(完整版)实数知识点及例题
实数习题集
【知识要点】
1.实数分类:
2.相反数:b a ,互为相反数 0=+b a
4.倒数:b a ,互为倒数
0;1=ab 没有倒数.
5.平方根,立方根:==x ,a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2
±a .
若a x ,a x a x 33,=
=记作的立方根叫做数则数
6.数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应;利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】
1、36的平方根是 ;16的算术平方根是 ;
2、8的立方根是 ;327-= ;
3、37-的相反数是 ;绝对值等于3的数是
4
、的倒数的平方是 ,2的立方根的倒数的立方是 。 5
、2的绝对值是
,11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7
+的相反数是
,-的相反数的绝对值是 。 8
-
-+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】
例1、把下列各数分别填入相应的集合里:
2
,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ
有理数集合:{ }; 无理数集合:{ }; 负实数集合:{ }; 例2、比较数的大小 (1)2332与
(2)6756--与
例3.化简: (1)233221-+-+
-
实数
有理数
无理数 整数(包括正整数,零,负整数) 分数(包括正分数,负整数) 正无理数
负无理数
)0(>a
3.绝对值: =a
a
a -
)0(=a )0(<
a
(2
例4.已知b a ,是实数,且有0)2(132=+++-b a ,求b a ,的值.
例5 若|2x+1|与x y 48
1
+互为相反数,则-xy 的平方根的值是多少?
总结:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.
例6.已知b a ,为有理数,且3)323(2
b a +=-,求b a +的平方根
例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简:x z x y y z x z x z
---++++
-。
y x
z
【课堂练习】
1.无限小数包括无限循环小数和 ,其中 是有理数, 是无理数. 2.如果102
=x ,则x 是一个 数,x 的整数部分是 . 3.64的平方根是 ,立方根是 . 4.51-的相反数是 ,绝对值是 . 5.若==
x x 则6 .
6.当_______x 时,32-x 有意义; 7.当_______x 时,
x
-11有意义;
8.若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ,则____=a ,这个正数是 ; 9.当10≤≤x 时,化简__________12
=-+x x ; 10.b a ,的位置如图所示,则下列各式中有意义的是( ). A 、b a + B 、b a -
C 、ab
D 、a b - 11.全体小数所在的集合是( ).
A 、分数集合
B 、有理数集合
C 、无理数集合
D 、实数集合
12.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是( ).
A 、1≥x
B 、1-≥x
C 、11≤≤-x
D 、11≥-≤或x
13.若64
61
1)23(3
=
-+x ,则x 等于( ). A 、
2
1 B 、4
1
C 、4
1-
D 、4
9-
14.计算: (1
)21--- (2)
34-+-
(3
24++-++
(4)8
1
214150232-+
-
a
b
o
15.若054=-++-y x x ,求xy 的值.
16.设a 、b 是有理数,且满足(
2
1a +=-
,求b a 的值
17.若10m ++=,求2000
4m n -的值。
实数习题集作业
1.若式子2)4(a --是一个实数,则满足这个条件的a 有( ). A 、0个
B 、1个
C 、4个
D 、无数个
2.已知ABC ?的三边长为c b a ,,,且b a 和满足04412=+-+-b b a ,则c 的取值范围
为 .
3.若b a ,互为相反数,d c ,互为倒数,则=++333cd b a . 4. 若y=,122--+-x x 则y x 的值为多少
5.已知0)8(652=++++-z y x ,求13+-+z y x 的值.
