最新初中数学角的相关计算和证明综合测试卷含答案
【专项训练】初一数学-角度的计算与证明(1)
【例 1】（2019 春•来宾期末）O 为直线AB 上的一点，OC ⊥OD ，射线OE 平分∠AOD ．（1）如图①，判断∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由；（2）若将∠COD 绕点O 旋转至图②的位置，试问（1）中∠COE 和∠BOD 之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；（3）若将∠COD 绕点O 旋转至图③的位置，探究∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1 ）由角平分线的性质可得∠AOE =1∠AOD ，由角的和差关系可得2∠BOD = 2∠COE ；（2）由角的和差关系可得∠BOD = 2∠COE ；（3）由角的和差关系可得∠BOD + 2∠COE = 360︒．【解答】解：（1）∠BOD=2∠COE，理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠BOD = 90︒-∠AOC射线OE 平分∠AOD ．∴∠AOE =1∠AOD 2∠COE =∠AOE -∠AOC =90︒+∠AOC-∠AOC =90︒-∠AOC=∠BOD2 2 2∴∠BOD = 2∠COE ，（2）不发生变化，理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠COE = 90︒-∠DOE ，且∠BOD =180︒-∠AOD 射线OE 平分∠AOD∴∠AOD = 2∠DOE∴∠BOD = 180︒- 2∠DOE = 2(90︒-∠DOE)∴∠BOD = 2∠COE（3）∠BOD + 2∠COE = 360︒理由如下： OC ⊥OD∴∠COD = 90︒∴∠DOE =∠COE - 90︒，且∠BOD = 90︒+∠BOC = 90︒+ 90︒-∠AOD射线OE 平分∠AOD∴∠AOD = 2∠DOE∴∠BOD =180︒- 2∠DOE∴∠BOD + 2∠COE = 360︒【点评】本题考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，掌握角平分线的性质是本题的关键．1．（2018 秋•金牛区期末）如图，∠AOB=20︒，∠BOC=80︒，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE 的度数为( )A．50︒B．40︒C．30︒D．20︒2．（2018 秋•北仑区期末）如图，OA方向是北偏西40︒方向，OB平分∠AOC，则∠B O C的度数为( )A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒3．（2018 秋•闽侯县期末）如图，OA的方向是北偏东10︒，OB的方向是西北方向，若∠AOC =∠AOB ，则OC 的方向是( )A．北偏东65︒B．北偏东35︒C．北偏东55︒D．北偏东25︒（2019 春•广饶县期末）如图，∠AOB=90︒，∠AOC为∠AOB外的一个锐角，且∠AOC=4．40︒，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数为( )A．45︒B．65︒C．50︒D．25︒5．（2018 秋•龙华区校级期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，若∠ABC = 35︒，则∠DBE 的度数为( )A．55︒B．50︒C．45︒D．60︒6．（2018 秋•洪ft区期末）如图，O为直线AB 上一点，∠DOC为直角，OE平分∠BOC，OF 平分∠A O D，OG 平分∠A O C，下列结论：①∠BOE 与∠DOF 互为余角；②2∠AOE -∠BOD = 90︒；③∠EOD 与∠COG 互为补角；④∠BOE -∠DOF = 45︒；其中正确的是( )A．①②③④ B．③④C．②③D．②③④7．（2018 秋•崆峒区期末）一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的3 倍，则这个角是( )A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒8．（2018 秋•闽侯县期末）如图，点A ，O，B 在一条直线上，∠AOC=120︒，OD是∠BOC 的平分线，则∠COD =．9．（2018 秋•宝安区期末）如图，已知∠AOB=130︒，以点O为顶点作直角∠COB，以点O为端点作一条射线OD ．通过折叠的方法，使OD 与OC 重合，点B 落在点B'处，OE 所在的直线为折痕，若∠COE = 15︒，则∠AOB'=度．10．（2018 秋•青ft区期末）已知∠AOB=60︒，∠BOC=30︒，OE平分∠AOC，则B O E= ．11．（2018 秋•广西期末）解答下列各题：（1）把一副三角尺(∆COD 和∆ABO) 在平整的桌面上叠放成如图所示的图形，已知OB 平分∠COD ，求∠AOC 的度数；（2）如图，点O 在直线AB 上，∠1 = 40︒，∠4 = 20︒，∠2 比∠3 大10︒，求∠BOD 的度数．12．（2018 秋•定襄县期末）已知∠AOB=108︒，∠BOC=22︒，射线OD、OE分别是∠AOB和∠BOC 的平分线，求∠DOE 的度数．13．（2018 秋•乌鲁木齐期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC．如果∠AOB = 88︒，∠BOC = 36︒，求∠DOE 的度数．14．（2018 秋•沙依巴克区期末）如图，O为直线AB 上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90︒．