圆锥曲线小题练习
圆锥曲线典型小题48道
典型小题1- 1双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4典型小题1- 2如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0典型小题1- 3以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对典型小题1- 4过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+典型小题1- 521,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 典型小题1- 6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=典型小题1- 7设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定典型小题1- 8若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,)44±B ．1(,84±C ．1(,44D ．1(,84典型小题1- 9椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为A ．20B ．22C ．28D ．24典型小题1- 10若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2典型小题1- 11与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 典型小题1- 12若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）典型小题1- 13椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
圆锥曲线测试题 小题
圆锥曲线测试题 小题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为 （ ）A ．（0,41a） B ．)161,0(a C ．)161,0(a-D ．)0,161(a2．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y x B ．14322=+y x C ．13422=+y x D ．1422=+y x 3．双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为（ ）A ．1322=-x y B ．1322=-x y C ．1322=-y x D ．1322=-y x 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738B ．316 C ．38 D ．73165．ab ay bx b y ax b a =+=+-≠≠220,0,0和则方程所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(1122222222>>>=+=-b m a by m x b y a x 和椭圆的离心离互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．已知椭圆121)(1222=-+t y x 的一条准线方程为y=8，则t 为 （ ）A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．08．给出下列曲线①0124=-+y x ，②322=+y x ，③1222=+y x ，④1222=-y x其中与直线32--=x y 有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④9．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足|PF 1|=e|PF 2|，则e 的值为 （ ）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为,215+A ，F 分别是它的左顶点和右焦点，设B 点坐标为（0，b ），则∠ABF 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围为 . 12．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .13．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线恰有3条，则λ= .14．抛物线)0(22>=p px y 的动弦长|PQ|为8p ，当PQ 的中点M 到y 轴的距离最小时，直线PQ 的倾斜角为 .一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 二、11．),1()2,(+∞---∞ 12．x y 542-= 13．4 14．656ππ或。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
03.圆锥曲线小题训练(较难)
圆锥曲线小题训练1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．3.已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]4.已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（）A.3B．2C．D．5.如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.4B．C．D．6.已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x=a 分别交于两点M ，N，若，则a 的值为（）A．B．C．D．7.已知双曲线上存在两点M ，N 关于直线y=x+m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2=9x 上，则实数m 的值为（）A ．4B ．﹣4C ．0或4D ．0或﹣48．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=（+），则双曲线的离心率为（）A.B ．C ．D ．10．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是（）A ．4B．C．D ．811．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（∠A 随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2为定值B.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2为定值C.随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2也增大D.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2也减小离）12.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13.已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F 1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3]B．（0，2）C．[2，3]D．[0，4]14.从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．15.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．16.下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e217.已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，3）C．（1，3）D．（0，2]18.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣219.设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=020.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．a B．b C．ea D．eb21.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2）B．C．D．（1，2）22.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．23.已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）A ．，B ．，C ．，D ．，π]24．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且◉I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（）A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定25.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．26.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A．B．C．D．27.已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A． B.23C．D．28.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．29.已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．30.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5圆锥曲线小题训练8参考答案与试题解析1．（2016•潍坊模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上。
圆锥曲线小题 专题训练
