方差2方差的性质
高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大版选修2
第20页
◎思考题 2 已知 X 是一个随机变量，随机变量 X＋5 的分
布列如下：
X＋5 －2 －1 0
1
2
P
0.2 0.1 0.1 0.4 0.2
第29页
n
【思路】 解答本题可先利用分布列的性质 p i＝1求出a的
i＝1
值，然后写出相应的分布列并计算出相应期望与方差，最后结 合甲、乙两人射中环数的期望与方差分析两人的射击技术的好 坏．
第30页
【解析】 (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1 解得 a＝0.1.
∵乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
第17页
题型二 方差的性质 例2 已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 另一随机变量η＝2ξ－3，求E(η)，D(η)．
第18页
【解析】 E(η)＝2E(ξ)－3＝2×(1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋ 4×0.2＋5×0.1)－3＝2×3－3＝3，
n
偏离程度，而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平
i＝1
均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．我们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差．
第5页
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离 于均值的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均 值的平均程度越小．
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度， 用它可以刻画样本数据的稳定性．
方差课件(2)
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数. S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小). 方差越小,说明数据的波动越小,越稳定. 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 性质: (1)数据的方差都是非负数,即
注意： S
S
2
标准差与数据的单位的单位一致
1、有5个数1，4，a, 5, 2的平均数是a，则这个5个 数的方差是_____. 2
2、绝对值小于π所有整数的标准差是______. 2 3、一组数据：a, a, a, ---,a(有n个a)则它的方差和标 准差为___; 0
4、在统计中，样本的方差和标准差可以近似的反映总 体的（ Ｂ ）． Ａ、平均状态 Ｂ、离散程度 Ｃ、分布规律Ｄ、最大值和最小值
s
2
2
Hale Waihona Puke 0；(2)当且仅当每个数据都相等时,方差为零,反 2 过来,若 0，则 .
s
x x
1
x
n
它还与数据的个数有关
偏差绝对值的和： 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：
（ 7-8）+|8-8|+ （8-8）|8-8|+ +（8-8） +（8-8 ）+（9-8 ）= 0 =2 |7-8|+ |8-8|+ |9-8|=
∴乙山的蜜橘 1 2 2 2 2 s乙 4 [21 21 24 21 19 21 20 21 ] 3.5 长势较整齐
2
3
已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15 和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
方差2-方差的性质
20.2.2 方差2
• 方差的性质
一、研究方差性质
数 据 平均数
xA= A
x 8
2
xB= B 方差
原 始 数 据x 10 5
数据A：x+4 数据B：3x 14 9
8
6
11
x 8 s = 26 x A 12/ 5
2
xC = S C 26 / 5
12 10 15
A
S
31
1
1
2
3
2
4
5
3
的平均数和方差是( D )
1 A、4， D、4，3 , x 3 , x 4 , x 5 , , 3 x 1 B、4，12 , 3 x 3 C、4，-13 x 5 2 , 2, 3 x2 2, 3 x4 2, 2 3
3
1
4
5
2
3
4
5
x, s , x A
2
