2-5第五节 函 数 的 微 分
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
06 第六节 函数的微分
第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆. 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示★ 引言★ 问题的提出 ★ 微分的定义 ★ 可微的条件 ★ 例1-2 ★ 基本微分公式 ★ 微分四则运算法则 ★ 例3★ 例4 ★ 微分的几何意义★ 复合函数的微分法★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 例10★ 微分近似计算公式 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 常用函数的近似计算公式★ 例15 ★ 例16★ 误差计算 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 6内容要点：一、 微分的定义：定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ∆+0在这区间内, 如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ (5.1)其中A 是与x ∆无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ∆的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= (5.2)二、函数可微的条件dx x f dy )('= (5.8))(x f dxdy '= (5.9)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、 微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 五、 微分形式不变性：无论u 是自变量还是复合函数的中间变量, 函数)(u f y =的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有du u f dy )('=这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算dy y ≈∆. (5.10)例题选讲：微分的定义例1（E01）求函数2x y =当x 由1改变到1.01的微分.解 因为,2xdx dy =由题设条件知 ,1=x 01.0101.1=-=∆=x dx 所以 .02.001.012=⨯⨯=dy例2（E02）求函数3x y =在2=x 处的微分. 解 函数3x y =在2=x 处的微分为 dx x dy x 2'3)(==.12dx =基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3（E03）求函数x e x y 23=的微分. 解 因为'23')(xex y =xxex ex 232223+=)23(22x ex x+=所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+== 或利用微分形式不变性)()(2332xxed x x d edy +=dx ex dx x e xx232223⋅+⋅=.)23(22dx x ex x+=例4（E04）求函数xx y sin =的微分.解因为''sin ⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 2sin cos x x x x -=所以 dx y dy '=.s i n c o s 2dx xxx x -=微分形式的不变性例5（E05）设),12sin(+=x y 求dy . 解 设,sin u y =,12+=x u 则)(sin u d dy =udu cos =)12()12cos(++=x d x dx x 2)12cos(⋅+=.)12cos(2dx x +=注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设),1ln(2x e y += 求.dy解 )1l n (2xe d dy +=)1(1122xxed e++=)(11222x d eexx+=x d x eexx2122+=.1222dx exe xx+=例7（E06）设,2sinxe y =求.dy解 应用微分形式不变性, 有 .2sin cos sin 2sin sin 2sin2222sin sinsin2sindx xexdxx ex xd ex d edy xxxx=⋅=⋅==例8（E07）已知,22xey x = 求dy .解 222222)()()(x x d eed x dy xx-=422222xxdxedx ex xx⋅-⋅=.)1(232dx xx ex-=例9（E08）在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) ;cos )(tdt d ω= (2) ).()()(sin 2x d x d = 解 ,cos )(sin tdt t d ωωω= ∴)(s i n 1c o s td t d t ωωω=);sin 1(t d ωω=一般地，有.cos sin 1tdt C t d ωωω=⎪⎭⎫⎝⎛+例10（E09）求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分dy . 利用微分进行近似计算解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3y x d e d xy +=),()2()(3y d x d xy d exy+= ,32)(2dy y dx xdy ydx e xy +=+于是 .322dx yxeye dy xyxy --=例11(E09) 求x )x (f +=1在0=x 与3=x 处的线性化.解 首先不难求得xx f +='121)( ，则413(21)0(23(1)0(='='==），，），f f f f ，于是，根据上面线性化定义知)(x f 在0=x 处的线性化121)0)(0()0()(+=-'+=x x f f x L ，在3=x 处的线性化为4541)3)(3()3()(+=-'+=x x f f x L))(()()(000x x x f x f x L -'+=示意图见右,故x x 2111+≈+（在x=0处）， 45411+≈+x x （在x=3处）．例12(E11) 求)x ln()x (f +=1在0=x 的线性化． 解 首先求得)(x f 'x+=11，得1)0(='f ，又0)0(=f ，于是)(x f 在x=0处的线性化x x f f x L =-'+=)0)(0()0()(例13（E12）半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设,2r A π=10=r (厘米), 05.0=∆r (厘米).∴dA A ≈∆r r ∆⋅=π205.0102⨯⨯=ππ=（厘米2）.例14（E13）计算0360cos ' 的近似值.解 设x x f cos )(=⇒,sin )('x x f -=x (为弧度),取,30π=x 360π=∆x⇒,21)3(=πf .23)3('-=πf所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3603cos 3060cos 'ππ 3603s i n 3c o s πππ⋅-=3602321π⋅-=.4924.0≈例15计算下列各数的近似值.