圆锥曲线小题训练一、求离心率的值1.椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为A. 12B.32C.13D.33【答案】D由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2a2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是A. 2B. 2C.1D.22【答案】D3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为A. 5B.5C.54D.52【答案】A4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）6.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5【答案】D7.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2【答案】B8.双曲线C:y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3【答案】C9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA→+MB→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.二、求离心率的取值范围1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)【答案】C设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)【答案】B由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜a 2,故1＜e ＜2.【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)【答案】C抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对值即是三角形边长的一班，所以tan∠FAO=－p |x |=3整理得到关于p 的方程，该方程有解，就可求得e 的范围.4.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF1→·PF 2→=－a 2，则双曲线的离心率的取值范围为 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]【答案】B 提示：设点P(x 0,y 0)则PF1→·PF 2→=(x 0+c)(x 0－c)+y 02=x 02－c 2+y 02=－a 2，x 02+y 02=c 2－a 2=b 2即点P 在一原点为圆心，半径为b 的圆上，有题意，该圆和双曲线相交，所以b 2>a 2，即可求解.三、其他问题1、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点，若∠KPF 的平分线与x 轴交于(m ,0) ,则m 的最大值为A.3－2 2B.23－3C.2－ 3D.2－2【答案】A 提示：三角形角平分线的性质，及过抛物线准线与x 轴的交点的与抛物线相切的直线的斜率为±12.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与此抛物线交于A,B 两点，公共点A 在第一象限,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A',直线A'F 的斜率为－ 3 ,则△AA'F 的面积为 A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3【答案】A 提示：△AA'F 是正三角形，且边长等于2p=4.3.已知抛物线C:y 2 =2px (p >0)的焦点为F,准线为l ，l 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35 ，则抛物线C 的方程为A.y 2 =xB.y 2 =2xC.y 2 =4xD.y 2 =8x【答案】C4.设双曲线C:x 28－y 2m =1的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上，若∠F 2MN= F 2NM ，则｜MN ｜ =A.8B.4C.8 2D.42【答案】C [命题意图]本题考查双曲线的定义与方程,考查推理论证能力以及数形结合思想. 提示：由∠F 2MN= F 2NM,可知，|F 2M|=｜F 2N ｜.由双曲线定义可知，｜MF2｜-｜MF1｜2a,｜NF1｜－｜NF2｜=2a,两式相加得,｜NF1｜-｜MF1｜=|MN｜=4a=82.5.设椭圆C: x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1, F2, 离心率为3，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为A.13 B.12 C.33 D.32【答案】B6.已知点P(－43, 0),圆x2+y2=16 上两点A, B满足PB=2PA,则|AB|=【答案】4 提示：根据OA=OB=PA=AB=12PB，所以点B恰好是（0,4）.7.设点P为直线l：x+y－4=0上的动点，点A（－2,0），B（2,0），则｜PA｜+｜PB｜的最小值A.210B.26C.2 5D.10【答案】A8.已知椭圆C1:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2 9=1有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则A.a 2=878 B.a 2=12 C.b 2=98 D.b 2=1 【答案】C9.“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C10.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且点P 在y 轴上的投影为E ，则｜PF ｜－｜PE ｜的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B。
32个经典圆锥曲线问题
圆锥曲线32题1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．3. 已知椭圆的离心率为在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）当的面积等于时，求的值．8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．11. 已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由．12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3是一个定值．25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．35. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．36. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．圆锥曲线32题答案1. （1）由题设知：，即．将点代入椭圆方程得，解得．所以，故椭圆方程为．（2）由（）知，，所以，所以所在直线方程为，由得，设，，则，所以所以2. （1）因为椭圆的离心率为，所以．解得，故椭圆的方程可设为，则椭圆的左焦点坐标为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：．设直线与椭圆的交点为，，由消去，得，解得，．因为，解得．故椭圆的方程为．（2）①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得消去并整理，得．因为直线和椭圆有且只有一个交点，所以．化简并整理，得．因为直线与垂直，所以直线的方程为．联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时，此时或，符合式．③当切线的斜率不存在时，此时或符合式．综上所述，点的轨迹方程为．3. （1）由题意得解得，．所以的方程为．（2）设直线（，），，，．将代入，得．故，．于是直线的斜率所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. （1）因为，且通过原点，所以所在直线的方程为．由得，两点坐标分别是，．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为，两点在椭圆上，所以，即．设，两点坐标分别为，，则，且，．所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以．当时，边最长．（显然）．所以，所在直线的方程为．5. （1）由题意，知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，由题意，知，，又，则，所以椭圆方程为．（2）设，，由题意，知直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，即消去，得，，由根与系数的关系，知又，即有，所以．则所以．整理，得，又时等式不成立，所以，得，此时．所以的取值范围为．6. （1）抛物线的准线为，所以，所以抛物线方程为．（2）由（1）知点的坐标是，由题意得，．又因为，所以．因为，所以所以的方程为的方程为由联立得所以的坐标为．7. （1）设圆心的坐标为，由题意，知圆心到定点和直线的距离相等，故圆心的轨迹的方程为．（2）由方程组消去，并整理得．设，，则设直线与轴交于点，则．所以因为，所以，解得．经检验，均符合题意，所以．8. （1）因为，所以设点的坐标为，点的坐标为由得则则，解得．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由得，得，则．由得，解得，代入上式得：，则，，当且仅当时取等号，此时，又则，解得．所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．9. （1）由题意可得，抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义，即．（2）由（1）得，抛物线方程为，，可设，，．因为不垂直于轴，可设直线：，由消去得，故又直线的斜率为的斜为．从而得直线：，直线：．所以设，由，，三点共线得，于是所以或．经检验，或满足题意．综上，点的横坐标的取值范围是．10. （1）因为，所以．又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为．由得，设，的坐标分别为，，的中点为，则因为是等腰的底边，所以．所以的斜率．此时方程为，解得，，所以，所以．此时，点到直线的距离，所以的面积11. （1）因为椭圆的离心率为，所以，．因为，解得，，所以椭圆的方程为．（2）法1：因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，直线的方程为．设点，，由消去，得因为点在椭圆上，所以是方程的一个根，则．所以．同理．所以．又．所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值，该值为法2：设点，，则直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即因为点，在椭圆上，所以由得，得同理由得由得，化简得由得得．得，得所以直线的斜率为为定值．法3：设直线的方程为，点，，则，，直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即化简得．把，代入上式，并化简得由消去得则，，代入得，整理得，所以或．若，可得方程的一个根为，不合题意．若时，合题意．所以直线的斜率为定值，该值为．12. （1）由题意可知：，又，，所以，，所以椭圆的方程为：．（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为．②若直线的斜率存在，设其方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得即，可得设，则，，由可知，解得或，将结果代入验证，舍掉．此时，直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．13. （1）根据及题设知，．将代入，解得或故的离心率为（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．14. （1）据题意，为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线所以曲线的方程为．（2）据题意，，过点的切线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设为，，因为，，由方程可知，所以切线，所以，结论得证．15. （1）由题意设双曲线方程为．由已知得，，再由，得．故双曲线的方程为．（2）设，，将代入，得．由题意知解得．所以的取值范围为．16. （1）因为抛物线上的点到轴的距离等于，所以点到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即解得，所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由，得，又，解得，由椭圆的定义得，所以，又，得，所以椭圆的方程为．