中考数学真题一次函数图像与性质

1 ．（2010 浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△ OAB 为此函数的坐标三角形31 ）求函数y＝x＋ 3 的坐标三角形的三条边长；32 ）若函数y＝x＋ b （ b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积【答案】3解：（1）∵ 直线y＝x＋ 3 与x轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3），4∴函数y＝x＋ 3 的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.4（2）直线y＝3x＋ b 与x 轴的交点坐标为（ 4b ,0），与y 轴交点坐标为（0,b），434 5 32当b>0 时,b b b 16 ，得 b =4 ，此时,坐标三角形面积为；33 34 5 32当b<0 时， b b b 16 ，得 b = － 4 ，此时, 坐标三角形面积为.33 3综上,当函数y＝ 3 x＋ b 的坐标三角形周长为16 时,面积为32．432．．（2010 江西）已知直线经过点（ 1 ，2）和点（3，0），求这条直线的解读式.解：设这直线的解读式是y kx b（k 0），将这两点的坐标 （１， ２） 和 （３，所以，这条直线的解读式为 y x 3 ．3．（ 2010 北京） 如图，直线 y =2 x +3 与 x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点 B .⑴ 求 A ， B 两点的坐标；kb 3k b 2, ，解1, 3,⑵ 过 B 点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求ΔABP 的面积.【答案】解（1）令y=0，得x= 3∴ A点坐标为（3，0）.22令x=0 ，得y=3∴ B 点坐标为（0 ，3）.（2）设P 点坐标为（x，0），依题意，得x= ± 3.∴P 点坐标为P1（3，0）或P2（－3，0）.1 3 27∴S △ABP1= （3） 3 =22 4139S△ABP2= （3 ） 3= .22427 9∴△ ABP 的面积为27或9 .444．（2010 湖北随州）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（M/ 秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10 ，5），B（130，5），C（135 ，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135 ），与图 a 的图象相交于P、Q，用字母S 表示图中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S 的数量关（.1v t (0 t 10)【答案】 ( 1 ) v 5 (10 t 130)v 135 t (130 t 135)( 2) 2.5×10+5 × 120+2 ×5＝635( M)12S t2 (0 t 10)( 3)S 5t 25 (10 t 130) 12S t2+135t-8475 (130 t 135)(4) 相等的关系5．（2010 陕西西安）某蒜薹（tái）生产基地喜获丰收，收获蒜薹200 吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨平均的售价及成本如下表：销售方式批发零售储藏后销售售价（元/吨） 3 000 4 500 5 500成本（元/吨）700 1 000 1 200若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），1且零售量是批发量的.3（ 1 ）求y 与x 之间的函数关系式；（ 2 ）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80 吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。

（ 1 ）由题意，得批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（2004x）吨，则y 3x (3000 700) x (4500 1000) (200 4x) (5500 1200)6800x 860000.（2）由题意，得200 4x 80.解之,得x 30.y 6800x 860000, 6800 0.y的值随x的值增大而减小.∴当x 30时, y最大值6800 30 860000 656000.∴该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656 000 元。

6．（2010 陕西西安）问题探究（ 1 ）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；（ 2 ）如图②，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决（ 3 ）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB ，OB=6 ，BC=4 ，CD=4 。

开发区综合服务经管委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处，为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由。

（ 1 ）如图①，作直线 DB ，直线 DB 即为所求。

（所求直线不唯一，只要过矩形对称中心的直线均可）2 ）如图②，连接AC 、 DB 交于点 P ，则点 P 为矩形 ABCD 的对称中心，作直线直线 MP 即为所求3 ）如图③，存在符合条件的直线 l ，过点 D 作 DA ⊥ OB 于点 A ， 则点P （ 4， 2）为矩形 ABCD 的对称中心∴过点 P 的直线只要平分 DOA 的面积即可。

