角的相关计算和证明(讲义及答案)
角的相关计算和证明(二)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到三角形的外角想什么？问题4：与角有关的定理，我们都学了哪些？角的相关计算和证明（二）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，直线AB∥CD，BE交CD于点F，若∠B=125°，∠D=45°，则∠E=( )A.70°B.80°C.90°D.100°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理2.如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于点E，交CD于点F．若∠C=43°，则∠B的度数为( )A.43°B.45°C.47°D.40°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直的定义3.如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，AB∥EF∥CD，若∠F=130°，∠C=65°，则∠CBF的度数为( )A.15°B.32.5°C.25°D.50°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的性质5.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为( )A.20°B.18°C.36°D.15°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠C=40°，点E在BC上，连接AE，AF交BC于点D，且∠DAE=50°，∠EAC=30°，求∠1的度数．某同学有以下几种思考方向，其中错误的是( )A.在△ADC中利用三角形的内角和等于180°直接计算B.根据∠AED是△AEC的一个外角，先利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠AED，再在△ADE中利用三角形的内角和等于180°计算C.先根据题目条件求出∠B和∠BAD的度数，再根据∠1是△ABD的一个外角，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算D.先根据题目条件求出∠F和∠DEF的度数，再根据∠1是△DEF的一个外角，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角7.如图，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A的度数为( )A.30°B.50°C.37.5°D.45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。
角度证明题公式
角度证明题公式
以下是角度证明题常用的公式：
1. 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
2. 三角形中的角度关系：三角形的内角和等于180度。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，等腰三角形顶角平分底角。
4. 直角三角形的性质：直角三角形有一个角为90度，直角三角形中，两锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5. 余角和补角的性质：两个角的和为90度时，这两个角互为余角；两个角的和为180度时，这两个角互为补角。
这些公式是解决角度证明题的基础，掌握它们对于解决这类问题至关重要。
《角的和差》 讲义
《角的和差》讲义一、角的基本概念在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角通常用三个大写英文字母表示，例如∠AOB，其中 O 为顶点，A 和B 分别为角的两条边。
此外，还可以用一个大写英文字母来表示角，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法。
角也可以用数字来表示，如∠1、∠2 等，或者用一个希腊字母来表示，如∠α、∠β 等。
角的度量单位通常为度、分、秒。
1 度等于60 分，1 分等于60 秒。
二、角的大小比较角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
比较角的大小有以下几种方法：1、度量法：使用量角器测量出角的度数，然后比较度数的大小。
2、叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
三、角的和差1、角的和如果有两个角，∠A 和∠B，它们的和就是把两个角的度数相加，即∠A ＋∠B。
例如，∠A ＝ 30°，∠B ＝ 40°，则∠A ＋∠B ＝ 70°2、角的差角的差是指用较大角的度数减去较小角的度数。
例如，∠C ＝ 60°，∠D ＝ 20°，则∠C ∠D ＝ 40°3、角平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠BOC ＝ 1/2 ∠AOB四、角的和差的实际应用1、在三角形中三角形的内角和为 180°。
如果已知三角形中的两个角的度数，就可以通过角的和差求出第三个角的度数。
例如，在△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，则∠C ＝ 180° 50°60°＝ 70°2、在时钟问题中时钟的表盘被分为 12 个大格，每个大格的角度为 30°（360°÷12 ＝30°）。
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。
余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。
正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。
3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。
4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。
7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。
8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。
9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。
方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。
例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。
同位角内错角同旁内角讲义及答案