（2）显然，，由消去，得，由题意知，得，由消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由所以的取值范围是．17. （1）由题意可得：，又，解得．所以椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，由，解得．设，，，所以，，则直线的方程为：，令，可得所以直线与轴的交点为．18. （1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．（2）因为所以，所以，所以直线与的倾斜角互补，所以．依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得．设，则，，所以．以替换点坐标中的，得．所以所以直线的斜率为19. （1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足为定值，所以．20. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点21. （1）由题意可得：直线的斜率存在，设方程为：，设，，动点，由可得．可得．；；由可得即点的轨迹方程为（2）设直线的方程为：（且），由可得，可得，因为直线与抛物线相切，所以，可得，可得，又由可得可得，所以以线段为直径的圆过点．22. （1）由题意可知：，，椭圆的离心率，则，所以椭圆的标准方程：．（2）设直线的方程为．消去整理得：．设，，则，，所以为定值．23. （1）过，两点作准线的垂线，垂足分别为，，易知，，因为所以，所以为的中点，又是的中点，所以是的中位线，所以而，所以所以，，所以，而，所以；（2）因为为的中点，是的中点，所以，所以，所以，所以抛物线的方程为．24. （1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．（3）设，即有，设，，由为的中点，可得，，解得，，则为定值．25. （1）设所在直线的方程为，抛物线方程为，联立两方程消去得．设，，则．由题意知，，且，所以，所求抛物线的方程为．（2）由点为抛物线上的点，得．由题意知直线，的斜率均存在，且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．由得，因而由得，因而从而直线的斜率26. （1）由题意可知：，，所以椭圆的标准方程：，设直线的方程，则整理得：，解得：，，则点坐标，故直线的斜率，直线的斜率所以所以；（2）由（Ⅰ）可知：四边形的面积，则三角形，，由，整理得：，则，所以，的最小值．27. （1）设，，由题知抛物线焦点为，设焦点弦方程为，代入抛物线方程得，有，解之得，由韦达定理：，所以中点横坐标：，代入直线方程，中点纵坐标：为，消参数，得其方程为：，当线段的斜率不存在时，线段中点为焦点，满足此式，故动点的轨迹方程为：．（2）设，代入，得，，联立，得，同理，，所以，又因为，故与的面积比为．28. （1）因为过点，所以，解得所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线为（2）设过点的直线方程为，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得，所以，，所以，所以为线段的中点．29. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则椭圆的准线方程，由由解得：，，则，所以椭圆的标准方程：．（2）方法一：设，时，与相交于点，与题设不符，当时，则直线的斜率的方程，直线的斜率，则直线的斜率，直线的方程，联立解得：则，由，在椭圆上，，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则或，所以或，则解得：则或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．方法二：设，由在第一象限，则，，当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，当时，，，由，，则，，直线的方程的方程联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即，或，由，在椭圆方程，解得：或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．30. （1）设中点为，中点为，以，所在的直线分别为轴，轴，为原点建立直角坐标系．因为，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其长、短半轴的长分别为，，半焦距为，则，，，所以曲线的方程为：．（2）直线的方程为，设，，由方程组得方程，，，故．35. （1）设，由题意知，点一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得，，解得，，所以的标准方程为．设，依题意知，点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，所以的标准方程为．（2）设，，，由知，故直线的方程为，即，代入椭圆的方程，整理得，，，，所以设点到直线的距离为，则所以当且仅当时，取等号，此时满足．综上，面积的最大值为．36. （1）由题意，得，，则椭圆为．由得．因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得．因为直线与轴交于，所以当直线与轴垂直时，，所以当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由，依题意得，，且，所以所以，因为，所以．综上所述，的取值范围是．。
圆锥曲线经典小题
圆锥曲线经典小题一、选择题1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．椭圆1422=+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ( )A ．23B ．3C ．27 D ．4 4．已知双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ．5B ．24C ．3D ．55．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A ．23B ．2C ．25 D ．3 6．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅MF MF 则点M 到x 轴的距离为( )A ．34 B ．35 C ．332 D ．3 7．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．213+ D ．215+ 8．已知双曲线,122=-y x 点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若,21PF PF ⊥则||1PF ||2PF +的值为( )A ．3B ．24C ．3D ．32二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________.10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥ 若21F PF∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点， 若ABF ∆为等边三角形，则=p _________.12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±= 若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.。
高中数学_圆锥曲线400题
高中数学_圆锥曲线400题一、单选题( ) 1. 一双曲线的两渐近线为1:20L x y -=与2:20L x y +=且通过点()﹐其方程式为(1)22182x y -= (2)22182x y -=- (3)22128x y -= (4)22128x y -=-﹒( ) 2. 拋物线2118y x =+的焦点在 (1)()0,3 (2)()0,10 (3)330,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)2570,32⎛⎫⎪⎝⎭﹒( ) 3. 在坐标平面上﹐过点()2,5P 而与双曲线221254x y -=相切的直线有几条﹕ (1)0 (2)1 (3)2(4)3 (5)4﹒( ) 4. 坐标平面上有一双曲线﹐已知其两焦点为()10,2--与()10,2-﹐一渐近线的斜率为34-﹐问此双曲线的贯轴长度为何﹕ (1)3 (2)4 (3)6 (4)8 (5)16﹒( ) 5. = (1)其长轴长为(2)其短轴长为(3)正焦弦长为(4)长轴的两端点为()6,2-﹑()6,2-- (5)长轴的方程式为0x y +=﹒( ) 6. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()1,0﹑()0,5-﹑()2,11三点﹐则方程式为 (1)245y x x =+- (2)265y x x =-- (3)245y x x =+- (4)2325y x x =+-﹒( ) 7. 通过点()1,1且与椭圆2223x y +=相切的直线方程式为 (1)23x y += (2)210x y -+= (3)23x y += (4)21x y -=﹒( ) 8. 拋物线的方程式为()()()2223465425x y x y +-=-+-﹐那么它的对称轴方程式为 (1)3470x y +-= (2)90x y +-= (3)4380x y --= (4)68310x y +-=﹒( ) 9.如右圖﹐A ﹐B ﹐C ﹐D 四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點： (1)A (2)B (3)C (4)D ﹒( )10. 下列何者正确﹕ (1)与拋物线恰交于一点的直线是切线 (2)与椭圆恰交于一点的直线是切线 (3)与双曲线恰交于一点的直线是切线 (4)通过()1,3作椭圆2299x y +=的切线恰有一条﹒( )11. 设k 为一常数﹐若方程式222117x y k k +=+-表一椭圆且与双曲线221759x y -=有相同的焦点﹐则k 的值为 (1)9- (2)9-或8 (3)10- (4)10-或9﹒( )12. 已知方程式()()2225423x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦的图形为拋物线Γ﹐则Γ的正焦弦长为何﹕ (1)(2)(3)(4)5 (5)10﹒( )13. 下列各叙述何者为真﹕ (1)若双曲线的两渐近线互相垂直﹐则此双曲线必为等轴双曲线(2)设a ﹑b ﹑c 为实数﹐方程式22ax by c +=的图形是双曲线⇔0ab < (3)若直线L 与圆锥曲线Γ恰交于一点P ﹐则L 必为Γ的切线 (4)过双曲线的中心可作双曲线的二条切线﹒( )14. 设P 为双曲线22:1916x y Γ-=在第一象限的一点﹐若1F ﹑2F 为Γ的两焦点且12:1:3PF PF =﹐则下列哪些值可能为△12PF F 的周长﹕ (1)18 (2)20 (3)22 (4)24 (5)26﹒( )15. 拋物线的顶点为()1,0﹐焦点为()0,1﹐则下列何者正确﹕ (1)其方程式为()241y x =- (2)其对称轴为10x y --= (3)其方程式为22261070x xy y x y +++-+= (4)其正焦弦长为4 (5)其准线为30x y --=﹒( )16. 求椭圆229436x y +=上的点P 到直线:210L x y +=的最长距离为 (1)15 (2) (3)5( )17. 求拋物线28y x =被直线22x y -=所截的弦长为 (1)40 (2)(3)(4)50﹒ ( )18. 