第7章《平面向量》复习课
中职数学第七章平面向量章节复习课件
D. 63 65
（5）若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角是135°，则m·n等于（C ）
A.12
B.12 2
C.-12 2
D.-12
A.(7，1)
B.(-7，-1)
C.(-7，1)
D.(7，-1)
（3）已知a=(-1，3)，b=(x，-1)，且a∥b，则x等于（ C ）
A.3
B.-3
C. 1 3
D. 1 3
（4）若a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b的夹角的余弦值为（ A ）
A. 63 65
B. 33 65
C. 33 65
(3a b)2 9a2 6a b b2 109 3a b 109
例3 平面向量a=(3，-4)，b=(2，x)，c=(2，y)，已知a∥b，a⊥c， 求b，c及b与c的夹角.
答案： a=(3，-4)，b=(2，x)， a∥b 3 4
2x
c (2，y)a c y 3 2
课堂探究
1.探究问题 【探究】向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广 泛的应用，应引起足够的重视. 思考一下，向量学习主要有哪些数学 思想？ 答案：（1）数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和 几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现 了数形结合的思想方法.（2）化归转化的思想方法。向量的夹角、 平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算 问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量 的数量积公式 a2 a 2 ，沟通了向量与实数间的转化关系；一些 实际问题也可以运用向量知识去解决.（3）分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可 分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间 的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形.
高一数学最新课件-平面向量单元复习(江苏省沭阳高级中学)[整理] 精品
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6、平移—典例分析-例13
知 识 回 忆
典 例11 例 分 例12 析 例13
例13 把y=2x 图象 c按a=(-1,2)平移 得c′则c′解析式___
点击出
xy′′==yx+-12现答∴案
x=x′+1 y=y′-2
y′-2=2x′+1 ∴y=2x+1+2
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知 识 回 忆
余弦定理
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斜三角形的 解法及其应用
1. 向量的概念
知 识 回 忆
典 例 分 析
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（1）向量
既有大小又有方向的量叫做向量
（2）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
（4）加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)
3、平面向量的坐标运算—典例分析
知 识 回 忆
典 例 例5 分 析
例6
例5 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x点 现-击 答3y出 案=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
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3、平面向量的坐标运算—典例分析
4目.左录下方的6、“平点回移击目此录处”进是入指回到本知页识主回忆
7、正余弦定理
知识回忆
典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析
知识结构 知识归纳 单元测试
学习目录
1、向量的概念
知识回忆 典例分析
人教版高中数学课件：高三数学第一轮复习的课件 平面向量坐标运算
k＜
2 3
思考2：△ABC为钝角三角形，求k的范围？
k＜
或
3 2 13
＜k＜
3 2
或
3
＜k ＜ 2
3 2
13
或k＞
11 3
思考3：△ABC为锐角三角形，求k的范围？
让我们共同来提高！ 问题2已知向量 u ( x , y ) 与 v ( y , 2 y x ) 的对应关系用 v f (u ) 表示． （1）设a (1,1), b (1, 0 ) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有： f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ) 成立； （3）求使 f ( c ) ( p , q )（p，q为常数）的向量 c 的坐标． 解：⑴ 由题意，知：
五、作业布置：
苏大《自我测试》B册 P179 §32 作业部分及例题2
△ABC为钝角三角形，求k的范围？
AB AC
y C4 C2 B
＜0且
AB 、 AC
不共线；
k＜
2 3
即 2 3 k ＜0
或
BA BC
BC ＜0且 BA、 不共线. 即 1 ( 2 ) 3 ( k 3 )＜0
又 mf ( a ) nf ( b ) m ( a 2 , 2 a 2 a 1 ) n ( b 2 , 2 b 2 b1 ),
( ma 2 nb 2 , 2 ma 2 2 nb 2 ma 1 nb 1 )
f ( m a n b ) mf ( a ) nf ( b ).
