x2本 ,,xn 数 ,其据 平均 x,则 数称 为
s2
1
n
n i1
2
xi x
为这个样本的方差
,
其术平方根
1 n
2
s n i1 xi x 为样本的标
准差,分别简称样本方差、本样标准差.
根据上述方差计算 可公 算式 得甲、乙两种样 本的方差分5别0和为165,故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种 . 钢筋
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rang,e从图中可以看 ,乙出 的极差较大 ,数据点较分
散;甲的极差,数小据点集 较中,这说明甲比稳 乙定.运 用极差对两 数据 组进行比 较,操作简单方,但 便若两 组数据的集中程不 度大 差时 ,异 就不容易得出. 结论
我们还可以考每虑一抗拉强 度与平均抗拉强度的 离差,离差越小,稳定性就越高.结合上节有离 关差 的讨论,可用各次抗拉强度与 均平 抗拉强度的差的 平方和表.示 由于两组数据的容量 能可 不同,因此应 将上述平方和除以数 的据 个数,我们把由此所得的
2.3.2方 差 与 标 准 差
有 甲 、 乙,现 两从 种中 钢 取各 筋 一抽 个 如样 表本
检查它们的 单抗 :位 k拉 g/m程 2 m,通度 过计算
现 ,两个 样本 的1平 2.5均 数均 为
甲 111021031021521021531521531525 乙 111501021531011521521541521545
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说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两 个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准 差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差 估计总体的平均数与标准差.
2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
解: 依题意计算可得
x1=900
x2=900 s1≈23.8 s2 ≈42.6
25.44 25.34 25.32
25.48 25.33 25.32
25.48 25.43 25.32
25.47 25.43 25.48
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？
x甲 25.401 s甲 0.037
x乙 25.406
s乙 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度 较高，故甲生产的零件质量较高.
思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各 数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散
程度，那么这个平均距离如何计算？
|x1 x| |x2 x| n
|xn x|
思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的
统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1， x2，…，xn的平均数为，则标准差的计算公式是：
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但
甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
解 : (1) 平均重量约为496.86 g , 标准差约为6.55
(2)重量位于(x-s , x+s)之间有14袋白糖,所占 百分比为66.67%.
解:平均数x≈19.25, 中位数为15.2, 标准差s≈12.50. 这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为 19.25, 有一半国家的死亡率不超过15.2, x > 15.2 说 明存在大的异常数据, 这些异常数据使得标准差增大.
x甲7， x乙7
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两
人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异
在那里吗？
频率
0.4 0.3 0.2 0.1
（甲）
频率
0.4 0.3 0.2 0.1
（乙）
O 4 5 6 7 8 9 1环0 数 O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中， 比较稳定.
标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准 差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.
补充
1.标准差的平方s²称为方差，有时用方差代替标 准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量 效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体 的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的 平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差， 但要求样本有较好的代表性.
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。
例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图，
说明他们的异同点.
(1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5；
(2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
频率
x5
பைடு நூலகம்
频率 x 5
1.0 0.8
s0
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（1）
1.0 0.8
s 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（2）
甲： 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙： 25.40 25.49 25.47
25.43 26.36 25.31
第二课时 标准差
1、知道标准差的意义； 2、能求样本的标准差。
认真阅读教材P74—78页内容， 提出你不懂的问题。
思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员 各射击10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
s (x1 x)2 (x2 x)2 n
(xn x)2
那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样 本数据有何特点？
s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
思考5：对于一个容量为2的样本：x1，x2
(x1<x2)，则 x
x1
x2 2
,
s
x2 x1 2
在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？ 由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影 响？
(3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
频率
x
1.0 0.8
s
0.6
0.4
0.2
5 1 .4 9
O 12345678
（3）
频率
x5
1.0 0.8
s 2.83
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（4）
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件， 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件 中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位： mm）：