考点一：天体质量和密度的估算
专题5.2 天体质量和密度的估算(解析版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之物理
专题5.2天体质量和密度的估算【考纲解读与考频分析】利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。
高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。
【高频考点定位】：天体质量和密度的估算考点一：天体质量和密度的估算【3年真题链接】1.（2018高考理综II ·16）2018年2月，我国500m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11226.6710N m /kg -⨯⋅。
以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（）A ．93510kg /m ⨯B ．123510kg /m⨯C ．153510kg /m ⨯D ．183510kg /m⨯【参考答案】C【命题意图】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。
【解题思路】设脉冲星质量为M ，半径为R 。
选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m ，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G2Mm R =mR （2T π）2，星体最小密度ρ=M/V ，星球体积V=43πR 3，联立解得：ρ=23GTπ，代入数据得ρ=5×1015kg/m ，选项C 正确。
2.（2018高考全国理综I ）．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s 时，它们相距约400km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【参考答案】BC【命题意图】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。
【解题思路】双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，G122m mr=m1r1（2πf）2，G122m mr=m2r2（2πf）2，r1+r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，选项B正确A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+v2=2πf r，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误。
浙江专版2021年高考物理一轮复习第四章曲线运动第4讲万有引力与航天考点突破练含解析
第4讲万有引力与航天考点1中心天体质量和密度的估算（c）【典例1】(2018·浙江4月选考真题)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图）,每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km,已知引力常量G=6。
67×10—11 N·m2/kg2,则土星的质量约为（)A.5×1017 kg B。
5×1026 kgC。
7×1033 kg D.4×1036 kg【解题思路】解答本题应注意以下三点:关键点（1）土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。
(2)轨道半径和周期的单位要换算为米和秒。
(3)警示点:计算时单位统一使用国际单位.【解析】选B。
卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M：=m R,解得M=。
代入计算可得：M=kg=5×1026 kg，故B正确,A、C、D 错误。
1。
通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。
假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。
这两个物理量可以是（）A。
卫星的速度和质量B.卫星的质量和轨道半径C。
卫星的质量和角速度D。
卫星的运行周期和轨道半径【解析】选D.根据线速度和角速度可以求出半径r=,根据万有引力提供向心力:=m,整理可以得到：M==,故选项A、B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则=m(）2r，整理得到:M=,故选项D正确。
2.“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面。
卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。
假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为T M；月球绕地球公转的周期为T E ,半径为R0。
地球半径为R E，月球半径为R M。
若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为(）A。
万有引力专题02：中心天体质量和密度的估算
专题02：中心天体质量和密度的估算模块一：知识点归纳1、中心天体质量和密度常用的估算方法2、应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．模块二：典型例题1、为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是( )A ．彗星的半径为vT2π B ．彗星的质量为v 3T4πGC ．彗星的密度为3πGT2 D ．卫星B 的运行角速度为2πT n32、我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )A ．探测器的轨道半径为 θtB ．探测器的环绕周期为 πt θC ．月球的质量为 s 3Gt 2θD ．月球的密度为 3θ24Gt模块三：针对训练1、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。
假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。