（1）若∠AOC = 50︒，求∠COE 和∠BOE 的度数；（2）猜想：OE 是否平分∠BOC ？请直接写出你猜想的结论．15．（2018 秋•龙泉驿区期末）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF 平分∠AOC ．（1）如图 1，若∠AOB = 120︒，∠AOC = 50︒，求∠EOF 的度数；（2）如图 2，若∠AOB =α，∠AOC =β，求∠EOF 的度数．16．（2018 秋•锦江区校级期末）如图①，已知线段CD在线段AB 上运动，线段AB=10cm，CD = 2cm ，点E 、F 分别是AC 、BD 的中点．（1）若AC = 3cm ，求EF 的长．（2）当线段CD在线段AB 上运动时，试判断EF 的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD 在∠AOB 内部转动，OE 、OF分别平分∠AOC 和∠BOD ，则∠EOF 、∠AOB 和∠COD 有何关系，请直接写出．17．（2018 秋•建邺区校级期末）如图，射线OC端点O在直线AB 上，∠AOC=∠DOC，OE平分∠DOB ．（1）当∠AOC = 110︒时，求∠BOE 的度数；（2）OC 与OE 有怎样的位置关系？为什么？18．（2018 秋•闽侯县期末）已知：∠AOB=140︒，OC，OM，ON是∠AOB内的射线．（1）如图 1 所示，若OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数：（2）如图 2 所示，OD 也是∠AOB 内的射线，∠COD = 15︒，ON 平分∠AOD ，OM 平分∠BOC ．当∠COD 绕点O 在∠AOB 内旋转时，∠MON 的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON 的大小；（3）在（2）的条件下，以∠AOC = 20︒为起始位置（如图3) ，当∠COD 在∠AOB 内绕点O 以每秒3︒的速度逆时针旋转t 秒，若∠AON : ∠BOM =19 :12 ，求t 的值．19．（2018 秋•汉阳区期末）已知∠AOD=160︒，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图 1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ．当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图 2，若∠BOC = 20︒，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．当B O C绕点O 在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（3）在（2）的条件下，以∠AOB = 10︒为起始位置，当∠B O C的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM =2∠DON ．求t 的值．3在∠AOD 内绕着点O 以2︒ / 秒20．（2018 秋•双台子区期末）如图 1，点O为直线AB 上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O 处，即∠MON ，反向延长射线ON ，得到射线OD ．（1）当∠MON 的位置如图（1）所示时，使∠NOB = 20︒，若∠BOC = 120︒，求∠COD 的度数．（2）当∠M O N的位置如图（2）所示时，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，问：射线ON 的反向延长线OD 是否平分∠AOC ？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件（3）当∠MON 的位置如图（3）所示时，射线ON 在∠AOC 的内部，若∠BOC = 120︒．试探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．1．【解答】解：∠AOB = 20︒ ， ∠BOC = 80︒ ，∴∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100︒而OE 是∠AOC 的角平分线， ∴∠COE = 1 ∠AOC = 50︒ 2故选： A ．2．【解答】解： OA 方向是北偏西40︒ 方向，∴∠AOC = 40︒ + 90︒ = 130︒ ，OB 平分∠AOC ，∴∠BOC = 1 ∠AOC = 65︒ ，2故选： D ．3．【解答】解： ∠AOB = 45︒ +10︒ = 55︒ ，则∠AOC = ∠AOB = 55︒ ， OC 与正北方向的夹角是55 +10 =65︒ ． 则OC 在北偏东65︒ ．故选： A ．4．【解答】解：OM ON OE∠AOB = 90︒ ，且∠AOC = 40︒ ，∴∠COB = ∠AOB + ∠AOC = 90︒ + 40︒=130︒ ， 平分∠BOC ，∴∠BOM = 1 ∠BOC = 65︒ ，2∴∠AOM = ∠AOB - ∠BOM =25︒ ， 平分∠AOC ，∴∠AON = 1 ∠AOC = 20︒ ，2∴∠MON = ∠AOM + ∠AON = 45︒ ．∴∠MON 的度数是45︒ ． 故选： A ．5．【解答】解：一张长方形纸片沿 BC 、 BD 折叠，∴∠ABC = ∠A 'BC ， ∠EBD = ∠E 'BD ，而∠ABC + ∠A 'BC + ∠EBD + ∠E 'BD =180︒ ，∴∠A 'BC + ∠E 'BD = 180︒ ⨯ 1 = 90︒ ，2即∠ABC + ∠DBE = 90︒ ，∠ABC = 35︒ ，∴∠DBE =55︒ ． 故选：A ．6．