第六章实数知识点归纳及典型例题
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
第六章 实数知识点及练习题及答案
第六章 实数知识点及练习题及答案一、选择题1．已知4a ++（b ﹣3）2＝0，则（a +b ）2019等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2019D ．20192．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的是（ ）A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数a ，21()a a=④C ．3=4④④D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数. 3．下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．﹣18没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0 D ．327-＝﹣3 4．有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④邻补角是互补的角；⑤实数与数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．等边△ABC 在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和－1，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．这题我真的不会6．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ） A ．26B ．65C ．122D ．1237．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．已知,x y 为实数且|1|10x y ++-=,则2012x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．20129．下列命题中，是真命题的有（ ）①两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行； ②立方根等于它本身的数只有0； ③两条边分别平行的两个角相等； ④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．12+B ．22+C ．221-D ．221+二、填空题11．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是2223=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______ 12．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．13．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．14116的算术平方根为_______．15．比较大小：512-__________0.5．（填“>”“<”或“=”）16．规定用符号[]x表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦，按此规定113⎡⎤-=⎣⎦_____．17．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求31ab c d-+++＝_____．18．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，那么O'点对应的数是______．你的理由是______．19．已知2(21)10a b++-=，则22004a b+=________．20．如图，数轴上的点A能与实数15,3,,22---对应的是_____________三、解答题21．观察下列三行数：(1)第①行的第n个数是_______(直接写出答案，n为正整数)(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a，化简计算求值：(5a2-13a-1)-4(4-3a+54a2) 22．计算：（1）()()232018311216642⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭（253532323．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：0,?0,?0,?a b a ba b a ba b a b->>⎧⎪-==⎨⎪-<<⎩则则则；2与2的大小 ∵224-= << 则45<< ∴2240-=> ∴22>请根据上述方法解答以下问题：比较2-与3-的大小． 24．阅读理解．23．∴11＜21的整数部分为1，12．解决问题：已知a ﹣3的整数部分，b ﹣3的小数部分． （1）求a ，b 的值；（2）求（﹣a ）3+（b +4）22＝17．25．（1）计算：321|2(2)-++-；（2）若21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-，求2x y -的算术平方根．26．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，点P 是数轴上的一个动点．（1）求出A 、B 之间的距离；（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；（3）数轴上一点C 距A 点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据非负数的性质，非负数的和为0，即每个数都为0，可求得a 、b 的值，代入所求式子即可． 【详解】根据题意得，a +4＝0，b ﹣3＝0，解得a ＝﹣4，b ＝3，∴（a +b ）2019＝（﹣4+3）2019＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及-1的奇次方是-1，理解非负数的性质是解题关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据定义依次计算判定即可． 【详解】解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a÷÷÷=⨯⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．3．D解析：D 【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A 、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意； B 、﹣18的立方根为﹣12，原说法错误，故这个选项不符合题意； C 、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；D ＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．4．B解析：B【分析】利用无理数的概念，邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①无理数是无限不循环小数，正确；②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；④邻补角是相等的角，故错误；⑤实数与数轴上的点一一对应，正确．所以，正确的命题有2个，故选B.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．