角的相关计算和证明(讲义)
角和余角补角-讲义(教师版)
角和余角补角一、课堂目标1.掌握角的定义和表示，会比较角的大小．2.理解角平分线的定义，能正确完成角度的相关计算和换算．3.理解余角补角的定义与性质，能正确完成余角补角的相关计算．【备注】【目标解读】a.关联知识：本讲属于初中数学——几何初步这个模块，学好本讲知识将在后面的几何知识学习中帮助学生完成角的计算或数量关系的确定；本讲知识在阶段性考试中属于必考内容.b.本讲解读：本讲重点内容是角的相关计算，请教师通过【经典例题】的讲解来展示角度计算的思路和完整的解答过程，并在后面的【题目练习】中重点关注学生解题过程的书写；本讲的难点内容是：余角补角的性质，请教师先讲解余角补角性质、再展示直接运用性质完成计算或确定数量关系.c.能力素养：主要培养学生的几何直观能力和计算能力.二、知识讲解1. 角的概念及运算角的概念从静的角度认识角从动的角度认识角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．角的表示方法角的表示三个大写字母一个大写字母数字小写希腊字母或【备注】【教学建议】提醒学生注意：①用三个大写字母表示时，表示顶点的字母必须写在中间．其他两个字母可以调换位置，如图也可记为，但不能写成或等．②用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③当在一个顶点处有两个或两个以上的角时，其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示．④在角的内部靠近顶点处画弧线，用单独的一个数字来表示．⑤用同一个数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角．经典例题1A.就是B.可以用表示C.和是同一个角D.和不是同一个角A 选项：B 选项：【解析】如图所示，下列说法中正确的是（ ）．【答案】B 是单独一个角，不明确，故错误；，故正确；C 选项：D 选项：【标注】与是两个不同的角，故错误；与是同一个角，故错误．故选 B .【知识点】角的表示方法思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A.与表示同一个角B.表示的是C.也可用表示D.图中共有三个角，，【标注】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）．【答案】C【知识点】角的表示方法角的换算与大小比较以度、分、秒为基本单位的角的度量值，叫做角度值．①把一个周角等分，每一份就是度的角，记作．②把的角等分，每一份就是分的角，记作．③把的角等分，每一份就是秒的角，记作．，，．，，．周角，平角．【注意】由大化小乘以进率，由小化大除以进率经典例题2A.B. C.D.【解析】【标注】若，，，则有（ ）．【答案】C ∵，，∴，∵，∴，∴．故选．【知识点】角的大小比较思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习21.【标注】【答案】【能力】运算能力【知识点】角度换算A.一定大于B.一定小于C.一定等于D.可能大于、等于或小于2.已知是直线上一点（点在点、之间），是一条射线，则与的大小关系是（）．。
《圆周角》 讲义
《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
需要注意的是，角的顶点必须在圆上，角的两边必须与圆相交。
为了更好地理解圆周角的定义，我们来看几个例子。
比如，图中∠AOB 不是圆周角，因为顶点 O 在圆心而不在圆上；而∠ACB 是圆周角，因为顶点 C 在圆上，且两边 CA、CB 都与圆相交。
二、圆周角定理圆周角定理是我们研究圆周角的重要依据，其内容为：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
为了证明这个定理，我们可以分三种情况进行讨论。
第一种情况，当圆心O 在圆周角∠BAC 的一边上时，如图1 所示。
因为 OA=OC，所以∠A=∠C。
又因为圆心角∠BOC 是∠A 的两倍，所以∠A ＝ 1/2∠BOC。
第二种情况，当圆心 O 在圆周角∠BAC 的内部时，如图 2 所示。
连接 AO 并延长交圆于点 D。
由第一种情况可知：∠BAD ＝ 1/2∠BOD，∠CAD ＝ 1/2∠COD。
所以∠BAC ＝ 1/2(∠BOD ＋∠COD) ＝ 1/2∠BOC。
第三种情况，当圆心 O 在圆周角∠BAC 的外部时，如图 3 所示。
连接 AO 并延长交圆于点 E。
同样由第一种情况可知：∠BAE ＝ 1/2∠BOE，∠CAE ＝1/2∠COE。
所以∠BAC ＝ 1/2(∠BOE ∠COE) ＝ 1/2∠BOC。
综上，无论哪种情况，圆周角定理都成立。
三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角也相等。
这是因为它们都等于所对弧所对圆心角的一半。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
半圆所对的圆心角是 180°，所以半圆所对的圆周角是 90°。
反之，如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦是直径。
四、圆周角的应用圆周角在解决与圆相关的几何问题中有着广泛的应用。
2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】
三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
四年级下册数学奥数讲义-角的分类和角的计算 含答案