【解答】解： 平分∠BOC ， OG 平分∠AOC ，∴∠BOE + ∠AOG = 90︒ ，∠AOG ≠ ∠DOF ，∴①错误；∠AOE =180︒ - ∠EOB ， ∠BOD = 360︒ - ∠DOC - ∠COBOE 平分∠BOC ， ∠DOC = 90︒ ，∴2∠AOE = 360︒ - 2∠EOB = 360︒ - ∠COB ， ∠BOD = 270︒ - ∠COB ∴2∠AOE - ∠BOD = 90︒ ，∴②正确；∠DOC = ∠EOG = 90︒ ，∴∠EOD =∠DOC + ∠EOC = 90︒ + ∠EOC ， ∠EOC + ∠COG = ∠EOG =90︒ ，OE ∴③正确；OG 平分∠AOC ， OF 平分∠AOD ， ∠DOC = 90︒ ， ∴∠DOF + ∠COG = 45︒ ，平分∠BOC ， OG 平分∠AOC ，∴∠BOE + ∠COG = 90︒ ，∴∠BOE - ∠DOF = 45︒ ；∴④正确．综上所述，正确的有②③④． 故选： D ．7．【解答】解：设这个角为∠α ，依题意，得180︒ - ∠α +10︒ = 3(90︒ - ∠α)解得∠α =40︒ ． 故选：C ．8．【解答】解：∠AOC 与∠BOC 是邻补角，∴∠AOC +∠BOC =180︒，∠AOC =120︒，∴∠BOC =180︒-120︒= 60︒，OD 平分∠BOC ，∴∠COD =1∠BOC =1⨯ 60︒= 30︒．2 2故答案为：30︒．9．【解答】解：OEOE 平分∠COD ， OE 平分∠BOB ' ，∴∠COD = 2∠COE = 30︒ ，∠COB = 90︒ ，∴∠COB ' = ∠DOB = 60︒ ，∠AOB = 130︒ ，∴∠COA = ∠AOB - ∠COB = 40︒ ，∴∠AOB ' = ∠COB ' - COA = 60︒ - 40︒ = 20︒ ，故答案为 20．10．【解答】解：如图：当∠BOC 在∠AOB 的外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60︒ + 30︒ = 90︒ ，OE 平分∠AOC ，∴∠AOE = 1 ∠AOC = 45︒ ，2∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 60︒ - 45=15︒ ； 当∠BOC 在∠AOB 的内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60︒ - 30︒ = 30︒ ，OE 平分∠AOC ，∴∠AOE = 1 ∠AOC = 15︒ ，2∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 60︒ -15︒ =45︒ ． 故答案为15︒ 或 45︒ ．11．【解答】解：（1）由图得∠COD = 45︒ ， ∠AOB =90︒ ，因为OB 平分∠COD ，所以∠COB = 1 ∠COD =22.5︒ ， 2所以∠AOC = ∠AOB - ∠COB = 90︒ - 22.5︒ = 67.5︒ ；（2）由图得∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4=180︒ ， 即40︒ + (∠3 +10︒) + ∠3 +20︒ = 180︒ ， 解得∠3 = 55︒ ，所以∠BOD = ∠3 + ∠4 = 55︒ + 20︒ = 75︒ ．12．【解答】解：（1）当OC 在∠AOB 的内部时，如图 1 所示：是∠BOC 的平分线，1OE OE 2又∠BOC = 22︒，∴∠BOE =11︒，OD 是∠AOB 的平分线，∴∠AOD =∠BOD =1∠AOB ，2又∠AOB =108︒，∴∠BOD = 54︒，又∠DOE =∠BOD -∠BOE ，∴∠DOE = 54︒-11︒= 43︒；（2）当OC 在∠AOB 的外部时，如图 2 所示：是∠BOC 的平分线，∴∠BOE =∠COE =1∠BOC ，2又∠BOC = 22︒，∴∠BOE = 11︒，OD 是∠AOB 的平分线，∴∠AOD =∠BOD =1∠AOB ，2又∠AOB =108︒，∴∠BOD = 54︒，又∠DOE =∠BOD +∠BOE ，∴∠DOE = 54︒+11︒= 65︒；综合所述，∠DOE 的度数为43︒或65︒．13．【解答】解：如图所示：∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∠AOB = 88︒，∠BOC = 36︒，∴∠AOC = 88︒+ 36︒= 124︒，又平分∠AOC ，∴∠COE =1∠AOC = 62︒，2又∠COE =∠BOE +∠BOC ，∴∠BOE = 62︒- 36︒= 26︒，又∴OD 平分∠BOC ，∴∠BOD =1∠BOC = 18︒，2又∠DOE =∠BOE +∠BOD ，∠DOE OFOF 14．【解答】解：（1） OD 平分∠AOC ， ∠AOC = 50︒ ，∴∠COD = ∠AOD = 1 ∠AOC = 1 ⨯ 50︒ = 25︒ ，2 2= 90︒ ．∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 90︒ - 25︒ = 65︒ ，∠BOE =180︒ - ∠AOD - ∠DOE =180︒ - 25︒ - 90︒ = 65︒ ；（2）结论： OE 平分∠BOC ． 理由：设∠AOC = 2α ，OD 平分∠AOC ， ∠AOC = 2α ，∴∠AOD = ∠COD = 1 ∠AOC = α ，2又 = 90︒∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 90︒ - α ．又 ∠BOE =180︒ - ∠DOE - ∠AOD =180︒ - 90︒ -α = 90︒ - α ， ∴∠COE = ∠BOE ，即OE 平分∠BOC ．15．