人教版八年级数学上册 角的相关计算和证明(习题及答案)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角习题(含答案) (54)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB①若∠BAC ＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD ＝ ；若∠B ＝40°，则∠AFD ＝ ；②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；（2）点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F 试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）①115°；110°；②1902AFD B ∠=︒+∠；理由见解析；（2）1902AFD B ∠=︒-∠；理由见解析 【解析】【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠，由三角形的外角性质即可得出结果；②由①得：∠EDB=∠C ，1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG ，再由三角形的外角性质即可得出结论； （2）由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE ∥AC ，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ， ∴1502BAG BAC ∠=∠=︒，1152FDG EDB ∠=∠=︒，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ， ∴12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠， ∵∠DGF=∠B+∠BAG ，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG =()12B BAC C ∠+∠+∠ 1401402=︒+⨯︒ 4070110=︒+︒=︒故答案为：115°；110°； ②1902AFD B ∠=︒+∠； 理由如下：由①得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，12FDG EDB ∠=∠， ∵∠DGF=∠B+∠BAG ，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG =()12B BAC C ∠+∠+∠ ()11802B B =∠+︒-∠ 1902B =︒+∠； （2）如图2所示：1902AFD B ∠=︒-∠；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C ，12BAG BAC ∠=∠，1122BDH EDB C ∠=∠=∠， ∵∠AHF=∠B+∠BDH ，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF11802BAC B BDH =︒-∠-∠-∠ 1118022BAC B C =︒-∠-∠-∠ ()11802B BAC C =︒-∠-∠+∠ ()11801802B B =︒-∠-︒-∠1180902B B =︒-∠-︒+∠ 1902B =︒-∠． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．32．如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，点D 为BC 边上一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连接AE ，且AE ＝DE ．求证：∠AEC ＝∠C ．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到AE BE =，根据三角形的外角性质得到2AEC B ∠=∠，由题意证明即可得出结论．【详解】证明：AD AB ⊥，点E 是BD 的中点，12AE BD BE ∴==， ,2,2,.EAB EBA AEC EAB EBA B C B AEC C ∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠【点睛】利用直角三角形中斜边中点的性质和三角形外角的性质，根据题目条件等角代换即可证明结论．33．将一副三角板按如图所示放置，DEF 的直角边DE 与ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）DEF 在移动的过程中，FCE ∠与CFE ∠度数之和是否为定值，若是定值，请求出这个值，并说明理由；（2）能否将DEF 移动至某位置，使//FC AB ？请求出CFE ∠的度数．【答案】（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；（2）能，15CFE ∠=︒【解析】【分析】（1）FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒可得；（2）根据//FC AB ，且90B ∠=︒且60ACB ∠=︒知30FCE ∠=︒，再根据（1）中的结论可得答案．【详解】解：（1）FCE ∠与CFE ∠度数之和是定值，为45︒；FED ∠是EFC ∆的外角，且45FED ∠=︒，45FCE CFE ∴∠+∠=︒；（2）//FC AB ，且90B ∠=︒，90FCB ∠∴=︒，60ACB ∠=︒，又45FCE CFE ∠+∠=︒，15CFE ∴∠=︒．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定及三角形外角的性质．34．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，34A ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求CBE ∠的度数；（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．【答案】（1）62°；（2）28°【解析】【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出CBD ∠，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）90ACB ∠=︒，34A ∠=︒，BE 是CBD ∠的平分线，1622CBE CBD ∴∠=∠=︒； （2）90ECB ∠=︒，62CBE ∠=︒，28CEB ∴∠=︒，//DF BE ，28F CEB ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．35．在ABC ∆中，60,B AD ︒∠=是BC 边上的高，画出AB 上的高CE ，若,AD CE 相交于点O ，求AOC ∠的度数．【答案】120AOC ∠=︒【解析】【分析】根据三角形高的定义得出90ADB AEC ︒∠=∠=，然后根据三角形的内角和外角的性质解答即可．【详解】解：画图正确（有垂直符号）所以CE 就是AB 上的高因为AD 是BC 上的高，CE 是AB 上的高（已知），所以90ADB AEC ︒∠=∠=（垂直定义），因为180ADB BAD B ︒∠+∠+∠=（三角形内角和为180°）60B ︒∠=（已知）， 所以30BAD ︒∠=（等式性质）因为AOC AEC BAD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）所以120AOC ︒∠=（等式性质）【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形内角和以及三角形外角的性质，结合图形准确的运用三角形外角的性质是解题的关键．36．如图，已知在ABC ∆中，0(210),(3),A x B x ACD ︒∠=+∠=∠是ABC ∆的一个外角，且(610)∠=-︒ACD x ，求A ∠的度数．【答案】50A ∠=︒【解析】【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出x ，从而求出∠A 的度数．【详解】解：因为ACD ∠是ABC ∆的一个外角（已知），所以ACD A B ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．所以6102103x x x -=++解得20x所以50A ︒∠=【点睛】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出x ．37．已知直线//AB CD ．（1）如图1，直接写出BME E END ∠∠∠，、的数量关系为 ；（2）如图2，BME ∠与CNE ∠的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究P ∠与E ∠之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠E=∠END-∠BME ；（2）∠E+2∠NPM=180°，证明见解析．【解析】【分析】（1）由AB ∥CD ，即可得到∠END=∠EFB ，再根据∠EFB 是△MEF 的外角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，故答案为：∠E=∠END-∠BME；（2）如图2，延长NP交AB于G，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA ，∵MQ 平分∠BME ，PN 平分∠CNE ，∴∠CNE=2∠CNP ，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA ，∵AB ∥CD ，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP ，∵△EFM 中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB ）=180°， ∴∠E+2∠NPM=180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．38．（1）如图1，//AB CD ，I N 、分别在AB CD ，上，试说明∠MEN=∠INC+∠IME ．（2）如图2，在（1）的条件下，若MG 平分AME ∠，在AB 上有一点F ，连接NF ，使NE 恰好平分CNF ∠，19ENC ∠=︒，且MGN ∠的补角比FNC ∠的3倍多8︒，求AME ∠的度数；（3）如图3，在问题（1）（2）的条件下，若点P 是EM 上一动点(不包含点E 和点M )，连接PN ．PQ 平分MPN ∠，NH 平分PNC ∠，过P 作//PR NH ，当点P 在线段EM 上运动时，下列结论：①HNP RPQ ∠+∠的值不变；②RPQ ∠的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你做出正确选择并求值．