(1) (E14)35.998的近似值. (2) .03.0-e解 (1)335.110005.998-=310005.111000⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30015.0110-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=0015.031110.995.9=(2) 03.0103.0-≈-e .97.0=例16(E15) 最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用. 我们知道，牛顿的第二运动定律αm F =（α为加速度）中的质量m 是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长. 在爱因斯坦修正后的公式中，质量为2201c/v m m -=,当v 和c 相比很小时，22c /v 接近于零，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-=22002202201212111c v m m c v m c/v m m 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈2200121c v m m m , 注意到上式中K v m =2021是物体的动能，整理得)K (m v m v m c )m m (∆=-=≈-202020200212121,或 )K (c )m (∆∆≈2. （1）换言之，物体从速度0到速度v 的动能的变化)K (∆近似等于2c )m (∆. 因为8103⨯=c 米/秒，代入式（1）中，得≈)K (∆90 000 000 000 000 000m ∆焦耳,由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1克质量转换成的能量就相当于爆炸一颗2万吨级的原子弹释放的能量．例17 正方形边长为005.041.2±米, 求出它的面积, 并估计绝对误差与相对误差. 解 设正方形的边长为x ,面积为y ,则.2x y = 当41.2=x 时,).(8081.5)41.2(22m y ==.82.4241.241.2'====x x xy边长的绝对误差为,005.0=x δ ∴面积的绝对误差为).(0241.0005.082.42m x =⨯=δ ∴面积的相对误差为%.4.08081.50241.0≈=yy δ课堂练习1.求函数x x y -=的微分dy .2.因为一元函数)(x f y =在0x 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”，判断这种说法对吗?3.设,0>A 且n A B <||, 证明1-+≈+n n n nAB A B A (A , B 为常数), 并计算101000的近似值.。
D2_5微分
y y f (x) y
o
x0
x
x0 x
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二、 微分运算法则
（一）四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(1) d(u v) du dv (2) d(Cu) Cdu (C 为常数)
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(
u v
)
vdu udv v2
d x x x x
故以后我们把x 记为d x, 称为自变量的微分。则有
dy f (x)x f (x) dx
即有
f (x)
dy dx
函数关某个变量的导数等函数的微分与该变量微分的商
故导数也叫微商。
比较 f (x) dy , f (x) lim y lim y
dx
x dx x0
x0
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注 (1)可导能得可微，可微能得可导。但导数与微分
含义完全不同！导数反映的是函数值变化快慢，而微分是
反映的是函数值变化了多少的线性近似值。相当于速度与 路程的关系
(2) 故当f (x0 ) 0 时 , lim y lim y 1 lim y 1
x0 dy x0 f (x0 )x f (x0 ) x0 x
)
1
y 1 ex2
ex2
2xex2 1 ex2
1 1 ex2
(
d1
dex2
)
1 1 ex2
0
e x 2d
(x2 )
故
dy
2 xe x 2 1 ex2
dx
1
1 e
x
2
ex2
2xdx
第五节复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有...
第五节 复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.分布图示★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3)★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 全微分形式的不变性★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 隐函数微分法(1)★ 例12 ★ 例13 ★ 隐函数微分法(2)★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题6-5内容要点一、多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （5.1） 公式(5.1)中的导数dtdz称为全导数. 2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =,xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.3) ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,xu u z x z ∂∂∂∂=∂∂ (5.7) .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ (5.8) 注：这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，x z ∂∂是把复合函数],),,([y x y x u f z =中的y 看作不变而对x 的偏导数，x f ∂∂是把函数),,(y x u f z =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与yf∂∂也有类似的区别.在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 ,这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设),(v u f z =, ),(),,(y x v v y x u u ==是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z .dv vz du u z ∂∂+∂∂=由此可见，尽管现在的u 、v 是中间变量，但全微分dz 与x 、y 是自变量时的表达式在形式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F (5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F Fdx dy -= (5.12) 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂ (5.14)例题选讲多元复合函数微分法例1 (E01) 设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz 解dt dz tzdt dv v z dt du u z ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t +-=例2 (E02) 设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 解x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1c o s s i n ⋅+⋅=v e y v e u u )cos sin (v v y e u +=)],cos()sin([y x y x y e xy +++= y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u )cos sin (v v x e u +=)].cos()sin([y x y x x e xy +++=例3 求y x y x z 2422)3(++=的偏导数.