现代分析3-3赋范空间 (1)

因而
(t ) (1) 1
由此可得
t (0,)
t t (1 )
令
t (0,)
t
A ,代入上面不等式,那么 B
A A (1 ) B B
两边乘B,得到
A A (1 ) B 1 B
1 1 令 q 于是上式成为 p ,则
p 而不加以区别,设 f , g L [a, b] ,因为
f (t ) g (t ) (2 max f (t ) , g (t ) ) p
p
2 ( f (t ) g (t ) )
p
p
p
p p 所以， f (t ) g (t ) 是 L 上可积函数,即 f g L [a, b] ,至于 L [a, b]
p

k 1

1 2k
（12）
但是因为常数 1 Lq [a, b] ,由Holder不等式,成立

a
b
f nk f nk 1 dt f nk 1 _ f nk
p
(b a )
1 q
所以级数
f
k 1
a
n
b
nk
f nk 1 dt
(13)
n k 1
收敛,由级数形式的Levi定理,级数
证毕. 例5:空间 l
p
Lp [a, b] 空间一样,在空间中也有类似的Holder不等式 和Minkowski不等式:

k 1 k
n
k
) ,(k Holder 不等式) ( k ) (
p q k 1 k 1
n
1 p
n
1 q
其中
p 1 1 1 1 (1 , 2 , 3 ....) l p,( 1 , 2 ,3 ...) l q
证明:
f
p
满足范数条件(1)及(2)是显然的.又由 Minkowski不等式,当
p
p 1 时,对任何 f , g Lp [a, b] 有 f g
f
p
g
p
p ,所以 L [a, b] 按 f
p
成赋范线性空间. 证毕.
定理2:Lp [a, b] p 1 是Banach空间. 证明: 设{ f n }是 Lp [a, b] 中柯西点列,由柯西点列的定义,存在正整数mk ,使当
对于任何正数 0 ,存在N,使当 n, m N 时, f n f m
b
k
nk0 N ,于是当 k k0 .n N 时,就有 f n (t ) f n (t ) dt f n _ f n
p p

,取足够大的 k0 ,使
p
k
p
又因当 k 时函数列
q
g (t ) g
q
令
A (t ) , B (t )
代入不等式(8),得到
p
(t ) (t )
(t )
p

(t )
q
q
（9）
由(9)立即可知 (t ) (t ) 在 [a,b]上L 可积,由此可知f(t)g(t)也L可积,对(9)的 两边积分,得到

因此
b
a
p
f n (t ) f nk (t )
p
a
f n (t ) f (t ) a.e.于[a,b],由Fatou定理
p
得到 f n (t ) f (t ) 是L可积函数,并且有,

a
b
p
f n (t ) f (t ) dt lim
k

a
b
p
f n (t ) f nk (t ) dt p
k 1 j 1
k 1 j 1
f n k 1 (t ) f n k (t )
在[a,b]上几乎处处收敛.
因此,函数列 f n (t ) f n (t ) ( f n (t ) f n (t ))(k 1,2,3,.....) 在[a,b]上几乎处处收
j
p 敛于一可测函数f(t).下面证明 f L [a, b] 因为{ f n }是 Lp [a, b] 中柯西点列,
1 1 1 f Lp [a, b] g Lp [a, b] p q
那么 f (t ) g (t ) 在 [ a, b] 上 L 可积,并且成立

b
a
f (t ) g (t ) dt f
p
g
q
（7）
1 1 1 时,对任何正数A及B,有 证明:首先证明当 p 1 p q
x
完备的赋范线性空间称为Banach(巴拿赫)空间.
例1:欧氏空间 R n ,对每个 x
(1 , 2 , 3 ....) R n
2
定义
x 1 ..... n
2
（3）
1 1 ..... n n y (1 , 2 ,3 ....) R
2 2
如果令 d ( x, y ) x y =
例3:空间 l p
对每个 x (1 , 2 , 3 ....) l ,定义
p
x sup
j
j
（5）
不难验证 l 按(5)中范数成为Banach空间.
p 例4:空间 L [a, b]
设 f (t ) 是 [a, b]上实值可测函数, p 0 ,如果 f ( x ) 是[a, b] 上可积函数,
p q

p
g
p

b
a
f (t ) g (t ) dt
p
1 q
（11）
f
p
b 若 f (t ) g (t ) p dt 0 ,则 f g a
p
0 (10)式显然成立,
若 a
b
f (t ) g (t ) dt 0 ,则在(11)式两边除以
p
b p
p q
1 q

b
a
f (t ) g (t ) dt f (t ) g (t ) f (t ) g (t )
p a b p q b a a
b
p 1
dt
f (t ) f (t ) g (t ) dt g (t ) f (t ) g (t ) dt f
这说明 f f n Lp [a, b] ,且当 n N 时,
.
又因 f n
fn f
p
（ 14 ）
Lp [a, b] ,而
f [ f f n ] f n ,由于 Lp [a, b] 是线性空间,所以
f Lp [a, b] ,由(14), f n f ,这就证明了 Lp [a, b] 是Banach空间.
l p 完备.
定理3:设X是n维赋范线性空间,{ e1 , e2 ,.... en }是X的一组基,则存在常数 M和 M 使得对一切 x k ek 成立 M x ( k ) M X
由Holder不等式有
p q p f ( t ) g ( t ) dt p a b 1 q

类似对g也有
b
a
f (t ) f (t ) g (t ) dt f

因而
b
a
g (t ) f (t ) g (t ) dt g p a f (t ) g (t ) dt
A B
1 p 1 q
1
A B p q
如果 f
p
0
(或 g
q
0 ),则
f (t ) 0a.e 于 [a, b] (或 g (t ) 0a.e 于 [a, b] ),
p
这时,不等式(7)自然成立,所以不妨设 f
(t )
p
0 g
p
0 做函数
f (t ) f
p
, (t )
p 则称 f (t )是[a, b] 上 p 方可积函数, [a, b]上 p 方可积函数全体记为 L [a, b]
p
当 p 1时, L [a, b] 即为 [a, b]上 L 可积函数全体.
1
p 在空间 L [a, b] 中,我们把两个 a.e 相等的函数视为 Lp [a, b] 中同一个元素
n
n
,则 d ( x, y ) 即为 R 中欧几里得距离,且满足(1)中条件(a)及(b),由此可知
x
是R
n
n 中范数,又因 R 完备,故 R 按(3)中范数成Banac b]对每个x , [a, b] 定义
x max x(t )
a t b
（4）
容易证明 C[a, b] 按(4)中范数成为Banach空间.
p 关于数乘运算封闭是显见的.于是L [a, b] 按函数通常的加法及数乘运算
p
p 成为线性空间.对每个 f L [a, b] ,定义
f
p
( f (t ) dt) （6）
a
p
b
p
1 p
p 我们要证明当 p 1 时, L [a, b] 按 f
成为Banach空间.为此,首先
证明几个重要的不等式. 引理1:(Holder不等式)设 p 1
{xn }
依范数收敛于
x
x
记为
xn x(n ),或 lim n
xn x
如果令 d ( x, y) x y ( x, y X ) 容易验证 d ( x, y ) 是x上的距离,且
{xn } 依范数收敛于
导出的距离.