【答案】（1）见解析；（2）40°；（3）②正确，证明见解析【解析】【分析】（1）在△IEM 中，利用外角∠MEN=∠NIM+∠IME 推导得到；（2）先求出∠CNF 的值，进而得到∠NFM ，然后利用∠FNC 与∠MGN 的关系得到∠MGN 的大小，最后在△FGM 中得出∠FMG 的大小，进而得出∠FME ；（3）求出∠RPQ=∠4－∠NPR=∠4―∠1，然后在△PKN 中，利用内角和180°可算出∠RPQ 为定值.【详解】（1）∵AB ∥CD∴∠MIN=∠INC∵∠MEN=∠MIN+∠IME∴∠MEN=∠INC+∠IME ；（2）∵∠ENC=19°，EN 平分∠FNC∴∠FNC=38°=∠MFN∵MGN ∠的补角比FNC ∠的3倍多8︒∴180°－∠MGN=3×38°+8°∴∠MGN=58°∴AMG=∠MGN－∠MFN=20°∴∠AME=40°；（3）如下图，延长ME交CD于点K，设∠HNP为∠1，∠HNK为∠2，∠MPQ为∠3，∠QPN为∠4∵AB∥CD∴∠AME=∠MKN=40°∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC∴∠1=∠2，∠3=∠4∵PR∥NH∴∠1=∠NPR∴∠RPQ=∠4－∠NPR=∠4―∠1在△PKN中，∠1+∠2+180°－∠3－∠4+40°=180°∴2(∠4－∠1)=40°∴∠4－∠1=20°∴∠RPQ=20°不变，②正确【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，同时还考查了动点问题，解题的关键是将动角转化为不变的角.39．如图，//AB CD ,点,E F 分别在,AB CD 直线上，点M 为两平行线内部一点（1）如图1，,MEB MFD ∠∠角平分线交于点N ，若EMF ∠等于130︒，求ENF ∠的度数（2）如图2，点G 为直线CD 上一点，且MGF EMF ∠=∠，延长GM 交直线AB 于点Q ，点P 为MG 上一点，射线,PF EG 相交于点H ，满足11,33PFG MFG BEH BEM ∠=∠∠=∠，设EMF α∠=，求H ∠的度数（用α的代数式表示）【答案】（1）115°；（2）∠H=60°-13α． 【解析】【分析】（1）过M 作ME ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（2）如图②中设∠BEH=x ，∠PFG=y ，则∠BEM=3x ，∠MFG=3y ，设EH 交CD 于K ．证明∠H=x-y ，求出x-y 即可解决问题．【详解】解：（1）过M 作ME ∥AB ，∵AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠BEM+∠2=∠DFM+∠4=180°，∴∠BEM=180°-∠2，∠DFM=180°-∠4，∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM，∴∠1=12∠BEM，∠3=12∠DFM，∴∠1+∠3=12（180°-∠2）+12（180°-∠4）=180°-12（∠2+∠4）=180°-12×130°=115°，∴∠ENF=360°-∠1-∠3-∠EMF=360°-115°-130°=115°；（2）如图②中设∠BEH=x，∠PFG=y，则∠BEM=3x，∠MFG=3y，设EH交CD于K．∵AB∥CD，∴∠BEH=∠DKH=x，∵∠PFG=∠HFK=y，∠DKH=∠H+∠HFK，∴∠H=x-y，∵∠EMF=∠MGF=α，∠BQG+∠MGF=180°，∴∠BQG=180°-α，∵∠QMF=∠QME+∠EMF=∠MGF+∠MFG ，∴∠QME=∠MFG=3y ，∵∠BEM=∠QME+∠MQE ，∴3x-3y=180°-α，∴x-y=60°-13α， ∴∠H=60°-13α． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数解决问题．40．探究题．已知:如图//,//AB CD CD EE ．求证: 360B BDF F ∠+∠+∠=︒老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_________．（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线,AB EF 、然后在平行线间画了一点D ，连接BD DF ，后，用鼠标拖动点分,D 别得到了图①②②，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的B BDF ∠∠、与F ∠之间也可能存在着某种数量关系于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：①猜想图①中B BDF ∠∠、与F ∠之间的数量关系并加以证明：②补全图③，直接写出B BDF ∠∠、与F ∠之间的数量关系：_______．（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于,A CD 平行于地面AE ，若150BCD =∠，则ABC ∠=_______．【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+∠F ．理由见解析；②∠F=∠D+∠F ；（3）120°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质证明即可．（2）①结论：∠BDF=∠B+∠F ．如图①中，作DK ∥AB ．利用平行线的性质证明即可．②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．（3）利用图1中的结论，计算即可．【详解】（1）证明：如图1中，∵AB∥EF，CD∥EF，∴CD∥EF，∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（两直线平行同旁内角互补），∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，∴∠B+∠BDF+∠F=360°，故答案为：两直线平行同旁内角互补．（2）解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．理由：如图①中，作DK∥AB．∵AB∥DK，AB∥EF，∴DK∥EF，∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．理由：∵AB∥EF，∴∠1=∠F，∵∠1=∠B+∠D，∴∠F=∠D+∠B．故答案为∠F=∠D+∠F．（3）解：如图2中，∵BA⊥AE，∴∠BAE=90°，∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，∴∠ABC=360°-240°=120°，故答案为120°．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (97)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE=CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF△△AB′E；（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．所在DF=18-13=5.【详解】（1）证明：△四边形ABCD是矩形，△△D=△C=△B′=90°，AD=CB=AB′，△△DAF+△EAF=90°，△B′AE+△EAF=90°，△△DAF=△B′AE，在△ADF和△AB′E中，'''D B AD AB DAF B AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ADF △△AB ′E （ASA ）． ∴AE=CF ；（2）解：由折叠性质得FA=FC ， 设FA=FC=x ，则DF=DC-FC=18-x ， 在Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2， △122+（18-x ）2=x 2． 解得x=13．∴DF=18-13=5 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以的运用，解决问题的关键是：设相关线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．62．如图，已知AD 是ABC ∆的一条中线，延长AD 至E ，使得DE AD =，连接BE . 如果5,7AB AC ==，试求AD 的取值范围.【答案】AD 的取值范围是16AD <<.【解析】 【分析】先证明ADC EDB ∆∆≌得到7BE AC ==，然后根据三角形的三边关系得到AE 的取值范围，从而计算出AD 的取值范围。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (18)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．【答案】解：（1）∠AOC=∠BOD，理由见解析；（2）∠BOD=21°08′．【解析】试题分析：（1）根据对顶角的性质即可判断，∠AOC=∠BOD；（2）根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．试题解析：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD；（2）∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE−∠COF=90°−34°26′=55°34′，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠COE=55°34′，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=55°34′−34°26′=21°08′，∴∠BOD=∠AOC=21°08′．72．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E．已知∠A=45°，∠C=105°，求∠EDB的度数．【答案】15°【解析】试题分析：先由三角形的内角和求出∠ABC的度数，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC的度数，最后由DE∥BC求出∠EDB的度数.试题解析：在ΔABC中，∠A=45°，∠C=105°，∴∠ABC=30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC=15°∵DE∥BC∴∠BDE=∠DBC=15°73．如图，在△ABC 中，∠B=32°，∠C =48°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数.【答案】∠ADF=82°.【解析】试题分析：由在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠CAE 的度数，由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠CAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．