5．A解析：A【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环，2019能被3整除说明跟翻转3次对应的点是一样的.【详解】翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转2次后，点C所对应的数为2翻转3次后，点A所对应的数为3翻转4次后，点B所对应的数为4经过观察得出：每3次翻转为一个循环÷=∵20193673∴数2019对应的点跟3一样，为点A.故选：A.【点睛】本题是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.6．B解析：B【分析】依照题意分别求出a l=26，n2=8，a2=65，n3=11，a3=122，n4=5，a4=26…然后依次循环，从而求出结果．【详解】解：∵n1＝5，a l＝52+1＝26，n2＝8，a2＝82+1＝65，n3＝11，a3＝112+1＝122，n 4＝5，…，a 4＝52+1＝26… ∵20183=6722÷∴20182=65=a a ． 故选：B ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．7．B解析：B 【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可. 【详解】 ①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误； ③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误； ⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．8．B解析：B 【分析】利用非负数的性质求出x 、y ，然后代入所求式子进行计算即可. 【详解】 由题意，得 x+1=0，y-1=0， 解得：x=-1，y=1，所以2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（-1）2012=1，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.9．D解析：D利用平行线的性质、立方根及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误，是假命题；②立方根等于它本身的数有0，±1，故错误，是假命题；③两条边分别平行的两个角相等或互补，故错误，是假命题；④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，真命题有1个，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、立方根及互补的定义等知识，难度不大．10．D解析：D【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．【详解】设点C所对应的实数是x．则有x﹣（﹣1），解得+1．故选D．【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．二、填空题11．．【分析】先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．【详解】解：∵a1=3∴，，，，∴该数列为每4个数为一周期循环，∵∴a2020=．故答案为：．此题主要考查规律的探索，解析：43．【分析】先根据题意求得2a、3a、4a、5a，发现规律即可求解．【详解】解：∵a1=3∴222 23a==--，()321222a==--，4241322a==-，523423a==-，∴该数列为每4个数为一周期循环，∵20204505÷=∴a2020=44 3a=．故答案为：43．【点睛】此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．12．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】解：＝8，＝2，2的算术平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】82，2，．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．13．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】 解：，且， ∴y -3=0，x-2=0， ． ．的平方根是． 故答案为：. 【点睛】 此题考查算术平 解析：±1【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，∴y-3=0，x-2=0，3,2y x ∴==．1y x ∴-=．y x ∴-的平方根是±1．故答案为：±1. 【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.14．【分析】利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．． 【详解】 ∵，，∴的算术平方根为； 故答案为：. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12【分析】14=的值，求出14的算术平方根即可．．14=12=，的算术平方根为12； 故答案为：12. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．15．＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】∵，∵-2＞0，∴＞0．故＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于解析：＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】12＞0，∴22＞0．＞0.5． 故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．16．-3先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π解析：π圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π•d=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．19．【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴2a＋1＝0，b−1＝0，∴a＝，b＝1，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数解析：5 4【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵2(21)0a +=，∴2a ＋1＝0，b−1＝0，∴a ＝12-，b ＝1， ∴222004200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭， 故答案为：54． 【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．20．【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数，即可得到答案.【详解】解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，∴A 为负数，从数轴可以看出，A 点在和之间，解析：【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数12-. 【详解】解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，∴A 为负数，从数轴可以看出，A 点在2-和1-之间，2<=-，故不是答案；刚好在2-和1-之间，故是答案；112->-，故不是答案；是正数，故不是答案；故答案为.【点睛】本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.三、解答题21．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783【分析】第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案
