2019-2020学年高一数学《122 同角三角函数的基本关系》学案.doc
198.高一数学人教A版必修四教案：1.2.2 同角的三角函数的基本关系 Word版含答案
1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证: cos 1sin 1sin cos x xxx +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结 （1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。
《同角三角函数的基本关系》示范课教学设计【高中数学人教】
环节三 同角三角函数的基本关系【新知探究】1．发现规律问题 1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？答案：如图1，设P （x ，y ）是角α的终边与单位圆的交点．过P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，则△OMP 是直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理OM ²＋MP ²＝1．因此x ²＋y ²＝1。
即同一个角的三个三角函数之间的关系：sin 2α+cos 2α=1 ．并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立． 根据三角函数的定义，有：sin tan cos ααα=，2ππ+≠k α，k ∈Z ． 即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追问 从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？答案：因为有两个方程，三个未知数sin α，cos α，tan α，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．2．应用规律例1已知sin α=－53，求cos α，tan α的值． 答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1－sin 2α=1－2316()525-=； 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=164255-=-， 从而sin 353tan ()()cos 544ααα==-⨯-=； 如果α是第四象限角，那么cos α>0．于是cos α=164255=， 从而sin 353tan ()cos 544ααα==-⨯=-． 图1追问 你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值．例2求证：xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 答案：证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1+sin x ≠0，于是左边=22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )1sin (1sin )(1sin )1sin cos cos x x x x x x x x x x x x++++===-+-=右边． 所以，原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1+sin x )=1－sin 2x =cos 2x =cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 3．探究延伸问题 2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．【归纳小结】问题3回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？答案：（1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．。
高中数学《必修第一章同角三角函数的基本关系》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
进入情景，参与课堂活动
让学生证明同角的三角函数关系，小组交流展示讲解。
学生分析做法，并写出完整的解答过程。
小组成员展示，指出小组同学的做题情况并总结此类问题方法。
学生分析，交流教材上的两种证法。
分小组讨论，探究其解题方法，再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处。
温故知新，构造知识发生的基础，通过层层设问，让学生经历从特殊到一般的归纳。
学生学情分析
从学生思维的来看，学生在初中阶段已经学习了锐角同角三角函数之间的关系，已经较好的掌握了锐角三角函数的数量关系，前一节已经将三角函数推广到任意角的三角函数，学生能根据任意角三角函数的定义求三角函数值，但这种方法较为麻烦，从三角函数的完整性讲，需要研究三角函数的正弦、余弦、正切之间的关系。基于以上分析，学生有研究同角三角函数的基本关系的必要，同时也有知识、方法和思维上的基础和条件。
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系式例1.
平方关系：/
商数关系：/例2.
1.同角
式子要有意义
教学反思
本节课采用“提出问题—合作探究—解决问题—变式应用”的模式展开。在两个基本公式的推导上，完全放手让学生自主去探索，去研究，去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导，顺利发现并证明了两个三角函数关系式。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中，他们经过自主探索，发现了数学知识，其成功后的喜悦自然也能激励他们再去探究新的数学知识。相信这些乐于自主探索的学生，成功会越来越多，认识会越来越深。
（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。
高中数学_1.2.3 同角三角函数的基本关系式教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计(一)自主学习推导公式1、证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）平方关系：（2）商的关系：回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sinα=y；cosα=x，引导学生注意：单位圆中所以，sin2α+cos2α=1；设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。
2、辨析讨论—深化公式辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。
如（2）式中辨析2判断下列等式是否成立：设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。
辨析3思考：你能将两个公式变形么？（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。
）设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）等(二)小组合作及时训练自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现。
刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？[例1] 已知sinα=0.8，且α是第二象限角，求cosα，tanα的值．思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
变式：α是第四象限角，tanα＝－5/12，求sinα.思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。
小结：（由学生自己总结，师生共同归纳得出）2.注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。
设计意图：利用例题与变式，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。
[例2]本题已知正切的值欲求sin α，tan α的值．设计意图：利用商的关系的灵活使用，解法多样，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。
5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计
5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。
二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。
三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。
四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。
问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。
事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