2 2 2 2 数据C=mx+k ,sx22,,ss22 m mx22sk22, s 2 m 2 s 2 s ks x A , x,Bs B s m s C C m s C m A x B 2Biblioteka 一、研究方差性质小结：
1、在原始数据的基础上加减一个常数，
x+3 x x-2
二、方差性质练习
1、计算数据6，6，6，6，6的方差
x 答案： 6 s 0
2
5
, 3 x1 2, 3 x 2 2, 3 x 结合“方差是用来考察数据波动程度”的 2、已知一组数据 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , 的平均数是2,方差是3 2 3 1 1 一个量，分析一下为什么2s,23 0 ？, 3 x 2 , x ,,那么另一组数据 3, x x 2 ,, 3 x ,2 , x 3 x x, 3, xx , 2 , 3 ,x 2 3 2 2 3x 2 x 3 6 ,x , x , x 2
高中方差知识点总结
高中方差知识点总结一、方差的定义方差是用来衡量数据偏离其平均值的程度的统计量。
它是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值。
对于一组数据集合X={x1,x2,x3,...,xn}，其均值为μ，则方差的计算公式为：\[S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]其中，S^2表示方差，n表示数据的个数，xi表示第i个数据，μ表示数据的平均值。
方差的单位是原数据单位的平方，它的值越大表示数据的变异程度越大，反之亦然。
二、方差的性质1. 方差永远大于0方差是各个数据与其均值之间差值的平方的平均值，所以方差永远大于等于0。
当方差等于0时，表示数据集合中的所有数值都等于其均值，即数据没有任何偏离。
2. 方差的大小决定了数据的分散程度方差的值越大表示数据偏离均值的程度越大，数据的分散程度越大；而方差的值越小表示数据偏离均值的程度越小，数据的集中程度越大。
3. 方差与原数据单位相关方差是原数据单位的平方，所以在比较不同数据集合的方差时，应当考虑数据单位的影响。
通常情况下，可以使用标准差来度量数据的变异程度，它是方差的平方根，单位与原数据一致。
三、方差的应用1. 评价数据集的稳定性方差可以用来评价数据集的稳定性，当数据的方差较小时，表示数据的稳定程度较高，反之较低。
2. 比较不同数据集的分散程度方差可以用来比较不同数据集的分散程度，当数据的方差较大时，表示数据的分散程度较高，反之较低。
3. 帮助进行统计推断在统计推断中，方差可以用来帮助进行假设检验和置信区间估计，它是许多统计量的基础。
四、方差的计算在实际应用中，方差的计算可以分为两种情况：总体方差和样本方差。
1. 总体方差的计算总体方差的计算公式是：\[σ^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - μ)^2\]其中，σ^2表示总体方差，N表示总体的数据个数，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
方差的无偏估计量
方差的无偏估计量一、引言方差是统计学中非常重要的一个概念，它用来衡量一组数据的离散程度。
在实际应用中，我们经常需要对样本方差进行估计，以便推断总体方差。
然而，样本方差的估计存在偏差问题，因此需要使用无偏估计量来解决这个问题。
二、方差的定义和性质1. 方差的定义：方差是指随机变量与其数学期望之间差的平方值的期望值。
2. 方差的性质：（1）非负性：方差始终大于等于0。
（2）可加性：若X和Y是独立随机变量，则Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
（3）线性性：对于任意常数a和b，有Var(aX+b)=a^2Var(X)。
（4）标准化：将随机变量X减去其数学期望后再除以标准差，则新变量具有均值为0、方差为1的标准正态分布。
三、样本方差和总体方差1. 样本方差：样本方差是指抽取n个样本后，根据这些样本计算出来的离散程度。
公式为S^2=∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)，其中X_i表示第i 个样本值，X_bar表示样本均值。
2. 总体方差：总体方差是指所有可能的样本中，每个样本的方差的平均值。
公式为σ^2=∑(X_i-μ)^2/N，其中X_i表示第i个样本值，μ表示总体均值，N表示总体大小。
三、样本方差估计的偏差问题1. 样本方差的无偏估计量：在计算样本方差时，我们通常使用S^2=∑(X_i-X_bar)^2/n来估计总体方差σ^2。
然而，这种估计存在偏差问题，即E(S^2)≠σ^2。
因此需要使用无偏估计量来解决这个问题。
无偏估计量是指期望等于被估计参数真实值的统计量。
2. 样本方差无偏估计量的推导：设S_n^2=∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)为样本方差的无偏估计量，则有E(S_n^2)=σ^2。