角 角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．【例2】 如图．A 、O 、B 在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是( )．A ．21∠2一∠lB ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止．注：概念是数学的基础与出发点，几何的学习贯彻着丰富的概念，为掌握重要的几何概念，应注意以下几点：(1)重视概念的图化，即用田来反映出概念，做到图意相通．(2)图文互译，由图说出概念，由概念的文字叙述画出图，做到会说、会写、会画．(3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】 已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3=21 (∠l 一∠2)．思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．31【例4】 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=21∠EOC ，∠DOE= 72°，求∠EOC 的度数．思路点拨 设∠AOB=x 度，∠BOC= y 度，建立x 、y 的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分之∠BOC ，求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．思路点拨 本例层层设问，由易到难，从特殊入手，观察归纳，发现一般规律，并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题，是一个从模仿到创造的过程，根据条件，结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位，由这两个概念得到的两个等式，是几何问题代数化的桥梁，方程(组)的应用，可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系。
角的计算方法与技巧
角的计算方法与技巧角是平面几何中非常重要的概念，它是由两条射线共同端点所构成的图形。
在实际生活和数学领域中，角的计算方法和技巧是非常重要的，它们被广泛应用在各种问题的解决中。
本文将从基本概念开始，以及角的计算方法和技巧展开讨论。
一、基本概念1.角的定义角是由平面上两条射线共同端点构成的图形，其中这两条射线被称为角的边，它们的共同端点被称为角的顶点。
2.角的记号通常情况下，角的记号是以角顶点为中心标记一个点，然后用这个点的上面加一个角的字母。
3.角的分类按照角的大小，角可以被分为三类：锐角、直角和钝角。
4.角的度量角的度量通常用角度来表示，1个直角等于90度，1个圆周等于360度。
二、角的计算方法1.角的度量单位角的度量单位有度、弧度和梯度。
度是常用的角的度量单位，弧度是物理学和数学上常用的角的单位，梯度则常用于工程和建筑领域。
2.角的度数制在度数制下，角的度数是用箭头表示的角对应的圆周弧长所占圆的半径的百分比。
3.角的弧度制在弧度制下，角的度量是指这个角所对应的圆周上的弧所占整个圆周的比例。
1个完整的圆周等于2π弧度。
4.角的换算在不同的度量单位之间，可以相互换算。
例如，1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。
5.角的运算在数学运算中，角可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，两个角的和等于它们的对应的圆周弧的和所对应的角。
6.角的三角函数三角函数是用角度作为自变量的函数，常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在解决角的计算问题中起着重要的作用。
三、角的计算技巧1.利用三角函数在实际问题中，有时候可以利用三角函数来解决角的计算问题。
例如，在三角形中，可以通过三角函数关系来求解各个角的大小。
2.利用相似三角形相似三角形在角度和边长的比例上具有一定的特点，可以通过相似三角形的性质来计算角的大小。
3.利用角的平分线和高度在一些几何形状中，可以利用角的平分线和高度的性质来计算角的大小，例如直角三角形中的角度。
《角的和差》 讲义
《角的和差》讲义一、角的基本概念在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角通常用三个大写英文字母表示，例如∠AOB，其中 O 为顶点，A 和B 分别为角的两条边。
此外，还可以用一个大写英文字母来表示角，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法。
角也可以用数字来表示，如∠1、∠2 等，或者用一个希腊字母来表示，如∠α、∠β 等。
角的度量单位通常为度、分、秒。
1 度等于60 分，1 分等于60 秒。
二、角的大小比较角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
比较角的大小有以下几种方法：1、度量法：使用量角器测量出角的度数，然后比较度数的大小。
2、叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
三、角的和差1、角的和如果有两个角，∠A 和∠B，它们的和就是把两个角的度数相加，即∠A ＋∠B。
例如，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 40°，则∠A ＋∠B ＝ 70°2、角的差角的差是指用较大角的度数减去较小角的度数。
例如，∠C ＝ 60°，∠D ＝ 20°，则∠C ∠D ＝ 40°3、角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝ 1/2 ∠AOB四、角的和差的实际应用1、在三角形中三角形的内角和为 180°。
如果已知三角形中的两个角的度数，就可以通过角的和差求出第三个角的度数。
例如，在△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，则∠C ＝ 180° 50°60°＝ 70°2、在时钟问题中时钟的表盘被分为 12 个大格，每个大格的角度为 30°（360°÷12 ＝30°）。