解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u vz v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 12422)3)(24(2-+++=y x y x y x y ).3ln()3(2222422y x y x y x ++++例4 设,sin ,),,(2222y x z e z y x f u z y x ===++ 求xu∂∂和.y u ∂∂ 解x u ∂∂xzz f x f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ ,)sin 21(22422sin 22yx y xe y x x +++=y u ∂∂yzz f y f ∂∂∂∂+∂∂=y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++ .yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例5 (E03) 设),,(,y x u u xy z ϕ=+= 求.,,222yx zx z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 解),,(y x y xu y x z x ϕ+=∂∂+=∂∂ ),,(2222y x x u x u y x x z x x z xx ϕ=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂).,(1122y x yx ux u y y x z y y x z xy ϕ+=∂∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂例6 设),,(22y x e f z xy-= 其中),(ηξf 有连续的二阶偏导数, 求.,22yz y z ∂∂∂∂解 设,xy e =ξ,22y x -=η则xz ∂∂x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=ηηξξξ∂∂=f ye xy η∂∂+f x 2 y x z ∂∂∂2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=ξf ye y xy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+ηf x y 2 ξ∂∂=f exyξ∂∂+f xye xy 22ξ∂∂+f xye xy ηξ∂∂∂-f e y xy 222ηξ∂∂∂+f e x xy 222224η∂∂-f xy ξ∂∂+=f xy e xy)1(222ξ∂∂+f xye xy 例7 (E04) 设),,(xyz z y x f w ++= 其中函数f 有二阶连续偏导数，求x w∂∂和zx w ∂∂∂2.解 令,z y x u ++=,xyz v =记,),(1uv u f f ∂∂=',),(212v u v u f f ∂∂∂='' 同理记,2f ',11f '',22f ''. x w ∂∂xvv f x u u f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=;21f yz f '+'= z x w ∂∂∂2)(21f yz f z '+'∂∂=;221z f yz f y z f ∂'∂+'+∂'∂= z f ∂'∂1zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=11;1211f xy f ''+''= z f ∂'∂2zvv f z u u f ∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=22;2221f xy f ''+''= zx w∂∂∂2)(222121211f xyf f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=.)(22221211f y f z xy f z x y f '+''+''++''=例8 利用全微分形式不变性解本节的例2.设,sin v e z u = 而,xy u = ,y x v += 求x z 和.y z解 dz )s i n (v e d u =,c o s s i nv d v e v d u e u u+= 因du )(xy d =,xdy ydx +=dv )(y x d +=,dy dx +=代入后归并含dx 及dy 的项,得dz dx v e y v e u u )cos sin (+⋅=,)cos sin (dy v e x v e u u +⋅+即dy yzdx x z ∂∂+∂∂dx y x y x y e xy )]cos()sin([+++=.)]cos()sin([dy y x y x x e xy ++++ 比较上式两边的dx 、dy 的系数,得x z )],cos()sin([y x y x y e xy +++=y z )].cos()sin([y x y x x e xy +++=它们与例2的结果一样.全微分形式的不变性例9 (E05) 利用一阶全微分形式的不变性求函数222z y x xu ++=的偏导数.解du =2222222222)()()(z y x z y x xd dx z y x ++++-++2222222)()222()(z y x zdz ydy xdx x dx z y x ++++-++= .)(22)(2222222z y x xzdzxydy dx x z y ++---+=所以 x u ∂∂,)(2222222z y x x z y ++-+=y u ∂∂,)(22222z y x xy ++-=z u∂∂.)(22222z y x xz ++-=例10 求函数xyyx z -+=1arctan的全微分. 解 设,y x u +=,1xy v -=则,arctan vuz =于是dz dv v z du u z ∂∂+∂∂=du v v u 1)(112⋅+=dv v u vu ⎪⎭⎫⎝⎛-++22)(11).(122udv vdu v u -⋅+= 由,y x u +=,1xy v -=,dy dx du +=),(xdy ydx dv +-=代入上式,得 =dz22)1()(1xy y x -++[)1(xy -)(dy dx +)(y x ++)(xdy ydx +].1122y dyx dx +++=例11 (E06) 已知,02=+--z xy e z e 求x z ∂∂和yz∂∂. 解 ,0)2(=+--z xy e z e d∴,02)(=+---dz e dz xy d e z xydz e z )2(-),(ydx xdy e xy +=- dz .)2()2(dy e xe dx e ye z xyz xy -+-=--故所求偏导数x z∂∂,2-=-z xy e ye y z ∂∂.2-=-z xy e xe隐函数微分法例12 (E07) 验证方程0122=-+y x 在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导 数、当0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =,求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.