中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案一、选择题1．已知: 表示不超过的最大整数，例:，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．B ．C ．D ．或1 2．我们规定一种运算“★”，其意义为a ★b ＝a 2﹣ab ，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x 满足（x +2）★（x ﹣3）＝5，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣53．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n4．已知无理数7－2，估计它的值( )A ．小于1B ．大于1C ．等于1D ．小于0 5．等边△ABC 在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和－1，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．这题我真的不会6．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7D ．负数有一个平方根 7．下列命题是假命题的是（ ）A ．0的平方根是0B ．无限小数都是无理数C ．算术平方根最小的数是0D ．最大的负整数是﹣1 8．在实数227-911π38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．下列运算正确的是（ ） A 42=± B 222()-=- C 382-=-D ．|2|2--= 10．7和6- ）A B C + D ．-二、填空题11．若()2320m n ++-=，则m n 的值为 ____.12．观察下列各式：5=；11=；19=；a =，则a =_____．13．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．14．观察下列算式：16＋4＝20；40＋4＝44；…__________15．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．16．一个数的立方等于它本身，这个数是__．17．__________0.5．（填“>”“<”或“=”）18________．19．下列说法： -10=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．如果a =b 的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．22．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整数，例如：3=，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次3=→=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．24．定义☆运算：观察下列运算：两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．25．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．26．是无理数，而无理数是无限不循环小数，﹣1的小数部的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为2＜3的整数部分为2﹣2） 请解答：（1）10的整数部分是，小数部分是；（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b﹣5的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.2．B【分析】根据a ★b=a 2-ab 可得（x+2）★（x -3）=（x+2）2-（x+2）（x -3），进而可得方程：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，再解方程即可．【详解】解：由题意得：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，x 2+4x+4-（x 2-x -6）=5，x 2+4x+4-x 2+x+6=5，5x=-5，解得：x=-1，故选：B ．【点睛】此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件a ★b=a 2-ab 所表示的意义．3．C解析：C【分析】根据题意得到m ，n 的相反数，分成三种情况⑴m ，n ；-m ，-n ⑵m ，-m ；n ，-n ⑶m ，-n ；n ，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m ，n （m ＜n ）的相反数为﹣m ，﹣n ，则有如下情况：m ，n 为一组，﹣m ，﹣n 为一组，有A ＝|m +n |+|（﹣m ）+（﹣n ）|＝2m +2nm ，﹣m 为一组，n ，﹣n 为一组，有A ＝|m +（﹣m ）|+|n +（﹣n ）|＝0m ，﹣n 为一组，n ，﹣m 为一组，有A ＝|m +（﹣n ）|+|n +（﹣m ）|＝2n ﹣2m所以，所有A 的和为2m +2n +0+2n ﹣2m ＝4n故选：C ．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.4．A解析：A【分析】首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可. 【详解】∵23<<，∴22232-<<-，∴021<<，2-的值大于0，小于1.所以答案为A 选项.本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.5．A解析：A【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环，2019能被3整除说明跟翻转3次对应的点是一样的.【详解】翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转2次后，点C所对应的数为2翻转3次后，点A所对应的数为3翻转4次后，点B所对应的数为4经过观察得出：每3次翻转为一个循环÷=∵20193673∴数2019对应的点跟3一样，为点A.故选：A.【点睛】本题是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.6．B解析：B【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．【详解】A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；C、72的平方根为±7，所以C选项错误；D、负数没有平方根．故选B．【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．