高等数学复习资料大全
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《高等数学》课程复习资料一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。
13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。
14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。
16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。
19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。
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全国教师教育网络联盟专科起点升本科高等数学复习资料目录第一章函数 (1)一、内容提要 (1)二、典型例题 (2)第二章极限与连续 (5)一、内容提要 (5)二、典型例题 (7)第三章导数与微分 (12)一、内容提要 (12)二、典型例题 (14)第四章导数的应用 (18)一、内容提要 (18)二、典型例题 (20)第五章不定积分 (25)一、内容提要 (25)二、典型例题 (26)第六章定积分及其应用 (30)一、内容提要 (30)二、典型例题 (31)第七章多元函数微积分 (34)一、内容提要 (34)二、典型例题 (37)第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。
当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。
（2）定义中两要素：定义域与对应法则。
定义域：自变量x的取值范围。
对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。
（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。
分段函数是一个函数而不是几个函数。
2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。
（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。
3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。
4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。
5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
高等数学复习资料大全1
高等数学复习资料大全1概述高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是许多工科和理科专业的基础课程之一。
为了帮助大家更好的掌握高等数学知识和应对考试，本文将提供一些高等数学复习资料，供大家参考。
参考书籍1.《高等数学（下）》（同济大学数学系主编），高等教育出版社，2004年出版。
该书是我国一流大学同济大学的本科教材，《高等数学（下）》系统全面地介绍了高等数学的主要概念、理论和方法，并以对学科发展的最新认识为指导，为读者提供了丰富的例题和习题，帮助学生更好地掌握和应用高等数学知识。
2.《高等数学》（第7版）（周远贵、陈思民主编），高等教育出版社，2015年出版。
该书是一本全面介绍高等数学的教材，既涵盖了理工科的基础知识，又具有与实际应用相关的内容，内容全面而又深入浅出，是高等数学学习者的良师益友。
参考课件1.网易公开课：高等数学网易公开课平台提供了大量高等数学课程，可以帮助学生通过语音、图像等多种形式学习高等数学知识。
每一个视频课程都由专业教师授课，可供学生在家中自由学习。
在学习中，学生还可以利用网易公开课APP进行直播互动，同学们可以将自己的问题发表出来，得到更好的答复。
2.中国大学MOOC：高等数学（上、下）中国大学MOOC是中国高等教育领域顶尖的在线学习平台之一，提供了大量高等数学课程，包括《高等数学（上）》和《高等数学（下）》两个部分，涵盖了高等数学的主要知识点。
该平台提供丰富的课程材料和视频资料，可以随时随地进行学习，同时还可以利用平台的社区群组进行交流和学习。
参考视频1.高等数学部分知识点详解（李永乐）该系列高清视频是著名数学教育者、自媒体人李永乐老师根据自己多年的高等数学教学经验，对高等数学知识点进行详解和阐述，包括导数、微积分、无穷级数、矩阵等多种知识点。
视频语言通俗易懂，同时还有大量实例进行讲解，有利于学生掌握数学应用技巧。
2.高等数学梳理+串讲（曾科峰）该视频是著名数学教育网红曾科峰进行的一次高等数学全面复习，在视频中对高等数学知识点进行了重点梳理和串讲，每个知识点均有相关的例题进行实践操作。
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高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
专升本高等数学复习资料
专升本高等数学复习资料引言高等数学是专升本考试中的重要科目之一，也是很多考生普遍认为较为困难的科目。
为了帮助考生更好地复习高等数学，本文整理了一些复习资料，并提供了一些复习建议和学习方法，以便考生有效提高复习的效果。
知识点梳理1.集合与函数2.极限与连续3.导数与微分4.积分与不定积分5.一元函数微分学应用6.函数积分学应用7.无穷级数8.空间解析几何与向量代数9.多元函数微分学10.重积分11.曲线与曲面积分12.常微分方程复习建议1.制定合理的学习计划：根据自己的实际情况和时间安排，合理分配每天的学习时间，将高等数学的复习安排在日程中。
2.理解概念，掌握基础知识：高等数学是建立在基础知识上的，要牢固掌握集合与函数、极限与连续、导数与微分等基本概念。
3.多进行例题训练：通过做大量的例题，不仅可以巩固基本知识，还能提高解题能力和应对考试的信心。
4.多与他人讨论、交流：在学习过程中，可以与同学或老师进行讨论，互相交流，共同进步。
5.制作思维导图或总结笔记：通过制作思维导图和总结笔记，可以将知识点整理归纳，增强记忆效果。
学习方法制作复习大纲在开始高等数学的复习前，可以先制作一个复习大纲，列出每个章节的主要内容和重点，有助于将知识点整理清楚并有条理地复习。
划分优先级根据复习进度和自己的掌握情况，将知识点划分为重点、难点和易点，并根据优先级合理安排时间。
对于重点和难点的内容，可以多花时间和精力进行深入学习和理解。
多做例题做例题是巩固知识和提高解题能力的有效方法。
可以选择一些习题集进行练习，挑选出一些典型的例题进行反复训练，掌握解题方法和思路。
参考教辅资料在复习过程中，可以选择一些高等数学的教辅资料作为参考，学习其中的例题和解题技巧。
同时，可以寻找一些经典的教材和参考书籍进行参考阅读，扩充知识面。
讨论交流在学习过程中，可以与同学或老师进行讨论和交流。
通过讨论和交流，可以互相答疑解惑，发现自己的不足之处，相互学习和进步。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
公共课《高等数学》复习资料
公共课《高等数学》复习资料1一、选择题1、下列曲线中经过原点的为A 1y x =+B 2y x x =- C cos y x = D 221x y +=2、函数()f x =1(2)(3)x x x +-- 的所有间断点为A x =-1B x =2C x =3D x =2, x =33、函数sin xy x=的微分dy A 2cos sin x x x x - B 2sin cos x x x x - C 2cos sin x x x x -dx D 2sin cos x x x x -dx4、已知cos x 是()f x 的一个原函数，则不定积分()f x dx ⎰=A sin x C +B cos xC + C sin x C -+D cos x C +5、设函数(,)f x y =()h x ()g y 在点(,00x y )的某领域内有定义，且存在一阶偏导数，则y f (,00x y )=A (,)(,)lim 00000x f x t y f x y t →+-B (,)(,)lim 00000x f x t y t f x y t →++-C ()()lim ()0000x g y t g y h x t →+-D ()()lim 000x g y t g y t→+- 二、填空题1、点P (3,2,0)到平面3270x y -++=的距离为 。
2、已知函数(,)f x y =x y x y -+，则(,)11f y x= 。
3、微分方程''3xy y e --=的特解*y = 。
4、齐次方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，则λ应满足 。
5、ln()limln 1n n n→∞+= 。
三、计算题 1、求曲线211y x =+在点(1,12)处的切线方程。
2、求极限21lim 2xx x x →∞++。
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高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
高等数学基础复习资料