证 令,1),(22-+=y x y x F 则x F ,2x =y F ,2y =)1,0(x F ,0=)1,0(y F 2=,0≠依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当0=x 时1=y 的隐函数),(x f y =函数的一阶和二阶导数为dx dy yxF F =,y x -=0=x dx dy ,0= 22dx y d 2y y x y '-=2)(yyx x y --=,13y -=022=x dx y d .1-=例13 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dxdydx dy解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. 令,y x e e xy F +-=则x F ,x e y -=y F ,ye x +=dxdy y x F F -=,y x e x y e +-=由原方程知0=x 时，,0=y 所以0=x dx dy 00==+-=y x yx e x y e .1=例14 (E08) 求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 解 设,ln ),,(yzz x z y x F -=则,0),,(=z y x F 且.1,1,1222z zx y z y z x z F y y z z y y F z x F +-=⋅--=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=∂∂ 利用隐函数求导公式，得.)(,2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=-=∂∂+=-=∂∂例15 求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂和.yz ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂zx F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -=y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=例16 (E09) 设,04222=-++z z y x 求 .22x z∂∂ 解 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则x F ,2x =z F ,42-=z∴xz ∂∂z x F F -=,2z x -=22x z ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例17 设),,(xyz z y x f z ++= 求.,,zy y x x z ∂∂∂∂∂∂ 解 z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅=x z xy yz f x z f v u 1x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+= 把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⋅=y x yz xz f y x f v u 1y x∂∂,v u v u y z ff x z f f ++= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂⋅=z y xz xy f z y f v u 1zy ∂∂.1v u vu x z f f xyf f +--=例18 设方程ze z y x =++确定了隐函数),,(y x z z =求.,,22222y zy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解 方程两边分别对x 求偏导和对y 求偏导,得,1xze x z z ∂∂=∂∂+.1x z e y z z ∂∂=∂∂+ 所以,11-=∂∂z e x z .11-=∂∂z e y z 22x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=x z x x z e e z z ∂∂⋅-=2)1(111)1(2-⋅--=z z z e e e .)1(3--=z z e e 同理 22y z∂∂.)1(3--=z z e e课堂练习1.设),(xyz xy x f w ++= 求.,,zw y w x w ∂∂∂∂∂∂ 2.设),sin (sin sin x y F x u -+=其中F 是可微函数, 证明.cos cos cos cos y x x yuy x u ⋅=∂∂+∂∂ 3.设,⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ其中ϕ为可微函数, 求y z y x z x ∂∂+∂∂.。
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
经济数学微积分-第二版第三章-第五节函数的微分
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y
3
x
2 0
x
.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
dy yxdx f (u)g( x)dx
又因为g( x)dx du,
所以复合函数y f [g( x)]的微分公式也可写成
dy f (u)du 或 dy yu du ;
(对于函数y f (u),当u是自变量时,dy f (u)du ) 结论： 无论u是自变量还是中间变量, 函数
y f (u)的微分形式总是 dy f (u)du
三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
第七节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题
2-5第五节 二次函数与幂函数练习题(2015年高考总复习)
第五节 二次函数与幂函数时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．2解析 由已知，得22＝2α，即2α＝2－12，∴α＝－12.∴f (x )＝x －12.∴f (4)＝4－12＝12.答案 C2．函数y ＝x13的图象是( )A. B.C. D.解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A 、D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C ，从而选B.答案 B3．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322解析(3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝－(a ＋32)2＋814，当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B4．(2014·陕西榆林期末)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析 由b >0，排除图象①②；若a >0，则－b2a <0，排除图象④；由图象③得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1＝0，即a ＝－1.故选B.答案 B5．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0的图象如图．知f (x )在R 上为增函数． 故f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案 C6．