【解答】解：（1） 平分∠AOC ，∴∠COF = 1 ∠AOC = 1 ⨯ 50︒ = 25︒ ，2 2∠BOC = ∠AOB - ∠AOC =120︒ - 50︒ = 70︒ ， OE 平分∠BOC ，∴∠EOC = 1 ∠BOC = 35︒ ，2∴∠EOF = ∠COF + ∠EOC = 60︒ ；（2） 平分∠AOC ，∴∠COF = 1 ∠AOC ，2同理， ∠EOC = 1 ∠BOC ，2∴∠EOF = ∠COF + ∠EOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOC ) 2= 1 ∠AOB2= 1 α ．2∠DOE∴DB = 5cm ，AB = 10cm ，CD = 2cm ，AC = 3cm ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴CE =1AC = 1.5cm ，DF =1DB = 2.5cm ，2 2∴EF =EC +CD +DF =1.5 + 2 + 2.5 = 6cm ；（2）EF 的长度不变．E 、F 分别是AC 、BD 的中点∴EC =1AC ，DF ==1DB ，2 2∴EF =EC +CD +DF=1AC +CD +1DB 2 2=1( AC +DB) +CD 2=1( AB -CD) +CD 2=1( AB +CD) ，2AB = 10cm ，CD = 2cm ，∴EF = 6cm ；（3）∠EOF =1(∠AOB +∠COD) ．2理由：OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD ，∴∠COE =1∠AOC ，∠DOF =1∠BOD ，2 2∴∠EOF =∠COE +∠COD +∠DOF=1∠AOC +∠COD +1∠BOD 2 2=1(∠AOC +∠BOD) +∠COD 2=1(∠AOB -∠COD) +∠COD 2= (∠AOB +∠COD) ．故答案∠EOF =1(∠AOB +∠COD) ．217．【解答】解：（1）OE ∠AOC + ∠BOC =180︒ ， ∠AOC = 110︒ ，∴∠BOC =180︒ - ∠AOC =180︒ -110︒ = 70︒ ，∠COD = ∠AOC =110︒ ，∴∠BOD = ∠COD - ∠BOC =110︒ - 70︒ = 40︒ ，平分∠BOD ，∴∠BOE = 1 ∠BOD = 1 ⨯ 40︒ = 20︒ ；2 2（2） OC 与OE 的位置关系是垂直．理由：OE ON ∠COD = ∠AOC ，设∠COD = ∠AOC =α ，∴∠COB =180︒ - ∠AOC =180︒ - α ， ∠DOB = ∠AOC + ∠DOC -180︒ = 2α -180︒ ， 平分∠DOB ，∴∠BOE = 1 ∠DOB = α - 90︒ ，2∴∠COE = ∠COB + ∠BOE= (180︒ - α ) + (α - 90︒)= 90︒ ，∴OC ⊥ OE ．18．【解答】解：（1）OM OM ON 22 平分∠AOC ， OM 平分∠BOC ，∴∠CON = 1 ∠AOC ， ∠COM = 1 ∠BOC2 2∠MON = ∠CON + ∠COM = 1 (∠AOC + ∠BOC ) 2= 1 ∠AOB2又 ∠AOB = 140︒∴∠MON = 70︒答： ∠MON 的度数为70︒ ．（2） 平分∠BOC ， ON 平分∠AOD ，∴∠COM = 1 ∠BOC ， ∠DON = 1 ∠AOD ，2 2即∠MON = ∠COM + ∠DON - ∠COD= 1 ∠BOC + 1 ∠AOD - ∠COD2 2= 1 (∠BOC + ∠AOD ) - ∠COD2= 1 (∠AOB + ∠COD ) - ∠COD2= 1 (∠AOB - ∠COD ) 2= 1 ⨯ (140︒ -15︒) 2= 62.5︒答： ∠MON 的度数为62.5︒ ．（3） 平分∠BOC ，∴∠AON = 1 ∠AOD2= 1 (∠AOC + ∠COD ) 2= 1 ⎡⎣(20︒ + 3︒t ) + 15︒⎤⎦ 平分∠AOD ，∴∠BOM = 1 ∠BOC2= 1 (∠AOB - ∠AOC ) 2= 1 ⎡⎣140︒ - (20︒ + 3︒t )⎤⎦ 又 ∠AON : ∠BOM =19 :12 ，2 2 OM ∴ 1 ⎡⎣(20︒ + 3︒t ) +15︒⎤⎦ : 1 ⎡⎣140︒ - (20︒ + 3︒t )⎤⎦ = 19 :12 即 12 ⨯ (3︒t + 45︒)=19 ⨯ (120︒-3︒t )得 t = 20答： t 的值为 20． 19．【解答】解：（1）如图 1∠AOD =160︒ ， OM 平分∠AOB ， ON 平分∠BOD ， ∴∠MOB = 1 ∠AOB ， ∠BON = 1 ∠BOD ，2 2∠MON = ∠MOB + ∠BON= 1 ∠AOB + 1 ∠BOD2 2= 1(∠AOB + ∠BOD )2 = 1 ∠AOD2= 80︒ ，答： ∠MON 的度数为80︒ ；（2） 平分∠AOC ， ON 平分∠BOD ，∴∠MOC = 1 ∠AOC ， ∠BON = 1 ∠BOD ，2 2①射线OC 在OB 左侧时，如图：∠MON = ∠MOC + ∠BON - ∠BOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOD - ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOD ) - ∠BOC2= 1 (∠AOD + ∠BOC ) - ∠BOC2= 1(∠AOD - ∠BOC )2= 1 ⨯ (160︒ - 20︒)2 = 70︒ ；②射线OC 在OB 右侧时，如图：∠MON = ∠MOC + ∠BON + ∠BOC= 1 ∠AOC + 1 ∠BOD + ∠BOC2 2= 1 (∠AOC + ∠BOD ) + ∠BOC2∠AOM = 1 (∠AOD - ∠BOC ) + ∠BOC2= 1(∠AOD + ∠BOC )2 = 1⨯ (160︒ + 20︒)2 = 90︒ ；答： ∠MON 的度数为70︒ 或90︒ ．