角的相关计算和证明
三角形角度问题知识点总结
三角形角度问题知识点总结一、三角形内角的性质1. 三角形内角和三角形的内角和是180度。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个性质是三角形内角计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形内角相关的问题。
2. 等腰三角形内角在等腰三角形中，两个底边的角相等，即∠A = ∠B。
由于我们知道三角形的内角和是180度，在等腰三角形中，我们可以根据这个性质来计算另外一个角的度数。
3. 直角三角形内角在直角三角形中，有一个角是直角，即90度，其他两个角的内角和是90度。
我们可以利用这个性质来计算和证明直角三角形的相关问题。
4. 三角形内角之间的关系在三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。
例如，其中一角大于其他两角的和。
我们可以利用这些关系来解决一些与三角形内角之间的大小关系相关的问题。
二、三角形外角的性质1. 三角形外角和三角形的外角和等于360度。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的外角和：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°这个性质是三角形外角的计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形外角相关的问题。
2. 三角形外角与对应内角的关系在三角形中，一个外角的度数等于与之相对的两个内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C。
这个性质是三角形外角与内角之间的重要关系。
三、三角形角度计算和证明1. 三角形内角计算在计算三角形的内角时，一般可以通过已知的内角和性质来进行计算。
例如，根据等腰三角形的性质来计算等腰三角形的内角，或者利用直角三角形的性质来计算直角三角形的内角。
2. 三角形内角大小比较在比较三角形的内角大小时，可以利用三角形内角之间的关系来进行比较。
例如，我们可以通过比较三角形内角之间的关系来判断一个角是否大于另外一个角。
3. 三角形外角计算和证明在计算三角形的外角时，一般可以通过已知的外角和性质来进行计算。
和角差角公式范文
和角差角公式范文角、差角公式是解决三角函数中角的和与差问题的一组重要公式。
它们在三角函数的求解、三角恒等式的推导以及计算复杂角度的值时非常有用。
下面将详细介绍角、差角公式。
角公式：在三角函数中，给定两个角A和B，它们的和角公式可以表示为：1.正弦和差角公式：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B这个公式可以根据三角函数在单位圆上的定义来得到。
将A和B分别看作是单位圆上两个点的弧度表示，那么A ± B就是通过将A和B限制在单位圆上，然后找到相应的点，其弧度表示为A±B。
由于sin和cos 函数都是根据单位圆上的点坐标来定义的，所以可以使用单位圆来推导角公式。
2.余弦和差角公式：cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B这个公式也可以通过将A和B限制在单位圆上推导得到。
3.正切和差角公式：tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)这个公式可以通过将正弦和余弦公式相除来得到。
差角公式：差角公式是角公式的一种特殊情况，当角B等于角A时，即B=A时，差角公式可以写为：1.正弦差角公式：sin (A - A) = sin A cos A - cos A sin Asin^2A - cos^2A = sin^2A - (1 - sin^2A) = 2sin^2A - 12.余弦差角公式：cos (A - A) = cos A cos A + sin A sin Acos^2A - sin^2A = cos^2A - (1 - cos^2A) = 2cos^2A - 13.正切差角公式：tan (A - A) = (tan A - tan A) / (1 + tan A tan A)0/1=0差角公式的特殊性在于，由于角A和角B相等，所以它们的正弦、余弦和正切值必须相等。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它由三条边和三个内角组成。
在研究三角形的性质时，内角和定理是一个非常基础且重要的定理。
接下来，本文将对三角形的内角和定理进行详细的介绍和论述。
1. 内角和定理的数学表述内角和定理是指：任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
数学表达式为：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 内角和定理的证明要证明内角和定理，可以使用几何推理和数学推导。
这里以几何推理为例进行证明。
假设有一个三角形ABC，作三角形的高AD，将三角形分成两个直角三角形ABD和ACD。
由于直角三角形ABD的内角和为90度，直角三角形ACD的内角和也为90度。
而三角形ABC的内角和等于直角三角形ABD和ACD的内角和之和，即∠A + ∠B + ∠C = 90° + 90° = 180°。
因此可以得出结论，任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
3. 内角和定理的应用内角和定理是解决三角形相关问题的基础。
它常常被用于以下几个方面：3.1 判断三角形类型根据内角和定理，可以判断三角形的类型。
例如，如果一个三角形的三个内角之和为180度，则可以确定这是一个普通三角形。
如果三个内角之和小于180度，则是一个锐角三角形；如果三个内角之和大于180度，则是一个钝角三角形。
3.2 计算已知内角求未知内角当已知两个内角的度数时，可以利用内角和定理求出第三个内角的度数。
例如，已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，可以通过内角和定理计算出第三个内角的度数为180° - 60° - 80° = 40°。
3.3 解决平行线与三角形的问题在研究平行线与三角形的关系时，内角和定理也是一个重要工具。
例如，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的两个内角和为180度。
4. 总结三角形的内角和定理是初中数学中的基础概念之一，它在解决三角形相关问题时起着重要的作用。
三角恒等式
三角恒等式三角恒等式是初等数学中的一个重要内容，它们是与三角函数相关的等式，常用于简化三角函数的计算和证明。
三角函数是研究角的函数，主要有正弦、余弦、正切等。
在三角函数中，常常需要用到一些三角恒等式，以便将复杂的表达式简化成更简单的形式。
下面将介绍几条常用的三角恒等式。
1. 正弦函数的三角恒等式对于任意角θ，有以下正弦函数的三角恒等式：sin(−θ)=−sin(θ)正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-θ)等于-sin(θ)。