试题解析：在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°−∠C=42°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=8°，∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°−∠DAE=82°.74．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，再以F、N为圆心，大于12交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；（2）分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过2X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；（2）作出AB的中点E.（3）证明：∵∠ABD=12×60°=30°,∠A=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，在△ADE和△BDE中，AE BE ED ED AD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADE≌△BDE(SSS).75．读句画图并填空：（1）画平角AOB，画射线OC，再分别画∠AOC、∠BOC的角平分线OD、OE；（2）图中，∠∠COE= ∠COB，∠COD= ∠AOC，∠∠DOE=∠COE+∠COD= ∠AOB= ×180°＝．【答案】（1）见解析图；（2）12，12，12，12，90°【解析】试题分析：根据基本作图进行作图即可．试题解析：解：（1）如下图所示：（2）∵COE ∠= 12COB ∠，12AOC ∠（角平分线的定义）∵DOE COE COD ∠=∠+∠ 12AOB =∠=1180902⨯︒=（等量代换）． 76．已知下列条件，求角的度数。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角练习题(含答案) (28)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)已知ABC ∆中，记BAC α∠=，ACB β∠=.（1）如图a ，若AP 平分BAC ∠，BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBM ∠和BCN ∠的平分线，BD AP ⊥，用含α的代数式表示BPC ∠的度数，用含β的代数式表示PBD ∠的度数，并说明理由.（2）如图b ，若点 P 为ABC ∆的三条内角平分线的交点，BD AP ⊥于点 D ，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.BPC ∠= .PBD ∠= .【答案】（1）902BPC α∠=-，902DBP β∠=-；（2）1902α+，12β 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出180ABC ACB α∠+∠=-，根据邻补角的性质可求出180CBM BCN α∠+∠=+，再根据角平分线的性质可得CBP BCP ∠+∠=90α+，根据三角形内角和定理算出∠BPC ．由三角形外角的性质得出12APB β∠=，进而利用直角三角形两锐角互余求出902DBP β∠=-. （2）根据角平分线性质和三角形外角性质可得1=90-2ABP BP BAP D β∠+∠∠=， 1122ACP B CPD AP βα∠=∠+∠=+，进而可得答案. 【详解】（1）解：∵在ABC ∆中，180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=，BAC α∠=∴180ABC ACB α∠+∠=-又∵180ABC CBM ∠+∠=，180ACB BCN ∠+∠=∴360(180)180CBM BCN αα∠+∠=--=+∴1()902CBM BCN α∠+∠=+ ∵在PBC ∆中，180CBM BCN BPC ∠+∠+∠=∴902BPC α∠=-∵,,BAC ACB MBC BAC ACB αβ∠+∠=∠∠=∠=∴MBC αβ∠=+又∵BP 平分MBC ∠ ∴11()22MBP MBC αβ∠=∠=+ 同理1122BPA BAC α∠=∠= ∵MBP BAP BPA ∠=∠+∠ ∴1()22APB ααβ+=∠+ ∴12APB β∠= ∵在PBD ∆中，180BDP BPD DBP ∠+∠+∠=，BD DP ⊥ ∴90902DBP BPD β∠=-∠=-（2）如图2，若点P 为ABC ∆的三条内角平分线的交点，BD AP ⊥于点D ，猜想（1）中的两个结论已发生变化∵点P 为ABC ∆的三条内角平分线的交点，∴12BAP CAP α∠=∠=，1C =2A P β∠， 12=A PB B AC ∠∠=11802ACB BAC ︒-∠-∠（），即： 1180=2ABP αβ∠︒--（）， ∴111=180=90-222BPD ABP BAP αβαβ∠+∠︒-+=-∠（）， 1122ACP B CPD AP βα∠=∠+∠=+， ∴111190902222C BP PD B C PD βαβα∠+∠=++︒-=+∠=︒（）（）， 1190D 909BD 0=22P BP ββ︒-∠=︒-=︒∠-（）.故答案为：1902α︒+；12β．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．注意知识的灵活运用，对角进行代换运算．72．如图，求x和y的值．【答案】x=60，y=50【解析】【分析】根据三角形内角和及外角和定理分别列出方程，求出x,y的值.【详解】解：根据三角形的外角的性质得，x+70=x+x+10，解得，x=60，则x+70=130，，则y=180°-130°=50°，答：x=60，y=50【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角和定理进行列式进行计算.73．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E,则BE、DE的位置关系是；(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是 . 请你完成命题(3)证明.【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.【解析】【分析】(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=12x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠ABH,设∠HDC＝∠ABH=x，可得∠EBH＝∠ABE=12x,则∠DGE=90°+12x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=12（180°-x），所以∠CDF+∠HDC=12（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.【详解】解：（1）BE⊥DE，理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠ABH设∠HDC＝∠ABH=x∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E∴∠HDG＝∠CDG=∠FBH＝∠ABF=12 x又∠∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）DF∥AB,理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA ∴∠HDC＝∠ABH∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA ∴∠HDC＝∠ABH∵BE平分∠ABH，∴∠EBH＝∠ABE=12x∴∠DGE=90°+12x∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM∴∠CDF=12（180°-x）=90°-12x∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x∴∠DGE=∠HDF ∴DF∥AB （3）BE⊥DE，证明如下：设∠BFA＝∠CFD=x,∵∠A＝∠C＝90°∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E∴∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x∴∠BFD=360°-12（90°+x）-12（90°+x）-（180°-x）=90°即BE⊥DE【点睛】本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.74．问题情境如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C 的平分线A n B n－1折叠，点B n与点C 重合，我们就称∠BAC是△ABC 的正角．以图2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线AB1折叠，则∠AA1B=70°.沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角.探究发现（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？（填“是”或“不是”) .（2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ) 之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与∠C （不妨设∠B＞∠C ) 之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角.【答案】（1）是；（2）∠B = 3∠C ；∠B =n∠C；（3）10°；160°【解析】【分析】（1）仔细分析题意根据折叠的性质及题中“正角”的定义即可作出判断；（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折叠的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；（3）因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数），由题意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是17的整数因子，从而可以求得结果.