高等数学基础复习资料一.选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1,5]C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数 6.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2xtan3xlimx （ ） A.∞B.23C.0D.18.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ， ，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )A. 0B. 41 C. 21 D. 211.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2xB.2sinxC.cos2xD.cos 2x12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)B.2e x sinxC.2e x cosxD.e x sinx13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则=dxdy( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=017.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞B.)1,(-∞C.),(+∞-∞D.),2(+∞19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5xB. 5e 5xC.x 5e 51D. –e 5x21.1x 31+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)B.2)1x 3(1+-C.2)1x 3(21+D.)1x 3ln(31+ 22.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ ）A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1x x -23.若C e 2dx )x (f 2x +=⎰，则f(x)=( ).A.2x eB.22xe C.212xeD.424．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y s i n 1'=+D.x y y ='+''2 25.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 26.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.027.⎰ππ-=+dx xcos 21xsin 3（ A ） A.0 B.1 C.-1 D.2 28.广义积分⎰+∞1xdx（ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于129.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二.填空题1.设函数f(x)=⎩⎨⎧>+≤0x ,1x 20x ,x 2则f(1)= 3 . 2.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=256x x -+3.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a ___-1____，=c ___1____．4.若c )x (f lim x =+∞→，则曲线y=f(x)有渐近线___y c =________.5.C x x dx x x ++=+⎰ln 2)1(26.)1(____21____2x d xdx --=． 7.微分方程0y dxdy =-的通解为__x y Ce =_________.8.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是_____ 132y Cx =- _. 9.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则__112_________. 10.设==-⎰x dt t x则,6)12(13或2- .三.解答题1 64lim 222-+-→x x x x 解：原式22(2)(2)24lim lim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+2.11lim 21--→x x x 解：原式11224x x →→====⋅ 3. xe x x 1lim 20-→ 解：原式2022lim111x x e →=== 4. x x e x x sin cos lim 0-→ 解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== 5.x xy sin 1cos +=；解：22sin (1sin )cos cos (1sin )1(1sin )(1sin )1sin x x x x x y x x x-⋅+-⋅-+'===-+++ 6. +=xxe y xx sin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x ⋅-⋅-'=++=++ 7.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0xyy xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e yy x e -'=+ 当0x =时，0y =于是000|10x e y e=-'==+ 8.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e xx e y -=-2/π(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题6.已知xex f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.23)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y8.求函数xex y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22-==⇒++=+x x e x x x y x 与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题 9.⎰=-xx dt t x dx d 022sin )sin(⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n nxn n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(2622147302141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：20202sin sin )(sin x du u dxd du u dx d u t x x x ==-⇒=-⎰⎰ 10.求)0(0)1ln()()(2n fn x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543n nn x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n f n n E.不等式的证明11.设)1,0(∈x ，211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x hF.中值定理问题12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ， 0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++=其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.2e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b ea b ->-证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange =--令ξξln 2ln ln ,ln )(222=--=a b a b x x f 令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ )(4ln ln 222a b e a b ->- （关键：构造函数）三、补充习题（作业） 1.23)0('',11ln)(2-=+-=y xx x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y te x tt处切线为在 3.ex y x x e x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(xx x g x g x g x x x x g -=---= 02)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分一、理论要求 1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法 A.积分计算1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2sec )1(tan 2222223.设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )( 解：⎰⎰+=dx e e dx x f xx )1ln()( ⎰+++-=+-++=--C e e x dx ee e e xx xx xx)1ln()1()11()1ln( 4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π B.积分性质5.)(x f 连续，⎰=10)()(dt xt f x ϕ,且A xx f x =>-)(lim 0，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连续性。