线与角的相关计算与证明 (讲义及答案)
线与角的相关计算与证明（讲义）➢课前预习1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是_______________________________________________________________________________________________________．ACB3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做这个角的平分线．4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是_____________________________________________________________________________________________________．ACO B➢知识点睛几何题的处理思路：①读题标注；②走通思路；③条理表达．当角平分线出现时，为了计算方便，通常采用________的方式表达．➢ 精讲精练1. 如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10 cm ，求AB ，CD 的长．F E D CB A2. 如图，同一直线上有A ，B ，C ，D 四点，已知2=3DB AD ，5=2AC CB ，CD =4 cm ，求AB 的长．DC B A3. 如图，已知线段AB =6，C 是AB 延长线上一点，D ，E 分别是AC ，BC 的中点．（1）若BC =4，则DE =__________； （2）若BC =8，则DE =__________；（3）通过以上计算，你能发现AB 与DE 之间的数量关系吗？并说明理由．E D CB A4. 如图，B 是线段AD 上一动点，沿A →D 以2 cm/s 的速度运动，C 是线段BD的中点，AD =10 cm ，设点B 的运动时间为t 秒． （1）当t =2时： ①AB =__________cm ； ②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．B DA C5. 如图，点O ，A ，B 在同一直线上，OC 平分∠AOD ，OE 平分∠FOB ，∠COF =∠DOE =90°，求∠AOD 的度数．FED C BAO6. 如图，点O 在直线AB 上，∠COA =90°，∠DOE =90°，若∠COE =15∠BOD ，求∠COE ，∠BOD ，∠AOE 的度数．OED CBA7. 已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC =40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小；（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？CBA OM N8. 如图，∠AOC 比∠BOC 小30°，∠AOC =50°，OD 平分∠AOB ．（1）求∠DOC 的度数；（2）若去掉条件∠AOC =50°，∠DOC 的度数求得出来吗？若求得出来，是多少？DCBAO9. 如图，已知∠MON =150°，∠AOB =90°，OC 平分∠MOB ．（1）若∠AOC =35°，则∠BOC =__________°， ∠NOB =__________°；（2）若∠NOB =10°，则∠BOC =__________°， ∠AOC =__________°；（3）若∠AOC =α，∠NOB =β，请直接写出α与β之间的数量关系．ABCMNO10. 如图1，∠AOC 与∠BOD 都是直角，∠BOC =50°．（1）∠AOB =_______，∠DOC =_______；（2）若∠BOC 的具体度数不稳定，其他条件不变，∠AOB 和∠DOC 大小关系是∠AOB _______∠DOC ；（3）试猜想∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？（4）当∠BOD 绕点O 旋转到图2位置时，∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？请直接写出．图1DCB A图2O DCBA11. 如图，OC 是∠AOB 内一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线．（1）如图1，当∠AOB =80°时，∠DOE 的度数为_____°；（2）如图2，当射线OC 在∠AOB 内绕点O 旋转时，∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC 在∠AOB 外如图3所示位置时，（2）中三个角：∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由； （4）当射线OC 在∠AOB 外如图4所示位置时，∠BOE ， ∠EOD ，∠DOA 之间的数量关系是________________．EABDO图1CE ABD O图2CEABDO图3CEA BD O图4C【参考答案】 ➢ 课前预习1. 中点2. AC =BC ，BC =AC12AC AB =，12BC AB =AB =2AC ，AB =2BC 3. 射线，射线4. ∠AOC =∠BOC ，∠BOC =∠AOC ，∠AOC =12∠AOB ，∠BOC =12∠AOB∠AOB =2∠AOC ，∠AOB =2∠BOC➢ 知识点睛1. 设元➢ 精讲精练1. AB 的长为12；CD 的长为16；过程略2. AB 的长为3；过程略3. （1）3（2）3（3）12DE AB =；过程略 4. （1）①4；②CD 的长度为3 cm ；（2）EC 的长度不变，为5 cm ，理由略． 5. ∠AOD 的度数为60°6. ∠COE 的度数为30°；∠BOD 的度数为150°；∠AOE 的度数为120°；过程略7. （1）∠MON =45°（2）不发生改变，证明略8. （1）∠DOC 的度数为15°；过程略（2）∠DOC 的度数为15°；过程略 9. （1）55；40（2）70；20（3）1=152αβ+︒10.（1）40°；40°（2）=（3）∠AOD+∠BOC=180°；过程略（4）∠AOD+∠BOC=180°11.（1）40°；（2）∠EOD=∠BOE+∠DOA；（3）（2）中的结论不成立，∠EOD=∠DOA-∠BOE；（4）∠EOD=∠BOE+∠DOA．。