7．B解析：B【分析】分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．【详解】解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；C 、算术平方根最小的数是0，所以C 选项为真命题；D 、最大的负整数是﹣1，所以D 选项为真命题．故选：B ．【点睛】本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．8．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有：11、π共2个． 故选B ．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数． 9．C解析：C【分析】 分别计算四个选项，找到正确选项即可．【详解】A. 42=，故选项A 错误；B. 2(2)42-==，故选项B 错误；C. 3338(2)=2-=--，故选项C 正确；D. |2|2--=-，故选项D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了开平方、开立方和绝对值的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．10．C解析：C【分析】在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．【详解】如图，7和67在右边，6在左边，和-（）．故选：C．【点睛】本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．二、填空题11．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，mn=（-3）2=9．故答案为9．【解析：【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，m n=（-3）2=9．故答案为9．【点睛】此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181n=求解即可．观察各式得出其中的规律，再代入12【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】解：==1084．故答案为：1084．【点睛】解析：【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．15．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．17．＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】∵，∵-2＞0，∴＞0．故＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于解析：＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】12＞0，＞0．＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．18．6【分析】求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．∵，，又∵36＜46＜49∴6＜＜7∴的整数部分为6故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解解析：6【分析】的整数部分．【详解】∵246=，2636=，2749=又∵36＜46＜49∴6＜76故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．19．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】①10=，故①错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a==<<479<<<<23∴b=的整数部分是2，即2ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【分析】（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.【详解】解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．∴“奇异数”为21；②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8∴k+2k-1=8∴k=3∴b=10×3+2×3-1=35；（3）根据题意有()f a x y =+∵()510a f a -=∴()10510x y x y +-+=∴5410x y -=∵x 、y 为正数，且x≠y∴x=6，y=5∴a=6×10+5=65故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．22．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1（2）根据定义可知x ＜4，可得满足题意的x 的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜6，∴]=[2]=2，]=5，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：，第二次：，第三次：，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵，，]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵，，]=2，]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．23．(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52 【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-， 综上所述：a=-52． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键． 25．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<，6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．26．（1）3，﹣3；（2）1．【分析】<解答即可；（1）根据34（2）根据23得出a，根据34得出b，再把a，b的值代入计算即可．【详解】<<，（1）∵343﹣3，故答案为：3﹣3；（2）∵23，a2，∵34，∴b＝3，a+b2+31．【点睛】此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.。
(完整版)实数知识点和练习
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。
（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
(完整版)第六章实数知识点总结
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc
2018年七年级数学下册实数知识清单+经典例题+专题复习试卷1、 定义：如果一个正数X 的平方等于a,即工=。
那么，这正数x 叫做a 的算术平方根。
记作氐 读作“根号屮。
a 叫做被开 算术平方根*方数，规定0的算术平方根还是0o2、 性质:双重非员性(a h 0,需X 0 )。
负数没有算术平方根。