这两个物理量可以是( )A ．卫星的速度和角速度B ．卫星的质量和轨道半径C ．卫星的质量和角速度D ．卫星的运行周期和轨道半径2、近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。
如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT2D ．ρ＝k GT 23、火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g 。
万有引力与航天山东高考题总结
A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方 【解析】此题通过分析卫星的定轨运行，考查万有引力定律和圆周 运动知识。卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，有 ，解得 。因为 ，所以 ，所以B项错误。 ， ，
，A C选项正确。地球
万有引力与航天 山东高考题总结
淄博四中 吕昕珂 2014年7月18日
考点一、中心天体质量和密度的计算
1.估算中心天体的质量和密度的常见思路 (1)利用中心天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R，质量为 m 的物 Mm 体在天体表面受到的重力近似等于万有引力，即 G R2 ＝mg 可得天体质 gR2 M M 3g 量 M＝ G ，进而求得 ρ＝ V ＝4 ＝4πGR. 3 π R 3 Mm 4π2 4π2r3 (2)利用环绕天体的轨道半径 r、周期 T，G r2 ＝m T2 r 即 M＝ GT2 . 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径 r＝R，则 M 3π ρ＝ ＝ 2. 4 3 GT πR 3
轨道二 轨道一
地球
P
A．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨 道运动的加速度
【解析】飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞
船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失
=
则Gliese 581c表面的重力加速度 = = 故飞船在Gliese 581c表面飞行的速度
vc gc Rc 10 10 g曲 R曲 7.9 km s 3 3
2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)
重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
高考物理考题一 天体质量(密度)的估算
考题一 天体质量(密度)的估算求解中心天体质量、密度的方法1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G .2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解(1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2G ；(2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝m v 2r 得M ＝r v 2G ；(3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2；(4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝m v 2πT 和r ＝v T 2π得M ＝v 3T 2πG.3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·43πR 3进行.例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( )图1A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，变形得T 2r 3＝4π2GM .故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错.因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由G MmR 2＝m v 2R变形后得第一宇宙速度v ＝ GMR，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GMr 2，行星距两恒星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )图2A.kgd GρB.kgdGρ C.(1－k )gd GρD.(1－k )gd 2Gρ答案 D解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m 的物体重力为mg ，没有填满时是kmg ，故空腔填满后引起的引力为(1－k )mg ；由万有引力定律，有：(1－k )mg ＝G ρVmd 2，解得：V ＝(1－k )gd 2Gρ，D对.2.某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图3甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标量为已知)，则下列说法正确的是( )图3A.发光带是该行星的组成部分B.该行星的质量M ＝v 20RGC.行星表面的重力加速度g ＝v 20RD.该行星的平均密度为ρ＝3v 20R4πG (R ＋d )3答案 BC解析 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A 错误，发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r 得该行星的质量为：M ＝v 2r G；由题图知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 20R G .故B 正确.当r ＝R 时有mg ＝m v 2R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 20R ，故C 正确.该行星的平均密度为ρ＝M 43πR 3＝3v 204πGR 2，故D 错误，故选B 、C.3.“嫦娥二号”绕月卫星于10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约h ＝1×105 m 的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动.