方差的性质

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一般地， 一般地，
若 i ~ N(µi ,σi2 ), i =1 2,L , 且 互 立 则 X , n 相 独 ，
C1X1 +C2 X2 +L+Cn Xn +C ~ N∑Ciµi +C, i=1
n
∑C σ . i=1
n 2 2 i i
这 ， 1,C2,L Cn是 全 0 常 。 里 C , 不 为的 数
i=1 i =1 i =1 j≠i n n n n
2
性质4: 若随机变量 性质 若随机变量X1, X2, …, Xn相互独立， 相互独立， 则
Var( X1 + L+ X n ) = Var( X1 ) + L+ Var( X n )
n＝2时由于 ＝ 时由于 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±2E(X-EX)(Y-EY) ± 独立， 若X, Y 独立，则 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±
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例9. 设 ( X ,Y ) ~ N ( µ1, σ12,µ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解: cov( X,Y) = ∫−∞ ∫−∞(x − µ1)( y − µ2) f (x, y)dxdy
x−µ1 令 =s
+∞ +∞
σ1 y−µ2 =t σ2
+∞ +∞ σ1σ2 = ∫−∞ ∫−∞ ste 2π 1− ρ2
E | X | = ∫ | x | f (x)dx≥ ∫ | x | f (x)dx+ ∫ | x |α f (x)dx
−∞ −ε −∞
α
α
α
ε
≥ ∫ ε f (x)dx+ ∫ ε f (x)dx
−∞
α
∞
α
ε
= ε P(X ≤ −ε) +ε P(X ≥ ε) = ε P(| X | ≥ ε)
α
α
α
11
g ( t ) = EX ⋅ t + 2 E ( XY ) ⋅ t + EY
所以g(t)作为 t 的二次多项式 其判别式 作为 的二次多项式, 其判别式≤0, 即 所以 2 2 2 2 ∆ = b − 4ac = [2E( XY )] − 4EX ⋅ EY ≤ 0
| E ( XY ) |≤ EX
2
⋅ EY 2 .
E (Y ) = E (Y1 ) + E (Y2 ) + K + E (Yn ) = 0 D(Y ) = D(Y1 ) + D(Y2 ) + K + D(Yn ) = n
因此， 因此， 2 2 E (Y ) = D(Y ) + E (Y ) = n.
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设随机变量X 相互独立,且 ～ 例5.设随机变量 和Y 相互独立 且 X～N(1,2)， 设随机变量 ， Y～N(0,1), 试求 Z = 2X-Y+3 的期望和方差。 的期望和方差。 ～ 由已知， 解: 由已知，有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y独立。因此， 独立。 和 独立 因此， E(Z)= 2E(X)－ E(Y)+3 = 2+3=5, － D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9. 注：由此可知 Z～N(5, 9)。 ～ 。
i=1
5
n
例2.标准化随机变量 2.标准化随机变量 的期望E(X )、方差 都存在, 设随机变量 X 的期望 、方差D(X )都存在 都存在 且D(X ) ≠ 0, 则称 X − E(X) ∗ X = D(X) (X 的标准化随机变量. 显然， 为 X 的标准化随机变量 显然，
E(X∗) = 0, D(X∗) =1
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A. 协方差和相关系数 定义 称 E((X − E(X))(Y − E(Y))) 协方差. 为X , Y 的协方差. 记为
cov(X,Y) = E((X − E(X))(Y − E(Y)))
称 Var ( X )
cov( X , Y ) cov(Y , X ) Var (Y )
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例6.已知某种股票每股价格 的平均 6.已知某种股票每股价格X的平均 已知某种股票每股价格 值为1 标准差为0.1 0.1元 值为1元，标准差为0.1元，求a，使 ， 股价超过1+ 元或低于1 元的概率小 1+a元或低于 股价超过1+ 元或低于1-a元的概率小 10%。 于10%。 解：由切比雪夫不等式
4
例1. 设X ~ B( n , p)，求Var(X ). ， 解： 引入随机变量
, 试 成 ， 1 第i 次 验 功 Xi = 试 失 。 0, 第i 次 验 败
则 X = ∑Xi
i= 1
Байду номын сангаас
n
由于Var( Xi ) = p(1− p), i =1 2, L n. , , 且 X1, X2,L Xn 相互独立 , 相互独立， 故 Var( X) = ∑ ( Xi ) = np(1− p) Var
思考：为什么？ 思考：为什么？
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C. 两个不等式 定理3.2 马尔可夫 马尔可夫(Markov)不等式 ： 不等式)： 定理 (马尔可夫 不等式 对随机变量X 和任意的ε > 0，有 对随机变量 ，
P{| X | ≥ ε } ≤
∞
1
ε
α
E |X | , α >0.