阿光在做习题时﹐遇到一题题目如下﹔「求过点()3,5且与双曲线22:48210x y x y Γ--+-=相切的直线方程式﹒」阿光的作法如下﹔35435821022x y x y ++⨯--⨯+⨯-= ⇒125412510x y x y ---++-= ⇒8480x y --=⇒220x y --=﹒答﹔切线方程式为220x y --=﹒就阿光的作法与答案﹐试判别下列何者为真﹕ (1)作法与答案皆正确(2)作法正确﹐但计算过程中有发生错误﹐使得答案不正确(3)作法正确﹐但答案错误﹐因为切线要有两条﹐所以阿光少写一条铅直切线3x = (4)作法不正确﹐因为()3,5不在双曲线上﹒( )19.同例題1﹐如果調整檯燈罩﹐將其往下壓﹐如圖﹒那麼桌面上S 區域的邊界是下列哪種圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線﹒( )20. (1)10(2)10+(3)14 (4)15﹒二、多选题( ) 1. 已知一拋物线的焦点为()4,3﹐准线为y 轴﹐则下列哪些点也在此拋物线上？ (1)()2,3(2)()4,7 (3)()4,1- (4)()4,3- (5)()0,3﹒( ) 2. 已知椭圆的长轴平行于x 轴﹐中心为()1,2且通过点()4,6﹐试问下列哪些点一定会在这椭圆上﹕ (1)()3,4 (2)()4,2- (3)()5,6 (4)()2,2-- (5)()2,6-﹒( ) 3. 已知拋物线方程式为284200y x y -++=﹐则 (1)对称轴为2x = (2)顶点()2,2- (3)焦点()2,0 (4)正焦弦长为8 (5)开口向上﹒( ) 4. 直线y x k =+与双曲线22412y x -=的相交关系为 (1)0k =时﹐没有交点 (2)3k =时﹐有一个交点 (3)3k <-时﹐有二个交点 (4)3k >时﹐没有交点 (5)k =时﹐没有交点﹒( ) 5. 下列有关双曲线224x y -=的叙述哪些是正确的？ (1)顶点为()0,2与()0,2- (2)贯轴长为2 (3)贯轴与共轭轴等长 (4)渐近线互相垂直 (5)通过中心可作出两条切线﹒( ) 6. 下列方程式何者表示一个完整的拋物线﹕ (1)()()222253412x y x y +=+- (2)(3)2y -=(4)25410y x y +--= (5)25x y +-﹒( ) 7. 设a ﹑b ﹑c 为实数﹐若二次函数2x ay by c =++的图形通过()1,0且与y 轴相切﹐下列何者为真﹕ (1)0a < (2)0b > (3)1c = (4)240b ac +> (5)0a b c ++≥﹒( ) 8. 已知坐标平面上三点()3,0A ﹐()3,0B -﹐(),P x y ﹐下列叙述哪些是正确的？(1)若8PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (2)若6PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个圆 (3)若4PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (4)若PA PB =﹐则P 点的轨迹是一条直线(5)若3PA PB -=﹐则P 点的轨迹是双曲线的一支﹒( ) 9. 设220ax cy dx ey f ++++=﹐22220a c d e +++≠在坐标平面﹐下列叙述何者正确﹕ (1)若0ac <﹐图形不可能为无图形 (2)0ac =﹐则图形为一直线 (3)0f =时必过原点 (4)若图形为椭圆﹐则0ac > (5)0ac >时图形可能为点﹒( )10. 一双曲线贯轴平行y 轴﹐中心为()1,2-且过()2,4-﹐则下列哪些点也会在双曲线上﹕ (1)()0,3 (2)()1,3- (3)()1,1- (4)()2,0- (5)()0,0﹒( )11. 关于10Γ=﹐则下列何者为真﹕ (1)Γ表一椭圆 (2)Γ表一双曲线 (3)Γ的中心为()2,2- (4)Γ对称于直线20x -= (5)Γ的一顶点为()2,3﹒( )12. 在坐标平面上﹐请问下列哪些直线与双曲线221364x y -=不相交﹕ (1)3y x = (2)32y x =(3)31y x =+ (4)3y x =- (5)100y =﹒( )13. 下列叙述何者正确﹕ (1)已知拋物线上三点﹐可以求出拋物线之方程式 (2)已知顶点及正焦弦长﹐可以求出拋物线之方程式 (3)已知椭圆的两焦点及椭圆上一点﹐可以求出椭圆的方程式 (4)已知椭圆的中心及长轴﹑短轴的长度﹐可以求出椭圆的方程式 (5)已知椭圆的四个顶点坐标﹐可以求出椭圆的方程式﹒( )14. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Γ为拋物线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L必为Γ的切线 (2)Γ为椭圆﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (3)Γ为双曲线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (4)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐V 为它的一个顶点﹐L 为过V 的对称轴﹐则过V 的切线必与L 垂直 (5)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐P 在Γ上﹐则通过P 恰可作一条Γ的切线﹒( )15. 下列各方程式中﹐哪些图形的焦点相同﹕ (1)22192x y -= (2)22129x y -= (3)223824x y -= (4)22143x y += (5)221143x y +=﹒( )16.在()0,0O 有三個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐在()4,0P 有四個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐4﹐如右圖所示﹒A ﹐B ﹐C ﹐D ﹐E ﹐F 在某一個橢圓上﹐則下列有關此橢圓的選項哪些是正確的？ (1)中心為()2,0(2)長軸長為4 (3)短軸長為3 (4)一頂點為9,02⎛⎫⎪⎝⎭(5)一焦點為()4,0﹒( )17. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)()()22321250x y x y -+++-=的图形为两直线 (2)2的图形为双曲线的一支 (3)24y x =与24y x =图形的形状与大小均相同（不论位置） (4)22260x y -+=与22260x y --=图形的形状与大小均相同（不论位置） (5)2262x y =+与2262y x =+图形的形状与大小均相同（不论位置）﹒( )18. 坐标平面上﹐下列哪些直线与双曲线22:149x y Γ+=-不相交﹕(1)230x y -= (2)3210x y -+= (3)210x y -+= (4)320x y += (5)3y =﹒( )19. 一拋物线Γ的方程式为28x y =﹐()P 为Γ上一点﹐今有一平行y 轴的光線自上方射向P ﹐經反射後射到Γ上另一點Q 再反射﹒令1L 為過P 的切線﹐2L 為過Q 的切線﹐1L 和2L 交於R ﹒則下列哪些正確﹖(1)Q 的坐標為23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)經過Q 的反射線與y 軸交於()0,1103(3)2L 320y ++= (4)1L 與2L垂直 (5)R 的y坐標為2-﹒( )20. 已知坐标平面上一双曲线Ω的对称轴平行坐标轴﹐贯轴长2﹐图形过()2,10A -﹐()4,10B ﹐()1,4C 三点﹐且这三点不在双曲线的同一支上﹒关于此双曲线﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Ω的贯轴平行x 轴 (2)Ω与x 轴必相交 (3)Ω与直线5y =没有交点 (4)Ω与直线1x =交于两点 (5)一直线过点()1,4C 且平行于Ω的其中一条渐近线﹐则此直线与Ω交于两点﹒( )21. 设1F 与2F 为坐标平面上双曲线22:1916x y Γ-=的两个焦点﹐P 为Γ上一点﹐使得此三点构成一直角三角形；试问符合条件的P 点有n 个﹐则n =﹕ (1)4n ≥ (2)4n ≤ (3)6n ≥ (4)6n ≤ (5)8n ≥﹒( )22. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)过点()5,0-有两条切线 (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )23. 2=的点(),x y 所成的图形﹐下列叙述何者正确﹕ (1)此图形为一椭圆 (2)此图形为一双曲线 (3)此图形的中心在()1,1-(4)此图形对称于20x y -+= (5)已知此图形上有一点22⎛ ⎝⎭﹐则22⎛ ⎝⎭必也在此图形上﹒( )24. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)Γ的共轭双曲线的焦点为(0, (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )25. 设a 与b 为实数﹐关于二元二次方程式22240x ay bx y ++-=的图形Γ﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)若Γ是一椭圆﹐则0a < (2)若Γ是一双曲线﹐则0a > (3)若Γ是一圆﹐则1a = (4)若Γ是一拋物线﹐则0a =且0b = (5)若0a =且0b =﹐则Γ是一拋物线﹒( )26. 已知()1,2A ﹐()3,1B --﹐()5,5C ﹐:0L x y -=﹐满足下列条件的P 的图形叙述何者正确﹕ (1)0PA PB -=时图形为双曲线的一支 (2)10PB PC +=时图形为椭圆 (3)P 到C 的距离与P 到直线L 的距离相等时为拋物线 (4)15PB PC +=时图形为椭圆 (5)4PA PB -=时图形为双曲线﹒( )27. 下列何者为真﹕ (1)椭圆内接最大面积的矩形﹐此矩形必为正方形 (2)过点()3,4可做2条切线与双曲线221916x y -=相切 (3)过点()0,0可做1条切线与双曲线221916x y -=相切 (4)等轴双曲线的正焦弦长等于贯轴长 (5)若1Γ﹑2Γ互为共轭双曲线﹐又双曲线1Γ的两焦点间的距离为4﹐则2Γ的两焦点间的距离亦为4﹒( )28. 已知等轴双曲线Γ的一条渐近线为0x y +=﹐中心的坐标()1,1-且Γ过点()4,0﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的两渐近线互相垂直 (2)0x y -=为Γ的另外一条渐近线(3)Γ的贯轴在直线1x =上 (4)点()3,1--为Γ的一个焦点 (5)点(1,1-+为Γ共轭双曲线Γ'的一个顶点﹒( )29. 设xy 平面上Γ6=﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的图形可以当成两个拋物线 (2)Γ的贯轴所在直线是两渐近线的角平分线 (3)3410x y -+=是Γ的对称轴 (4)1711,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点 (5)147,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点﹒( )30. 已知双曲线的两条渐近线方程式为20x y +=与20x y -=﹐两顶点的距离为1﹐下列何者可能是此双曲线的方程式﹕ (1)224161x y -= (2)221641x y -= (3)2241x y -= (4)2241x y -+= (5)2241x y -+=﹒三、填充题1. 求拋物线2112y x x =-+-的焦点坐标为____________﹒2. 设双曲线22:1416x y Γ-=﹐P 为其上动点﹐1F ﹑2F 为其两焦点﹐求(1)若15PF =﹐则2PF =____________﹒(2)若19PF =﹐则双曲线上满足此条件的P 点共有____________个﹒ 3. 