第11讲 角的相关概念和大小比较-2021-2022学年七年级数学上册讲义(机构专用,北师大版)
教师讲义A B CD （4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。
度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。
四、典型例题【例1】在下列说法中，正确的是（ ）①两条射线组成的图形叫做角；①角的大小与边的长短无关；①角的两边可以一样长，也可以一长一短；①角的两边是两条射线．A 、①①B 、①①C 、①①D 、①①【例2】如图所示，下列说法错误的是（ ）A 、①DAO 就是①DACB 、①COB 就是①OC 、①2就是①OBCD 、①CDB 就是①1【例3】下列说法正确的是（ ）A 、平角的始边与终边在一条直线上B 、一条射线是一个周角C 、两条射线组成的图形叫做角D 、两边在一直线上的角是平角【例4】下列对角的表示方法理解错误的是（ ）A 、角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁B 、任何角都可以用一个字母表示C 、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上数字表示D 、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上希腊字母来表示【例5】如图，钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）A 、30°B 、60°C 、75°D 、90°【例6】下图中表示①ABC 的图是（ ）A 、B 、C 、D 、【例7】如图所示，OC ，OD 分别是①AOB ，①AOC 的平分线，且①COD=25°，则①AOB 为（ ）A 、100°B 、120°C 、135°D 、150°【例8】已知点P 和①MAN ，现有四个等式：①①PAM=①NAP ；①①PAN=12①MAN ；①①MAP=①MAN ；①①MAN=2①MAP ，其中一定能推出AP是角平分线的等式有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【例9】现在的时间是9时20分，此时钟面上时针与分针夹角的度数是_________度．【例10】如图所示，直线AB，CD交于点O，OB平分①DOE，若①BOE=40°，则①COE=_________度．【例11】（1）18°15′=_________度，（2）18.15°=_________度_________分_________秒．【例12】分针1分钟转动了_________度的角，15分钟时针转了_________个小格为_________度．【例13】如图所示，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分①AOB ，OE 在①BOC 内，①BOE=12①EOC ，①DOE=70°，则①EOC= _________ 度．【例14】如图所示2×2正方形格中，连接AB ，AC ，AD ，则①1+①2+①3的度数 _________度．【例15】如图所示，已知OE 是①AOC 的平分线，OD 是①BOC 的平分线．（1）若①AOC=120°，①BOC=β，求①DOE ； _________ ；（2）若①AOC=α，①BOC=β（α＞β），求①BOE ． _________ ．【例16】如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则①ABC 等于多少_________度．【例17】如图所示，已知①AOB=90°，①AOC是锐角，ON平分①AOC，OM平分①BOC，求①MON的度数．五、课堂练习1、如图，下列说法：（1）①ECG和①C是同一个角；（2）①OGF和①OGB是同一个角；（3）①DOF和①EOG是同一个角；（4）①ABC和①ACB不是同一个角，其中正确的说法有（）A、1个B、2个C、3个D、①4个2、如图，图中小于180°的角共有（）A、7个B、9个C、8个D、10个3、如图是一块手表，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是（）A、60°B、80°C、120°D、150°4、下列说法正确的个数有（）（1）直线是平角，（2）射线是周角，（3）平角是一条直线，（4）周角是一条直线．A、0个B、1个C、2个D、3个5、下列语句正确的是（）A、由两条射线组成的图形叫做角B、如图，①A就是①BACC、在①BAC的边AB延长线上取一点DD、对一个角的表示没有要求，可任意书定6、下图中，能用①AOB，①O，①1三种方法表示同一个角的图形是（）A、B、C、D、7、已知①α=18°18′，①β=18.18°，①γ=18.3°，下列结论正确的是（）A、①α=①βB、①α＜①βC、①α=①γD、①β＞①γ8、如图所示，如果①AOD＞①BOC，那么下列说法正确的是（）A、①COD＞①AOBB、①AOB＞①CODC、①COD=①AOBD、①AOB与①COD的大小关系不能确定9、如图所示，OC是①AOB平分线，OD平分①AOC，且①AOB=60°，则①COD为（）A、15°B、30°C、45°D、20°10、如图所示，下列说法中错误的是（）A、图（1）的方位角是南偏西20°B、图（2）的方位角是西偏北60°C、图（3）的方位角是北偏东45°D、图（4）的方位角是南偏西45°11、时钟共12格，每格度数为_________度，3时时针所转角度为_________度．