（3）根据（2）中的第一种情况，得∠AOC = ∠AOB + ∠BOC =10︒ + 2︒t + 20︒ = 2︒t +30︒ ． 射线OM 平分∠AOC ，∴∠AOM = 1 ∠AOC = t ︒ + 15︒ ．2∠BOD = ∠AOD - ∠AOB ， ∠AOD = 160︒ ，∴∠BOD = 160︒ - (10︒ + 2︒t ) = 150︒ - 2︒t ．射线ON 平分∠BOD ，∴∠DON = 1 ∠BOD = 75︒ - t ︒ ．2又 : ∠DON = 2 : 3，∴(t ︒ +15︒) : (75︒ - t ︒) = 2 : 3 ，即 3⨯ (t ︒ +15︒)=2 ⨯ (75︒ - t ︒)解得t = 21．根据（2）中的第二种情况，观察图形可知：∠AOB = 10︒，∠BOC = 20︒时，OC 在∠AOD 外，这种情况不可能存在．答：t 的值为 21 秒．20．【解答】解：（1）∠AOB =180︒，∠NOB = 20︒，∠BOC = 120︒，∴∠COD =∠AOB -∠NOB -∠BOC=180︒- 20︒-120︒= 40︒，∴∠COD 为40︒；（2）OD 平分∠AOC ，理由如下：∠MONOM = 90︒ ，∴∠DOM =180︒ - ∠MON =180︒ - 90︒ = 90︒ ，∴∠DOC + ∠MOC = ∠MOB + ∠BON = 90︒ ，平分∠BOC ，∴∠MOC = ∠MOB ，∴∠DOC = ∠BON ，∠AOD = ∠BON ，∴∠DOC = ∠AOD ，∴OD 平分∠AOC ；（3） ∠AOM - ∠NOC = 30︒ ．原因：∠BOC =120︒ ，∴∠AOC =180︒ - ∠BOC = 60︒ ，= 90︒ ，∴∠MON - ∠AOC = 30︒ ，= ∠AOM +∠AON ，∠AOC = ∠NOC +∠AON ， ∴∠MON - ∠AOC = (∠AOM +∠AON ) - (∠NOC +∠AON ) = 30︒ ， 即∠AOM - ∠NOC = 30︒ ．∠MON ∠MON。
人教版八年级数学上册 角的相关计算和证明(习题及答案)
角的相关计算和证明（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______．思路分析 ①读题标注：②梳理思路：从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°；把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．）➢ 巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．ABC DE21C B A第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）80°20°ACE D B D E CAA ．120°B ．115°C ．110°D ．105°D AEF EFA第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =2∠BCD ．D BA证明：如图， 设∠BCD =α∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90° （垂直的定义）∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．A D7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．若∠B=30°，∠C=70°，求∠DEF的度数．8.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度数．FED CBA➢思考小结1.我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，__________________________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形的一个内角考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，求∠A的度数．A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）第二步：走通思路，要求∠A的度数，怎么想？要求∠A，可以把∠A看作△ABC的一个内角，∠C度数已知，只需求出∠B 的度数即可；结合题中的条件，由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°，再由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；最后，利用三角形的内角和等于180°，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．第三步：规划过程过程分成三块：①由DE∥BC，∠DEF=50°得∠EFC=∠DEF=50°；②由EF∥AB得∠B=∠EFC=50°；③利用三角形内角和定理求∠A．第四步：书写过程【参考答案】➢巩固练习1.60°2.270°3. B4. A5.证明：如图，设∠BCD =α∵CD ⊥AB （已知）∴∠BDC =90° （垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90° （直角三角形两锐角互余） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）∵∠A+∠B+∠ACB =180° （三角形的内角和等于180°） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 证明：如图，A B CDE F1∵AB ∥DE （已知）∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知） ∴∠DAC =∠ACB （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 7. 