测量天体的质量和密度
2024年高一物理寒假提升(人教版)第二十天：万有引力理论的成就(解析版)
第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度；9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg ＝Gmm 地R 2。
得到的结论：m 地＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r 。
得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。
以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 根据万有引力等于向心力，得222GM mm rr T月地月2324rMGT地月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得22M m vG mr r月地月2/M rv G地月球运行的线速度v和运行周期T 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得2M mG m vr T月地月和22/M mG m v rr月地月两式消去r，解得：3/(2)M v T G地地球的半径R和地球表面的重力加速度g 物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2M mmg GR地2R gMG地三、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
计算中心天体的质量和密度
计算天体的质量和密度知识梳理“天上”法“地上”法原理万有引力提供向心力：22m GMmv r r ==2m r ω=224m r T π=n ma万有引力等于重力：2GMmmg R=质量M=2324GT r π=2v r G =23rG ω=2n a r G2gR M G=需要已知量 G 、r 、T(或ω、v)G 、g 、R密度3233M r V GT R πρ==特例，当r=R 时：23GT πρ=34g GR ρπ=注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量;“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。
例题分析【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。
引力常量G 已知( )A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离B.地球表面的重力加速度与地球的半径C.绕地球运行卫星的周期与线速度D.地球表面卫星的周期与地球的密度【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。
仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度C ．地球的半径D ．月球绕地球运行速度的大小【例3】（2006北京）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量( )A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。
某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。
如不正确，请给出正确的解法和结果。
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
同步练习1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量？引力常量G 已知（ ）A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径B ．地球同步卫星离地面的高度C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度。
天体质量和密度计算(高三物理)
课前作业例一、（2015西城一模第23题节选)利用万有引力定律可以测量天体的质量.（1）测地球的质量英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”.已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。
若忽略地球自转的影响，求地球的质量及密度。
例二、天宫一号于2011年9月29日成功发射，它将和随后发射的神州飞船在空间完成交会对接，实现中国载人航天工程的一个新的跨越。
天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G。
若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道。
求： (1)地球质量M; （2）地球的平均密度。
例三、近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础.如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，写出火星的平均密度 的表达式？（万有引力常量为G）方法提升：天体质量和密度的计算（写出具体表达式）一、利用天体表面的重力加速度g和天体半径R计算天体质量（不考虑自转影响）二、通过观察卫星(行星）绕行星（恒星)做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r计算行星（恒星)的质量当堂检测一、已知万有引力常量G,地球半径R ，月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2,地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 。
某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地心做圆周运动，由得.（1）请判断上面的结果是否正确,并说明理由。
如果不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出至少两种估算地球质量的方法并解得结果。
当堂检测二、宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面,月球半径为R.据上述信息推断月球的质量的表达式?当堂检测三、我国探月的“嫦娥工程”已启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球。
万有引力定律公式总结
万有引力定律的应用总结：两个基本思路1．万有引力提供向心力：ma r Tm r m r v m r M G ====222224m πω 2.忽略地球自转的影响：mg RGM =2m（2g R GM =，黄金代换式）一、测量中心天体的质量和密度 测质量：1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。
（mg R GM =2m ，则GgR M 2=）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。
(r T m r Mm G 2224π= ，则2324GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。