'3、J 产=\a\ (a是任意数力(7^)2 =a (B 是非员数)。
1、定义：如果一个数X 的平方等于4即乂2 =4。
那么，这个X叫做a 的平方根。
记作土需，读作“正、员根号屮。
a 叫做被幵 方数。
规定0的算术平方根还是0o2、 性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数。
(2) 0的平方根是0。
员数没有平方根。
3、 未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
72^1.414, 73^1.732,少恐2.236, J7俎26461、走义：如果一个数x 的立方等于匕 即x 3 =a o 那么，这个x 叫做a 的立方根。
记作砺，读作“三次根号护。
a 叫做被开方数。
2、性质：(1)正数的立方根是正数，员数的立方根是员数，0的立方根是0。
(2)1卜a 取任意数(3) (佝=° J分数(有理数和分数是相同的概念)rI 无限循环小数'1、开方开不尽的方根无理数无限不循环小数彳2、圆周率兀以及含有兀、3、具有特定结构的数(0.010010001……)有理数』r 正整数员整数(可以看成分母是1的分数)正实数o员实数有限小数平方根立方根【经典例题1】1、下列说法错误的是（）4、若 a 2=4, b 2=9,且 ab<0,B. ±55、 设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法： ®a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点來表示；③3<a<4； ④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 （ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③④ 6、 已知实数x 、y 满足心- l+|y+3|=0,则x+y 的值为（ ） A. -2B. 2C.4D. -4【经典例题3】7、 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A. a+1B. a 2+lC.寸/+1Va+1f x 二 2f inx+ny=88、 已知■是二元一次方程组｛、的解，则加・n 的算术平方根为（ ）\ y=l[nx - iny^lA. ±2B. V2C. 2D. 49、 有一个数值转换器，原理如下：A. 5是25的算术平方根 C. （-4）2的平方根是一4 2、下列各式中，正确的是（）B. 1是1的一个平方根 D. 0的平方根与算术平方根都是0B.-佇二 _ 3C.寸(±3严二 ±3D.佇二 ±33、716的平方根是（A. ±2【经典例题2】B. 2C. — 2D. 16C. 5A. 2B. 8当输入的x=64时，输出的y 等于（）【经典例题4】10、平方等于16的数是________ ;立方等于本身的数是_______________________ •11、一个数的立方根是4,这个数的平方根是______________ ,12、若一2x ra_n y2与3x7^是同类项，则m-3n的立方根是_____________ .【经典例题5】13、求x 的值：25(X+1)2=16；14、求y 的值：(2y-3) 2 - 64=0；15、计算:^4-23-|-2|X(-7+5) 16、计算：舗一血+ 乂-3)' -磁-2【经典例题6】17、已知实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：寸(fl) 4-1)并|a・b|. -------- ------- 1---------------- 1 ----- >・ 1^0 b 118、阅读理解7 >^<75 <79* 即2<V5<3» A1<V5-1<2-・••厉_1的整数部分为1,小数部分为厉_2・解决问题：己知a是JI7-3的整数部分，D是的小数部分，求(-a)"+(b + 4)2的平方根.参考答案1、c；2、B3、A4、B5、C6、A7、B8、C9、D10、±4, 0, ±111、&-812、213、x = -0. 2, x=-l. 8；14、y=5. 5 或y= - 2. 5；15、10 ；16、-2；17、解：由数轴上点的位置关系，得-l<a<0<b<l.原式二a+1+2 - 2b - b+a=2a - 3b+3.18、由题意，得幺=1，i = T17-4 所以（一幺尸 + 0+4）2 = （-1尸 + （何_4+4）2 = 16 即+ @ + 4）2的平方根为±牛2018年 七年级数学下册 实数 期末复习试卷一、选择题:1、下列语句中正确的是（C. 9的算术平方根是±3D. 9的算术平方根是3设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的I 川种说法: ①a 是无理数; ②a 可以用数轴上的一个点來表示; @3<a<4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（) A.①④B.②③C.①②④ D.①③④7、负的算术平方根是（ ）A. ±6B. 6C. ±A /6D. V68、下列各数中,3. 14159,-饭,0.3131131113- （2016春•潮州期末）下列各式表示正确的是9、己知实数x 、y 满足Jx=l+1 y+31二0,则x+y 的值为（）10、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.・9的平方根是・3B. 9的平方根是3 2、下列结论正确的是（A- -{(-6)2二-6 B.(~{5)2二9 C. 7(~16) 2=± 16 D.-(2,16 ^25A- 4、 下列关于祈的说法中，错误的是（ 灵是8的算术平方根 B. 2＜品＜3 下列各组数中互为相反数的一组是（)C. 78= ±2^2D.灵是无理数A. ■⑵与寻PB.・4与・{(-4)2C.D. P 与法5^如果际〒二2. 872, ^3700 =28.72,则勺0・023厂（A. 0. 2872B. 28. 72C. 2. 872D. 0.02872 6、 B. ±725=5A. - 2B. 2C. 4（ ）lk •估计— 1在（）A. 0〜1之间•B. 1〜2之间C. 2〜3之间D. 3〜4之间12、实数纸b在数轴上对应点的位置如图，则|a-b| -肯的结果是（）•••Aa b0A. 2a - bB. b - 2aC. bD. - b二、填空题：13、（-9）2的算术平方根是_.14、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_________ .15^ 己知（x - 1） 2二3,则x= _ .16、如杲丽二1.732, A/30 =5.477,那么0. 0003的平方根是________ .17、若3、b互为相反数，c、d互为负倒数，则石匸尹+畅= _______________ •18、已知a, b为两个连续的整数，且a<V8<b,则a+b二____________ .三、解答题：19、求x 的值：9（3x - 2尸二64. 20、求x 的值：（5- 3x?=—4921、计算：7132-12222、计算：（亦尸+旷爾一加2一炉.23、已知x・1的平方根为±2, 3x+y・1的平方根为±4,求3x+5y的算术平方根.24、已知2a-l的平方根是±3, 3a+b_9的立方根是2, c是妬的整数部分，求a + 2D+f的值•25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道迈是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此迈的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用屁-1来表示典的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：・・・2'<7<3,即2<听<3,・••听的整数部分为2,小数部分为听・2.