这是因为正弦函数是单位圆上角的对应边与斜边的比值，而这个比值在不同象限是相反的。
2. 余弦函数的三角恒等式对于任意角θ，有以下余弦函数的三角恒等式：cos(−θ)=cos(θ)余弦函数具有偶函数的性质，即cos(-θ)等于cos(θ)。
这是因为余弦函数是单位圆上角的邻边与斜边的比值，而这个比值在不同象限是相同的。
3. 正弦函数与余弦函数的平方和恒等式对于任意角θ，有以下正弦函数与余弦函数的平方和的三角恒等式：sin2(θ)+cos2(θ)=1这是三角函数中最基础的三角恒等式之一，称为勾股定理。
这个恒等式也可以表示为单位圆上角的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。
这个恒等式是很多三角函数相关推导的基础。
4. 二倍角公式对于任意角θ，有以下二倍角的三角恒等式：sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)二倍角公式是用于计算角的两倍的表达式，对解题和推导非常有帮助。
通过这些公式，可以简化计算和证明的过程。
结语三角恒等式是三角函数中的重要内容，它们在数学研究和应用中扮演着重要的角色。
通过熟练掌握这些三角恒等式，可以更加灵活地处理复杂的三角函数表达式，简化计算过程，推导新的结论。
希望本文介绍的几个常用的三角恒等式对你有所帮助。
角的计算与证明
1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°典题精练思路导航知识互联网角的计算与证明题型一：余角、补角及角分线的简单运算DOECBA⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1()2αβ∠-∠．正确的有（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【解析】 ⑴ C ；同角或等角的余角相等；⑵C ；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B ；⑷ 设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，由题意，得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒，解得：36x =︒．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）A ．钝角与锐角的差不可能是钝角B ．两个锐角的和不可能是锐角C ．钝角的补角一定是锐角D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角 【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C.【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）A ．108°，72°B ．95°，85°C ．108°，80°D ．110°，70°⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠【解析】⑴ B ；⑵ A ；⑶B ；⑷C. 【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒A B C OFE D CBANMAB C DOA C D E图2图1F⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°(东城区期末）⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .【解析】 ⑴ C ；⑵ A ；⑶22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒．【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来.【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠∴12MOC AOC ∠=∠∵ON 平分AOC ∠∴12NOC BOC ∠=∠∵()1122MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠35MON ∠=° ∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变 当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠． 当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.NMABOC【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠；②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，若2(60)3nBOD ∠=-︒ ，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）． 图2图1ABOEF CC FEO B A【解析】 ①设COF α∠=，则90EOF α∠=︒-，∵OF 是AOE ∠平分线， ∴90AOF α∠=︒-，∴(90)902AOC ααα∠=︒--=︒-，180BOE COE AOC ∠=︒-∠-∠ 18090(902)α=︒-︒-︒- 2α=即2BOE COF ∠=∠； ②解：成立，设AOC β∠=，则902AOF β︒-∠=， ∴145(90)22COF ββ∠=︒+=︒+， 180BOE AOE ∠=︒-∠ 180(90)β=︒-︒- 90β=︒+∴2BOE COF ∠=∠； ③解：180DOE BOD AOE ∠=︒-∠-∠ 2180(60)(90)3nn =︒--︒-︒-︒ 5(30)3n =+︒，故答案为：5(30)3n =+︒．AB C DO 图1图2A B CDO A BCDO图3图4A BCD O定 义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．B 'BAO角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线OA ，从点O 再引两条射线OB 与OC ，使40AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，则AOC ∠= ．⑵ 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为 ．⑶ 若170AOB ∠=︒，70AOC ∠=︒，60BOD ∠=︒，求COD ∠的度数．