12、如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若①AOD=145°，则①BOC=_________度．13、如图，O是直线AB上的一点，OD是①COA的平分线，OE是①BOC的平分线，则①AOD+①BOE=_________度．14、已知①AOB=3①BOC，若①BOC=30°，则①AOC=_________度．15、计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；16、如图所示，OE平分①BOC，OD平分①AOC，①BOE=20°，①AOD=40°，求①DOE的度数．17、在下列说法中，正确的个数是_________个．①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；①钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；①钟表上十二点整时，时针和分针形成的角是周角；①钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是直角；①钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角六、课堂小结学生总结,老师补充七、课后作业1、如图，下列说法正确的是（）A、①1就是①ABCB、①2就是①ADBC、以B为顶点的角有三个，它们是①1，①2，①ABCD、①ADB也可表示为①D2、下列说法中正确的是（）A、角是两条射线组成的图形B、延长一个角的两边C、周角是一条射线D、反向延长射线OM得到一个平角3、下列关于角的说法正确的是（）A、两条射线组成的图形叫做角B、延长一个角的两边C、角的两边是射线，所以角不可以度量D、角的大小与这个角的两边长短无关4、从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（）A 、28B 、21C 、15D 、65、下列各角中，是钝角的是（ ）A 、14周角B 、23周角 C 、23平角 D 、14平角 6、下列关于平角、周角的说法正确的是（ ）A 、平角是一条直线B 、周角是一条射线C 、反向延长射线OA ，就形成一个平角D 、两个锐角的和不一定小于平角 7、在①AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（ ）A 、①AOB ＞①AOC B 、①AOB ＞①BOC C 、①BOC ＞①AOCD 、①AOC ＞①BOC8、用一幅三角板可以画出的角共有（ ）A 、三个锐角，一个直角，两个钝角，一个平角B 、四个锐角，一个直角，三个钝角，一个平角C 、五个锐角，一个直角，五个钝角，一个平角D 、五个锐角，一个直角，四个钝角，一个平角9、如图所示，①AOB 是直角，①COD 也是直角，①AOC=α，则①BOD 等于（ ）A 、90°+αB 、α+180°C 、180°﹣αD 、90°﹣α 10、如图所示，下列说法错误的是（ ）A 、OA 的方向是北偏西22°B 、OB 方向是西南方向C 、OC 的方向是南偏东60°D 、OD 的方向是北偏东60°11、轮船航行到B 处测得小岛A 的方向为北偏东32°，那么从A 观测到B 处的方向为（ ）A、东偏南68°B、南偏西32°C、南偏西68°D、东偏南32°12、一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_________次平角，_________次周角．13、若①AOB=60°，OC平分①AOB，则①AOC=_________度．14、如图所示，①AOB：①BOC：①COD：①DOA=1：2：3：x，若①COD=108°，则①AOB=_________度，①BOC= _________度，①DOA=_________度．15、如图所示，①AOC=90°，①AOB=①COD，则①BOD=_________度．19、已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使①AOB=50°，①BOC=10°，求①AOC的度数．20、如图所示，①AOB=70°，①COD=80°，求①AOD﹣①BOC的度数．21、如图所示，BD平分①ABC，BE分①ABC成2：5的两部分，①DBE=27°，求①ABC的度数．22、如图所示，OB，OC是①AOD内任意两条射线，OM平分①AOB，ON平分①COD，若①MON=α，①BOC=β，试用α，β表示①AOD．23、如图所示，OM平分①AOB，ON平分①COD，①MON=90°，①BOC=26°，求①AOD的度数．附答案典型例题例1：B例2：B例3：A例4：B例5：C 例6：C例7：A 例8：A例9：解：①“4”至“9”的夹角为30°×5=150°，时针偏离“9”的度数为30°×13=10°，①时针与分针的夹角应为150°+10°=160°．例10：解：利用角平分线的定义和平角的定义可求：=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°18.解：（1）①分针每分钟走1小格，时针每分钟走112小格， ①1点20分时，时针与分针的夹角是[20﹣（5+112×20）]×360°60=80°， 2点15分时，时针与分针的夹角是[15﹣（10+112×15）]×360°60=22.5°． （2）从1点15分到1点35分，时钟的分针共走了20分钟， ①分针转过的角度是（35﹣15）×360°60=120°， 时针转过的角度是0.5×20=10度．19.解：有两种情况：第一种情况：如答图①所示：①AOC=①AOB+①BOC=50°+10°=60°① ①第二种情况：如答图①所示：①AOC=①AOB ﹣①BOC=50°﹣10°=40°答：①AOC 的度数为60°或40度．20.解：①AOD ﹣①BOC=①AOB+①COD=80°+70°=150°． 故填150°．21.解：设①ABC=α，则①ABD=a 2，①ABE=27α①①DBE=①ABD ﹣①ABE。