设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A.由题目条件可知月球的平均密度为3g 月4πGRB.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为2π R G 月C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为g 月(R ＋h )D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为(R R ＋h )2g 月答案 AD解析 在月球表面重力与万有引力相等，由G mM R 2＝mg 月可得月球质量M ＝g 月R 2G ，据密度公式可得月球密度ρ＝MV ＝g 月R 2G 43πR 3＝3g 月4πGR，故A 正确；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )4π2T 2，可得周期T ＝ 4π2(R ＋h )3GM＝ 4π2(R ＋h )3g 月R 2，故B 错误；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G mM(R ＋h )2＝m v 2R ＋h可得“嫦娥二号”绕行速度v ＝GMR ＋h＝ g 月R 2R ＋h，故C 错误； 根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G mM (R ＋h )2＝ma ， 可得“嫦娥二号”在工作轨道上的向心加速度 a ＝GM (R ＋h )2＝(R R ＋h)2g 月，故D 正确. 考题二 人造卫星问题解答卫星问题的三个关键点 1.根据G Mmr2＝F向＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T2＝ma ，推导、记忆v ＝ GMr、ω＝ GMr 3、T ＝ 4π2r 3GM 、a ＝GMr2等公式. 2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位.3.灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的区别与联系.例2 (·江苏·7)如图4所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )图4A.T A >T BB.E k A >E k BC.S A ＝S BD.R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析 由GMm R 2＝m v 2R ＝m 4π2T 2R 和E k ＝12m v 2可得T ＝2π R 3GM， E k ＝GMm 2R ，因R A >R B ，则T A >T B ，E k A <E k B ，A 对，B 错； 由开普勒定律可知，C 错，D 对. 答案 AD 变式训练4.(·全国丙卷·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律.5.水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”.已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( ) A.地球的公转周期大约是水星的2倍 B.地球的公转周期大约是金星的1.6倍 C.金星的轨道半径大约是水星的3倍D.实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据 答案 BD解析 水星相邻两次凌日的时间间隔为t ＝116天， 设水星的周期为T 1，则有：2πT 1t －2πT 2t ＝2π， 代入数据解得T 1≈88天，可知地球公转周期大约是水星的4倍，故A 错误； 金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，设金星的周期为T 3，则有：2πT 3t －2πT 2t ＝2π，代入数据解得T 3≈225天，可知地球的公转周期大约是金星的1.6倍，故B 正确； 根据G Mm r 2＝mr (2πT )2，得r ＝ 3GMT 24π2，因为水星的公转周期大约是金星的0.4倍，则水星的轨道半径大约是金星的0.5倍，故C 错误；由所给资料，若运行轨道平面不存在夹角，那么行星凌日间隔时间会与理论时间一致，而实际与理论不同，故运行轨道平面必然存在夹角，故D 正确.考题三 双星与多星问题1.双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为G M 1M 2L 2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，式中L 表示双星间的距离，r 1，r 2分别表示两颗星的轨道半径，L ＝r 1＋r 2.2.做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等； (2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等；(4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.例3 (12分)天体A 和B 组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T .天体A 、B 的半径之比为2∶1，两天体球心之间的距离为R ，且R 远大于两天体的半径.忽略天体的自转，天体A 、B 表面重力加速度之比为4∶1，引力常量为G ，求A 天体的质量. [思维规范流程]每式各2分. 变式训练6.美国在2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( ) A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等C.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径大D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小 答案 D解析 这两个黑洞共轴转动，角速度相等，根据v ＝ωr 可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以线速度大小不一定相等，故A 错误；根据a ＝ω2r 可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以向心加速度大小不一定相等，故B 错误；两个黑洞都是做圆周运动，则Gm 1m 2r 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，可以得到半径与质量成反比关系，质量大的半径小，故选项C 错误；根据G m 1m 2r 2＝m 14π2r 1T 2可得，m 2＝4π2r 2GT 2r 1，根据G m 1m 2r 2＝m 24π2r 2T 2可得，m 1＝4π2r 2T 2r 2，所以m 1＋m 2＝4π2r 2GT 2(r 1＋r 2)＝4π2r 3GT 2，当m 1＋m 2不变时，r 减小，则T 减小，即双星系统运行周期会随间距减小而减小，故D 正确.7.