−ε ∞
α
证明: 为连续型, 证明 设X为连续型 密度函数为 f (x), 则 为连续型
B. 方差的性质
性质1: 为常数， 性质 若X=C，C为常数，则 ， 为常数 Var(X)=0 . 性质2 性质2: 为常数,随机变量 若b为常数 随机变量 的方差 为常数 随机变量X的方差
存在, 的方差存在， 存在 则bX的方差存在，且 的方差存在 Var(bX) = b2Var(X) 结合性质1与性质 就有 结合性质 与性质2就有 与性质 Var (aX + b ) = a2 Var(X)
为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵
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若Var (X ) > 0, Var (Y ) > 0 , 称
( X − E( X))(Y − E(Y) cov( X,Y) = E Var( X) Var(Y) Var( X) Var(Y)
相关系数， 为X ,Y 的 相关系数，记为
1
性质3: 若随机变量 1, X2, … , Xn 的方差都存 性质 若随机变量X 的方差存在， 在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且
Var(∑Xi ) = ∑∑ E(Xi X j ) − EXi ⋅ EX j ] [
i=1 i=1 j=1 n n n
即
Var(∑Xi ) = ∑ (Xi ) + ∑∑[E(Xi Xj ) − EXi ⋅ EXj ] Var
0 < p <1 p+q=1
XY P
1 p
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0 q
E( X) = p, E(Y ) = p, Var( X) = pq, Var(Y ) = pq,
E(XY) = p,
cov( X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = pq, cov( X,Y) ρXY = =1. Var(X)Var(Y)
X P(0.74 < < 0.76) ≥ 0.90 n
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X P(0.74 < < 0.76) 可改写为 n
P(0.74n< X<0.76n ) =P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n) = P{ |X-E(X)| < 0.01n} 在切比雪夫不等式中取ε = 0.01n，则 ，
X P(0.74 < < 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1 n E ( ∑ X i ) = µ, n i =1
1 n 1 2 Var( ∑ X i ) = σ . n i =1 n
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已知随机变量X 相互独立， 例4.已知随机变量 1,X2,…,Xn相互独立， 已知随机变量 且每个X 的期望都是0，方差都是1， 且每个 i的期望都是 ，方差都是 ， 令 Y= X1+X2+…+Xn . 求 E(Y2). 解：由已知，则有 由已知，
cov(X,Y) = ∑∑(xi − E(X))( yj − E(Y))pij
i= j= 1 1 ∞ ∞
为连续型， 若 ( X ,Y ) 为连续型，
cov(X,Y) = ∫−∞ ∫−∞(x − E(X))(y − E(Y)) f (x, y)dxdy
+∞ +∞
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例8.已知 X ,Y 的联合分布为 8.已知 pij X 1 0 Y p 0 1 0 0 q 求 cov (X ,Y ), ρXY 解: X P 1 0 p q Y P 1 0 p q
0.01 P (| X − 1 |≥ a ) ≤ 2 a
令
⇒ a ≥ 0. 1
2
0.01 ≤ 0 .1 2 a
⇒ a ≥ 0.32
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在每次试验中，事件A 例7. 在每次试验中，事件 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n 需要多么 利用切比雪夫不等式求： 大时， 次独立重复试验中, 大时，才能使得在 n 次独立重复试验中, 事 出现的频率在0.74 ～ 0.76之间的概率至 件A 出现的频率在 之间的概率至 少为0.90? 少为 出现的次数， 解:设X 为n 次试验中事件A 出现的次数， 则 X~B(n, 0.75). 于是E(X)=0.75n, Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n 于是 而所求为满足 的最小的n .