同位角、内错角、同旁内角（讲义）一、知识点睛1．同位角、内错角、同旁内角：ba56871234ccab123458762．平行线的判定：①两条直线被第三条直线所截，____________相等，两直线平行； ②两条直线被第三条直线所截，____________相等，两直线平行； ③两条直线被第三条直线所截，____________互补，两直线平行．3．平行线的性质：①两直线平行，__________相等； ②两直线平行，__________相等； ③两直线平行，__________互补．二、精讲精练1. 如图所示：（1）∠1和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角； （2）∠3和∠4是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角； （3）∠1和∠5是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角；（4）∠6和∠4是同位角吗？ （5）∠1和∠4是内错角吗？ （6）∠5和∠6是同位角吗？6124b 35c da第1题图2. 如图所示：（1）∠NOP 和∠OMD 是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角；（2）∠BON 和∠DMN 是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角；（3）∠AOM 和∠CMO 是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_______角．3. 如图，在所标识的角中，是内错角的是（ ）A ．∠1和∠B B ．∠1和∠3C ．∠3和∠BD ．∠2和∠34. 如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角； （ ） ②∠1和∠5是同位角； （ ） ③∠1和∠3是内错角； （ ）④∠1和∠2是同旁内角． （ ）5. 如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④6. 如图，若∠1＝______，则AB ∥EF ，理由是：_____________________________________________________．若∠1＝______，则DF ∥AC ；理由是：________________________________________________________．若∠DEC +____________＝180°，则DE ∥BC ，理由是：______________________________________．12345第3题图24867513bacN ACMOB P DQ2A 1B43CD第4题图第2题图第5题图A DBF1E C第6题图7.如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，∠D=60°，AB⊥AC，则（1）∠DAB＋∠B＝____________；（2）AD与BC平行吗？______；AB与CD平行吗？_______．A B 1CD8.如图，易拉罐的上下底面互相平行，用吸管吸饮料时，若∠1＝110°，则∠2＝______．理由可叙述如下：∵AB∥CD∴∠1=∠3（__________________________）∵∠1＝110°（_______）∴∠3=110°（___________）∴∠2=_____（1平角=180°）9.如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10.如图，AD∥BC，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠C＝50°，则∠DAB＝______．11.阅读理解，如图：（1）如果∠1=∠2，那么根据__________________________，可得__________∥__________；（2）如果∠DAB+∠ABC=180°，那么根据________________ ____________________________，可得∥．（3）当∥时，根据____________________ ______________________________，可得∠C+∠ABC=180°；AC32DB1第8题图A DB E C第9题图12A BC3ED第11题图CBEDA第10题图（4）当 ∥ 时，根据 ____________________，可得∠3=∠C ．12. 完成推理填空：如图，已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD //CE ．CBADEF1证明：∵∠A ＝∠F （ ），∴AC //DF （ ）．∴∠D ＝ （ ）．又∵∠C ＝∠D （ ），∴∠1＝∠C （ ）．∴BD //CE （ ）．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛2．①同位角；②内错角；③同旁内角．3．①同位角；②内错角；③同旁内角．二、精讲精练1．（1）a、b、c、同位（2）a、b、d、内错（3）c、d、a、同旁内（4）不是（5）不是（6）是2．（1）OP、MD、MN、同位（2）AB、CD、MN同位（3）AB、CD、MN、同旁内3．D4．①×②√③√④√5．D 6．∠A；同位角相等，两直线平行；∠DFE；内错角相等，两直线平行；∠C；同旁内角互补，两直线平行；7．180°；平行；平行；8．70°；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；70°9．B；10．50°；11．（1）内错角相等，两直线平行；CD；AB；（2）同旁内角互补，两直线平行；AD；BC；（3）DC；AB；两直线平行，同旁内角互补；（4）AE；BC；两直线平行，内错角相等；12．已知；内错角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．。
《角以及角的度量》 讲义
《角以及角的度量》讲义一、角的定义在几何学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
角的大小与边的长短无关，而是取决于两条边张开的程度。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
例如，我们日常生活中常见的钟表指针，随着指针的转动，形成的夹角大小在不断变化。
二、角的表示方法角通常有以下几种表示方法：1、用三个大写字母表示，如∠AOB，其中 O 为顶点，A、B 分别为角的两条边的端点。
需要注意的是，顶点字母必须写在中间。
2、用一个大写字母表示，如∠A，但要注意的是，当顶点处有多个角时，不能用这种方法，以免产生混淆。
3、用一个数字表示，如∠1。
4、用一个希腊字母表示，如∠α。
三、角的分类角根据其大小可以分为以下几类：1、锐角：大于 0°而小于 90°的角。
比如，一个 30°的角就是锐角。
2、直角：等于 90°的角。
我们常见的直角有三角尺中的直角，以及长方形和正方形的四个角。
3、钝角：大于 90°而小于 180°的角。
像 120°的角就是钝角。
4、平角：等于 180°的角。
一条直线可以看作是一个平角。
5、周角：等于 360°的角。
当一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角就是周角。
四、角的度量单位角的度量单位通常有度、分、秒。
1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒，1 度＝ 3600 秒。
在实际应用中，我们会根据需要将角度进行转换。
例如，如果一个角是 305 度，那么 05 度＝ 05×60 ＝ 30 分，所以这个角就是 30 度 30 分。
五、角的度量工具我们常用的度量角的工具是量角器。
量角器是一个半圆形的工具，上面标有刻度，从 0°到 180°。
使用量角器量角时，需要注意以下几点：1、中心对顶点：将量角器的中心与角的顶点重合。
2、零线对一边：使量角器的 0 刻度线与角的一条边重合。
培优专题四 三角形中角度的证明与计算
三角形中角度的证明与计算类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角1、两个内角平分线的夹角如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。
2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。