【解析】 ⑴ 20︒或60︒；⑵ 当OC 在⑴区域，所求的角度数为4︒；当OC 在⑵区域，所求的角度数为100︒； 当OC 在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角）⑶分四种情况如图1，COD ∠=40AOB AOC BOD ∠-∠-∠=︒ 如图2，COD ∠=160︒如图3，COD ∠=180︒如图4，COD ∠=60︒典题精练题型二：角度计算中的分类讨论5()4()3()2()1()O角平分线BA东北西南东南西北东西南北【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n 条射线所得的角的个数．【解析】 3,6，10，(1)(2)2n n ++ 【拓展】已知直角AOB ∠，以O 为顶点，在AOB ∠的内部画出100条射线，则以OA 、OB 及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O 为项点，在AOB ∠的内部画出n 条射线（1n ≥的自然数），则OA 、OB 以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】 200个，2n【提示】在AOB ∠的内部，以O 为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n 条射线所构成的锐角的个数．1. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围090α︒︒≤≤. 2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转6︒ ⑵ 时针每分钟转0.5︒【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误．．的是（ ） A ．OA 的方向是北偏西15°B ．OB 的方向是南偏西45°C ．OC 的方向是南偏东60°D ．OD 的方向是北偏东60°（西城区期末）典题精练思路导航题型三：角的综合应用60°75°45°30°北南西东O DCBA7654 3 2 1⑵ 如左下图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则AOC DOB ∠+∠= ．⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．① 如图1，若20AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图2，若30AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图3，若50AOD ∠=°，则COB ∠= °② 如图4，若AOD α∠=，猜想COB ∠与α的数量关系为： （用式子表示）, 证明你的结论．【解析】 ⑴ D ；⑵利用对称性得315︒； ⑶180︒；⑷ ①160︒，150︒，130︒． ② 180COB α∠=︒-．证明：90COD ∠=︒,90AOB ∠=︒,AOD α∠= ∴90AOC α∠=︒-, 90BOD α∠=︒-∴COB AOC AOB ∠=∠+∠ 9090180αα=︒-+︒=︒-．图1CAD BO 20︒图2ABCD30︒图3CADBO 50︒图4AOBDCα∠AOB 是平角直线是平角∠CAB ∠ABC B O A B A B A CC B A【例7】 饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问韩老师外出多少分钟？【解析】 钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格6︒，秒针每分钟转过360︒，分针每分钟转过6︒，时针每分钟转过0.5︒． 设小明外出时，时间为6点x 分，又设小明回家时是6点y 分． 由题意得18060.590x x -+=°°，61800.590y y --=°°，解得41611x =，14911y =148491632111111y x -=-=．【备选】⑴α∠,β∠都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1()6αβ+的结果依次为50︒，26︒，72︒，90︒，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（ ） A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁⑵已知α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算()115αβγ++的值时，有三位同学分别计算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则αβγ++=______. 【解析】 ⑴ A ；⑵345．因为90360αβγ︒<++<︒，故()162415αβγ︒<++<︒，所以三个结果中23︒是正确的，所以1523345⨯=．训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ⑵把20.3°换算成度、分、秒的结果是 ． ⑶用度表示 722342'''︒= ； ⑷计算 3216'25''47825'︒⨯-︒=____________. ⑸计算 157435'︒÷= ．【解析】 ⑴B ；⑵2018'°；⑶72.395︒；⑷504040'''︒；⑸ 313236'''. 思维拓展训练（选讲）训练2. 如图，90AOB ∠=°，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，EOF ∠比COD ∠的4倍少28°，则COD ∠= （精确到秒）OFED CBA【解析】 205126'''︒．训练3. 从下午13：00到当天下午13:50，时钟的分针转过的角度为 度．（西城区期末）【解析】 300．训练4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，且∠AOD ＝90°．⑴ 图中∠COD 的余角是 ； ⑵ 如果∠COD =2445'︒，求∠BOD 的度数．【解析】 ⑴AOC ∠，BOC ∠；⑵解：902445'6515'AOC AOD COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 因为OC 是AOB ∠的平分线，所以213030'AOB AOC ∠=∠=︒． 所以6515'2445'4030'BOD BOC COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．题型一 余角、补角及角分线的简单运算 巩固练习【演练1】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【解析】 设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-，(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒，所以60x =︒， 所以这个角的余角的度数为30︒．