设k 为实数且2y x kx k =++的图形与直线21y x =+没有交点﹐则k 的范围为____________﹒ 4. 设直线:32L x y k =+与拋物线2:y x Γ=相切﹐则k 值为____________﹒ 5. 已知拋物线顶点()1,2﹐焦点()1,2-﹐则准线方程式为____________﹒6. 求拋物线2134y x x =-++的焦点坐标为____________﹒7. 设椭圆22:14x y Γ+=与直线1:3L y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒8. 双曲线的方程式为229490x y -+=﹐则共轭双曲线的共轭轴长为____________﹒ 9. 椭圆22114x y +=与直线2y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒10. 设L 为过点()1,0-且斜率为m 的直线﹐若L 与拋物线24y x =相交于相异两点﹐则m 的范围为____________﹒11. 双曲线的共轭轴为y 轴﹐贯轴平行x 轴﹐一焦点为()2,2且通过点222,3⎛⎫⎪⎝⎭﹐则其贯轴长为____________﹒12. 拋物线的准线:3L x =﹐焦点()3,0F -﹐则此拋物线方程式为____________﹒ 13. 求椭圆22346850x y x y +-+-=的长轴长为____________﹒14. ()()2241x y x y +-+=的图形为一双曲线﹐其标准式为____________﹒ 15. 双曲线中心为()6,6﹐贯轴平行x 轴﹐贯轴长为10﹐中心至焦点距离为13﹐则(1)其渐近线方程式为____________﹒(2)其共轭双曲线方程式（标准式）为____________﹒ 16. 设一拋物线的顶点为()3,2﹐焦点为()5,2﹐则(1)此拋物线的方程式____________﹒ (2)准线方程式为____________﹒17. 设22:164x y k k Γ+=--（k 为实数）﹐若Γ表一焦点在x 轴上的椭圆﹐则k 的范围为____________﹒18. 曲线222430x xy y x y +++++=与1x y +=-之交点为A ﹑B ﹐则AB =____________﹒ 19. 双曲线()()22211416x y +--=上两点(),m n ﹑(),2m n +﹐则m =____________﹒20.如圖﹐一拋物線鏡滿足方程式22y x =﹐一光線從()5,2平行對稱軸射向鏡面上P 點﹐經反射又射到拋物線鏡面上的Q點﹐則Q 點的坐標為____________﹒21. 椭圆22421610x y x y +--+=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)焦点坐标为____________﹒(3)长轴长为____________﹒ (4)短轴方程式为____________﹒(5)正焦弦长为____________﹒22. xy 平面上三点A ﹑B ﹑C ﹐已知()0,5A ﹐()0,5B -﹐AC =BC =﹐则以A ﹑B 为两焦点且通过C 点的双曲线方程式为____________﹒23. 已知21:45y x x Γ=+-与22:241y x x Γ=-+-交于A ﹑B 两点﹐则直线AB 的方程式为____________﹒24. 若一椭圆的两焦点为()12,3F ﹐()22,3F -﹐长轴长为10﹐试求(1)椭圆的正焦弦长为____________﹒(2)椭圆的方程式为____________﹒ 25.設一光線沿著2y =的直線行進﹐在拋物線22y x =上的兩點B ﹑C 反射（如圖）﹐則CD方程式為____________﹒26. 等轴双曲线Γ的一条渐近线为20x y -=﹐中心的坐标()2,1且Γ过点()3,2﹐则此双曲线Γ的方程式为____________﹒27. 有一拋物线Γ的对称轴为10y +=且准线为1x =若Γ的正焦弦长是12﹐则Γ的方程式为____________﹒28. 已知平面上两点﹐()5,0A -﹐()3,0B ﹐若动点(),P x y 满足﹐则(1)10PA PB +=﹐P 点轨迹为____________﹒ (2)8PA PB -=﹐P 点轨迹为____________﹒29. 设Γ为以()10,0A ﹐()10,0B -为焦点且过(C 的椭圆﹐则(1)Γ的方程式为____________﹒ (2)内接矩形的最大面积为____________﹒ 30.设)4P-为椭圆()222148y x ++=上一点﹐且1F ﹑2F 为椭圆的两焦点﹐12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 31.右圖是一個雙曲線﹐且A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個點中有一為其焦點﹐試判斷其焦點為____________﹒32. 椭圆22:943624360x y x y Γ++++=﹐则Γ的长轴方程式为____________﹒ 33. 过()3,2且与22236x y -=相切的直线方程式为____________﹒34. k 的图形是椭圆﹐则常数k 的范围为____________﹒35. 已知()5,3A -﹐()1,3B --为平面上两点﹐则以A 为顶点﹐B 为焦点的拋物线方程式为____________﹒36. 设双曲线Γ方程式为22491618430x y x y -+++=﹐而1F ﹑2F 是Γ的焦点﹐试回答下列问题﹔(1)两焦点1F 与2F 的坐标为____________﹒(2)若(),P x y 是Γ上的任一点﹐则12PF PF -=____________﹒ (3)两渐近线的方程式为____________﹒37. 设一直线L 与椭圆22312210x y x y ++-+=相切于一点()1,4P -﹐则L 的方程式为____________﹒ 38. 方程式22193x y k k +=--的图形﹐表示椭圆其长轴在x 轴上﹐则k 的范围为____________﹒39.如圖﹐用尺量量看﹐哪一點最有可能是橢圓的焦點﹖答﹕____________﹒ （請填代號）40. 直线20x y t -+=与图形x =t 的范围为____________﹒ 41. 「P 点与()5,0F 之距离」比「P 到直线:80L x +=之距离」多2﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒42. 有一椭圆其一焦点为()2,1-﹐短轴的一端点为()1,4﹐长轴平行y 轴﹐则此椭圆的方程式为____________﹒43. 双曲线方程式为()()2293162144x y ---=﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒ 44. 以()1,1为顶点且通过()3,3A 与()1,3B -的拋物线方程式为____________﹒ 45. P 为椭圆()()221424x y ++-=上一点﹐直线:3412L x y +=﹐则(1)P 到直线L 的最长距离为____________﹒ (2)椭圆对直线L 的正射影长为____________﹒46. 若直线416ax y +=与椭圆221167x y +=相切﹐则a =____________﹒（二解）47. 双曲线的两焦点()12,6F -﹐()22,4F --且通过点()2,4P -﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 48. 平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0和()4,4-且2x y +=为此椭圆的切线﹐则此椭圆的正焦弦长为____________﹒49. 设椭圆22432412240x y x y +-++=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)正焦弦长为____________﹒50. 直线2y x k =+与2513y x x =-+交于两点P ﹑Q ﹐若3PQ =﹐则k =____________﹒51. 设方程式()()2223151x y k k +-+=-+的图形为贯轴平行y 轴的双曲线﹐则k 的范围为____________﹒52. 若方程式22132x y t t +=--的图形为椭圆﹐则t 的范围为____________﹒53. k =图形为一线段﹐k =____________﹒54. 拋物线253y x x =-++的一切线L 且垂直35x y -=﹐则L 的方程式为____________﹒ 55. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()0,3﹑()2,0﹑()4,5-﹐则这拋物线的焦点坐标为____________﹒56. 设22141x y t t +=-+为焦点在y 轴的双曲线﹐则t 的范围为____________﹒57. 双曲线()()2211:1169x y Γ---=﹐试求下列各直线与双曲线Γ的交点个数﹔(1)()3114y x -=-﹔____________个 (2)34y x =﹔____________个 (3)()4113y x -=-﹔____________个 (4)4x =﹔____________个 (5)14y x =﹔____________个﹒ 58. 设一拋物线的对称轴平行于x 轴且过()1,1﹑()3,2﹑()3,1-三点﹐则拋物线方程式为____________﹒59. 双曲线6Γ=﹐则(1)此双曲线的中心点坐标为____________﹒(2)贯轴长为____________﹒60. 设()1,0A ﹐()1,0B -为平面两定点﹐(),P x y 为动点﹐若△PAB 的周长为8且△PAB 的面积为2﹐则22x y +=____________﹒61. 若P 为拋物线2:1y x Γ=-上的动点﹐Q 为圆()22:11C x y +-=上的动点﹐则(1)PQ 的最小值为____________﹒(2)当PQ 有最小值时﹐P 点的y 坐标为____________﹒ 62. 设直线y x k =+与双曲线22412y x -=相切﹐试求(1)切点坐标为____________﹒ (2)定数k 的值为____________﹒63. 平面上双曲线()()2212125144x y -+-=与椭圆()()22212112x y k k-++=+共焦点﹐则k =____________﹒ 64. 已知F 是椭圆的一个焦点﹐1B ﹑2B 是短轴的两个端点且1290B FB ∠=︒﹐1A 是长轴上距离F 较近的一个端点﹐若11A F =﹐则椭圆长轴长为____________﹒ 65. 直线1kx y +=与拋物线28x y =-相切﹐则k =____________﹒66. 等轴双曲线的中心为()7,2且一焦点为()3,2﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 67. 方程式轴是铅垂线且过()0,3﹑()2,1﹑()2,9-三点的拋物线为____________﹒ 68. 直线():12L y m x =++与22416x y -=恰有一交点﹐则m =____________﹒ 69. 请将下列各题填入适当的代号﹔(A)椭圆 (B)拋物线 (C)双曲线 (D)线段 (E)二射线 (F)一射线 (G)无图形 (H)双曲线的一部分(1)14x +的图形为____________﹒(2)5=的图形为____________﹒(3)=____________﹒(4)(),P x y ﹐2cos 22sin cos x y θθθ=⎧⎨=⎩﹐0θπ≤≤﹐P 的轨迹图形为____________﹒(5)(),P x y ﹐2sin cos x y θθ=⎧⎨=-⎩﹐θ为实数﹐P 的轨迹图形为____________﹒70. 已知x ﹑y 为实数﹐1z x yi =+﹐2z x yi =-﹐若126z z +=﹐则动点(),P x y 的轨迹图形方程式为____________﹒71. 已知拋物线的焦点()0,0﹐准线20x y ++=﹐若PQ 为正焦弦﹐P 在第二象限﹐则P 的坐标为____________﹒ 72.