3、两个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。
练习1、如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小练习2、如图，在∆ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠ = 。
类型二：三角形中两条边的高线的夹角如图，在∆ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠之间的关系。
E D CBA O类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。
练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论）如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第12讲全等三角形的综合(讲义)解析版
第12讲 全等三角形的综合本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．模块一：全等三角形判定的综合知识精讲全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．例题解析例1.已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ．【难度】★【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅，CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例2.如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ．【难度】★【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例3.已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ．【难度】★【解析】//AB CD ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．例4.如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A C AGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例5.如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ．【难度】★★【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠．BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFC B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例6．（2018·山东济南市·七年级期中）如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．例7．（2020·山东东营市·七年级期中）如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：ABE CBD ≅△△；（2）证明：∠1=∠3．【分析】（1）先根据角的和差可得ABE CBD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得A C ∠=∠，再根据对顶角相等可得AFB CFE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．【详解】（1）12∠=∠，12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE △和CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBD SAS ∴≅；（2）由（1）已证：ABE CBD ≅△△，A C ∴∠=∠，由对顶角相等得：AFB CFE ∠=∠，又11803180A AFB C CFE ∠=︒-∠-∠⎧⎨∠=︒-∠-∠⎩， 13∠∠∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．例8．（2020·山东济南市·七年级期末）已知Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，DB ＝EB ， CE 所在的直线交AD 于点F ．(1)如图1，若点D 在△ABC 外，点B 在AB 边上，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(2)若将图1中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点B 在△ABC 内部，如图2，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(3)若将图1中的△DBE 绕点B 逆时针旋转，使点D 、E 都在△ABC 外部，如图3，请直出AD和CE 的数量和位置关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD CE =，AD CE ⊥【分析】（1）证明ABD CBE ≌，根据全等三角形的性质得到AD CE =，BAD BCE ∠=∠，根据垂直的定义证明即可；（2）证明ABD CBE ∠=∠，同（1）的方法证明；（3）证明ABD CBE ∠=∠，同（2）的方法证明结论．【详解】（1）证明：在ABD △和CBE △中，90DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABD ∠=︒，90ADB BAD ∴∠+∠=︒，90ADB BCE ∴∠+∠=︒，90CFD ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（2）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（3）AD CE =，AD CE ⊥；理由如下：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例9．（2020·山东枣庄市·七年级期末）如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝， 解得，43t =， 则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上； （2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝，∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝， 则当BPD CQP ≌时，1t ＝； （3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝ 解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲1、 倍长中线法；2、 添加平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形．例题解析例1．（2018·江西吉安市·七年级期中）如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，连接AD ，并延长到点E 使DE=AD ，再连接CE. 若AC=10，AB=6，求中线AD 的取值范围.