《实数》知识归纳
数学实数知识点总结归纳
数学实数知识点总结归纳一、实数的基本概念1．有理数有理数包括整数、分数和负数。
整数包括自然数和零，是没有小数部分的数；分数是一个整数除以另一个整数得到的数，可以用分数形式表示；负数是小于零的数，可以表示为“-”加上一个正数。
2．无理数无理数是不能表示为有理数的数，如根号2、圆周率π等。
这些数不能用有限小数表示，并且不能被表示为两个整数的比例。
3．实数的表示实数可以用小数表示，包括有限小数和无限循环小数。
有限小数是小数部分有限位数的实数，可以用有限位数的小数表示；无限循环小数是小数部分无限位数的实数，可以用循环小数形式表示。
二、实数的运算1．加法和减法实数的加法和减法规则和有理数的运算规则相同，即同号相加、异号相减。
加法和减法的结果仍然是实数。
2．乘法和除法实数的乘法和除法规则和有理数的运算规则相同，即同号相乘得正数，异号相乘得负数。
乘法和除法的结果仍然是实数。
3．乘方和开方实数的乘方和开方是实数的特殊运算，乘方是指一个数自身相乘若干次，开方是指一个数的平方根。
乘方和开方的结果仍然是实数。
三、实数的性质1．实数的代数性质实数包括有理数和无理数，它们满足代数运算的基本性质，如交换律、结合律、分配律等。
2．实数的比较性质实数可以进行大小比较，满足大小比较的基本性质，如传递性、反对称性、三角不等式等。
3．实数的稠密性质实数满足稠密性质，即在任意两个不相等的实数之间，都可以找到一个实数。
四、实数的应用1．实数在数学中的应用实数在数学中的应用非常广泛，涉及到各种数学问题和计算中，如代数、几何、概率、统计等。
2．实数在物理中的应用实数在物理中的应用也非常广泛，涉及到各种物理问题和计算中，如力学、热力学、光学、电磁学等。
3．实数在工程中的应用实数在工程中的应用也非常广泛，涉及到各种工程问题和计算中，如土木工程、机械工程、电子工程、通信工程等。
总之，实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，掌握实数的相关知识对于提高数学水平和解决实际问题是非常重要的。
实数知识总结
实数知识点总结一、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．记作：±√a 2或±√a a 叫做被开方数，2叫做根指数，可以省略不写。
（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：（±3）=9，9的平方根是±3， 记作±√9=±3. （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0。
（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x题型一;求下列各数的平方根 36 0.00493625-（-169）36121（−10）6214题型二：利用平方根解方程1、（1）（2x-1）2-169=0； （2）12142=x题型三：正数有两个平方根，它们互为相反数的考核1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少？2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根，求m 的值。
二、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
实数知识点归纳
专题一实数知识点归纳【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．【知识点三】实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.无理数的比较大小：【知识点五】实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数【知识点六】有效数字和科学记数法1.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．2.科学记数法：把一个数用(1≤ ＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．。
(完整版)第六章实数知识点总结
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
实数知识点总结归纳
实数知识点总结归纳实数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在这篇文章中，我们将对实数的基本概念、性质和应用进行总结和归纳。
希望通过这篇文章，能够帮助读者更全面地理解和掌握实数的知识。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，可以是正数、负数或零。
而无理数则无法表示为有理数的形式，无限不循环小数形式的数称为无理数。
实数的集合用符号R表示，R={x | x是有理数或无理数}。
实数满足以下性质：1. 实数进行加、减、乘、除运算时仍然是实数；2. 实数满足交换律、结合律和分配律；3. 实数可以通过数轴上的点来表示，数轴是一个按照大小顺序排列的直线。
二、实数的性质1. 实数的比较性质实数具有自反性、对称性和传递性。
对于任意的实数a、b，下面三个性质成立：自反性：a = a；对称性：如果a = b，则b = a；传递性：如果a = b，b = c，则a = c。
2. 实数的密度性质实数集是一个稠密集合，即在实数中，两个不相等的实数之间必然存在一个有理数或无理数。
这一性质保证了实数的连续性和无间断性。
3. 实数的无穷性质实数集是一个无穷集合，它既没有最大值也没有最小值。
无理数在实数集中的分布非常稠密，可以被无数个有理数所逼近。
三、实数的应用实数在数学和其他学科中有着广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用领域：1. 几何学实数在几何学中起到了重要的作用，可以通过实数来表示直线的长度、角的大小等几何量。
2. 物理学实数在物理学中有着广泛的应用，可以表示物体的质量、速度、时间等物理量。
实数的加减运算、乘除运算也被用于描述物理学中的运动和力学等概念。
3. 金融学实数在金融学中有着广泛应用，可以用来表示股票价格、利率、收益率等经济指标。
实数的运算和比较也是金融学中常用的计算手段。
4. 统计学实数在统计学中扮演着重要的角色，可以用来表示样本的测量结果、变量的取值等。
实数知识点总结
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
实数知识点详细总结
第4章 实数知识结构：实数1.平方根（1）定义:如果x 2=a(a ≥0),那么x 叫做a 的平方根（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数（2）性质 （2）0的平方根是0（3）负数没有平方根 （3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方（4）算术平方根（1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0（3）性质:√a 具有双重非负性,即√a ≥0,a ≥0 （5）意义:(√a )2=a(a ≥0)a(a ≥0)√a 2=∣a ∣=-a(a ＜0)2.立方根（1）定义:如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根（2）性质（1）正数的立方根是正数 （2）0的立方根是0 （3）负数的立方根是负数（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（4）意义√a 33=a(√a 3)3=a3.实数（1）实数的分类1.按性质 （1）正实数 （2）0 （3）负实数2.按概念（1）有理数（2）无理数-----无限不循环小数（2）实数的性质实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样 实数与数轴上的点是一一对应关系有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用 与有理数的运算法则、运算律相同4.近似数定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数 精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确4.1平方根一、平方根的概念及表示拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±√a，把x=±√a代入x2=a，得（±√a）2=a（a≥0）.（2）当a≥0时，我们说式子√a有意义，当a＜0时，式子√a无意义。