若u
( x , y ),
2012届高三数学复习课件(广东文)第7章第2节__平面向量的数量积
解析： 因为a b a c，所以 a b cos a c cos 1 (其中、 分别为a与b、a与c的夹角).因为 a 0， 所以 b cos c cos .因为cos 与cos 不一定相等， 所以 b 与 c 不一定相等，所以b与c也不一定相等． 所以 1 不正确．
2 若a b a c，则 a
b cos a c cos (a、b分别
为a与b、a与c的夹角).所以 a ( b cos c cos ) 0， 所以 a 0或 b cos c cos . 当b c时， cos 与 c cos 可能相等.所以 2 不正确． b
向量的平行与垂直
例3：如图,在矩形ABCD中, a AB, b AD, M 、N 分 别是AB、CD的中点，AB | 2，AD | 1. | | AN 1 求证： 与MC共线； AN 2 求证： BN；
3
1 3 3 3由 2 知k f t t t， 4 4 3 2 3 3 则k f t t t 1 t 1 . 4 4 4 令k ＜0，得 1＜t＜;令k ＞0,得t＜ 1或t＞1. 1 故k f t 的单调递减区间是 1,1 ,单调递增区间 是(， 1)和(1， )．
解析：因为 a 6， 4，且a与b的夹角 为60， b 1 所以a a b cos 6 4 12， b 2 所以 a b a 2a b b 36 24 16 76，
2 2 2
a 3b a 2 6a b 9b 2 36 72 144 108，
又 PAPB 1 a 3 a (1 2a )(3 2a ) 5a 2 10a， 故由5a 2 10a 0，得0 a 2； 由PA和PB不共线，得 1 a (3 2a ) (1 2a ) 3 a ， 解得a 1.即PA与PB的夹角为钝角的充要条件是 "0 a 1或1 a 2"．
《平面向量复习小结》 课件
2
2
2
2
2
1 4 e1 e 2 4 e1 e2 cos 60 4 1 4 11 1 7 2
∴
a 7
同理可得
b 7
a b 2e1 e2 3e1 2e2 6e1 e1 e 2 2 e2
7 a b 1 2 cos 2 7 7 ab
则 a · b =x1x2+y1y2
五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a
（a b） a b
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理
有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120
（D） 150
2
分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量复习课习题
3.两个向量数量积的重要性质:
①a2=|a|2即|a|= a2 (求线段的长度); uuur uuur
②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作 OA a,OB b,
则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,
cosθ=cos<a,b>= a b
x1x2 y1 y2
uuur uuur r
uur uuur uuur r
C.PB PC 0 D.PA PB PC 0
uuur uuur uuur uur B 【解析】 Q BC BP BP BA,
uuur uuur uuur uuur PC AP, PC AP 0.
uuur uur r 即PC PA 0,故选B.
重要考点回顾
一、向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的
模可以比较大小.
r
r
2.零向量:长度为0的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向
量平行.
3.单位向量:模为1个单位长度的向量.
4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
8.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 ,则|a+b|=
.
3
7 【解析】 因为 | a b |2 (a b)2 | a |2 | b |2 2a b
1 4 21 2 cos 7,故 | a b | 7.
3
9.已知|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为
19.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于 ( )
7.2 数乘向量课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第七章平面向量
不一定是直解) 【解】 因为 3xa＋(10－y)b＝(4y－7)a＋2xb
所以(3x，10－y)＝(4y－7，2x)，联立方程组31x0＝－4yy＝－27x，解得yx＝＝43. 故 x＝3，y＝4.
二、填 空 题
9．向量 a∥b 且|a|＝3|b|，则向量 a、b 的关系式是__a_＝__3_b_或__a_＝__－__3_b___． 【解析】 由两向量平行知 a＝3b 或 a＝－3b.
10．若向量 a＝e1＋e2，b＝e1－e2，则 2a＋3b＝__5_e_1_－__e_2 __． 【解析】 2a＋3b＝2(e1＋e2)＋3(e1－e2)＝5e1－e2.
11．在四边形 ABCD 中，A→D＝12B→C，则四边形 ABCD 是___梯___形． 【解析】 由A→D＝12B→C得A→D∥B→C，A→D＝12B→C.
12．如果 a＝－2b(b≠0)，则 a 与 b 的位置关系是_平__行__且__反__向___． 【解析】 由向量平行的概念可知 a 与 b 平行，又 λ＝－2＜0，∴a 与 b 反向．
6．(1)(－2)×12 a＝__－__a__；(2)2(a＋b)－3(a－b)＝__－__a_＋__5_b__． 【解析】 (1)(－2)×12a＝（－2）×12a＝(－1)a＝－a；
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－(3a－3b)＝2a＋2b－3a＋3b＝－a＋5b.
一、选 择 题
5．已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1
＋3e2，则 x－y＝( A )