高等数学考试必背数学公式

1、 偏导函数的定义式: x
y x f y x x f y x f x x
∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0
；y
y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0
2、 全微分可写作：dz
z
u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=
（三元的情况）；
3、设空间曲线Γ的参数方程为：注意其他两种形式的变形
Γ：⎪⎩
⎪⎨⎧===)()
()(t z t y t x ωϕφ三个函数可导，则在M 0(x ),,000z y 的切向量:{)(),(),(0'0'0't t t T ωψϕ=→
}；切线方程：=-)
(0'
t x
x ϕ
=-)(0'0t y y ψ)
(0'
0t z z ω-；法平面方程：0))(())(())((00'
00'00'=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ 4、∑=0),,(:z y x F 偏导数连续且不同时为零，则在),,(0000z y x M ，法向量：{}
),,(),,,(,,,(000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =→
；切平面方程：0)()()(000=-+-+-z z F y y F x x F z y x ；法线方程：z
y x F z z F y y F x x 000-=-=-。

5、方向导数：=∂∂l f .sin cos ϕϕy f x f ∂∂+∂∂；函数的梯度：=),(y x gradf j
y
f i x f ∂∂+∂∂.注意三元的情况及梯度和方向导数的关系 6、取得极值的充分条件：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又),(00y x 是函数的驻点，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．
7、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，先构造函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，其中λ
为某一常数，可由 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,
0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ解出λ,,y x ，其中y x ,
就是可能的极值点的坐标.
8
、
对
弧长的积分：
)
()()()](),([),(22βαψϕψϕβ
α
<'+'=
⎰⎰dt t t t t f ds y x f L ，
.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b
a
L
⎰⎰
'+=ψψ)(b a <；.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d
c
L
⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <；
9、对坐标的曲线积分：
dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L
)}()](),([)()](),([{),(),(ψψϕϕψϕβ
α'+'=
+⎰⎰；
.)}
()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx b
a
L
⎰⎰'+=
+；.]}
),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx d c
L
⎰⎰+'=+注意：活用路径无相关以及格林公式。

10、格林公式：
⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q )(
，注意格林公式应用条件，以及必要时补边的技巧。

11、曲面积分：),(:若曲面y x z z =∑，则 =⎰⎰∑
dS z y x f ),,(;1)]
,(,,[2
2
dxdy
z z y x z y x f xy
D y x ⎰⎰'+'+注意选择合适的投影面。

12、对坐标的曲面积分：⎰⎰⎰⎰=
∑
xy
D
dxdy y x z y x R dxdy
z y x R )],(,,[),,(，注意侧的方向，及扩展到其他面的计算。

13、高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰∑
Ω
++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P )(
；高斯公式的应用条件，尤其注意方向。

14、常用已知和函数的幂级数：;11)1(0
x
x n n -=∑
∞=
;11)1()2(2
2x x
n n
n
+=-∑∞
=;1)3(2
2x a ax n n -=
∑∞
= ;!)4(0x n n e n x =∑∞
=;sin )!12()1()5(1121x n x n n n =--∑∞=--);1ln(1)1()6(0
1x n x n n n +=+-∑∞=+
15、常用的幂级数展开：
;
11
)1(0
x x n n -=∑∞
=
;11
)1()2(2
2x x
n n
n
+=-∑∞
=;1)3(2
2x a ax n n -=
∑∞
=
;!
)4(0x n n
e n x =∑∞
=;sin )!12()
1()5(1
1
21
x n x n n n =--∑∞
=--);1ln(1)1()6(0
1x n x n n n +=+-∑∞=+
16、泰勒级数： 如果)(x f 在点0x 处任意阶可导,则幂级数n n n x x n x f )(!)(00
0)(-∑∞
=称为)(x f 在点0x 的泰勒级数；麦克劳
林级数：
n n n x n f ∑
∞
=0
)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数.，麦克劳林级数的余项：(1)1()(1)!
n n f x x n θ+++
另：关于解析几何、二重求积分、曲线曲面积分等公式在此不整理了，都是重要的。

实习闲暇时可拿出来背背，要同时将应用条件都记住。