由三颗星体构成的系统，叫做三星系统.有这样一种简单的三星系统：质量刚好都相同的三个星体a 、b 、c 在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动，若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A.三个星体做圆周运动的轨道半径为a B.三个星体做圆周运动的周期均为2πaa3GmC.三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD.三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma 2答案 B解析 由几何关系知，它们的轨道半径为r ＝a 232＝33a ，故A 错误；根据合力提供向心力有：2·Gm 2a 2cos 30˚＝ma ′＝m v 2r ＝mr 4π2T 2，得星体做圆周运动的周期为：T ＝2πa a3Gm，线速度为：v ＝Gm a ，向心加速度为：a ′＝3Gma2，故B 正确，C 、D 错误. 专题规范练1.有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07 cm.则10亿年后月球与现在相比( )A.绕地球做圆周运动的周期变小B.绕地球做圆周运动的加速度变大C.绕地球做圆周运动的线速度变小D.地月之间的引力势能变小 答案 C解析 对月球进行分析，根据万有引力提供向心力，则：GMm r 2＝m (2πT)2r ，则：T ＝4π2r 3GM，由于半径变大，故周期变大，故选项A 错误.根据GMm r 2＝ma ，则：a ＝GMr 2，由于半径变大，故加速度变小，故选项B 错误；根据GMmr 2＝m v 2r，则v ＝GMr，由于半径变大，故线速度变小，故选项C 正确；由于月球远离地球，万有引力做负功，故引力势能变大，故选项D 错误.2.3月8日，马来西亚航空公司从吉隆坡飞往北京的航班MH370失联，MH370失联后多个国家积极投入搜救行动，在搜救过程中卫星发挥了巨大的作用.其中我国的北斗导航系统和美国的GPS 导航系统均参与搜救工作，北斗导航系统包含5颗地球同步卫星，而GPS 导航系统由运行周期为12小时的圆轨道卫星群组成，下列说法正确的是( ) A.发射人造地球卫星时，发射速度只要大于7.9 km/s 就可以 B.北斗同步卫星的线速度与GPS 卫星的线速度之比为312C.北斗同步卫星的机械能一定大于GPS 卫星的机械能D.卫星向地面上同一物体拍照时，GPS 卫星的拍摄视角小于北斗同步卫星的拍摄视角 答案 B解析 发射不同的人造地球卫星，发射速度要求是不相同的，故A 错；北斗同步卫星的周期是24 h ，GPS 导航系统卫星的周期为12小时，根据开普勒第三定律可得半径比为34，万有引力提供向心力，由v ＝GMr ，得线速度之比为312，B 对；不知道北斗同步卫星和GPS 卫星的质量，无法比较机械能，C 错；GPS 卫星半径小于北斗同步卫星运动半径，得GPS 卫星的拍摄视角大于北斗同步卫星的拍摄视角，D 错.3.(多选)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星 500”的模拟实验活动.假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度是g ，地球的半径为R ，王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响.下列说法正确的是( ) A.火星的密度为2g3πGRB.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等C.火星表面的重力加速度为4g 9D.王跃在火星表面能竖直向上跳起的最大高度为9h4答案 ACD4.(·四川理综·3)国务院批复，自起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( ) A.a 2＞a 1＞a 3 B.a 3＞a 2＞a 1 C.a 3＞a 1＞a 2 D.a 1＞a 2＞a 3答案 D解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr 2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确.5.(·天津理综·3)如图1所示，我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图1A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D 错误.6.(多选)已知地球自转周期为T 0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( ) A.T 04 B.3T 04 C.3T 07 D.T 07答案 CD解析 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，运动周期为T ，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：GMm r 2＝4π2mrT2，解得：T ＝2πr 3GM. 同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T 0.已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：T T 0＝r 3(4r )3＝18，解得T ＝18T 0.设卫星至少每隔t 时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt 得：2πT t ＝2n π＋2πT 0t ，解得t ＝nT 07，当n ＝1时t ＝T 07，n ＝3时t ＝3T 07，故A 、B 错误，C 、D 正确.7.据新华社北京3月21日电，记者21日从中国载人航天工程办公室了解到，已在轨工作1 630天的“天宫一号”目标飞行器在完成与三艘神舟飞船交会对接和各项试验任务后，由于超期服役两年半时间，其功能已于近日失效，正式终止了数据服务.