【详解】（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C又∵平分线A1B2∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2∴∆ B1 A1 B2∠∆ C A1 B2∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠BAC是不是△ABC的正角故填：是；（2）折叠的情况如下图：∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C故填：∠B=3∠C；由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角；由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角；由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C故填：∠B=n∠C；（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)，由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，∴m=1，n+1=17，∴m=1，n=16，∴10m=10°,10mn=160°，∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°.【点睛】本题主要考查三角形的三角形的外角定理和图形折叠的特性，解题的关键是理解题意，找出∠B=n ∠C 这个规律.三、填空题75．如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD=30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD=45°，从C 处观测A 、B 两处的视角∠ACB ＝_____【答案】15ｏ【解析】【分析】因为CBD ∠是ABC ∆的外角，所以CBD CAD ACB ∠=∠+∠，则ACB CBD ACB ∠=∠-∠．【详解】解：CBD ∠是ABC ∆的外角，CBD CAD ACB ∴∠=∠+∠，453015ACB CBD ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15°【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键.．76．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA ′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．77．如图，A α∠=，,ABC ACD ∠∠的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD ∠∠的平分线相交于点2P ，2P BC ∠，2P CD ∠的平分线相交于点3P ……以此类推，则n P ∠的度数是___________（用含n 与α的代数式表示）.【答案】12nα⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】由∠P 1CD=∠P 1+∠P 1BC ，∠ACD=∠ABC+∠A ，而P 1B 、P 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，得到∠ACD=2∠P 1CD ，∠ABC=2∠P 1BC ，于是有∠A=2∠P 1，同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，因此找出规律．【详解】解：∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，而∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠P1，∴∠P1=12∠A，同理可得∠P1=2∠P2，∠P2=14A ∠∴∠A=2n∠P n，∴1122n nnP Aα⎛⎫⎛⎫∠=∠=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．78．若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝50°，则∠BOC=_______度．【答案】65°【解析】【分析】利用三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB=130°，根据三角形外角性质得到∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，进而求得∠CBE+∠BCF=230°，根据角平分线定义可知∠1=∠2=12∠CBE，∠3=∠4=12∠BCF，进而求得∠2+∠3=115°，最后利用三角形内角和定理即可解决问题.【详解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB=130°∵∠CBE、∠BCF是△ABC的外角∴∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC∴∠CBE+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=230°∵OB、OC分别平分∠CBE、∠BCF∴∠1=∠2=12∠CBE，∠3=∠4=12∠BCF∴∠2+∠3=12(∠CBE+∠BCF)=115°∵∠2+∠3+∠BOC=180°∴∠BOC=65°故答案为：65°【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角性质，熟练掌握该知识点是解题关键.79．如图，已知B处在A处的南偏西44°方向，C处在A处的正南方向，B处在C处的南偏西80°方向，则∠ABC的度数为_________【答案】36°【解析】【分析】根据方位角的定义及三角形的外角定理即可求解.【详解】如图，依题意得∠BAC=44°，∠BCD=80°，∴∠ABC=∠BCD-∠BAC=36°，故填：36°.【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知方位角的定义及三角形的外角定理.80．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边AC上的一点，若∠DBC=40°，∠A=32°，则∠ABD等于_______度．【答案】18【解析】【分析】根据直角三角形性质可以得知∠BDC=50°，然后利用三角形外角性质：三角形外角等于与其不相邻两内角的和，从而得出答案。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (50)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)在△ABC 中，CA=CB=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角∠PCB=α，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当PN ∥BC 时，∠ACP=_____度．（2）在点P 滑动的过程中，当AP 长度为多少时，△ADP 与△BPC 全等． （3）在点P 的滑动过程中，△PCD 的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．【答案】90【解析】【分析】(1)当PN ∥BC 时，NPM α∠=∠，则1203090ACP ∠=︒︒=︒﹣；(2)根据120ACB ∠=︒，CA CB =，可得30A B ∠=∠=︒，再根据外角的性质可得APD α∠=∠，又AP BC =，可证ADP BPC ≌，即可得出结论.(3)在点P 的滑动过程中，PCD 的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC PD =；PD CD =；PC CD =，分别求出夹角α的大小即可.【详解】(1)当PN ∥BC 时，30NPM α∠=∠=︒，又∵120ACB ∠=︒，∴1203090ACP ∠=︒-︒=︒，故答案为90︒；(2)当4AP =时，ADP BPC ≌，理由为：∵120ACB ∠=︒，CA CB =，∴30A B ∠=∠=︒，又∵APC ∠是BPC 的一个外角，∴30APC B αα∠=∠+∠=︒+∠，∵30APC DPC APD APD ∠=∠+∠=︒+∠，∴APD α∠=∠，又∵4AP BC ==时，∴()ADP BPC ASA ≌；(3)PCD 的形状可以是等腰三角形，则120PCD α∠=︒-，30CPD ∠=︒，①当PC PD =时，PCD 是等腰三角形， ∴18030752PCD PDC ︒-︒∠=∠==︒，即120α75︒-=︒， ∴45α∠=︒；②当PD CD =时，PCD 是等腰三角形， ∴30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α︒=︒﹣， ∴90α=︒；③当PC CD =时，PCD 是等腰三角形，∴30CDP CPD ∠=∠=︒，∴180230120PCD ∠=︒-⨯︒=︒，即120120α︒-=︒，∴0α=︒，此时点P 与点B 重合，点D 和A 重合，综合所述：当45α=︒或90︒或0︒时，PCD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定及等腰三角形的性质.解题的关键是选择适当的条件证明全等，在不确定等腰三角形的腰和底边时，注意分类讨论.92．（2016.镇江）如图，AD 、BC 相交于点O ，AD=BC ，∠C=∠D=90°． （1）若∠ABC=35°，求∠CAO 的度数；（2）求证：CO=DO【答案】（1）20°；（2）见解析；【解析】分析：（1）根据HL 证明Rt △ABC △Rt △BAD ；由全等的性质得∠BAD =△ABC ，根据直角三角形两直角互余可求∠BAC =55 º，从而可求出△CAO 的度数；（2）利用全等三角形的性质可得∠BAD =∠ABC ，BC =AD ，从而可证求证CO =DO .详解：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，△AD=BC，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；∴∠BAD=∠ABC=35°.∵∠ABC=35°，△△BAC=90º-35º=55º,△△CAO=55º-35º=20º.（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠BAD=∠ABC，BC=AD，∴AO=BO，∴BC-BO=AD-AO，∴CO=DO．点睛：本题考查了直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．93．如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．【答案】见解析【解析】分析：(1)此题作法较多，可用平移来作，将△ABC沿射线CB平移，平移距离为BC的长，由此可得所求作的三角形.(2)以AB为公共边为例，作C关于直线AB的对称点C"，然后连接AC″和BC″即可.详解：（1）如图①；（2）如图②.点睛：本题主要考查学生动手作图的能力,注意平移和轴对称作图的应用.题目不难，属于中等题型，掌握网格作图的方法并能灵活运用是关键.94．如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析；【解析】【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE ，再根据ASA 定理证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵ AC ∥DF ，∴ ∠ACB =∠DFE ．