6.计算
(1))138)(138(-+ (2))83)(31()35(2
-++-
(3)222222513683)4(--++-- (4))625()23(2-+
(完整版)实数知识点及例题
实数习题集 【知识要点】 1.实数分类: 2.相反数:b a ,互为相反数 0=+b a 4.倒数:b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5.平方根,立方根:==x ,a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ,a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6.数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应;利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ;16的算术平方根是 ; 2、8的立方根是 ;327-= ; 3、37-的相反数是 ;绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ,2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ,11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ,-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里: 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ 有理数集合:{ }; 无理数集合:{ }; 负实数集合:{ }; 例2、比较数的大小 (1)2332与 (2)6756--与 例3.化简: (1)233221-+-+ - 实数 有理数 无理数 整数(包括正整数,零,负整数) 分数(包括正分数,负整数) 正无理数 负无理数 )0(>a 3.绝对值: =a a a - )0(=a )0(< a
(2 例4.已知b a ,是实数,且有0)2(132=+++-b a ,求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数,则-xy 的平方根的值是多少? 总结:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用. 例6.已知b a ,为有理数,且3)323(2 b a +=-,求b a +的平方根 例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简:x z x y y z x z x z ---++++ -。 y x z
实数知识点汇总及经典知识讲解
)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,记作a 。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根:一般地,如果一个数x 的平方根等于a ,即x 2=a ,那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a (2)若b 3=a ,则b 叫做a 的立方根。 (3 (0)(0).a a a a a ≥?==?- 二、实数 1.实数的分类 (1)按实数的定义分类: 2、实数的运算 (1)有理数的运算定律在实数范围内都适用,其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。 (2)在实数范围内进行运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加
减。运算中有括号的,先算括号内的,同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法:数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 (1)在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小。(2)正数大于零,负数小于零;两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的较小。(3)设a,b是任意两实数, 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a最新第六章实数知识点归纳和典型例题
第十三章实数----知识点总结 一、算术平方根 1. 算术平方根的定义:一般地,如果的等于a,即,那么这个正数x叫 做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做. 规定:0的算术平方根是0. ≥0) 理解:≥ a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x a 当a 3. 当被开方数扩大(或缩小)时,它的算术平方根也扩大(或缩小); 4. 夹值法及估计一个(无理)数的大小(方法:) 二、平方根 1. 平方根的定义:如果的平方等于a,那么这个数x就叫做a的.即:如果, 那么x叫做a的. 理解:— a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.开平方的定义:求一个数的的运算,叫做.开平方运算的被开方数必须是才 有意义。 3. 平方与开平方:的平方等于9,9 4. 一个正数有平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数平方根,即负数不能进行开平方运算 5. 符号:正数a a的算术平方根; 正数a的负的平方根可用 6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个; 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根 1. 立方根的定义:如果的等于的(也叫
做 ),即如果 2. , 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 理解: — a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x 3. 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。 4. 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即 四、实数 1. 有理数的定义:任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2. 无理数的定义:无限不循环小数叫无理数 3. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数 4. 负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类: 5. 实数与数轴上点的关系: 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来, 数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数, 实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 7. 实数的绝对值:一个正实数的绝对值是本身;
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2 ≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x 。因此: 1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身; 2、当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。 3、当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。 例1. (1) 的平方是64,所以64的平方根是 ; (2) 的平方根是它本身。 (3)若 x 的平方根是±2,则x= ;的平方根是 (4)当x 时,x 23-有意义。 (5)一个正数的平方根分别是m 和m-4,则m 的值是多少?这个正数是多少? 知识点二、【算术平方根】: 1、如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2 ,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根 号a”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此, 算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为: a ±。 例2. (1)下列说法正确的是 ( ) A .1的立方根是1±; B .24±=; ( C )、81的平方根是3±; ( D )、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( ) A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- (3)2 )3(-的算术平方根是 。 (4)若x x -+ 有意义,则=+1x ___________。 (5)已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ,求c 的取值范围。 (7)如果x 、y 分别是4- 3 的整数部分和小数部分。求x - y 的值. (8)求下列各数的平方根和算术平方根. 64; 121 49 ; 0.0004; (-25)2; 11. 1.44, 0,8, 49 100 , 441, 196, 10-4
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 (3分) 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π+8 等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现) 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。正数大于零,负数 小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。 一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 -a (a <0) ;注意a 的双重非负性: a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个
二次根式知识点及典型例题练习
第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54
实数知识点总结及练习题
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数? ???????? ? ???????--???---)()32,21() 32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ?????????? 实数第一章 勾股定理 姓名 座号 班级 一、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。常见的勾股数组有:(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(6,8,10);(9,12,15);(这些勾股数组的倍数仍是勾股数) 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。 表示方法:记作“a ”,读作根号a 。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a 的平方根记做“a ± ” ,读作“正、负根号a ”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性: a ≥0 3、立方根 一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根)。 表示方法:记作3a 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数:a+b=0,a=—b , 2、绝对值:若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数:如果a 与b 互为倒数,则有ab=1 4、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
实数知识点+题型归纳
第六章实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数,零,负实数 2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。 2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为 3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为 1 a . 0没有倒数。 4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1. 三、平方根与立方根 1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作(a>=0) 特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。 a | |a
开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。 2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。 数a 的立方根用3a表示。 任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。 开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。 四、实数的运算 有理数的加法法则: a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。 2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法法则: a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零. b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正 c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0 4.有理数除法法则:
实数知识点、典型例题及练习题单元复习
第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题 一、平方根 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ,x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ± 表示,a 叫做正平方根,也称为算术平方 根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± (根指数2省略) 0有一个平方根,为0,记作00= ,负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2 ==? ??-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ) ⑷a 的双重非负性:0≥a 且0≥a (应用较广) 例:y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方 后,得____ 3.计算a 的方法????? ? ? ??精确到某位小数 =非完全平方类 =完全平方类 773294 *若0>>b a ,则b a > 二、立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ,呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a 2. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 3. 开立方与立方 开立方:求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根 1. 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时,这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时,这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。
(完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
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