根据预测，“天宫一号”的飞行轨道将在今后数月内逐步降低，并最终进入大气层烧毁.若“天宫一号”服役期间的轨道可视为圆且距地面h (h ≈343 km)，运行周期为T ，地球的半径为R ，下列关于“天宫一号”的说法正确的是( )A.因为“天宫一号”的轨道距地面很近，其线速度小于同步卫星的线速度B.女航天员王亚平曾在“天宫一号”中漂浮着进行太空授课，那时她不受地球的引力作用C.“天宫一号”进入外层稀薄大气一小段时间内，克服气体阻力的功小于引力势能的减小量D.由题中信息可知地球的质量为4π2R 3GT 2答案 C解析 根据万有引力提供向心力可知：G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，由于“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的半径，则其线速度大于同步卫星的线速度，故A 错误；航天员在“天宫一号”中处于失重状态，地球对她的万有引力提供她随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，不是不受地球的引力作用，故B 错误；根据动能定理可知引力与空气阻力对“天宫一号”做的总功应为正值，而引力做的功等于引力势能的减少，即“天宫一号”克服气体阻力做的功小于引力势能的变化，故C 正确； 根据万有引力提供向心力可知， G Mm(R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2， 解得：M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，故D 错误.8.宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命.为了探测暗物质，我国在12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为L ，与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A.“悟空”的质量为L 3Gθt 2B.“悟空”的环绕周期为2πtθC.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度D.“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 答案 B解析 “悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故A 错误；“悟空”经过时间t (t 小于“悟空”的周期)，它运动的弧长为L ，它与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，则“悟空”的角速度为：ω＝θt ，周期T＝2πω＝2πtθ，故B 正确；“悟空”在低于地球同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由GMm r 2＝ma 得：加速度a ＝G Mr 2，则知“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故D 错误.9.一半径为R 、密度均匀的自行旋转的行星，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的n 倍(n ＜1).求该行星的同步卫星距离地面的高度.答案 (311－n－1)R 解析 设行星的质量为M ，自转的角速度为ω，其极地处的重力加速度为g .对质量为m 1的物体位于极地和赤道时，根据万有引力定律 G Mm 1R2＝m 1g G Mm 1R2－nm 1g ＝m 1Rω2 设同步卫星的质量为m 2，距离地面的高度为h ，根据万有引力定律 G Mm 2(R ＋h )2＝m 2(R ＋h )ω2 整理得h ＝ (311－n－1)R . 10.假设某天你在一个半径为R 的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h 处无初速度释放，测得小球经时间t 落地.若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为G .求： (1)该星球的质量M ；(2)在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v . 答案 (1)2hR 2Gt 2 (2)2hRt解析 (1)根据h ＝12gt 2可知g ＝2ht 2由GMmR 2＝mg 可得M ＝2hR 2Gt2(2)根据GMmR 2＝mg ＝m v 2R可得v ＝2hRt.。
突破18 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题(解析版)
突破18天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。
计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得，g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。
若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR＋h2＝mg，得g＝GMR＋h2，选项B正确。
【答案】 B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。
若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。
设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。
下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C ．v ′∶v ＝ 528D ．v ′∶v ＝514【答案】C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。
已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。
由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2R D.72R 【答案】 C【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02h g ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G MmR 2＝mg 可得g ＝GMR 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，解得R 行＝2R ，故C 正确。