在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，∴ △ABC ≌△DEF ．(ASA)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．95．已知，如图， ,12AC BD =∠=∠.(1)求证: ABC ∆≌BAD ∆;(2)若2325∠=∠=°，则D ∠= °.【答案】(1)证明见解析；（2）105°【解析】试题分析：（1）利用SAS 证明三角形ABC ∆≌BAD ∆.（2）利用三角形全等的性质.试题解析：(1),12AC BD =∠=∠.,AB=AB ,所以ABC ∆≌BAD ∆.（2）由（1）得∠1=△2，△D =△C ，2325∠=∠=︒，所以△C=180°-25°-25°-25°=105°.故∠D =△C=105°.点睛：证明三角形全等的方法：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .注:S 是边的英文缩写,A 是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA 不能证明三角形的全等.96．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作AE 的垂线CF ，垂足为F ，过点B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于点D ．（1）求证：AE=CD ；（2）若，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：()1根据同角的余角相等，得到D AEC ∠=∠．用AAS 证明DBC △≌ECA △，即可得出AE CD =．()2根据DBC △≌ECA △,得到,BD EC =根据AB =求得4,AC BC ==求出EC 的长度即可求出BD 的长.试题解析：（1）证明：DB BC CF AE ，，⊥⊥∴90DCB D DCB AEC ∠+∠=∠+∠=︒．∴D AEC ∠=∠．又∵90DBC ECA ∠=∠=︒，且BC CA =，在DBC △与ECA △中 90,D AEC DBC ECA BCAC ．∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴DBC △≌ECA △（AAS ）．∴AE CD =．（2）由（1）得DBC △≌ECA △,,BD EC ∴=∵AB =∴4AC BC ==, ∴1122BD EC BC AC ===， ∴2BD =．97．如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一条直线上，∠A=∠D ，BE=CF ，且AB ∥CD ，求证：AE=DF ．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据AB ∥CD ，得到B C ∠=∠，用ASA 证明ABE △≌DCF ，即可得到AE DF =．试题解析：证明：∵AB ∥CD ，∴B C ∠=∠，在ABE △和DCF 中，∵,A D AB CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE △≌DCF （ASA ），∴AE DF =．98．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．【答案】第二种情况选C，理由见解析；第三种情况补全图见解析，证明见解析.【解析】【分析】第二种情况选C．画出图形即可判断．第三种情况：先证明△CMA≌△FND，推出AM=DN，推出AB=DE，再证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：第二种情况选C．理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）故选C．第三种情况补全图．证明：由△CBM≌△FEN得，CM=FN，BD=EN．在Rt△CMA和Rt△FND中，∵AC DF CM FN=⎧⎨=⎩，∴△CMA≌△FND，∴AM=DN，∴AB=DE．在△ABC和△DEF中，∵AC DF BC EF AB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．99．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE=3cm，AD=9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【答案】（1）DE= 6cm；（2）DE= 12cm．【解析】【分析】（1）由余角的性质，推出∠CBE=∠ECA，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=6cm，（2）根据余角的性质推出∠CBE=∠ACD，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=12cm．解：（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ECA=90°，∴∠CBE=∠ECA，∠BEC=∠CDA．在△BEC和△CDA中，∵BEC CDACBE ECABC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE=CD，CE=AD．∵BE=3cm，AD=9cm，∴CD=3cm，CE=9cm，∴DE=CE﹣CD=6cm．（2）∵∠ACB=90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE=∠ACD．在△CBE和△ACD中，∵BEC CDACBE ACDBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE=CD，CE=AD．∵BE=3cm，AD=9cm，∴DE=CD+CE=BE+AD=12cm．本题主要考查垂直的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于根据相关的判定定理推出相关的三角形全等．100．如图，已知在△ABC 和△ABD 中，AD = BC，∠DAB = ∠CBA，求证：∠C = ∠D．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据“SAS”可证明△ADB△△BAC，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：在△ADB和△BAC中，∵AD＝BC，△DAB＝△CBA，AB＝BA，△△ADB△△BAC（SAS），△△C=△D．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (87)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，通过SAS证明△DEB≌△DFC，即可得到结论．【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在△DEB和△DFC中，∵DE DFDEB DFCBE FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB≌△DFC，∴BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．62．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：∠EAB=∠EAD．【答案】证明见详解【解析】【分析】由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”进行分析证明.【详解】解：证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，∴点E在∠BAD的平分线上，∴∠EAB=∠EAD．【点睛】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键.63．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积为36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长．【答案】125cm 【解析】【分析】由题意作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线性质可得DE=DF ，进而利用ABC BCD ABD S S S =+进行分析计算即可求得DE 的长．【详解】解：作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ，∵△ABC 的面积为36cm 2， ∴113622ABC BCD ABD S S S BC DF AB DE =+=+=cm 2， ∵AB=18cm ，BC=12cm ，∴69691536DF DE DE DE DE +=+==，∴5361125DE ==cm. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．64．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥.（1）说明ADC ADE ∆∆≌的理由；（2）若8AB =，求DEB ∆的周长.【答案】（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质及HL 即可判定Rt Rt ACD AED ∆∆≌；（2）根据全等三角形的性质及周长的定义即可求解.【详解】（1）90C ∠=︒DC AC ∴⊥ AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥CD ED ∴=在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中CD ED AD AD =⎧⎨=⎩Rt Rt ACD AED ∴∆∆≌（2）∵Rt Rt ACD AED ∆∆≌，CA CB =，CD ED =∴8DEB C DB DE EB BC BE AC BE AE BE AB ∆=++=+=+=+==【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质定理.65．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC 的度数.【答案】∠BAC=100°.【解析】【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据三角形外角性质求出∠ECD ，根据角平分线定义求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出即可.【详解】解：∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140°﹣40°=100°.