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件．故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·西城模拟)若二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (a )≤f (0)<f (1)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，抛物线f (x )开口向下，对称轴为x ＝2，又f (0)＝f (4)，∴a ≤0或a ≥4.答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)8．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4，0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．解析 设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8. 答案 y ＝－x 2＋2x ＋89．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析 设P (t ，1t )，其中t >0，P A 2＝(t －a )2＋(1t －a )2＝t 2＋1t 2－2a (t ＋1t )＋2a 2，即P A 2＝(t ＋1t )2－2a (t ＋1t )＋2a 2－2，令m ＝t ＋1t ≥2，所以P A 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当P A 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 2－2＝(22)2，解得a ＝－1或a ＝10.答案 －1 10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3， (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为[－214，15]． (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．解 由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12. ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)，－f (x ) (x ＜0).求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1. 解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2(x ＞0)，－(x ＋1)2(x ＜0). ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.。
2-5函数的微分
o
π
π π 29 π π ≈ sin + cos ⋅ (− ) sin 29 = sin 6 180 180 6 1 3 = + ⋅ (−0.0175) 2 2
2 = (4 )
2
( ±2 ) = 4
2
2 sin = ( 2 ) 4
π
2 sin( + 2kπ ) = 4 2
19
π
七、 微分在近似计算中的应用
1、计算函数的近似值 、 当 ∆x 很小时, 得近似等式:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ dy = f ′( x0 )∆x f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x
必要性” 证: “必要性” 必要性 已知 在点 可微 , 则
∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)
∆y o(∆x) ∴ lim = lim ( A + )= A ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
故 在点 的可导, 且
7
定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
′ = yudu( 或= f ′(u)du)
讨论： 讨论：(1) 若u = x, 则dy = f ′( x )dx = f ′(u )du;
(2) 若u = ϕ ( x ) , 则dy = f ′(u )du
一阶微分形式不变性 一阶微分形式不变性
dy = f ′( x)dx
无论x是自变量还是中间变量, 函数 y = f (x)的微分形式总是dy = f ′(x)dx
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0
x
e x f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x
x
武 汉
ln(1 x) ln(1 0)
x
1 0
科 技 学
n
1
x
n
1
0
1
(1
1 1
0) n x
1
x
院 数
n
n
理
系
高 例1 计算sin60020’的近似值
等 数
解:
将60020’化为弧度,得到 60020' ( 20 )
1
解：设 f ( x) x 3
x 1, x 0.05
武
汉 科
由 f (x x) f (x) f (x)x
技 学 院 数 理 系
f (1 x) f (1) f (1)x 且f ' (1) 1
3
1
所以（1 0.05) 3
1 1 0.05
科
(28)d(u ) v
vdu udv v2
技
学 院
同学们,如果能将此表从左到右,或从右到左地记熟它们,
数 理
对今后的演算积分是大有好处的.
系
高 等
三. 微分形式的不变性
数
学
与复合函数求导法则相对应的微分运算法则为下面的
电 子
微分形式不变性质.
教 设 y 是由 y=f(u)，u=g(x) 复合而成的x的函数，则由
叫做相对误差.在实际中准确值A往往无法知道，所以绝对
误差和相对误差没有办法得到。但根据某些条件或加工
武
汉 科 技
要求，有时能确定误差在某一个容许范围δA之内，有
学 院
|A-a|≤δA 则称δA为A的绝对误差限,把δA/|a|称为A的相
数
理 系
对误差限。有时也把它们称为A的绝对误差与相对误差.
高 等
理
系
高
等 定义 如果函数y=f(x)在点x0的增量能分成两部分的和,其
数 学
中一项为的线性函数A △ x(A与△ x无关),另一项是较△x
电 子
高阶的无穷小, 有 y Ax o(x)
( 1)
教 案
则称函数y=f(x)在x0点可微,并称A △ x为函数y=f(x)
在点x0的微分 记作 dy|x=x0 或 df(x)|x=x0 即
1.0167
3
高 等
例3 计算 3 8.02 的近似值
数 学
解：3 8.02 3 8(1 1 ) 23 1 1 2(1 1 1 ) 2.0017
400
400
3 400
电 子
二. 微分在误差估计中的应用
教 案
设某个量的准确值为A,它的近似值为a，则A与a之差
的绝对值|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与 |a| 的比值
(13)d sec x sec xtgxdx
学
院 数 理 系
(15)d arcsin x dx 1 x2
(2)d (xa ) axa1dx(a R)
(4)d x dx 2x
(6)dex e x dx (8)d ln x dx
x (10)d cos x sin xdx
系
高
等 由于f’(x)和△ x 无关,且 x (x) 所以上式相当(1)式,
数 学
f(x)在点x0可微.且 f (x0 ) A
电
子
上面表示可微
可导
教
案 定理 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0
可导,且 dy |xx0 f (x0 )x
武
汉
今后我们把可导和可微不严格区分而混合使用.