高考物理总复习：天体运动
但卫星不只受中心天体万有引力作用时，加速度则不
满足关系式 a＝GrM2 ，如诊断卷第 8 题， 如图，拉格朗日点 L1 位于地球和
月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作
用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科
学家设想在拉格朗日点 L1 建立空间站，使其与月球同周期
绕地球运动。以 a1、a2 分别表示该空间站和月球向心加速
(2)导出四个结论：
a＝GMr2 ，v＝
GrM，ω＝
GrM3 ，T＝
4π2r3 GM
(3)结合 r 大小关系，比较得出 a、v、ω、T 的大小关系。
2．定性结论法： 将下述结论牢记于心：r 越大，向心加速度、线速度、 动能、角速度均越小，而周期和能量均越大。
二、再用活——注意三种情形 1．同一中心天体的不同圆形轨道上的卫星各状态参量大 小比较时可直接应用定性结论法，但不同中心天体各自对应的 卫星间各状态参量的比较应采用定量分析法。如诊断卷第 6 题， 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量 为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大
甲、乙两颗卫星的中心天体质量不同，轨道半径相 同，则应推导各状态参量与中心天体质量的关系式，再 得出结果。
2．同一中心天体的椭圆轨道与圆轨道的周期关系则 要应用开普勒第三定律Ta32＝k 得出结果。如诊断卷第 7 题，
甲、乙为两颗地球卫星，其中甲轨道为圆，乙轨道为 椭圆，圆轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等，如图所示， P 点为两轨道的一个交点。以下判断正确的是( )
[应用流程·帮你化繁为简] A．该卫星从轨道 1 变轨到轨道 2 需要在 P 处点火加速 B．该卫星在轨道 2 上稳定运行时，P 点的速度小于 Q 点
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反思总结 估算天体问题应注意三点
(1)天体质量估算中常有隐含条件 如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等。 (2)注意黄金代换式 GM＝gR2 的应用。 3π (3)注意密度公式 ρ＝ 2的理解和应用。 GT
gR A．地球的质量 m地 G
2
4 L2 B．太阳的质量 m太 2 GT2
2
3
4 L C．月球的质量 m月 GT
2
3 1 2 1
D．可求月球、地球及太阳的密度
【跟踪训练】据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。 这颗行星的体积是地球的 a 倍，质量是地球的 b 倍。已知近地卫 星绕地球运动的周期约为 T，引力常量为 G。则该行星的平均密度 为( ) 3π π 3π b 3π a 应根据题中所给 A. 2 B. 2 C. D. 条件合理选择运 GT 3T aGT2 bGT2 算公式
(2014· 新课标全国卷Ⅱ， 18)假设地球可视为质量均匀分布的球体。 已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g； 地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为( B ) 3π g0－g 3π g0 3π 3π g0 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 g 在赤道上的物体 GT g0 GT g0－g GT GT 要考虑随地球自 转的圆周运动 Mm 解析 物体在地球的两极时，mg0＝G 2 ，物体在赤道上时，mg R 2π Mm 2 ＋m R＝ G 2 ，以上两式联立解得地球的密度 ρ＝ R T 3πg0 。故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误。 GT2（g0－g） 答案 B
二、天体质量和密度的计算
1、质量的计算
2 3 2π 4 π r Mm 2 由 G 2 ＝m r 得 M＝ r GT2 T
已知天体 的轨道半 径和周期
估算天体 质量
R2 Mm 由 mg＝G 2 得 M＝g . R G
已知天体 g0、r和G
4 3 M＝ρ× πR 3
ρ为 天体 密度
2、密度的计算
近地 卫星
r T1 R、T2 估算天体 密度
2π Mm 4 3 2 由 G 2 ＝m T r 和 M=ρ× πR r 3 1 已知卫星绕 3πr3 得 ρ＝ 天体运动半 GT12R3 径r和周期T 1
注意适用条件
Mm 2π2 4 3 由 G 2 =m T R 和 M=ρ× πR R 3 2 得 ρ＝3π/GT22. 已知卫星绕 天体表面运 行周期T2
第四课时 万有引力与航天
考点一：天体质量和密度的计算
茅台高中高三物理备课组
一、解决天体（卫星）运动的基本思路：
1、地面（或ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ星球表面）的物体的重力近似等于万有引力
mM mg G 2 R
2、环绕天体所需的向心力由中心天体对环绕天体的万有引力提供
F引 Fn
Mm 2 2 2 2 G 2 man m m r m( ) r r r T
三、例题剖析
1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡 文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常 量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一 个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球 公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到 太阳中心的距离为L2．你能计算出（ AB）
M地m 解 析 万 有 引力 提 供近 地 卫星绕 地 球 运动 的向 心 力 G 2 ＝ R 4π2R 3M地 3π ρ星 M星V地 m 2 ， 且 ρ 地＝ 由以上两式得ρ地＝ 2。 而 ＝ ＝ 3， T GT 4πR ρ地 V星M地 3πb b ，因而 ρ 星＝ 。 a aGT2 答案 C
高考真题