【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理66．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC＝70°，∠C＝30°，求∠DAE和∠AOB．【答案】20°，105°.【解析】【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°，再根据角平分线的性质得到∠CAE=12∠BAC=40°，利用三角形外角性质得∠AED=∠CAE+∠C=70°，进一步求得∠DAE；利用三角形外角的性质得出∠AOB=∠AED+∠CBF进行计算．【详解】∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝40°，∠CBF＝12∠ABC＝35°，∴∠AED＝∠CAE+∠C＝40°+30°＝70°，∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＝90°﹣∠AED ＝20°；∵∠AOB ＝∠AED +∠CBF ，∴∠AOB ＝70°+35°＝105°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握三角形内角和为180°．67．如图，DAB BCD ∠=∠，12180∠+∠=︒，BC 平分ACH ∠.（1）找出图中所有的平行直线，直接写出结论.（2）判断：AD 是GAC ∠的角平分线吗？并说明理由.（3）图中与B 相等的角共有______个.（不包括B ）【答案】（1）AB ∥DC ，AD ∥BC ；（2）是，理由见解析；（3）5【解析】【分析】（1）根据平行线的判定解答即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）根据平行线的性质和等量代换解答即可．【详解】（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ACD=180°，∴∠1=∠ACD，∴AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC=180°，∵∠DAB=∠BCD，∠BCD+∠BCH=180°，∴∠ADC=∠BCH，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AB∥DC，∴∠GAC=∠ACH，∵BC平分∠ACH．∴∠ACB=∠BCH，∴∠GAD=∠DAC，即AD平分∠GAC；（3）∵AB∥DC，∴∠B=∠BCH, ∠DAF=∠ACB.∵AD∥BC，∴∠B=∠GAD, ∠D=∠BCH.∵∠GAD=∠DAC，∴∠B=∠BCH=∠D=∠GAD=∠ACB=∠DAC，∴图中与B相等的角共有5个.【点睛】此题考查平行线的判定和性质，用到的知识点：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．68．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．【解析】【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝12∠AOE、∠EOD＝12∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD ＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD 的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝12∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝12∠AOE，可求出∠EOF的度数．【详解】（1）OF⊥OD．证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠FOE＝12∠AOE，∠EOD＝12∠EOB．∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝12（∠AOE+∠EOB）＝90°．∴OF⊥OD．（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝12∠AOE．∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°．【点睛】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．69．已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．（1）如图1：求证：∠F＝∠D+∠E；（2）如图2：连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；（3）在（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：AF＝FG．【答案】（1）见解析；（2）90 ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F 点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.【详解】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，∵FM∥BD，FM∥HE∴∠1＝∠D，∠2＝∠E∵∠F＝∠1+∠2∴∠F＝∠D+∠E（2）∵DF是角平分线∴∠3＝∠5又∵EF是角平分线∴∠4＝∠6又∵DB∥HE∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800∴∠5+∠6＝900∴∠F＝900（3）过F 点作BD 的垂线，垂足为K ，延长KF 交EH 于点I ；过F 点作FJ 垂线于点J∵DA ∥EH∴∠AKF ＝∠GIF ＝900∵DF 是角平分线∴KF ＝FJEF 是角平分线∴FI ＝FJ∴KF ＝FI在△AKF 和△GIF 中90 KFA IFG AKF GIF KF FI∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△AKF ≌△GIF （AAS ）∴AF ＝FG【点睛】本题考查了平行线、角平分线、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各个知识点，并学会综合运用是解题的关键.70．如图，OA BC ⊥，ODC ABO ∠=∠.(1)请判断CD 和AB 位置关系，并说明理由；(2)ADC ∠的平分线DE 与OAB ∠的平分线交于F ，求F ∠的度数.(3)在(2)的条件下，M 是线段AD 上任意一点(不同于A 、D )，作MN OA ⊥交AF 于N ，作ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点，求P ∠的度数.【答案】（1）CD ⊥AB ，理由见解析；（2）45F ∠=︒；（3）22.5P ∠=︒.【解析】【分析】（1）利用等量代换得出∠ABO +∠OCD =90°，说明CD ⊥AB 即可；（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD 中解决问题即可；（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．【详解】CD ⊥AB .如图，延长CD 交AB 于点P ，∵OA BC ⊥∴∠ODC +∠OCD =90°，∵ODC ABO ∠=∠∴∠ABO +∠OCD =90°，∴∠CPB =180°−(∠ABO +∠OCD )=90°∴CD ⊥AB .（2）∵DE 平分∠ADC ，AF 平分∠OAB ，11()22ADE ADC COD OCD ∴∠=∠=∠+∠ 12FAD BAO ∠=∠， OA BC ⊥，90,90,90COD OAB ABO OCD ODC ，11180()13522FDA COD OCD OCD ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠ ∵ODC ABO ∠=∠∴OCD OAB ∠=∠，∴在△ADF 中，180()F FDA DAF ∠=︒-∠+∠1118013522OCD OAB ⎛⎫=︒-︒-∠+∠ ⎪⎝⎭180135=-︒︒45=︒（3）∵MN OA ⊥∴90NMD ∠=︒，()360225ADF MNF F NDF ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒∵ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点 ∴11,22PDA EDA PNM ANM ()11()18018067.522PDA PNM EDA ANM ADF MNF ∴∠+∠=∠+∠=-∠+-∠=︒︒︒ 360P F ADF MNF PDA PNM ︒∴∠=-∠-∠-∠-∠-∠360()()22.5F ADF MNF PDA PNM ︒=-∠-∠+∠-∠+∠=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线，三角形的外角性质，四边形的内角和定理，角平分线的性质.（1）中能正确画出辅助线是解题关键；（2）中能考虑到利用△AFD 的内角和，并正确表示出FDA ∠和FAD ∠是解题关键；（3）中能表示出四边形DNFP 的其它三个角是解题关键.。
八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)
1.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．证1=∠2，明：∵∠∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中∠B=∠E AB=AE ∠BAC=∠EAD ，≌（ASA），∴△ABC△AED∴BC=ED．与质．全等三角形的判定性2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥A B，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED。