如圖所示為坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形﹐另一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過()4,0C 與()4,0D -且皆以y 軸為對稱軸﹐皆以()0,3F -為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩曲線的頂點A ﹑B 的距離AB =____________﹒73. 双曲线22:8x y Γ-=﹐点()1,1A ﹐由A 向Γ作切线﹐则切线方程式为____________﹒74. 已知椭圆的长轴平行x 轴且长轴上一个顶点()2,3到两个焦点1F ﹑2F 的距离分别为4及10若椭圆的中心x 坐标小于2﹐则椭圆的方程式为____________﹒（请化成标准式） 75. 已知椭圆221369x y +=有一弦以()2,1为中点﹐含此弦的直线方程式为____________﹒76. 若双曲线2212:19x y a Γ-=上一点P 到此双曲线两渐近线的距离乘积为3613﹐今有一椭圆2Γ与双曲线1Γ共焦点且短轴长为4﹐则椭圆2Γ方程式的标准式为____________﹒77. 设一个拋物线方程式为28y x =今有一椭圆与拋物线的准线相切且拋物线的焦点为椭圆中心﹐拋物线的顶点为椭圆之一焦点﹐则此椭圆的短轴长为____________﹒78. 已知直线y x k =--是拋物线2350x x y +--=的切线﹐则(1)k =____________﹒(2)切点为____________﹒79. 直线L 与22416x y +=相切且斜率为1﹐若切点为(),a b ﹐则1a b -+之值____________﹒ 80. 设E ﹑F 为椭圆2248x y +=的两焦点﹐设椭圆上一点()1,2A ﹐求EAF ∠的角平分线方程式为____________﹒81. 设3AB =﹐P 点在AB 上且1AP =﹐若A 在x 轴上移动﹐B 在y 轴上移动﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒82. 设拋物线通过()3,0﹑()5,6且其对称轴为1x =﹐则其方程式为____________﹒ 83. (),P x y 在2222142x y -=上﹐则22x y +的最小值为____________﹒84. 设()2,4P 为椭圆22242240x y x y +-+-=上一点﹐且F ﹑F '为椭圆的两焦点﹐则FPF '∠的角平分线为____________﹒85. 设4Γ=﹐则(1)共轭轴的长为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 86.某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最近距離為a 萬公里﹐最遠距離為b 萬公里﹐則 (1)行星位於____________時﹐距太陽的距離恰為a ﹑b 平均值（即距離為2a b+萬公里）﹒ (2)又已知此軌道的正焦弦長為短軸長的35﹐則太陽位置為____________﹒（以上各問題均依圖上所標示參考位置作答）87. 已知拋物线()()2:141x y Γ-=+﹐L 为过点()0,3-与Γ相切的直线﹐其斜率小于0﹐则(1)直线L的方程式为____________﹒(2)切点坐标为____________﹒88. 有一道光线经过()2,6A -沿水平方向前进碰到拋物线2:4y x Γ=上一点P ﹐经反射后通过一点B ﹐已知20PB =﹐求B 点的坐标为____________﹒89. 设圆锥曲线有顶点()2,1﹐焦点()0,0﹐则(1)若为长轴平行于x 轴的椭圆﹐则椭圆方程式为____________﹒ (2)若为拋物线﹐则准线方程式为____________﹒90. 点A 在y 轴上移动﹐点B 在x 轴上移动﹐AB 长度为10﹐P 在AB 上且:2:3AP PB =﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒91. 以(12,1F +﹐(22,1F -为两焦点的椭圆Γ通过点(2Q +﹐则Γ的方程式为____________﹒92. 若双曲线的顶点与焦点分别是椭圆()2294136x y ++=的焦点和顶点﹐则此双曲线的方程式为____________﹒（请化成标准式）93. 拋物线的准线垂直x 轴且过三点()1,0﹑()1,1-﹑()5,1-﹐则此拋物线的焦点坐标为____________﹒94. 设F 与F '为双曲线()()2215:123x y Γ-+-+=上两焦点﹐且有一点P 的坐标为()3,2-﹐试求FPF '∠的角平分线方程式为____________﹒95. 若(),P x y 在椭圆22:440x y Γ+-=上﹐O 为Γ的中心﹐()1,0A 且60POA ∠=︒﹐则PO 长为____________﹒96. 椭圆的对称轴平行于坐标轴﹐一短轴端点为()3,3-﹐一焦点为()6,7-﹐其正焦弦长为____________﹒97. 拋物线的轴垂直于x 轴﹐并通过()1,0-﹑()9,0-﹑()0,18三点﹐则过()1,0-的切线方程式为____________﹒98. 圆锥曲线22:23440x y x Γ---=焦点为1F ﹑2F ﹐若()4,2P 在圆锥曲线上﹐求12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 99. 椭圆()()2221100210021100x y --+=在第一﹑二﹑三﹑四象限内的面积依次为1R ﹑2R ﹑3R ﹑4R ﹐则1234R R R R -+-=____________﹒100. 过()3,2A 且与()()21122x y +=-共焦点﹐共对称轴的拋物线方程式为____________﹒101. 两渐近线为20x y +=﹐20x y -=﹐且一焦点为()的双曲线其共轭双曲线方程式为____________﹒102. 坐标平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0﹑()4,4且y x =为此椭圆的切线﹐则此椭圆的长轴长为____________﹒103. 与椭圆()()2212194x y -++=共焦点且共轭轴长为4的双曲线方程式为____________﹒104. 双曲线2224810x x y y ---+=上一点112⎛⎫+ ⎪⎝⎭到两渐近线的距离乘积为____________﹒105. 坐标平面上的一直线:40L x y -+=与线外一定点()3,3A ﹒今L 上任一点P 与A 的联机段的中垂线与过点P 并垂直L 的直线相交于Q 点﹐则动点Q 所形成曲线的顶点坐标为____________﹒ 106. 已知正焦弦PQ 的两端点分别为()5,1P -﹐()3,1Q --﹐则拋物线方程式为____________﹒107. 设k 为实数﹐若方程式()2211105y x k k++=--为双曲线﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒（有两解）108. 设2212518x y +=上一点P 与两焦点F ﹑'F ﹐夹角为60度﹐求△'PFF 的面积为____________﹒109.如圖﹐有一太陽灶﹐它是由拋物線繞軸旋轉而做成的拋物面﹐開口直徑20公寸﹐開口距底部之深為6公寸﹒試問烤肉盤應置於距離底部____________公寸﹐才能將肉烤熟﹒110. 有一个过原点的等轴双曲线中心为()1,2-﹐其中一条渐近线为238x y -=﹐则双曲线方程式为____________﹒（不用化简乘开）111. 椭圆22191x y +=上两点()0,1A -﹐()3,0B ﹐若()00,C x y 为椭圆上另一点﹐则(1)△ABC 面积的最大值为____________﹒(2)()00,C x y =____________﹒112. 设()1,0A -﹐()0,2B ﹐P 是拋物线24y x =上的动点﹐则△ABP 面积的最小值为____________﹒ 113. 已知两圆221:16C x y +=﹐()222:104C x y -+=﹐若动圆C 与1C ﹑2C 均相切﹐则此动圆C 的圆心轨迹方程式为____________﹒ 114.已知橢圓22194x y +=上兩點P ﹑Q 如圖所示（P ﹑Q 是和x 軸夾角為60︒的直線與橢圓之交點）﹔現在想找出P ﹑Q 的坐標﹐則(1)若使用參數式()3cos ,2sin θθ﹐則對P 而言﹐θ與60︒的大小關係為____________（請填60θ<︒﹐60θ=︒﹐60θ>︒）﹒(2)同樣的﹐對Q 而言﹐θ與120︒的大小關係為____________﹒（請填120θ<︒﹐120θ=︒﹐120θ>︒）﹒115. 拋物线的准线方程式为10x y --=﹐焦点坐标为()1,1-﹐则此拋物线的方程式为____________﹒（以220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=形式表示）116. 设()15,0F -﹐()25,0F 为22:1169x y Γ-=的两焦点﹐若AB 为过2F 的任一焦弦﹐则△1ABF 面积的最小值为____________﹒117. 若一动圆与定圆()()22:314C x y +++=外切﹐且与直线:1L x =相切﹐则此动圆圆心的轨迹方程式为____________﹒118. 某行星绕一恒星之轨道为椭圆形且恒星在其一焦点处﹐据观测﹔此行星与恒星的最近距离为100万公里﹐最远距离为140万公里﹐则此椭圆的正焦弦长为____________万公里﹒ 119. 设圆()22:116C x y -+=﹐()1,0A -﹐()7,0B ﹐则(1)通过A 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒ (2)通过B 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒120. 有一双曲线A 的贯轴方程式是40y +=﹐且点()4,4-是一个焦点；若直线280x y -+=是A 的一条渐近线﹐则A 的方程式为____________﹒ 121. 设椭圆224972x y +=﹐则此椭圆切线斜率为23的切线方程式为____________﹒ 122. 设()5,4A 为平面上一点﹐P 为拋物线212y x =上一点﹐F 为拋物线的焦点﹐则当PF PA +有最小值时﹐P 点坐标为____________﹒123. 设1F ﹑2F 为双曲线221930x y -=的两个焦点﹐且P 为双曲线上一点﹐若12120F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的最短边长度为____________﹒ 124. 已知椭圆与双曲线()22114x y +-=共焦点﹐且椭圆的正焦弦长度等于1﹐则椭圆的方程式为____________﹒125. 在坐标平面上﹐O 为原点﹐1B ﹑2B ﹑3B ﹐……在x 轴上﹐1B 在O 的右边﹐2B 在1B 的右边﹐3B 在2B 的右边﹐……﹐110OB =﹐1230B B =﹐23B B =50﹐1OB ﹑12B B ﹑23B B ﹐……的长度成等差数列﹐分别作正△11OB A ﹑正△122B B A ﹑正△233B B A ﹐……﹐其中1A ﹑2A ﹑3A ﹐……均在第一象限上﹐已知1A ﹑2A ﹑3A ﹐……在一个拋物线上﹐则此拋物线的方程式为____________﹒ 126. 已知一椭圆Γ的两焦点为()3,7F ﹐()'9,1F ﹐若直线2x y +=-为Γ的一切线﹐则Γ的长轴长为____________﹒ 127. 设一曲线方程式为()()()22223341213x y x y +-=-+-﹐则(1)对称轴方程式为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 128. 已知圆()()22:219C x y -++=及两点()2,3A ﹐()0,1B -﹐则(1)过点A 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒ (2)过点B 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒129. 