小学四年级奥数 第42讲：格点与割补
四年级奥数专题 格点与面积(学生版)
学科培优数学“格点与面积”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点比较简单,首次引入面积这个概念,主要是培养学生对图形面积的感觉与认识。
【授课批注】在开始讲解面积这个概念之前可适当复习有关图形周长的概念,帮助学生区分周长和面积。
知识梳理格点图形的概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
a)正方形格点正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形b)三角形格点所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【授课批注】讲解格点图形概念的时候最好能借助诸如钉子板之类的道具,提高教学的形象性,更容易让学生理解,加深印象。
【重点难点解析】1．方形格点与三角形格点面积的特点2．格点图形的分割与拼补【竞赛考点挖掘】1．两种格点图形的基本面积计算2．格点图形面积的等量变形例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图形哪些是格点多边形？【试题来源】【题目】如右图,计算各个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】如右图（a）,计算这个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【试题来源】【题目】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【试题来源】【题目】如图“乡村小屋”的面积是多少？【试题来源】【题目】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？习题演练【试题来源】【题目】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【试题来源】【题目】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【试题来源】【题目】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?【试题来源】【题目】右图是5×5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是______平方厘米.【试题来源】【题目】如图,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图（a）,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形,计算四边形ABCD 的面积.【试题来源】【题目】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【试题来源】【题目】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米.那么,三角形ABC 的面积是_____平方厘米【试题来源】【题目】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图l图2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【试题来源】【题目】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】求下列各个格点多边形的面积【试题来源】【题目】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.【试题来源】【题目】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.【试题来源】【题目】右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?【试题来源】【题目】将图中的图形分割成面积相等的三块.。
第二讲 格点与割补
格点与面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22S N L=⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．例1：计算下列各图的面积。
总结：面积=(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）例2：判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶例3：如图，计算各个格点多边形的面积．例4：求下列各个格点多边形的面积．例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．⑵⑴⑷⑶H GFED C BA例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形, 的面积.试计算ABC例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.例11：.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为cm,试求图中三角形DEF的面积.12例12：图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的面积。
(完整版)小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑹⑸⑷【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P P M F EDCBA【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．。
四年级奥数第42讲格点与割补例题
格点多边形：多边形的边必须是线段，顶点要在格点上。
【例1】(★★★)计算下图面积并完成表格。
(每个小正方形面积是1)【例2】(★★★)计算下面各图形面积。
(每个小 方形面积是正1)图1 图2 图3图1 图 2 图3【例3】(★★★)【例4】(★★★)计算图下面各形面积。
(每个小正三角形面积是1)计算下面各图形面积。
(每个小角形面积是正三1)加油站格点与割补一 什么是格点多边形？张由水平线和垂直线组成的方格纸 ， 我们 把水平线和垂直线的交点称为“格点”。
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为 “面积单位”。
下面哪个图形是格点多边形？火眼金睛图 1 图 2 图 3图1 图2 图1 图2【例5】(★★★)【例6】(★★★★★)第十三届中环杯四年级决赛如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形四条边的三等分点。
两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其已知正方形EFGH的面积是10平方米，那么正方形ABCD的面积是多少？中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是（）平方厘米。
【例7】(★★)【例8】(★★★)（1）把一个正三角形分成形状大小都相同的4部分。
（2）把一个正三角形分成形状大小都相同的9部分。
正六边形A B CDEF的面积是240方厘米。
M是A B点N是C D点平中，中，P是E F中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？A FM PB EC DN【例9】(★★★★)。
格点与割补
趣味数学
• 体育运动会授奖台的图形如下，你能否 只剪一刀，把它拼成一个正方形？
基础热身
• 1.有一块长方形麦地，长200米，宽50 米，这块麦地的面积有多少公顷？
• 2.某乡沿江种植一个长15千米，宽8米的 林带，如果每公顷植树2000棵，这个林 带共植树多少棵？
知识导学
• 这一讲我们来研究借助格点计算图形面积的方 法.
