角的相关计算和证明过程训练(综合)(一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：（请书写过程）已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，求∠2的度数．问题2：（请书写过程）已知：如图，点D是△ABC的边AB上的一点，∠B=55°，∠BCD=30°，求∠ADC的度数．问题3：（请书写过程）已知：如图，AD与BF相交于点C．若∠D=∠A+∠B，求证：BF∥DE．（利用外角证明）问题4：拿到一个让书写过程的几何题，我们的操作步骤是什么？角的相关计算和证明过程训练（综合）（一）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D．求证：AC∥DE．证明：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=∠D（已知）___________________________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∴∠ACD=∠D（等量代换）∴AC∥DE（两直线平行，内错角相等）B.∴∠ACD=∠D（等量代换）∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）C.∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）D.∴∠ACD=∠D（等量代换）∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）答案：B解题思路：第一步：读题标注，如图第二步：从条件出发，看到平行想同位角、内错角和同旁内角．由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，得∠A=∠ACD；又∠A=∠D，等量代换，得∠ACD=∠D；利用内错角相等，两直线平行，得AC∥DE．故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质2.已知：如图，在四边形ABCD中，F是DC延长线上一点，AB∥CD，∠ECF=∠D，∠CEF=∠F．求证：∠1=∠2．证明：如图，∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠F（两直线平行，内错角相等）∵∠ECF=∠D（已知）∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行）___________________________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∴∠2=∠CEF（两直线平行，同位角相等）∵∠CEF=∠F（已知）∴∠1=∠2（等量代换）B.∴∠2=∠BEA（两直线平行，内错角相等）∵∠CEF=∠F（已知）∴∠1=∠2（等量代换）C.∴∠2=∠CEF（两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠2（等量代换）D.∵∠CEF=∠F（已知）∴∠2=∠F（两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠2（等量代换）答案：A解题思路：第一步：读题标注，如图第二步：从条件出发，看到平行想同位角、内错角和同旁内角.本题由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，得∠1=∠F；由∠ECF=∠D，利用同位角相等，两直线平行，得BC∥AD，则∠2=∠CEF；又因为∠CEF=∠F，等量代换，得∠1=∠2．故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质3.已知：如图，CD平分∠ACB，∠1=30°，∠2=60°.求证：∠B=∠ADE．证明：如图，∵∠2是△DFC的一个外角（外角的定义）∴∠2=∠1+∠ACD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1=30°，∠2=60°（已知）∴∠ACD=∠2-∠1=60°-30°=30°（等式性质）_____________________________∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∴∠BCD=30°（角平分线的定义）∴∠BCD=∠1（等量代换）B.∵CD平分∠ACB（已知）∴∠BCD=∠ACD（角平分线的定义）∴∠BCD=30°（等量代换）∴∠BCD=∠1（等量代换）C.∴∠ACD=∠1（等量代换）D.∵CD平分∠ACB（已知）∴∠BCD=∠ACD（角平分线的定义）∴∠2=∠BCF（等式性质）答案：B解题思路：第一步：读题标注，如图第二步：从条件出发，∠2是△DFC的一个外角，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠2=∠1+∠ACD，因为∠1=30°，∠2=60°，所以∠ACD=30°；由CD平分∠ACB，得∠BCD=∠ACD=30°，因此∠1=∠BCD，所以BC∥DE，从而得到∠B=∠ADE．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD，CE交于点O．若∠ABC=55°，∠ACB=75°，求∠BOC度数．解：如图，∵CE⊥AB（已知）∴∠BEC=90°（垂直的定义）∴∠1+∠ABC=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠ABC=55°（已知）∴∠1=90°-∠ABC=90°-55°=35°（等式性质）______________________________________ 在△BOC中，∠1=35°，∠2=15°∴∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-35°-15°=130°（三角形的内角和是180°）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵BD⊥AC（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠2+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠ACB=75°（已知）∴∠2=90°-∠ACB=90°-75°=15°（等式性质）B.∵BD⊥AC（已知）∴∠BDA=90°（垂直的定义）∴∠A+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠A=50°（已知）∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°（等式性质）C.∵BD⊥AC（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠A+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠A=50°（已知）∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°（等式性质）∴∠2=∠ABC-∠ABD=75°-40°=25°（等式性质）D.∵BD⊥AC（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠2+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠2=90°-∠ACB=90°-75°=15°（等式性质）答案：A解题思路：第一步：读题标注，如图第二步：从结论出发，要求∠BOC，可以看成三角形的一个外角，也可以放在△BOC中，利用三角形的内角和等于180°计算．本题示范的过程是看成△BOC的一个内角．条件中有垂直，看到垂直想互余．一共有三个模块：①在Rt△BCE中利用直角三角形两锐角互余求∠1；②在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余求∠2；③在△BOC中利用三角形的内角和等于180°求∠BOC．模仿第一个模块的书写，结合后一个模块，空缺处是第②个模块．故选A．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义5.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=∠FDC，DE交AC于点F．求证：∠AFE=2∠DAF．证明：如图，∵∠B=∠FDC（已知）∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）____________________________________∵∠AFE是△ADF的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠ADF+∠DAF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠AFE=2∠DAF（等式性质）横线处应填写的过程恰当的是( )A.∴∠BAD=∠ADF（两直线平行，内错角相等）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠DAF（角平分线的定义）B.∴∠BAD=∠ADF（两直线平行，内错角相等）C.∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠DAF（角平分线的定义）D.∴∠BAD=∠ADF（两直线平行，内错角相等）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAD=∠DAF（角平分线的定义）∴∠ADF=∠DAF（等量代换）答案：D解题思路：第一步：读题标注，如图第二步：从结论出发，∠AFE可以看作△ADF的一个外角，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠AFE=∠ADF+∠DAF，所以要证明∠AFE=2∠DAF，只需证∠ADF=∠DAF即可．结合已知条件∠B=∠FDC，利用同位角相等，两直线平行，得AB∥DF，再利用两直线平行，内错角相等，得∠BAD=∠ADF；由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠DAF，等量代换，得∠ADF=∠DAF．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为CA延长线上一点，DF⊥BC于点F，交AB于点E．求证：∠D=∠AED．证明：如图，∵DF⊥BC（已知）___________________________∵∠1=∠2（对顶角相等）∴∠1=∠D（等量代换）即∠D=∠AED横线处应填写的过程，顺序正确的是( )①∵∠B=∠C（已知）②∴∠D+∠B=90°，∠2+∠C=90°（等量代换）③∴∠D+∠C=90°，∠2+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）④∴∠2=∠D（等角的余角相等）⑤∴∠EFB=∠DFC=90°（垂直的定义）A.⑤①③④B.⑤③④C.⑤③①④D.⑤③②答案：C解题思路：第一步：读题标注（见证明过程中图形）；第二步：从条件出发，看到垂直想互余．由DF⊥BC，利用垂直的定义，得∠EFB=∠DFC=90°，从而∠D+∠C=90°，∠2+∠B=90°；又已知∠B=∠C，利用等角的余角相等，得∠2=∠D，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠D．故选C．试题难度：三颗星知识点：垂直的定义。