【答案】2＜AD ＜8.【分析】先证△ABD ≌△ECD(SAS),证得4＜AE ＜16，由此即可求得AD 的取值范围.【详解】∵D 是BC 边的中点，∴BD=CD.又∠ADB 与∠EDC 是对顶角，∴∠ADB=∠EDC.在△ABD 和△ECD 中，ADB EDC BD CD,AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ECD(SAS),∴CE=AB=6.在△ACE 中，AE ＞AC-CE,且AE ＜AC+CE,∴4＜AE ＜16，即4＜2AD ＜16，∴2＜AD ＜8.【点睛】此题考查三角形的中线的性质，根据全等证得中线的2倍线段AE 的取值范围是解题的关键.例2．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD 为△ABC 的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC 的取值范围.解：延长AD 到E,使DE = AD,连接BE.因为AD 为△ABC 的中线，所以BD=CD ．在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性质).因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.例3．（2020·辽宁锦州市·）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，再利用AAS 定理证明△DAC ≌△ECB ；（2）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，进而利用HL 定理证明△ACD ≌△CBE ．【详解】（1）如图1，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠DAC+∠DCA ＝∠BCE+∠DCA ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△DAC 与△ECB 中，∵90DAC BCE ADC CEB AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△ECB （AAS ）；（2）如图2，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，∴∠DAC+∠ACD ＝∠ACD+∠BCE ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ACD 与△CBE 中，∵DAC ECB ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．4．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在ABC ∆和ADE ∆中，C E ∠=∠，CAE DAB ∠=∠，BC DE =．（1）请说明ABC ADE ∆∆≌．（2）如图2，连接CE 和BD ，DE ，AD 与BC 分别交于点M 和N ，56DMB ∠=︒，求ACE ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若CN EM =，请直接写出CBA ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD ，结合已知条件，用AAS 可判定△ABC ≌△ADE ；(2)由(1)中△ABC ≌△ADE 可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB 可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE ，可得∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒-︒=︒； (3) 连接AM ，先证NCA MEA ≅(SAS),得到AM=AN,EAM CAN ∠=∠,进而可得EAC MAN ∠=∠,由(2)可知=56EAC MAN ︒∠=∠,根据等腰三角形内角和可得ANM ∠= 1(18056)622︒︒︒-=，由三角形外角定理可得CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =180︒，∠CBA +∠ANB +∠DAB =180︒，又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=56︒，∴∠CAE =∠DAB=56︒，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒︒︒-=， ∴∠ACE =62︒，（3）∠CBA=6︒，如图所示，连接AM ，NCA MEA ∠=∠,CN=EM,CA=EA,∴NCA MEA ≅(SAS),∴AM=AN,EAM CAN ∠=∠,∴EAM CAM ∠-∠=CAN CAM ∠-∠即EAC MAN ∠=∠,由(2)可得：=56EAC MAN ︒∠=∠,∴ANM ∠=1(18056)622︒︒︒-=, ∠CAE =∠DAB=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.例5．（2020·山东济南市·七年级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（2018·四川达州市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，E 为BD 上的一点，EG AD ，分别交AB 和CA 的延长线于点F ，G ，AFG G ∠=∠.（1）试说明ABD ACD ∆≅∆；（2）若40B ∠=︒，求G ∠和FAG ∠的大小.【答案】（1）见解析（2）50°，80°【分析】（1）根据题意利用角边角判断定理，证明ABD ACD ∆≅∆即可.（2）若40B ∠=︒，再证明50G AFG ∠=∠=︒，即可计算FAG ∠的度数.【详解】（1）∵AD EG ，∴AFG BAD ∠=∠，G DAC ∠=∠，又∵G AFG ∠=∠，∴DAC DAB ∠=∠，又∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，又∵AD DA =，∴ABD ACD ∆≅∆.（2）∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，又∵AD EG ，∴90FEB ∠=︒，又∵40B ∠=︒，∴50EFB ∠=︒，又∵EFB AFG ∠=∠，∴50G AFG ∠=∠=︒，∴80FAG ∠=︒.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理. 例7．（2019·全国七年级单元测试）在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
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角的相关计算和证明（讲义）
➢课前预习
背默我们到目前学习过的定理：
（1）平行线：
判定：
①，两直线平行；
②，两直线平行；
③，两直线平
行．性质：
①两直线平行，；
②两直线平行，；
③两直线平行，．
（2）余角、补角、对顶角：
同角（等角）的余角；同角（等角）的补角；
对顶角．
（3）三角形：
三角形的内角和等于；
直角三角形两锐角；
三角形的外角等于．
➢知识点睛
在证明的过程中，
由平行想到、、；
由垂直想到、；
由外角想到．➢精讲精练
1. 如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则
∠BCE= ．
1