• （1）数格子 • （2）合理分割法：把图形分割成若干个可直
接计算面的规则图行 • （3）扩展法：把图形先扩展成易算面积的规
则图形，在减去扩展的部分 • （4）毕克公式：若N表示内部的格点数，L表
示边界上的格点数，S表示面积。
知识导学
• 正方形格点： • S＝N＋L÷2－1 • 三角形格点： • S＝（N＋L÷2－1）×2
• （1）多边形内包含的格点数有7个，多 边形周界上的格点数是7个，所以面积 是2×7＋7－2＝19（面积单位）
• （2）多边形包含的格点数有8个，多边 形周界上的格点数是5个，所以面积是 2×8＋5－2＝19（面积单位）
一题一练
• 下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求 出它的面积。
• （图见课本29页“课堂练习 ”）
一题一练
• 计算下例题各多边形的面积（点与点之 间的距离都是1厘米）
• （图见课本26页“课堂练习”）
• 例4. 在下图中有21个点，每相邻三点 构成一个单位面积的等边三角形，计算 三角形ABC的面积
A
C
B 图1
• 方法一：（图2）三角形ABC的面积是：
• 25－3－4－8＝10（面积单位）
•.
例1：计算下图中各图形的 面积.
小学数学奥数测试题-格点与割补2015人教版
21．正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
22．如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．
23．如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算 ABC的面积．
24．求下列各个格点多边形的面积．
25．如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
参考答案
1．8
【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个．
故可以组成 (个)正方形．
3．（1）
【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．
4．16,15,10,15,12,18
【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．
方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是 (面积单位)；
(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：
3×2=6(个) 1×2=2(个)
所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．
2．20
【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如下图)．
的正方形：9个； 的正方形：4个； 的正方形：1个；
以 正方形对角线为边长的正方形：4个；以 长方形对角线为边长的正方形：2个．
(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：
① ② ③
底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为2
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版-最新教育文档
7．分别计算图中两个格点多边形的面积．
8．我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
9．右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积．
10．右图中每个小正格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（ ）平方厘米．
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。3．判断下列图形哪些是格点多边形？
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。
(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
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格点与割补
什么是格点多边形？ 一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们 把水平线和垂直线的交点称为“格点”。 水平线和垂直线围成的每个小正方形称为 “面积单位”。
格点多边形：多边形的边必须是线段，顶点要 在格点上。
火眼金睛 下面哪个图形是格点多边形？
图1
图2
图3
【例1】(★★★) 计算下图面积并完成表格。(每个小正方形面积是1)
图1
图2
图3
【例2】(★★★) 计算下面各图形面积。(每个小正方形面积是1)
图1
图2
图3
1
【例3】(★★★) 计算下面各图形面积。(每个小正三角形面积是1)
图1
图2
【例4】(★★★) 计算下面各图形面积。(每个小正三角形面积是1)
图1
图2
【例5】(★★★)
【例6】(★★★★★)第十三届中环杯四年级决赛
【例8】(★★★) 正六边形ABCDEF的面积是240平方厘米。M是AB中点，N是CD中点， P是EF中点。问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
A
F
M
P
B
E
C ND
【例9】(★★★★) 如图，正六边形的面积为54平方厘米， 阴影三角形的三个顶点分别为 六边形各边的三等分点。那么阴影部分的面积是多少?
主要公式
பைடு நூலகம்
• 正方形格点：S＝N＋L÷2－1
本
• 三角形格点：S＝2N＋L－2
讲
主要方法:单位元分割
总 结
• 正方形、等腰直角三角形家族 • 正六边形、正三角形家族
重点例题 • 例1，例3，例6，例7，例8
3
如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形四条边的三等分点。 已知正方形EFGH的面积是10平方米，那么正方形ABCD的面积是多少？
两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其 中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是（ ）平 方厘米。
2
【例7】(★★) （1）把一个正三角形分成形状大小都相同的4部分。 （2）把一个正三角形分成形状大小都相同的9部分。