拋物线2:8y x Γ=的焦点为F ﹐P 为Γ上的动点﹐点()4,2A -﹐当PA PF +有最小值时﹐此时P点坐标为____________﹒130. 在图中﹐圆O 的圆心为原点﹑半径为4﹐F 的坐标为()6,0﹐Q 在圓O 上﹐P 點為FQ 的中垂線與直線OQ的交點﹐當Q 在圓O 上移動時﹐求動點P 的軌跡方程式為____________﹒ （化成標準式）131. 椭圆22:4936x y Γ+=﹐则(1)若P 为椭圆Γ上的动点且()3,0A -﹐()0,2B -﹐则△PAB 面积最大值为____________﹒ (2)椭圆Γ的内接正方形面积为____________﹒ 132.台南一中大榕樹旁的長方形草皮裝設有灑水系統﹒其中高為1公尺的噴水管OA 直立於地面（如圖）﹐水自噴嘴A 噴出後呈拋物線狀﹐先向上至最高點後落下﹒若最高點離地面2公尺﹐但A 距拋物線對稱軸2公尺﹐則此噴嘴A 經360度旋轉後﹐可噴灑的草地區域為圓形﹐其直徑約為____________公尺﹒（取整數﹐小數點以下四捨五入）133.图形:x y Γ=100x y ++=的正射影（垂直投影）总长度为____________﹒（注意x ﹑y 范围限制）134. 与y 轴相切且与圆22124360x y x y +--+=相外切的圆其圆心的轨迹方程式为____________﹒135. 若P 点为椭圆2213611x y +=上的一点且P 在第一象限﹒今已知P 到焦点()5,0的距离是72﹐则P 点的坐标为____________﹒136. 双曲线Γ的一渐近线为23x y +=﹐Γ过()6,3﹑()4,0﹐又其贯轴（顶点联机）平行x 轴﹐则Γ的方程式为____________﹒137. 平面上与圆()2221x y -+=外切且与圆2249x y +=内切之所有圆的圆心﹐所成图形的方程式为____________﹒ 138. 设椭圆6Γ﹐则(1)在第一象限之顶点的坐标为____________﹒(2)又Γ内接矩形中﹐周长最大者﹐其周长为____________﹒139. 在坐标平面上﹐过()1,0F 的直线交拋物线24y x =于P ﹑Q 两点﹐P 在上半平面且2PF QF =﹐则P 的x 坐标为____________﹒140. 平面上有两点()2,5A ﹐()4,1B --﹐P 为椭圆()()2211194x y +-+=上任一点﹐则△PAB 的最大面积为____________﹒141. 若(),P a b 为椭圆22141x y +=上的任一点﹐则(1)23a b -的最小值为____________﹒(2)此时(),a b =____________﹒142. =____________﹒143. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点﹐1F ﹑2F 为两焦点﹐若1260F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的面积为____________﹒144. 与直线:120L x +=相切且与圆22:16C x y +=相切的圆其圆心轨迹方程式为____________﹒ 145. 过()3,0F 的直线交拋物线212y x =于P ﹑Q 两点﹐过P ﹑Q 两点作y 轴垂线﹐分别交y 轴于R ﹑S ﹐若:3:1PF FQ =﹐则梯形PQSR 的面积为____________﹒146. 圆()221:11C x y -+=﹐圆()222:125C x y ++=﹐则(1)若动圆C 和圆1C 外切且与圆2C 内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒(2)若动圆C 同时与圆1C ﹑圆2C 均内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒147. 设k 为一常数﹐已知拋物线Γ=﹐且过点()8,0﹐则Γ的顶点坐标为____________﹒148. 设一拋物线216x y =-﹐焦点F ﹐点()6,5A -﹐若在拋物线上有一点P ﹐使得PA PF +有最小值﹐则(1)P 点的坐标为____________﹒(2)最小值为____________﹒149. 设圆()()22:1236C x y ++-=及圆C 内一定点()3,2A ﹐通过A 点且与圆C 相（内）切的所有圆之圆心的轨迹（即圆心所成的图形）的方程式为____________﹒ 150.已知圓的方程式為()2211x y -+=﹐四邊形OAPQ 為圓內接梯形﹐底邊AO 為圓的直徑且A ﹑O 在x 軸上﹐現有一橢圓以A ﹑O 為焦點﹐且通過P ﹑Q 兩點﹐若1PQ =﹐則此橢圓的短軸長為_____________﹒四、计算题1. 已知一双曲线Γ的两焦点为()2,9F -与()2,3F '--﹐则(1)双曲线Γ方程式为何﹕ (2)Γ的共轭双曲线方程式为何﹕2. 设()()2:122y x Γ-=-﹐一光线沿3y =的直线行进﹐射在Γ上的P 点﹐经反射后又射在Γ上的Q 点﹐试求(1)PQ的方程式﹕ (2)PQ 长度为何﹕3. 自点()2,0作拋物线224y x x =-+的切线﹐试求(1)切线方程式﹒(2)切点﹒4. 下列叙述何者正确﹕(1)方程式222240x y x y k +-++=的图形是一个椭圆的充要条件是3k <﹒ (2)5的图形是一个椭圆﹒(3)椭圆()()22131916x y +-+=的正焦弦长为92﹒5. 已知一双曲线的顶点与焦点分别与椭圆221167x y +=的焦点与顶点相同﹐求此双曲线的方程式﹒6. 下列1～5各小题的方程式图形为何﹕请在(A)～(J)各项中选出对应的图形：(A)没有图形 (B)一线段 (C)一直线 (D)一射线 (E)两射线 (F)两相交直线 (G)双曲线 (H)拋物线 (I)椭圆 (J)双曲线的一支 (1)2248230x y x y ---+=﹒(2)()()()2222112x y x y ⎡⎤-+-=+-⎣⎦﹒10=﹒7=﹒2x =+﹒7. 设拋物线()()()22253122x y x y ⎡⎤-+-=-+⎣⎦﹐则(1)对称轴方程式﹒(2)顶点坐标﹒8. 若椭圆两焦点为)1F ﹐()2F ﹐切线L 为5x y +=﹐求此椭圆方程式﹒9. 已知()222210:x y x y aΓ++=+的图形为拋物线﹐则(1)a =﹕(2)Γ的顶点坐标﹒10. 已知直线2y x k =+与拋物线24y x =相切﹐求(1)k 的值﹒ (2)切点坐标﹒11. 试求过拋物线2432y x x =-+上一点()1,3P 所作的切线方程式﹒12. 设P 为椭圆22916144x y +=上一点﹐且P 到直线:10L x y +=的距离最短﹐求P 点坐标﹒13. 拋物线Γ﹐则(1)准线方程式﹒(2)对称轴方程式﹒(3)焦点坐标﹒(4)顶点坐标﹒(5)正焦弦长﹒14. 双曲线的两焦点()118,1F ﹐()212,1F -﹐有一渐近线的斜率为34﹐求此双曲线的方程式﹒ 15.某彗星的軌道為一拋物線﹐而以太陽為焦點﹐當彗星與太陽的距離為4百萬公里時﹐兩者連線與拋物線的軸成60︒﹐如右圖所示﹒問當彗星與太陽的連線垂直拋物線的軸時﹐兩者的距離為何？16. 在水槽边两点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹐3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭同时作相同的圆形水波﹐图中的实线同心圆代表波峰（连续的波峰相距2单位）﹐虚线同心圆代表波谷（连续的波谷相距2单位）﹒若水槽中遇到来自A ﹑B 两点的波峰同时到达﹐则出现如图中P 点所形成的亮线；但若遇到波峰与波谷同时到达﹐则形成图中暗线的轨迹﹒很明显地﹐AB 的中垂线是中央亮线﹐则(1)离中央亮线最近的第一条亮线（即P 点所在的曲线）所满足的方程式为何﹕(2)在平行AB 且相距10单位处设一屏障（如图）﹐若中央亮线与此屏障的交点是H ﹐最近的第一条亮线与此屏障的交点是Q ﹐则HQ 的距离为何﹕17. 试求下列锥在线点T 的切线T L 与法线N L 方程式各为何﹕(1)28y x =﹐9,62T ⎛⎫⎪⎝⎭﹒ (2)229425x y +=﹐()1,2T -﹒ (3)22235x y -=﹐()2,1T -﹒。
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圆锥曲线小题练习021．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM=2MF,则直线OM 的斜率的最大值为（A）3（B ）23（C）2（D ）12．椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足OAF ∆是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）A1 B．21 D．23．若抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（ ）A ．34B ．32C ．1D ．2 4．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一条直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ，则2121x x y y 为（ ）A 、4B 、-4C 、2p D 、2p -5．如图，1F ，2F 是双曲线1C ：1322=-y x 与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则2C 的离心率是（ ）．A ．31B ．32 C.15D ．52 6．若抛物线mx y =2的焦点是双曲线1322=-y x 的一个焦点，则实数m 等于（ ） A.4± B.4 C.8± D.87．过抛物线22y px =焦点的直线交抛物线于A B 、，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值A ．234p B ．234p - C ．23p D ． 23p -8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线分别交于A 、B两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为3，则双曲线的离心率=e （ ）A.21 B.27 C. 2 D. 39．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率k =（ ）A2 B 22C3D3310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．511．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.12．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．02=±yx B ．02=±y x C ．03=±y x D ．03=±y x13．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（ ） A ．B ．C ．2D ．214．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若01260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．12D ．1315．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 16．已知Ｐ是抛物线xy 42=上的一个动点，则点Ｐ到直线1243:1=+-y x l 和02:2=+x l 的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．417．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：22213x y a +=1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．34B ．1C ．2D ．4 18．设12F F 是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．34 B ．23 C ．12D ．4519．椭圆22186x y +=上存在n 个不同的点12,,...,n P P P ，椭圆的右焦点为F 。