请解答：(1)Vio的整数部分是__________ ,小数部分是 _________ .(2)如果衍的小数部分为a, 荷的整数部分为b,求a+br/^的值；(3)己知：x是3+^5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出X- y的值的相反数.26、若实数a, b, c 在数轴上所对应点分别为A, B, C, a 为2的算术平方根，b 二3, C 点是A 点关 于B点的对称点，（1） 求数轴上AB 两点之间的距离； （2） 求c 点对应的数；27、已知字母a 、b 满足亦二+的_21 1 1 1~ab @ + 1)@ + 1)@+2)@ + 2)… @ + 2011)@ + 2001)第X 页共1（）页（3） 3的整数部分为x, c 的小数部分为y,求2x^+2》的值（结果保留带根号的形式）的值.1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、 C7、 D8、 C9、 A 10、 11、 12、 C 13、 9.14、 答案为：2. 15、 答案为：土近+1. 16、 ±0.01732. 17、 -118、 答案为：5.149 19、 开平方得：3 (3x-2)二±8 解得：Xi=—, x 2= - -T .9920、§或兰7 2116 T -10； 23、5 24、a=5, b 二2, c 二7, a + 2&+u 二 16・(2) V4<5<9,・・・2<任<3,即沪旋 ・2, V36<37<49, A6<V37<7,即 b 二6,贝lj a+b ・ 丽二4；(3) 根据题意得：x=5, y=3+{^ - 5二- 2,・；x - y=7 - 其相反数是A /5 - 7.26、(1) 3; (2) 6；72 ⑶尸2—屈.21、参考答案21、22、25、 解: (1) V10的整数部分是3,小数部分是V10- 3；故答案为：3； V10- 3；•解;、「7/o,丑-1~ o且-f 二o'弋鳥解得伫°b十@H"賊斗3化X昭十• • •十莎丽莎和 -丄丄亠」一-2 +A3十3*卩十・・・十二卜亍+土一土+》* +・・•十二 /_ Zo/27。
(完整版)第六章实数知识点总结
第六章实数知识网络:考点一、实数的概念及分类1、实数的分类r正有理制j「有理数齐零卜有限'卜数和王限1ft环小数宴埶斗L-员有理锁」厂正形里數-1J无理針 y 卜无隔羽厨环4魁L煲无理数」2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类(1)开方开不尽的数，如.7,32等；(2)有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有n的数，如n +8等；3(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4)某些三角函数，如sin60。
等(这类在初三会出现)判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如°「16是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义(1)如果一个正数x的平方等于a,即厂二，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
(2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。
如果疋二农，那么x叫做a的平方根。
(3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。
如果二-；,那么x叫做a的立方根。
2、运算名称(1)求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号(1)正数a的算术平方根，记作“.、可”。
(2)a(a>0)的平方根的符号表达为 'l，r： r ' ' o(3)一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式a (石『=立(2。
) =\^ |=' 0—謹口=_並(注慧:遣说明三次根号内的员号可以移到根号外面讣4、开方规律小结(1)若a> 0,则a的平方根是、a, a的算术平方根' a;正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；10的平方根和算术平方根都是0 ；23负数没有平方根。
第六章 实数知识点-+典型题含答案
第六章 实数知识点-+典型题含答案一、选择题1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则7×6！的值为( )A ．42！B ．7！C ．6！D ．6×7！2．下列结论正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．无理数都是无限小数C ．带根号的数都是无理数D ．实数包括正实数、负实数3．将不大于实数a 的最大整数记为[]a ，则33⎡⎤-=⎣⎦（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．04．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ）A ．26B ．65C ．122D ．1235．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7 D ．负数有一个平方根6．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）A ．在A 点左侧B ．在线段AC 上 C ．在线段OC 上D ．在线段OB 上7．有下列说法：①在1和22,3一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②8．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．2 9．若a 、b 为实数，且满足|a －2|2b -0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对10．7和6- ）A ．76-B ．67-C ．76+D ．(76)-+二、填空题11．若()221210a b c -+++-=，则a b c ++=__________．12．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则(154)15*+=____13．一个数的立方等于它本身，这个数是__．14．已知72m =-，则m 的相反数是________．15．27的立方根为 ． 16．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.17．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____．18．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____．19．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________三、解答题21．观察下列各式﹣1×12＝﹣1+12 ﹣1123⨯＝﹣11+23﹣1134⨯＝﹣11+34 （1）根据以上规律可得：﹣1145⨯＝ ；11-1n n +＝ （n ≥1的正整数）． （2）用以上规律计算：（﹣1×12）+（﹣1123⨯）+（﹣1134⨯）+…+（﹣1120152016⨯）. 22．2是无理数，而无理是无限不循环小数，因2212的小数部分，事2的整数部分是1，将这个数减去其整数部2的小数部分，又例如：∵232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为)72。