易知，在OD 边上必存在点 H ，使得直线 PH 将 DOA 面积平分，从而，直线PH 平分梯形 OBCD 的面积。

即直线 PH 为所求直线 l.PH 与线段 AD 的交点 F 的坐标为 （2,2 2k ）,0 2 2k 4.1 k 1.12 4k 1 1S DHF (4 2 2k) (2 ) 2 4.DHF2 2 k 2 2MP ，设直线 PH 的表达式为 y kx b, 且点 P(4,2)2 4k b,即 b 2 4k.OD 的表达式为 y 2 x.kx 2 2x.4k, 解之，2 4k 2k 4 8k 2kH 的坐标为 2 4k 4 8k2 k ,2 k).解之，得 k 13 3.（k13 3不合题意 ， 舍去 ）22b 8 2 13.13 3∴直线 l 的表达式为y x 8 2 13.27．（ 2010 江西省南昌） 已知直线经过点（1,2）和点（3,0 ） ，求这条直线的解读式.【答案】解：设这条直线的解读式为 y kx b ，把两点的坐标（ 1 ， 2） ， （ 3， 0）代入，k b 2, 3k b 0.k 解得b所以，这条直线的解读式为 y x 3.8 ． （ 2010 湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13% 的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130 万元，用于一次性购进 A 、 B 两种型号的收割机共 30 台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于 15 万元．其中，收割机的进价和售价见下表：设公司计划购进 A 型收割机 x 台，收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万元．1, 3.（ 1 ）试写出y与x 的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这 30 台收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元？（ 1 ） y =（6 － 5.3） x +（4 － 3.6）（30 － x ）=0.3 x +12 ．2）依题意，有5.3x （30 x ） 3.6≤130, 0.3x 12≥ 15.16 x ≤ 12 ,17 x ≥ 10. 1610≤x ≤12 ．17∵ x 为整数，∴ x =10 ， 11 ， 12． 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：方案1 ：购 A 型收割机10 台，购 B 型收割机 20 台； 方案2 ：购 A 型收割机11 台，购 B 型收割机 19 台；方案3 ：购 A 型收割机12 台，购 B 型收割机 18 台． （ 3）∵ 0.3 0> ，∴一次函数 y 随 x 的增大而增大． 即当 x =12 时， y 有最大值， y 最大 =0.3 × 12+12=15.6 （万元） ． 此时， W=6× 13%× 12+4 × 13%×18=18.72 （万元） ． 9 ． （ 2010 江苏镇江） 运算求解在直角坐标系 xOy 中，直线l 过（ 1 ， 3）和（ 3，1 ）两点，且与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点 . （ 1 ）求直线 l 的函数关系式； （ 2 ）求△AOB 的面积 .（ 1 ）设直线 l 的函数关系式为y kx b （k 0），1分）3k b 1,把（ 3 ， 1 ），（ 1 ，3）代入①得（ 2 分）k b 3,k 1,解方程组得（ 3 分）b 4.∴直线l 的函数关系式为y x 4. ②（ 4 分）（2）在②中，令x 0,得y 4, B（0,4）,令y 0,得x 4, A（4,0）（ 5 分）11S AOB AO BO 4 4 8. （ 6 分）2210 ．（2010 贵州贵阳）如图7，直线与x轴、y 轴分别交于A、 B 两点.（ 1 ）将直线AB 绕原点O 沿逆时针方向旋转90 °得到直线A1 B1 .请在《答题卡》所给的图中画出直线A1B1 ，此时直线AB 与A1B1的位置关系为（填“平行”或“垂直”）（ 6 分）2）设（1）中的直线AB 的函数表达式为y1 k1x b1，直线A1B1 的函数表达式为y2 k2x b2，则k1 ·k2=. （ 4 分）（图 7）（ 1 ）如图所示，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3分垂直⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2）－ 111 ． （ 2010 宁夏回族自治区） 如图，已知：一次函数： yx 4 的图像与反比例函数：形 NN 1ON 2的面积为 S 2；1 ）若设点M 的坐标为 （x ， y ），请写出S 1 关于 x 的函数表达式，并求 x 取何值时，大值；A 110 分2y （x 0） 的图像分别交于 A 、 B 两点，点x 点，过 M 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为M 是一次函数图像在第一象限部分上的任意一M 1、 M 2，设矩形 MM 1OM 2的面积为 S ；点S 1 的最（2）观察图形，通过确定【答案】（1）S1x（ x 4）分2= （x 2）24当x 2时，S1最大值分（2）∵S2 22由S1 S2可得：x 4x2x24x 2 0 x 的取值，试比较S1、S2 的大小．