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角的相关计算和证明（讲义）➢ 课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的外角等于______________________________．➢ 知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．EDCBAG FEDCBA第2题图 第3题图3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．GF E DCBAG FEDCBA第4题图 第5题图5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDBA7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．1O E BA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．9. 如图，直线AD 分别与直线BF ，EG 相交于点C ，D ．若∠D=∠A+∠B ，∠BFE =75°，∠G =35°，求∠EFG 的度数．FEDCBAE DCA10.如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴∠ACE =∠ABC+∠A （_____________________）∴_____=_____+∠A （_____________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴___________________（_____________________）∴β=______+_______（_____________________）∴2β=2α+2∠P（_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）11.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求证：1902D A∠=︒+∠．AB CDCBA【参考答案】➢课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．（2）相等；相等；相等．（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．➢知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． ➢ 精讲精练 1. 20° 2. 40° 3.25°4. 65°，70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90°（已知） ∴∠1=∠2（同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） 8. 解：如图，EDC BA在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°（已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC （已知） ∴∠BAE =12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（等式的性质）9.解：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B （已知）∴∠ACF=∠D（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）在△FEG中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （已知）∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）∵CP平分∠ACE （已知）∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）∵∠ACE是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）∵∠PCE是△BCP的一个外角（外角的定义）∴∠PCE =∠PBC +∠P （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）∴2β=2α+2∠P （等式的性质） ∴∠A =2∠P （等式的性质） 11. 证明：如图，设∠DBC =α，∠DCB =β∵BD 平分∠ABC （已知）∴∠ABC =2∠DBC =2α（角平分线的定义） ∵CD 平分∠ACB （已知）∴∠ACB =2∠DCB =2β（角平分线的定义）∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（三角形的内角和等于180°） ∴2α+2β+∠A =180° （等量代换）∴1902∠A αβ++=︒（等式的性质）∵∠DBC +∠DCB +∠D =180°（三角形的内角和等于180°） ∴α+β+∠D =180°（等量代换）∴1902D A ∠=︒+∠（等式的性质）角的相关计算和证明（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =70°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠FDE 的度数是______．EF D C2. 已知：如图，CD ∥AB ，∠DCB =70°，∠CBF =20°，∠F =130°．求证：EF ∥AB ． 证明：如图，FEDC BA【参考答案】1. 20°2. 证明：如图，FEDC BA。