【演练2】 如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角； ⑵ 求出BOD ∠的度数； ⑶ 请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠．复习巩固OE D C BAO DC B A【解析】 ⑴ 图中共有9个小于平角的角；⑵ 155︒；⑶180180902565BOE DOE AOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，902565COE ∠=︒-︒=︒，所以BOE COE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠．题型二 角度计算中的分类讨论 巩固练习【演练3】 已知100AOB ∠=°，50BOC ∠=°，求AOC ∠的度数.【解析】 AOC ∠等于50°或150°．【演练4】 已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线，85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【解析】 注意分情况讨论，容易得到答案：4324'︒或12636'︒．题型三 角的综合应用 巩固练习【演练5】 如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB 的反向延长线.若OC 是AOD ∠的平分线，则BOC ∠的度数为____________，OC 的方向是________________.【解析】 117.5︒；北偏东77.5︒．【演练6】 钟表在8点30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ） A ．60° B ．70° C ．75° D ．85°（顺义区期末）【解析】 C ．DC BAO北西南东。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
初一上册角的计算
初一上册角的计算
首先，我们需要了解角的基本概念和性质。
角是由两条射线从一个公共端点开始并延伸到无限远所形成的几何图形。
角的大小是由这两条射线之间的夹角来决定的，通常用度数来表示。
假设我们有两个角，角A和角B。
角A的大小是30°，角B的大小是45°。
我们可以使用加法和减法来计算这两个角的和或差。
例如，角A和角B的和可以表示为：30° + 45° = 75°。
角A和角B的差可以表示为：45° - 30° = 15°。
我们也可以使用角的补角来计算一个角的大小。
补角是两个角的和等于180°。
例如，如果一个角是x°，那么它的补角就是180° - x°。
角A和角B的和是：75°
角B和角A的差是：15°
角A的补角是：150°。
人教版数学七年级上册第16讲 角的证明与相关计算
第16讲 角知识导航1．角的有关概念及表示法； 2．角的比较与运算； 3．余角与补角【板块一】角的有关概念及表示法方法技巧1．角的定义有静态和动态定义两种．2．角的顶点处有多个角时一般采用三个字母表示或数字表示法或希腊字母表示法．3．度，分，秒的换算是60进制，高级向低级转化，每级变化乘60，低级向高级单位转化每级除以60． 4．钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针速度为每分钟6°．题型一 角的定义及其表示法 【例1】下列说法中，正确的是( )A ．两条射线组成的图形叫做角B ．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C ．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形D ．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【例2】如图，下列关于角的说法中，错误的是( )A ．∠1与∠AOB 表示同一个角 B ．∠AOC 也可以用∠O 来表示 C ．∠β表示的是∠BOCD ．图中共有三个角：∠AOB ，∠AOC ，∠BOC题型二 角的计数问题【例3】如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有多少个角?画2条射线，图中共有多少个角?画3条射线，图中共有多少个角?画n 条射线，图中共有多少个角?题型三 角的单位及其换算 【例4】度,分，秒的计算①56°18′＋72°48′＝ ； ②131°28′－51°32′15″＝ ; ③12°30′20″ 2＝ ;④12°31′21″ 3＝题型四 钟面上角的特征【例5】钟表上在2时和3时之间(包括2时,3时)分针和时针有多少次夹角为90°的机会?求出此时对应的时间.β1OC BA针对练习11.如图所示，下列说法情误的是( )A .∠DAO 就是∠DACB .∠COB 就是∠OC .∠2就是∠OBCD .∠CDB 就是∠1第1题图 第3题图 第6题图 2.下列语句正确的是( )A .一条直线可以看成一个平角B .周角是一条射线C .角是由条射线旋转而成的D .角是由公共端点的两条射线组成的图形 3.如图，以O 为顶点且小于180”的角有( )A .7个B .8个C .9个D .10个4.下列式子中错误的是( )A .38.78°＝38°46′48″B .50°42′＝ 50.7°C .98°45′＋2°35′＝101°20′D .108°18′－57°23′＝51°55′ 5.钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是( )A .65°B .75°C .85°D .90°6.如图，∠1还可以用什么方法表示?若∠1＝62°9′36″，那么62°9′35″等于多少度?7.计算:（1）48°39′＋67°31′－21°17′；（2）23°53′ 3－107°43′ 5.8.钟面角是指时钟的时针与分针所成的角。
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角的相关计算和证明
一、填空题(共3道，每道3分)
1.已知线段AB=10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C且BC=7cm，则线段DC=____cm．
2.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=____度．
3.如图，一副直角三角板中，∠A=60°，∠D=45°，在同一平面内，将∠A和∠D的顶点重合、边AC和边DF重合，可以得到∠BAE，则∠BAE的度数为____．
二、解答题(共2道，每道6分)
4.如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM=度．
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是秒．
5.（点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合，则此时∠MOC=；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3的位置，且∠CON=，求∠NOB的
度数．。