1静电场-高斯定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
对于静电场高斯定理的理解
对于静电场高斯定理的理解
静电场高斯定理是一种有用的理论，用于计算电场强度和电位在空间中的变化。
它允许我们通过知道某个电容器内或外电场强度和电位的值，来计算其他任意位置上的电场强度和电位的大小。
静电场高斯定理的基本思想是：在任何时刻，任意点上的电位和电场强度都是由受影响的电容器内部的电场强度和电位决定的，而不是外部环境的电场强度和电位决定的。
在特定的点，电场强度和电位可以通过⊿E=Φ计算出来，其中Φ是指某一点处的电位梯度，即某一点处的电位变化，也可以理解为电位变化的幅度，而电场强度便是这个变化的方向。
另外，静电场高斯定理还可用于计算电荷在空间中的分布情况，这在电力系统和电磁学方面非常有用。
综上，静电场高斯定理可以用来求出空间中任意点上的电场强度和电位,以及电荷的分布，它是一种非常有效的定理，在电力系统和电磁学方面有着重要的应用。
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
静电场 高斯定理
q q Ua U U ( ) 4 0 r1 r2 q r2 r1 4 0 r1r2
当a点很远时r>>L，则r1≈r2≈r，
1
q L cos 1 P cos Ua 2 4 0 r 4 0 r 2
r2 r1 r cos
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
非极性分子
E0
极性分子
E0
电极化强度（偶极矩密度）
1、电极化强度：
其中 pei 是第i个分子的电偶极矩
单位是[库仑/米2]、[C/m2].
def P lim
V
pei
i
V
以下将电极化强度矢量简称为极化强度 束缚电荷就是指极化电荷。
电介质的极化规律
在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。
i
②极性分子 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性。 当有电场作用时，极性分子发 生偏转。
在外电场中的电介质
E0
E0
l
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 在外电场中产生感应电偶极矩。
极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电 介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移 动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。
静电场中的高斯定理的应用
华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用院系：传媒工程系专业：电子信息工程班级：B1001班*****学号：***********指导教师：黄**2014年3月29日静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field摘要高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。
本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理在解决静电场问题的方便之处。
关键词：高斯定理静电场应用AbstractGauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field.Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application目录摘要 (3)Abstract (4)绪论 (1)1 静电场中高斯定理的表述及验证 (2)1.1高斯定理的定义： (2)1.2高斯定理的验证： (2)1.2.1单个点电荷被包围在同心球面内 (2)1.2.2单个点电荷被包围在任意闭合曲面内 (2)1.2.3单个点电荷在任意闭合面外 (3)1.2.4闭合面内外均有点电荷的情况 (3)1.3从库伦定律推导高斯定理 (4)2 高斯定理常见三种对称性分析 (7)2.1 球对称性 (7)2.2 轴对称性 (8)2.3 面对称性 (9)3 介质中的高斯定理的研究 (12)3.1电介质中的高斯定理： (12)结束语 (13)5 收获与体会 (14)致谢 (15)6 主要参考文献 (16)绪论电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理[摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。
[关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项[内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。
可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。
高斯定理的表达式如下：⎰⎰=⋅=ΦVe dq 1d εSS E其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS的电场强度通量，就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量，习惯上称闭合曲面S 为高斯面。
由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。
下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为r rq4130⋅⋅=πεE球面的电通量为220S2030qr 4r 4q d r 4q d r r q41d εππεπεπε=⋅⋅==⋅⋅⋅=⋅⎰⎰⎰SS S E S S （1）（b ）点电荷在任意闭曲面外闭曲面S 的电通量为()⎰⎰⎰⎰++=++=⋅⋅⋅=⋅S SSS S E zdxdy r1ydxdz r 1xdydz r 14qzdxdy ydxdz xdydz r 14q d r rq41d 3330S 3030πεπεπε （2）根据高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂SV R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydzz y x（3）并考虑到333r zr y ,r x ===R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。
将式（2）代入式（3）中得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=++=++=⋅⋅⋅=⋅V 33303330S 30300dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r14q d r rq41d πεπεπεπεSSSS S E（c ）点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面S 内以点电荷q 为球心作一辅助球面S 1，其法向朝内，根据（1）式可知点电荷q 在闭曲面S+S 1的电通量为零，即：qd d d 0d d 211ε=⋅-=⋅-=⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰S S SS SS E S E S E S E S E （4）其中式（4）中S 1和S 2的大小相等，法向相反。
静电场-高斯定理
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。
静电场的高斯定理
静 电 场 的 高 斯 定 理
静 电 场 的 高 斯 定 理
E dS q
S 0 i
1
i
q 是闭合 1. 2、在高斯定理表达式中，右端 当闭合曲线内q为正时，ΨΕ>0，表示有电 场线穿出闭合曲面，所以，正电荷 内电荷量的代数和，说明决定通过闭合曲面 q称为静电E 场的源头；当闭合曲线内 通量的只是闭合曲面的电荷量（如图中的 q为负时，ΨΕ<0， q1， 表示有电场线穿进闭合曲面，所以，负电荷 q2和q3）；而左端的电场强度E却是空间所有 q 称为静电场的尾闾。因此高斯定理说明了静 电荷（如图中的q1，q2，q3，q4和q5）在闭 电场是有源场。 合曲面上所激发的总电场强度，也就是说， 闭合曲面外的电荷（如图中的q4和q5）对闭 合曲面上各点的电场强度也有贡献，但对整 个闭合曲面上E通量的贡献却为零。
如图，在点电荷q（q>0）所激发的电 场中，作一以点电荷为中心、半径为r 的球面，求该闭合球面上的E通量。 解：∵该球面任一
静 电 场 的 高 斯 定 理
点的 E
q 4 0r
2
er
，
又∵en和er之间的 夹角θ=0，
∴该闭合球面上的E通量为
E E dS
S
q 4 0 r q
静 电 场 的 高 斯 定 理
E E dS
S
E dS E dS E dS 1 2 n
S S S
=
q1
0
n
+
q
q2
0
+…+
qn
0
=
i= 1
i 0
高斯定理：在静电场中，通过任意闭合