解：如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =70°（已知）∴∠BAC=180°-∠B -∠C =180°-30°-70°=80°（三角形的内角和等于180°）∴∠EDF =∠B+∠BAD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠B=30°（已知）∴∠EDF=30°+40°=70°（等量代换）∵EF⊥BC（已知）∴∠EFD=90°（垂直的定义）∴∠EDF+∠DEF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-70°=20°（等式的性质）8.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP+∠DAC =90°（直角三角形两锐角互余）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（等式的性质）∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠ACB=∠M +∠CFM（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（等式的性质）➢思考小结同位角、内错角、同旁内角，直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。
人教版七年级上册数学期末复习：角的计算综合 练习题汇编(含答案)
人教版七年级上册数学期末复习：角的计算综合练习题汇编1．如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．（1）当∠BOC＝140°时，求∠AOM的度数；（2）当∠AOC＝30°，∠BOD＝60°时，求∠MON的度数；（3）当∠COD＝x度时，则∠MON＝度．（请直接写出答案）2．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠EOC＝65°，∠DOC＝25°，求∠AOB的度数．3．如图，已知射线OC在∠AOB内，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．（2）探究∠MON与∠AOB的数量关系．4．如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OC平分∠AOD，∠AOC+∠EOB＝90°．（1）求∠COE的度数；（2）判断∠DOE和∠EOB之间有怎样的关系，并说明理由．5．填空，完成下列说理过程．如图，点A、O、B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD＝∠AOC因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE＝所以∠DOE＝∠COD+ ＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝°（2）由（1）可知∠DOE＝90°因为∠COD＝65°所以＝∠COD＝65°则：∠AOE＝∠AOD+ ＝°6．如图，O为直线AB上一点，∠BOE＝80°，直线CD经过点O．。
(完整版)初中数学三角形证明题练习及答案
三角形证明题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°5．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°6．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定9．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）10．△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是（ ）15．如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，C 在MN 外，且与A 点在MN 的同一侧，BC 交MN 于P 点，则（ ）16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，BF=CD ，CE=BD ，那么∠EDF 等于（ ）17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论不一定成立的是（ ）A ． 110°B ． 120°C ． 130°D ． 140° A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8A ． 13cmB ． 14cmC ． 15cmD ． 16cmA ． 50°B ． 75°C ． 80°D ． 105°A ． AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ B ． ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′ C ． AC=A ′C ′，AB=A ′B ′D ． ∠B=∠B ′，BC=B ′C ′ A ． B C ＞PC+AP B ． B C ＜PC+AP C ． B C=PC+AP D ． B C ≥PC+APA ． 90°﹣∠AB ．90°﹣∠AC ． 180°﹣∠AD ．45°﹣∠AA ． △ABD ≌△ACDB ． AD 是△ABC 的高线 C ． AD 是△ABC 的角平分线 D ． △ABC 是等边三角形三角形证明中经典题21.