（r v m r Mm G 22=，则G rv M 2=）4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r Mm G 22ω=，则G r M 32ω=）5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T r v π2=,r v m rM G 22m =，联立得G T M π2v 3=）测密度：已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。
中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ 解：由万有引力充当向心力r T m r Mm G 2224π= 则2324GT r M π=——① 又334R V M πρρ⋅==——② 联立两式得：3233RGT r πρ= 当R=r 时，有23GTπρ=注：R 中心天体半径，r 轨道半径，球体体积公式334R V π= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2RGMmg =（g 为表面重力加速度，R 为星球半径）2．离地面高h: 2)(h R GMg m +='（g '为h 高处的重力加速度） 联立得g'与g 的关系： 22)('h R gR g += 三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系 1．ma r M G=2m ，则2a r MG =（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m rMm G 22=，则r GM v =（卫星离地心越远，它运行的速度越小）3．r m r Mm G22ω=，则3rGM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T m r Mm G 2224π=，则GMT 32r 4π=（卫星离的心越远，它运行的周期越大）。
开普勒三定律的应用
万有引力及天体运动一．开普勒行星运动三大定律 1、开普勒第一定律(轨道定律):所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律(面积定律):对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。
3、开普勒第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说法正确的是： A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点C 、m 从A 到B 做减速运动D 、m 从B 到A 做减速运动 二、万有引力定律1、万有引力定律的建立①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。
即： ②适用条件（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。
（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。
③运用地上：忽略地球自转可得： 2）计算重力加速度地球上空距离地心r=R+h 处 方法：在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g方法：（3）计算天体的质量和密度利用自身表面的重力加速度：天上：利用环绕天体的公转： 等等（注：结合 得到中心天体的密度）（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。
双星轨道半径之比：双星的线速度之比：三、宇宙航行1、人造卫星的运行规律2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=⨯⋅122m mF G r =2R Mm Gmg =2''''''R m M G mg =mg R MmG =2r T m r m r v m r Mm G 222224πω===334R M πρ⋅=2')(h R Mm G mg +=122121m m v v R R ==22(1) :M m GM v G m v r r r==卫地地卫由得rTm r m r v m r Mm G 222224πω===332T=2.GM GM GM r M v a G r r rωπ=== ， ， ，例.两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，周期之比为T A ：T B =1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ） 2、宇宙速度第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 脱离速度 第三宇宙速度：V 3=16.7km/s 逃逸速度注：（1）宇宙速度均指发射速度（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度（环绕速度） 3、地球同步卫星（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期； （3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）； （4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。
求解中心天体质量和密度
G
Mm r2
m
2
T
2
r
M
4 2r3
GT 2
球体的体积公式：V 4 R3
3
三、计算天体的密度 求解中心天体质量和密度
创新微课
已知太阳某行星的公转周期T、轨道半径r， 太阳的半径R，求太阳的密度？
F引=Fn
G
Mm r2
m
2
T
2
r
M
4 2r3
F引=Fn
只可求出中心天体的质量， 求不出环绕体的质量。
求解中心天体质量和密度
创新微课
这种方法可以计算中心天体的质量
如已知：
月亮周期：
T
月亮轨道半径： r
求 地球的质量 M？
F引=Fn
求解中心天体质量和密度
创新微课
二、计算中心天体的质量
如果不知道环绕体的公转周期，而知
道环绕体的线速度或角速度及其轨道半径，
黄金代换：GM＝gR 2
2.将行星（或卫星）的运动看成 是匀速圆周运动.
3.万有引力充当向心力 F引=F向
明确各个物理量 求解中心天体质量和密度
创新微课
转动天体m
轨道半经r
中心天体M 天体半经R
同学，下节再见
创新微课 现在开始
行星运动的三定律
求解中心天体质量和密度
创新微课
一、“称量地球的质量” 求解中心天体质量和密度
创新微课
黄金代换：GM＝gR 2
g---半径
求解中心天体质量和密度
二、计算太阳的质量
创新微课
我们可以测出太阳某行星的公转周期T、轨道半径r， 能不能由此求出太阳的质量M？
物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题
即mg海＝G
可得 g海＝
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
9
例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
3
得
3 r3
GT 2R3
.
特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
23
24
25
M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)
3
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月·v·
以上两式消去r，解得
G
＝m月.
M地＝v3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的 引力，得
mg＝G ，
解得地球质量为M地＝ .