二、平方根的性质1.正数有两个平方根，它们互为相反数。
如果a＞0，那么a的平方根为±√a2.0有一个平方根，就是0，即√0=03.负数没有平方根三、开平方注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。
实数常识知识点归纳总结
实数常识知识点归纳总结一、有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。
有理数的性质包括：1. 有理数的加减乘除运算规律；2. 有理数的乘方和开方运算规律；3. 有理数的大小比较和大小关系；4. 有理数的取整和绝对值等基本运算。
二、无理数无理数是不能由两个整数的比值来表示的数，它们是无限不循环的小数。
无理数的性质包括：1. 无理数与有理数的加减乘除运算规律；2. 无理数的乘方和开方运算规律；3. 无理数的大小比较和大小关系；4. 无理数的取整和绝对值等基本运算。
三、实数实数是有理数和无理数的总称，实数的性质包括：1. 实数与实数的加减乘除运算规律；2. 实数的乘方和开方运算规律；3. 实数的大小比较和大小关系；4. 实数的取整和绝对值等基本运算。
四、实数的表示实数可以用各种方式来表示，包括有限小数、循环小数、无限不循环小数和根式等形式。
在表示实数时，需要注意保留足够的有效数字和小数点后的位数。
五、实数的运算实数的加减乘除运算是数学中最基本的运算，要掌握实数的运算规律，包括正负数相加减、乘法法则、除法运算。
另外还有实数的乘方和开方运算，这也是实数的重要运算。
六、实数的大小比较实数的大小比较是数学中的一个重要概念，掌握了实数的大小比较，才能够更好地理解和运用实数。
实数的大小比较包括有理数和无理数的大小比较，以及实数的大小关系。
七、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，包括代数计算、几何运算、函数图像和方程求解等方面。
实数的应用可以帮助我们解决各种数学问题，提高数学运算能力和解题能力。
总结：实数是数学中的一个重要概念，掌握了实数的常识知识点，才能够更好地理解和运用数学知识。
实数的常识知识点包括有理数、无理数、实数的性质、表示、运算、大小比较和应用等方面，需要不断地进行学习和实践，才能够掌握实数的知识，提高数学运算能力。
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实数
一、本章知识结构
二、基础知识
1．算术平方根。
（1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。
（2）规定：0的算术平方根是0
（3）性质：算术平方根a 具有双重非负性：
①被开方数a 是非负数，即a ≥0.
②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。
也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数，
0的算术平方根是（ 0 ），
负数没有算术平方根。
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根
（2）非负数a 的平方根的表示方法: a ±
（3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
0 只有一个平方根，它是0 。
负数没有平方根。
说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。
要特别注意： a ≠±a 。
3.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同算术平方根要求是正数
②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a
联系：①具有包含关系：算术平方根平方根⊇
②存在条件相同：0≥a
③0的平方根和算术平方根都是0。
4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0)
2a =│a │=
-a (a<0)
从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)
5．立方根
（1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根
（2） 数a 的立方根的表示方法:3a
（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数
（4） 两个重要的公式 为任何数）
为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算：
（1）定义：
①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。
②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方
（2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。
7．无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数
8．有理数与无理数的区别
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
9.常见的无理数类型
（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4)开方开不尽的数。
如：35
,3。
10．实数
（1）概念：有理数和无理数统称为实数。
（2）分类按定义
正整数
整数 0
负整数
有理数有限小数或无限循环小数
正分数
实数分数
负分数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
按大小正实数
实数零
负实数
(3)实数的有关性质
①a与b互为相反数〈=〉a+b=0
②a与b互为倒数〈=〉ab=1
③任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0
④互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a=a
⑤正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
⑥一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 （4）实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系
实数的大小比较
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数大于零；零大于负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。
（5）实数中的非负数及其性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数
我们已经学过的非负数有如下三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0
②任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；
③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0
非负数有以下性质
①非负数有最小值零
②有限个非负数之和仍然是非负数
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。