(12)dctgx csc2 xdx
(14)d cscx cscxctgxdx
(16)d arccos x dx 1 x2
高 等 数
(17)darctgx dx 1 x2
学 (19)dshx chxdx
电 子 教 案
(21)dthx dx ch2 x
(23)darchx dx
等
数 dy就是曲线上相应点的切线纵坐标的增量,当| △x|很小时,
学 电
| △y-dy| 比 |△x| 小得多，因此在点M邻近，可用切线段
子 来近似代替曲线段.
教
案
三. 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数微分表达式 dy=f’(x)dx 可以看出要计算函数的微
武
汉 科
分值是把函数的导数，再乘以自变量的微分。由此可得如
所以也叫线性函数,当△x很小时, α △x 可以忽略不计,
所以f ‘(x)成为 △y的主要部分,称为线性主部.
武 (2) 当△x很小时,函数的增量△y可以用它的微分来代替.
汉
科 技
即
△y≈dy= f ‘(x) dx
学 院
(3) 微分的几何意义是y=f(x)图象上一点(x,f(x))处切线的
数
理 系
纵坐标的改变量.
案
yx yu ux
dy yx dx yu ux dx yu du dy yu du
武 汉 科
对照 dy=yx’dx, 公式dy=yu’du 说明不论u是自变量还是中
技 学
间变量,函数微分的形式是完全一样的,此即称为微分形式
院
数 理
不变性质.
系
高 例4 利用函数微分的不变性,求函数y=e1-2x2的微分和导数
武
f [(x 2 ) 2 (x)][ (x 2 )d (x 2 ) 2 (x)d (x)]
汉
科 技
f [(x 2 ) 2 (x)][ 2 (x 2 )x 2 (x) (x)]dx
学 院
利用微分不变性质求函数的微分,比直接用公式
数
理 系
dy=f’(x)dx 求微分更有规律性,不容易出错.
案
从而得到曲线上另一点N(x0+△x,y0+△y)
Y=f(x) 从图可见 MQ=△x, QN=△y
武
N
T 过M点作曲线的切线MT,
汉 科 技
M
P
△y dy
它的倾角为α,
学 院 数 理 系
α △x Q x0 x0+△x
则QP=MQ·tgα=△x·f’(x0) 即dy=QP
高
由此可见,当△y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,
D V 100 D 300
理 系
即测量直径D的相对误差不能超过0.6%
高
在这里我们把微分进行小结,微分和导数一样是微积分
等
数 的基本概念在理解微分的概念时,要注意以下几点:
学 电
(1)
函数的微分是函数改变量(函数增量)的线性主部.
子
△y=f ‘(x) △x+α △x 其中α是△x的高阶小量
教 案
f ‘(x)是 △x的一次函数，因为一次函数的图象是直线,
(2)
x x0 x x x x0
f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ),
( 3)
武
汉 科
如果知道f(x0)，f’(x0)就可以利用(1)式计算增量△ y,利用(2),
技 学 院
(3)式计算函数值。特别是若 x0=0, x在原点附近, 有△ x=x,
微分作近似计算的常用公式
武
汉 科
e x (1 x)
技
学 院
(1 x) 1 x ln(1 x) x
数
技
学 院
下微分公式和微分运算法则.
数
理
系
高 等
(1)dC 0(C为常数）
数 学
(3)d ( 1 ) x
1 x2
dx
电 子
(5)da a x ln adx
教 案
(7)d log a
x
dx x ln a
(9)d sin x cosxdx
(11)dtgx sec2 xdx
武
汉
科 技
3 540 180 60 540
学 电 子
令x0=π/3, △ x= π/540,
sin 60020' sin( ) sin cos
3 540
3
3 540
教
31
案
0.0058 0.8689 22
要求x0比△x大很多,
否则不精确
例2 计算 3 1.05 的近似值
x2 1
(18)darcctgx dx 1 x2
(20)dchx shxdx
(22)darshx dx
1 x2
(24)darthx
1
dx x
2
(25)d(u v) du dv
(26)d(Cu) Cdu (C为常数）
武 汉
(27)d(uv) vdu udv
汉
科 技
=11*0.01=0.11
学
院
数
理
系
高 二. 微分的几何意义
等 数
为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何
学 意义。在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线。
电 子
对于某一固定的值x0，曲线上有一个确定点M (x0,y0)，当
教 自变量x有微小增量△x时, 相应函数有微小增量△y，
例4
测得某圆半径r=22.5cm,测量r的绝对误差限δr=0.1cm,
数
计算 这圆面积A的绝对误差限为多少?