证明：∵MD AB⊥，∠，∴∠MDE=C=90°∥，∵ME BC∠，∴∠B=MED∠∠∠在△ABC与△MED中， ∠B=MED C=EDMDM=AC ，≌（AAS）．∴△ABC MED△全等三角形的判定．如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．∥证明：∵AE CF∠，∴∠AED=CFB∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，在△ADE和△CBF中，∠∠AE=CF AED=CFBDE=BF ，≌△（SAS）．∴△ADE CBF全等三角形的判定．5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=CAD∠．∴在△ACD和△ABD中∠∠AB=AC BAD=CADAD=AD ，△≌，∴△ACD ABD∴BD=CD，∠．∴∠DBC=DCB与质全等三角形的判定性．6.已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB ∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．∥，证明：∵AB CD∠，∴∠BAC=ECD在△BAC和△ECD中 AB=EC∠∠，BAC=ECD AC=CD≌△（SAS），∴△BAC ECD∴CB=ED．与质全等三角形的判定性．7.如图，D、E分别是AB、AC上的点，且AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．在△ABE和△ACD中，∵ AB=AC ∠A=∠A AE=AD ，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．与质全等三角形的判定性．8.已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．：∵AC平分∠BAD，∠，∴∠BAC=DAC在△ABC和△ADC中，∠∠AB=AD BAC=DACAC=AC ，∴△ABC ADC≌△．全等三角形的判定．9.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=C F，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴ ∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F ， ∴△ABC≌△DEF．线质全等三角形的判定；平行的性．10.已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB 且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF．证明：∵AD∥CB，∴∠A=∠C，在△ADF和△CBE中，∠A=∠C AD=CB ∠D=∠B ，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．与质全等三角形的判定性．11.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CFAB=BC ，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；直角三角形全等的判定如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．∵∠ABC=∠BAC=45°∴∠ACB=90°，AC=BC∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠DAC=∠BCE又∵∠ADC=∠CEB∴△ACD≌△CEB∴BE=CD=2．质直角三角形全等的判定；全等三角形的性．如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，BD=CD．∵AB=AC，BD=CD，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD=∠CAD．即AD平分∠BAC．与质全等三角形的判定性．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．：△BCF≌△CBD．△BHF≌△CHD．△BDA≌△CFA．证明：在△BCF与△CBD中，∵AB=AC．∴∠ABC=∠ACB∵BD、CF是角平分线．∴∠BCF=1 2 ∠ACB，∠CBD=1 2 ∠ABC．∴∠BCF=∠CBD，∴ ∠BCF=∠CBD BC=BC ∠ABC=∠ACB∴△BCF≌△CBD（ASA）．全等三角形的判定．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE=Rt△DCF=90°．BD=DC BE=CF ，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．线质与质角平分的性；全等三角形的判定性．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (64)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，OC平分∠AOB,点D，E分别在OA,OB上，点P在OC上且有PD=PE．求证：∠PDO =∠PEB．【答案】证明见解析；【解析】试题分析：过点P作AO、BO的垂线，利用直角三角形全等的判定可证出结论.试题解析：过P做PM垂直OA于M PN垂直OB于N因为OC平分∠AOB所以PM="PN" (角平分线上的点到2边的距离相等)因为PD=PE所以∠PDM全等于∠PEN（HL）所以∠PDO=∠PEB考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定与性质.32．已知：如图，CD∠AB于D，BE∠AC于E，∠1＝∠2．求证：OB＝OC．【答案】证明见解析【解析】试题分析：又CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，可得OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，再由∠BOD=∠COE，可得∠BOD∠∠COE，从而OB＝OC．试题解析：∠CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，∠OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，又∠∠BOD=∠COE，∠∠BOD∠∠COE，∠OB＝OC．考点：1．角平分线的性质；2．三角形全等的判定与性质．33．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．（1）△ABD与△CBD的面积之比为；（2）若△ABC的面积为70，求DE的长．【答案】4:3；5.【解析】AB求出BC两个三角形的面积之比等于底的比求出△ABD与△CBD的面积之比；根据（1）求出的△ABD与△CBD的面积之比，得到△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DE．试题解析：(1)、∵BD是△ABC的角平分线，ABBC =43，∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；(2)、∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，∴△ABD的面积为40，又AB=16，则DE=5．考点：角平分线的性质34．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：．然后证明你的结论（不要求写出已知、求证）．【答案】OM平分∠BOA．【解析】试题分析：根据角作图的画法得出三角形全等，从而说明角平分线.试题解析：OM是∠AOB的角平分线连接CM、DM∠OC=OD，CM=DM，OM=OM，∠∠OCM∠∠OCD，∠∠BOM=∠AOM，∠OM是∠AOB的角平分线．考点：(1)、尺规作图；(2)、三角形全等35．（8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【答案】（1）见解析（2）DM⊥AM，（3）CD+AB=AD【解析】试题分析：（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．试题解析：（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM DM EM CM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △DCM ≌Rt △DEM （HL ），∴CD=DE ，同理AE=AB ，∵AE+DE=AD ，∴CD+AB=AD ．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质36．如图，在∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=AD（1）作∠A 的平分线交CD 于E ；（2）过B 作CD 的垂线，垂足为F ；（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）∠ACE ∠∠ADE ，∠ACE ∠∠CFB ．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线；（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF；（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．试题解析：（1）如图所示：AE即为所求；（2）如图所示：BF即为所求；（3）如图所示：∠ACE∠∠ADE，∠ACE∠∠CFB，∠AC=AD，AE平分∠CAD，∠AE∠CD，EC=DE，在∠ACE和∠ADE中，∠AE=AE，∠AEC=∠AED，EC=ED，∠∠ACE∠∠ADE（SAS）．考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．37．（8分）如图，在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，点E在BC上，将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处．（1）求BE的长；（2）判断∠CEF是什么特殊三角形．【答案】BE=4√2－4【解析】试题分析：（1）先由勾股定理求出AC的长，由折叠可得∠CEF为直角三角形，BE="EF," 设BE=，根据勾股定理可得；（2）由（1）可得EF=FC=，所以直角三角形CEF是等腰直角三角形.试题解析：在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，∠AC=42分将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处.所以BE=EF,∠∠CEF为直角三角形EC2=EF2+FC2 4分设BE=，（4-）2=2+（4-4）24分∠6分EF=FC=7分∠∠CEF是等腰直角三角形8分考点：1.勾股定理；2. 图形折叠的性质；3.等腰直角三角形的判定.38．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，⊥E=⊥3．请问：AD平分⊥BAC吗？若平分，请说明理由．【答案】平分，理由见解析．【解析】【分析】先利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∥1=∥2即可．【详解】解：平分．证明：∥AD∥BC于D，EG∥BC于G，（已知）∥∥ADC=∥EGC=90°，（垂直的定义）∥AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∥∥2=∥3，（两直线平行，内错角相等）∥E=∥1，（两直线平行，同位角相等）又∥∥E=∥3（已知）∥∥1=∥2（等量代换）∥AD平分∥BAC（角平分线的定义）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；角平分线的定义．