4
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω2r来求得质量M＝ ＝ ＝ 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
21
（完整版）求中心天体的质量与密度
（完整版）求中⼼天体的质量与密度求天体的加速度、质量、密度⼀．知识聚焦 1.加速度：表⾯上 mg Mm G =2R得2g R GM=⾮表⾯ ()ma R MmG=+2h 得)(2R a h GM +=万有引⼒与航天）基础知识：⼀、研究对象：绕中⼼天体的⾏星或卫星r mv rMm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径)22ωmr rMm G = G r M 32ω= (已知⾓线速度与半径)22)2(T mr rMm G π= G T r M 232)2(π= (已知周期与半径) 总结：线速度vr ，这三个物理量中，任意组合⼆个，⼀定能求出中⼼天体的质量M 。
或者说：中⼼天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。
⼆、研究对象：绕中⼼天体表⾯运⾏的⾏星或卫星R mv RMm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径)22ωmR RMm G = G R M 32ω= (已知⾓线速度与半径)G πωρ432=（已知⾓速度）22)2(T mR R Mm G π=(已知周期与半径) 已知周期)任何因数都⽆关。
三、研究对象：距离地⾯h ⾼处的物体，万有引⼒等于重⼒mg h R MmG =+2)( G h R g M 2)(+= (已知某⾼度处的重⼒加速度与距离)四、研究对象：地球表⾯的物体，万有引⼒等于重⼒mg RMmG =2 G gR M 2= (已知中⼼天体表⾯的重⼒加速度与半径) GRgπρ43=训练题（真题）1宇航员站在⼀星球表⾯上的某⾼处，沿⽔平⽅向抛出⼀⼩球，经过时间t ，⼩球落在星球表⾯，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增⼤到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同⼀⽔平⾯上，该星球的半径为R ，引⼒常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.[解析]此题的关键就是要根据在星球表⾯物体的运动情况求出星球表⾯的重⼒加速度，再根据星球表⾯物体的重⼒等于物体受到的万有引⼒求出星球的质量和星球的密度．根据平抛运动的特点得抛出物体竖直⽅向上的位移为221gt y =设初始平抛⼩球的初速度为v ，则⽔平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1当以2v 的速度平抛⼩球时，⽔平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表⾯上物体的重⼒近似等于万有引⼒，有mg=G 2RMm③联⽴以上三个⽅程解得22332Gt LR M =⽽天体的体积为334R V π=，由密度公式VM=ρ得天体的密度为R Gt L 223πρ=。
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2020 年
期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
全国2卷第15题
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
三、巩固练习
2 r
R
四、小结
天体自身： R、T自转测质量和密度
原理： G
Mm R2
K
•G
Mm R2
m
4 2
T自2
二、考点分析
问题：
例2、(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径 何为稳定自传？
射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”， 其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球
为何密度有最小值？
体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周
万有引力测量天体质量和密度
晏克建 2020.10.18
洋县中学 晏克建
一、测量天体质量和密度的两种方法
● 方法一：根据天体自身参数测天体的质量和密度。
已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体
的引力，GMR2mmg解得M 地
gR2 G
(同理可以测量其它天体
的质量)
密度： 地
条件扩展
中心天体
根据万有引力等于向心力得：
G Mm m 4 2 r M 4 2r3
r2
T2
GT 2
由于
M V
4 2r 3
GT 2
3
4R3
3
GT 2
.
r3 R3
T
已知: r V M中和中
w
若将月球换成近地卫星 （r R）,
环绕模型求任何中心天体质量和密度
则有：
3
GT
2（. T为近地卫星的周期）
思考：弹簧测力计测量的什么？为何在两极和赤道处示数不同呢？ 示数的差别是什么？
天体自身： R、T自转测质量和密度
原理： G
Mm R2
K
•G
Mm R2
m
4 2
T自2
R
1
● 方法二：利用天体的卫星运动参数测质量和密度。 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，
r、T
环绕天体
月球的半径为r，地球的半径R。
M V
gR G
2.34来自33g4GR如果不能忽略地球表面 物体的向心力, 如何测量呢？
例1：太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h， 在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小 10%.已知引力常量G＝6.7×10－11N·m2/kg2，求此行星的平均密度．
R
两个模型:
天体自身参数R、g测量M和
v
天体的卫星参数测M中和中 w r(卫星轨道半径)
T
中
3 （. T为近地卫星的周期）
GT2