数列{}n P F 是公差大于15的等差数列，则n 的最大值是（ ） A.16 B.15 C.14 D.1320．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=， 点,A B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从A 点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最长路程是（ ）A.20B.18C.16D.1421．已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM ∆的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．1622．我们把离心率e =的椭圆叫做“优美椭圆”。
设椭圆22221x y a b+=为优美椭圆，F 、A 分别是它的右焦点和左顶点，B 是它短轴的一个端点，则ABF ∠等于（ ） A.600B.750C.900D.120023．在椭圆22142x y +=上有一点P ，21,F F 是椭圆的左、右焦点，12F PF ∆为直角三角形，则这样的P 点有（ ）A.3个B.4个C.6个D.8个 24．若点P 在2y x =上，点Q 在()2231x y +-=上，则PQ的最小值为（ ）A.31- B.1112- C.2 D.1012- 25．已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。
若12PF F ∆的面积为9，则b =（ ）.A ．3B ．6C ．33 D ．2326．设P 是椭圆22194x y +=上一动点，F 1,F 2分别是左、右两个焦点则 12cos F PF ∠的最小值是（ ）A. 12B. 19C.19-D. 59-2221x y +=10x y +-=,P Q M PQ OM k =2-22-22228．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A 、3B 、11C 、22D 、1029．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPFIPF IF FS S S λ∆∆∆=+， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 30．设M 为椭圆221259x y +=上的一个点，1F ,2F 为焦点,1260F MF ∠=，则12MF F ∆的周长和面积分别为 （ ）A.16，3 B.18，3 C.16，33 D.18，3331．已知点12,F F 分别是双曲线22:3C x y -=的左、右焦点，若点P 在双曲线C上，且012120F PF ∠=，则2212||||PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20 32．点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA PB m =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．12+ B ．212+ C ．15+ D ．215+ 33．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则k 取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-315-， B ．()11-， C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151， D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛315315-， 34．曲线2221x y +=与直线10x y +-=交于,P Q 两点，M 为PQ 中点，则OM k =（ ）A 2-B 22-C22D235．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A.14B.55 C.12D.5-236．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于,A B 两点，则||||AF BF 的值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．237．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则A ．2B ．3C ．6D ．838．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的左右焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF •的值是（ ）A. m a -B. 1()2m a -C. 22ma -39．点P 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>在第一象限的某点，1F 、2F 为双曲线的焦点.若P在以12F F 为直径的圆上且满足213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A.5 B.2521040．已知点P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，若021=⋅PF PF ，21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．31 B.21 C ．32 D ．3541．已知双曲线E ：22x a –22y b=1（a>0，b>0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是________．42．设抛物线22,2x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为p 的值为_________.43．双曲线3x 2-y 2=3的顶点到渐近线的距离是________. 44．已知双曲线的两条渐近线方程为043=±yx ，则双曲线方程为 ▲ ．45．F 1，F 2是椭圆24x ＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则12PF PF ⋅的最大值是________．46．已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22||||BF AF +的最大值为6，则b 的值是 .47．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 48．已知直线l ：cos sin cos x y θθθ+=与24y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，则11||||AF BF +=___________．49．已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．50．已知直线l 1：4x ﹣3y+16=0和直线l 2：x=﹣1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1的距离为d 1，动点P 到直线l 2的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为51．已知12,F F 是椭圆22175254x y +=的左右焦点，P 是椭圆上一点，若1212F PF FPF =S 3π∠=，52．过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为 ．53．过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q点的坐标为 ．54．已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线1QF 与椭圆相交于点P ，则12QF F ∆与12PF F ∆的面积的比值为______．55．设椭圆的两个焦点F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰Rt △，则椭圆的离心率_____________.56．已知椭圆C ：2213x y +=，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且2AB =，则直线l 的方程为 . 57．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于 .58．直线1y x =-与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB =59．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.60．直线230x y -+=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A,B 两点，且(1,1)P -恰好为AB 中点，则椭圆的离心率为参考答案1．C 【解析】 试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率k 用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值． 2．A 【解析】试题分析：不妨设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限内，则由题意，得()2c A ，代入椭圆方程，得22223144c c a b+=，结合222b a c =-，化简整理，得4224840ca c a -+=，即42840e e -+=，解得1e =，故选A ．考点：椭圆的几何性质．【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 3．D 【解析】 试题分析：设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点到x 轴的距离为122y y +，如下图所示，根据抛物线的定义，有12116y y AB +++≥=，124y y +≥，故1222y y +≥，最短距离为2.考点：抛物线的概念. 4．B.【解析】解： 特例法：当直线垂直于x 轴时，212212(,),(,),4224y y p pp A p B p p x x --==-5．B 【解析】试题分析：由题意知，121|FF FA |4==， 1221212|FA F A |2|F A |2|FA F A |6|FF |4-=∴=∴+==，，，，2C ∴的离心率是4263=，故选B考点：椭圆、双曲线的几何性质. 6．C【解析】双曲线1322=-y x 的焦点坐标是(2,0)，(2,0)-， 抛物线mx y =2的焦点坐标是(,0)4m 所以24m=，或24m =-得8m =± 故选C【考点】抛物线和双曲线的焦点. 7．B 【解析】若直线l 垂直于x 轴，则 ，.=．…（2分）若直线l 不垂直于轴，设其方程为 ，A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）．由．…（4分） ∴=x 1x 2+y 1y 2===．综上，=为定值．…（6分）故选B ． 8．C 【解析】试题分析：双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为x aby ±=，准线方程为1-=x ，又31212=⨯⨯⨯=∆ab S AOB ，即3=a b，∴2223a a c =-，解得2==a c e .考点：双曲线、抛物线的性质. 9．B【解析】本题考查直线和抛物线的综合应用。