39．画图说明题，试用几何方法说明你所得结果的正确性．（1）作∠AOB=90°；（2）在∠AOB的内部任意画一条射线OP；（3）画∠AOP的平分线OM以及∠BOP的平分线ON；（4）用量角器量得∠MON= 度．【答案】45，理由见解析【解析】【分析】首先根据题意画出图形，再根据角平分线的性质可得∠POM=1∠POB，2∠PON=12∠POA，然后可得∠POM+∠PON=12（∠POB+∠POA），进而可得答案．【详解】如图所示：∥OM是∥AOP的平分线，ON是∥BOP的平分线，∥∥POM=12∥POA，∥PON=12∥POB，∥∥POB+∥POA=∥AOB=90°，∥∥POM+∥PON=12（∥POB+∥POA）=12∥AOB=12×90°=45°．【点睛】考查了基本作图，以及角平分线的作法，关键是掌握角平分线的画法．40．（本题满分10分）如图，把∠EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=，EF=，∠BAD=60°，且AB.（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若∠EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.【答案】（1）∠EPF=120°；（2）AE+AF=；（3）AP的最大值为8，AP 的最小值为4.【解析】试题分析：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,在RtFPG中，利用锐角三角函数求得∠FPG=60°，即可得∠EPF的度数.（2）作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，可证RtPME∠RtPNF，可得FN=EM；在RtPMA中,利用锐角三角函数求得AM的长，同样的方法求得AN的长，根据AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN即可求得AE+AF的值.（3）当PE∠AB,PF∠AD时，AP的值最大为8，当点A与点E（或点F）重合时，PA的值最小为4.试题解析：解：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,∠PE=PF,PG∠EF,∠FG=EG=,∠FPG=∠EPG=∠EPF.在RtFPG中，,∠∠FPG=60°∠∠EPF=2∠FPG=120°.作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，在菱形ABCD中，∠AD=AB,,DC=BC,AC=AC,∠∠ABC∠∠ADC,∠∠DAC=∠BAC∠点P到AB、CD两边的距离相等，即PM=PN.在RtPME和RtPNF中,∠PM=PN,PE=PF,∠RtPME∠RtPNF∠FN=EM在RtPMA中,∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∠AM=同理，AN=∠AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN=.（3）AP的最大值为8，AP的最小值为4.考点：菱形的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.。
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角的相关计算和证明（习题）
➢ 例题示范
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．
思路分析 ①读题标注：
②梳理思路：
从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；
把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．
（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）
➢ 巩固练习
1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC
⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．
A
B
C D
E
2
1
C B A
第1题图 第2题图
2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠
1+∠2=____________．
3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）
80°
20°
A
C
E D B D E C
A
A ．120°
B ．115°
C ．110°
D ．105°
D A
E
F E
F
A
第3题图 第4题图
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠
D =（ ） A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．
求证：∠A =2∠BCD ．
D B
A
证明：如图， 设∠BCD =α
∵CD ⊥AB （已知）
∴∠BDC =90° （垂直的定义）
∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）
∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD
6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．
求证：AD ∥BC ．
A D
7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．若
∠B=30°，∠C=70°，求
∠DEF的度数．
8.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点
M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度数．
F
E
D C
B
A
➢思考小结
1.我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平
行线，考虑___________________________，看到垂直考虑
______________________，_________________
_________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看
作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑
_______________________________________．
2.阅读材料
我们是怎么做几何题的？
例1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，求∠A的度数．
A
第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）
第二步：走通思路，要求∠A的度数，怎么想？
要求∠A，可以把∠A看作△ABC的一个内角，∠C度数已知，只需求出∠B 的度数即可；
结合题中的条件，由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；
最后，利用三角形的内角和等于180°，
得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．
第三步：规划过程
过程分成三块：
①由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；
②由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；
③利用三角形内角和定理求∠A．
第四步：书写过程
【参考答案】
➢巩固练习
1.60°
2.270°
3. B
4. A
5.证明：如图，
设∠BCD =α
∵CD ⊥AB （已知）
∴∠BDC =90° （垂直的定义）
∴∠BCD+∠B=90° （直角三角形两锐角互余） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）
∵∠A+∠B+∠ACB =180° （三角形的内角和等于180°） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 证明：如图，
A B C
D
E F
1
∵AB ∥DE （已知）
∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）
∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知） ∴∠DAC =∠ACB （等量代换）
∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 7. 解：如图，
在△ABC 中，∠B =30°，∠C =70°（已知）
∴∠BAC=180°-∠B -∠C =180°-30°-70°
=80°（三角形的内角和等于180°）
∴∠EDF =∠B+∠BAD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵∠B=30°（已知）
∴∠EDF=30°+40°
=70°（等量代换）
∵EF⊥BC（已知）
∴∠EFD=90°（垂直的定义）
∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DEF=90°-∠EDF
=90°-70°
=20°（等式的性质）
8.解：如图，
在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B
=180°-70°-40°
=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠DAC=1
2
∠BAC
=1
2
×70°
=35°（角平分线的定义）
∵EF⊥AD（已知）
∴∠APF=90°（垂直的定义）
∴∠AFP+∠DAC =90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠AFP=90°-∠DAC
=90°-35°
=55°（等式的性质）
∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）
∴∠CFM=55°（等量代换）
∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）
∴∠ACB=∠M +∠CFM（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM
=70°-55°
=15°（等式的性质）
➢思考小结
同位角、内错角、同旁内角，
直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；
三角形的内角和等于180°，
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。