实数_知识点+题型归纳
第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a的倒数为 . 0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
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第十三章实数----知识点总结
一、算术平方根
1. 算术平方根的定义： 一般地，如果 的 等于a ，即 ，那么这个正数x 叫
做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫做 ．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式a x =2 (x ≥0)中，规定a x =。
理解： a x =2 (x ≥0) a x =
a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 2. a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；
4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法： ）
二、平方根
1. 平方根的定义：如果 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的 ．即：如果 ，
那么x 叫做a 的 ．
理解： a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2.开平方的定义：求一个数的 的运算，叫做 ．开平方运算的被开方数必须是 才
有意义。
3. 平方与开平方 ：±3的平方等于9，9的平方根是±3
4. 一个正数有 平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数 平方根，即负数不能进行开平方运算
5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根
1. 立方根的定义：如果 的 等于a ，这个数叫做a 的 （也叫
做 ），即如果 ，那么x 叫做a 的立方根。
2. 一个数a
“三次根号a ”，
其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解： a x =3 <—> 3a x =
a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x
3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，
即)0a =>。
四、实数
1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数
⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
4.
，π
是正无理数，
，π-是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0
5. 实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
6. 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。
7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
8. 无限小数是有理数（ ） 无限小数是无理数（ ）
有理数是无限小数（ ） 无理数是无限小数（ ）
数轴上的点都可以用有理数表示（ ） 有理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用无理数表示（ ） 无理数都可以由数轴上的点表示（ ） 数轴上的点都可以用实数表示（ ） 实数都可以由数轴上的点表示（ ）
五、考点分析
类型一、有关概念的识别
例1．下面几个数：57
223064.0010010001.1,7231.03，，，，π-⋅⋅ ，其中，无理数的个数有
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A 、81的平方根是±3
B 、1的立方根是±1
C 、11±=
D 、5-是5的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A 、1.5 B 、1.4 C 、2 D 、3 类型二、计算类型题
例2．设a =26，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________.
3）___________，
___________，___________. 【变式2】求下列各式中的
（1）252=x （2）()912
=-x （3）643-=x
类型三、数形结合
例3. 点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为2，则A ，B 两点的距离为______
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ）．
A ．12-
B ．21-
C ．22-
D ．22-
类型四、实数非负性的应用
例4．已知()026262
=++-+-z y y x x ，求()33
z y x --的值。
【变式1】已知()01522
=++++-c b a ，求c b a -+的值。
类型五、易错题
例5．判断下列说法是否正确
（1）()2
3-的算术平方根是-3 （ ） （2）225的平方根是±15 （ ） （3）当x=0或2时，02=-x x （ ） （4）2
3是分数 （ ） 类型六、实数应用题
例6．有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。
类型七、引申提高
例7. 把下列无限循环小数化成分数：①0.6• ②0.23•• ③0.107••
一、填空题
1、（-0.7）2的平方根是
2、若=25,=3,则a+b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是
4、ππ-+-43＝ ____________
5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________
6、大于-2，小于10的整数有______个。
7、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a= ，x= 。
二、选择题
1、以下语句及写成式子正确的是（ ）
A 、7是49的算术平方根，即749±=
B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-
C 、7±是49的平方根，即749=±
D 、7±是49的平方根，即749±=
2、下列语句中正确的是（ ）
A 、9-的平方根是3-
B 、9的平方根是3
2a b
C 、 9的算术平方根是3±
D 、9的算术平方根是3
3、下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、1-是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
()()
21211690x --= ()()2
243110x +-=
四、解答题 1、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。
4、已知
052522=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。