高中数学学案4：1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系【课标要求】1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．【核心扫描】1．同角三角函数基本关系式．(重点)2．基本关系式的变形及其应用．(难点)新知导学同角三角函数的基本关系式温馨提示：同角的两层含义：一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 互动探究探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确定？题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[规律方法] 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解．【活学活用1】 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．类型二 三角函数式的化简【例2】 化简下列各式： (1)1－sin 2400°；(2) 1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°； (3)1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.[规律方法] 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【活学活用2】 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2.类型三 三角函数式的证明【例3】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．【活学活用3】 求证：sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.易错辨析 忽略角的取值范围，造成增根或丢根【示例】 已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值． [错解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225. ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， 故sin θ－cos θ＝±75. [错因分析] 该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．[正解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝75. [防范措施] 在已知sin θcos θ的值求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时需开方，因此要 根据角的范围确定正负号的选择.课堂达标1．化简 1－sin 2π5的结果是( )． A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5 2．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( )． A ．1 B ．－1 C.34 D ．－433．已知0<x <π2，cos x ＝45，则tan x ＝________. 4．化简1－2sin 40°cos 40°＝________.5．已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．课堂小结1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求解α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形、以便于应用同角三角函数关系来求解.参考答案互动探究探究点1 提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 探究点2 提示 其正负号是由角α所在的象限决定．题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】【解】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 【活学活用1】【解】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α① 又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 类型二 三角函数式的化简【例2】 【解】(1) 1－sin 2400°＝ cos 2400°＝|cos 400°|＝|cos(360°＋40°)|＝|cos 40°|＝cos 40°. (2)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210° ＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (3)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝(1－sin α)21－sin 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α ＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α. 【活学活用2】【解】原式＝ ⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋ ⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22 ＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 类型三 三角函数式的证明【例3】【证明】∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．【活学活用3】【证明】法一 sin 2α＋cos 2α＝1⇒1－cos 2α＝sin 2α⇒(1－cos α)(1＋cos α)＝sin α·sin α⇒sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 法二 sin α1－cos α－1＋cos αsin α＝sin 2α－(1＋cos α)(1－cos α) (1－cos α)sin α＝sin 2α－(1－cos 2α)(1－cos α)·sin α＝sin 2α－sin 2α(1－cos α)·sin α＝0， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 课堂达标1．C【解析】∵0<π5<π2，∴cos π5>0. ∴1－sin 2π5＝ cos 2π5＝cos π5. 2．A【解析】由条件，得sin α＝cos α，∴tan α＝1.3．34【解析】本题是同角三角函数关系的运算问题，需先求出sin x ，再求tan x ．sin x ＝1－cos 2x ＝35，tan x ＝sin x cos x ＝34. 4．cos 40°－sin 40°【解析】原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.5．【解】∵cos α＝－35<0，∴α是第二、三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.。
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案同角三角函数的基本关系是指在一个锐角三角形中，其三个内角的三角函数之间的关系。
教案教学目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学重点：同角三角函数的基本关系。
教学难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学方法：讲授、演示、练习。
教学过程：Step 1 引入新知引导学生回顾正弦定理、余弦定理的内容，由此引入同角三角函数的概念，解释同角三角函数的意义。
Step 2 基本关系的演示通过投影仪或黑板等教具，演示同角三角函数的基本关系。
1) 演示正弦定理的推导，得到sinA=opposite/hypotenuse。
2) 演示余弦定理的推导，得到cosA=adjacent/hypotenuse。
3) 演示正切比例的推导，得到tanA=opposite/adjacent。
Step 3 列示基本关系向学生展示同角三角函数的基本关系，并要求学生背诵这些关系。
Step 4 发现规律通过解决一些具体问题，引导学生发现同角三角函数之间的一些规律和特点。
Step 5 综合运用结合实际问题，进行综合运用，让学生熟练应用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
Step 6 归纳总结复习同角三角函数的基本关系，并帮助学生归纳总结相关知识点。
Step 7 学以致用通过一些挑战性问题，提高学生运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力。
导学案学习目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习重点：同角三角函数的基本关系。
学习难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习方法：自主学习、思维导图。
学习过程：Step 1 学习概念自主学习同角三角函数的概念，并在思维导图中整理相关知识点。
Step 2 学习基本关系自主学习同角三角函数的基本关系，并在思维导图中整理相关公式和关系。
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2019-2020学年高一数学《122 同角三角函数的基本关系》学案
班级：____________ 姓名：____________
学习目标:⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2 通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 学习重点：同角三角函数的基本关系
学习难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式
复习：终边相同的角的同一三角函数值相等
诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成
新授探究案：
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 商等于 即 ， 。
例1：已知5
4
sin =α，求α的其他三角函数值
变式练习:若cos α＝－8
17,求α的其他三角函数值.
例2求证x
x
x x cos sin 1sin 1cos +=-
变式练习：化简x
x
x x sin 1sin 1sin 1sin 1+--
-+，其中X 为第二象限角。
课堂练习： 1． 已知2
1
cos =
θ ，求θtan 的值。
2．已知2tan =α，求αsin 的值
3若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 课后作业 1.),0(,54
cos παα∈=
，则tan α的值等于 （ ）
A ．34
B ．43
C ．3
4±
D ． 4
3
± 2.若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
3.化简sin
2
α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=
．
4.已知1
sin =
α，求ααtan ,cos 的值。