2.如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠A=40°，DC 平分∠ACB 交
AB 于点D，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，则∠EDC= ．
第2 题图第3 题图
3.如图，在正方形ABCD 中，∠ADC=∠DCB=90°，G 是BC 边
上一点，连接DG，AE⊥DG 于点E，CF⊥DG 于点F．若
∠DAE=25°，则∠GCF= ．
4.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，在Rt△AFG
中，∠G=90°，∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB= ，∠ADC= ．
第4 题图第5 题图
5.如图，ED⊥AB 于点D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF= ．
6.如图，在△ABC 中，∠B=60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，
则∠APD= ．
7.如图，E，F 分别在AB，CD 上，EC⊥AF，垂足为点O，
∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求证：AB∥CD．
8.如图，在△ABC 中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC 于D，AE
平分∠BAC，求∠EAD 的度数．
9.如图，直线AD 分别与直线BF，EG 相交于点C，D．若
∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG 的度数．
10.如图，BP 平分∠ABC，CP 平分△ABC 的外角
∠ACE．求证：∠A=2∠P．
证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β
∵BP 平分∠ABC （）∴∠ABC=2∠PBC=2α（）∵CP 平分∠ACE （）∴∠ACE= = （）∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（）∴∠ACE =∠ABC+∠A （）∴= +∠A （）∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（）
∴
∴β= + （）（）
∴2β=2α+2∠P （）∴∠A=2∠P （）
11.已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB．
求证：∠D = 90︒+1
∠A ．
2
【参考答案】
➢课前预习
（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互
补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．
（2）相等；相等；相等．
（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．
➢知识点睛
同位角、内错角、同旁内角；
直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
➢精讲精练
1. 20°
2. 40°
3. 25°
4. 65°，70°
5. 125°
6. 60°
7.证明：如图，
∵EC⊥AF（已知）
∴∠COF=90°（垂直的定义）
∴∠C+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）
∵∠1+∠C=90°（已知）
∴∠1=∠2（同角的余角相等）
∵∠2=∠D（已知）
∴∠1=∠D（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
8.解：如图，
在△ABC 中，∠B=35°，∠C=75°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-35°-75°
=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC（已知）
∴∠BAE= 1
∠BAC
2
1
= ×70°
2
=35°（角平分线的定义）
∵∠AED 是△ABE 的一个外角（外角的定义）
∴∠AED=∠B+∠BAE
=35°+35°
=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的和）
∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADE=90°（垂直的定义）
∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠EAD=90°-∠AED
=90°-70°
=20°（等式的性质）
9.解：如图，
∵∠ACF 是△ABC 的一个外角（外角的定义）
∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠D=∠A+∠B （已知）
∴∠ACF=∠D（等量代换）
∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）
∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）
∵∠BFE=75°（已知）
∴∠FEG=75°（等量代换）
在△FEG 中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）
∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G
=180°-75°-35°
=70°（三角形的内角和等于180°）
10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β
∵BP 平分∠ABC （已知）
∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）
∵CP 平分∠ACE （已知）
∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）
∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（外角的定义）
∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相
邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）
∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（外角的定义）
∴∠PCE=∠PBC+∠P （三角形的外角等于与它不相
邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）
∴2β=2α+2∠P （等式的性质）
∴∠A=2∠P （等式的性质）
11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β
∵BD 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）
∵CD 平分∠ACB（已知）
∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180°（等量代换）
∴α+β+1
∠A = 90︒（等式的性质）2
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）
∴ ∠D = 90︒+1
∠A （等式的性质）
2。