证明如下：E(S_n^2)=E[∑(X_i-X_bar)^2/(n-1)]=E[∑((X_i-μ)-(X_bar-μ))^2/(n-1)]=E[∑((X_i-μ)^2+(X_bar-μ)^2-2(X_i-μ)(X_bar-μ))/(n-1)]=E[∑(X_i-μ)^2/(n-1)+(X_bar-μ)^2]=E[∑(X_i-μ)^2/(n-1)]+E[(X_bar-μ)^2]=σ^2+(σ^2/n)=(n-1)/n*σ^2因此，S_n^2是样本方差的无偏估计量。
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
7.3.2离散型随机变量的方差(教学课件)-【名师教与练】2022-2023学年高二数学同步备课系列
2
∴ D( X ) 6 xi2 pi (E( X ))2 (12 22 32 42 52 62 ) 1 ( 7 )2
i 1
62
91 1 ( 7 )2 35 . 6 2 12
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0
i 1
i 1
n
n
证明：D( X ) ( xi E( X ))2 pi ( xi2 2E( X )xi (E( x))2 ) pi
i 1
i 1
n
n
n
xi2 pi 2E( X ) xi pi (E( x))2 pi
i 1
i 1
i 1
n
xi2 pi 2E( X ) E( X ) (E( x))2 1 i 1
D(X ) 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机 变量的取值越分散.
2.方差与标准差的性质： D(aX b) a2D(X)
(aX b) D(aX b) a2D(X) | a | D(X) | a | (X)
如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小 反映了加工的精度;
如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小反映 了投资风险的高低.
课堂练习
1.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解 E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
n
( xi E( X ))2 pi i 1
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2 , x3A, x、4 , 4x5，, 13 , 3xB1 、2,43，x2 12, 3Cx3、 24, 3，x4-12, 3xD5 、24, ，3
x, s2 , x A xsA2数k,s据x2 ,BCsB2=mmsxmA2+ kx2 ,sxs22C,,ssB2C2 mmmx22sks22, sC2 m2 s2
一、研究方差性质
小结： 1、在原始数据的基础上加减一个常数，
会改变平均数的大小，但不会改变方差的大小； 平均数会跟着加减一个常数
2、在原始数据的基础上乘以一个常数， 平均数和方差的大小都会改变. 方差会跟着乘以这个常数的平方
平均数会跟着乘以这个常数
一、研究方差性质
为什么“在原始数据的基础上加减一个常数， 会改变平均数的大小，但不会改变方差的大小”呢？
新数据A x+3 原始数据 x 新数据B x-2
二、方差性质练习
1、计算数据6，6，6，6，6的方
差
答案：x 6
s2 0
1 52, 1x3,、那1, 3,已xx么12知,另x2一,3一3,x组x2组4,数数2x,据53据,结 一x133x合个,132, ,“量xx321x，方,4x分差232,,,3x析3是的x4x,5一用平2x52下来均,,2x3为考,数3, 3什察是x6x3 么数21,方2据s2,23差,波3x是x动402程？22,度3, 3x”x5 3的22,
数据C：3x+4 34 19 28 22 37 xC =28 SC2 234/5
方差性质 归纳
x,
s数 数原2 ,据 据x始AAB==数xmx+sxxxA2k,,据ssk22,,sxxsx2A2B,,AAssB22 ,smxxx2SSSsx,mAC222BAA2s,xBskk22,2,,x,xsxxxCs2x2mBBA,2A,sk2ssxCB22A22,m,mm,sxsxx222B,m,Axsxxsx2Ck2B222,,,Am,xxskxsxB2CC22mB,xxsk22,mC2mm
第二十章 数据的代表
20.2.2 方差2
• 方差的性质
一、研究方差性质
xA=
数据
பைடு நூலகம்
平均数 xxB =8方差
原 始 数 据x 10 5 8 6 11 x 8
Sx2C=26 / 5
数据A：x+4 14 9 12 10 15 xs2A= 1262/ 5 S2A 26/5
数据B：3x 30 15 24 18 33 xB = 24 S2B 234/5