2x 4x ------------------------- 2 4 --------------------------- 42通过观察图像可得：当x 2 2 时，S1 S2当0 x 2 2或x 2 2 时，S1 S2当 2 2 x 2 2时，S1 S2 ----------------------------------- 8 分12 ．（2010 湖北咸宁）在一条直线上依次有A、B、 C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到 C 港．设甲、乙两船行驶x（h ）后，与．B．港．的距离．．．分别为y1、y2（km ），y1 、y2与x 的函数关系如图所示．（ 1 ）填空：A、 C 两港口间的距离为km ， a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x解：（1 ）120 ，a 2 ；⋯⋯2 分（2）由点（3，90）求得，y2 30x．当x> 0.5 时，由点（0.5，0），（2，90）求得，y1 60x 30 ．⋯⋯3 分当y1 y2 时，60x 30 30x，解得，x 1 ．此时y1 y2 30．所以点P 的坐标为（1，30）．⋯⋯5 分该点坐标的意义为：两船出发 1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．⋯6 分求点P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为30 60 （km/h ），乙的速度为90 30 （km/h ）．0.5 330则甲追上乙所用的时间为30 1 （h）．此时乙船行驶的路程为30 1 30（km ）．60 30所以点P 的坐标为（ 1 ，30 ）．3）①当x≤ 0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，y1 60x 30．2依题意，（ 60x 30） 30x≤ 10 ．解得，x≥．不合题意．⋯⋯7 分3②当0.5< x≤1 时，依题意，30x （60x 30）≤ 10 ．解得，x ≥ ．所以≤ x ≤ 1 ．⋯⋯8 分33③当x> 1 时，依题意，（60x 30） 30x≤ 10 ．解得，x≤ 4．所以1<x≤ 4 ．⋯⋯9 分33综上所述，当 2 ≤ x ≤ 4 时，甲、乙两船可以相互望见．⋯⋯分103313 ．（2010 青海西宁）如图12，直线y=kx-1 与x轴、y 轴分别交与B、 C 两点，tan ∠ OCB=1 .2 （ 1 ）求 B 点的坐标和k 的值；（ 2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1 上的一个动点.当点 A 运动过程中，试写出△AO的面积B S 与x 的函数关系式；（ 3）探索：1①当点 A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是 1 ；4②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P，使△ POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.（ 1 ）∵y= kx-1 与y 轴相交于点C，∴ OC=11 OB 1∵ tan ∠ OCB= ∴ OB=2 OC 21B 点坐标为：， 02把 B 点坐标为： 1 ， 0 代入 y= kx-1 得 k=2211S =2213)①当 S = 时，4x=1 ， y=2x-1=11A 点坐标为（ 1 ， 1 ）时，△ AOB 的面积为4②存在 .满足条件的所有 P 点坐标为：P 1（1,0）, P 2（2,0）, P 3（ 2 ,0）, P 4（2 ,0）. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分414 ． （ 2010 新疆乌鲁木齐）如图 6，在平面直角坐标系中，直线l : y x 4分别交3x 轴、 y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点 O 顺时针旋转90°后得到△ A ′OB ′（ 1 ）求直线 A ′B ′的解读式； （ 2 ）若直线A ′B ′与直线 l 相交于点，求△ ABC 的面积。