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC 中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则 S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）．．．．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN 于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD 中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考等腰三角形的性质．点：分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是 67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．等腰三角形的性质．考点：专证明题．题：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．分析：解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。
七年级数学角度的计算(专题)(含答案)
角度的计算（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：∵∠AOB=150°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC＝150°-90°=60°．∵∠BOD=90°，∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：余角2.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC=110°，则∠AOC的度数为( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，已知∠COD为平角，OA⊥OE，且，则∠DOE的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵∠COD为平角∴∠COD=180°，即∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°．∵OA⊥OE∴∠AOE=90°．∴∠AOC+∠DOE=180°-∠AOE=180°-90°=90°．∴∠AOC=2∠DOE，∴2∠DOE+∠DOE=3∠DOE=90°，∴∠DOE=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：平角的定义4.如图，直线AB与EO相交于点O，∠EOB=90°，∠FOD=90°，如果∠AOD=140°，那么∠EOF 的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°答案：C解题思路：∵∠AOD=140°∴∠BOD=40°∵∠EOB=90°∴∠EOD+∠BOD=90°∵∠FOD=90°∴∠FOE+∠EOD=90°∴∠FOE=∠BOD=40°故选C．试题难度：三颗星知识点：平角5.已知∠AOB=70°，以O端点作射线OC，使∠AOC=28°，则∠BOC的度数为( )A.42°B.98°C.42或98°D.82°答案：C解题思路：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-28°=42°当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+28°=98°故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算6.已知从点O出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=50°，∠AOC=30°，则∠BOC的度数为( )A.80°或20°B.40°或10°C.40°或20°D.80°或10°答案：A解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOC∠AOB，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的右边，如图1，求∠BOC，设计方案：∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+30°=80°②射线OC在射线OA的左边，如图2，求∠BOC的度数，设计方案：∠BOC=∠AOB-∠AOC=50°-30°=20°综上，∠BOC的度数为80°或20°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算7.已知∠AOB为直角，∠AOC=40°，若OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.65°或25°B.65°或85°C.5°或65°D.5°或85°答案：D解题思路：分析：根据题意，先作∠AOB，因为射线OC的位置不确定，且∠AOB∠AOC，故需分以下两种情况：①射线OC在射线OA的左边，如图1，求∠MOC的度数，设计方案：②射线OC在射线OA的右边，如图2，求∠MOC的度数，设计方案：综上，∠MOC的度数为5°或85°．故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.已知∠AOB=60°，∠AOC=4∠BOC，则∠AOC的度数为( )A.12°或20°B.12°或48°C.48°或80°D.20°或80°答案：C解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，需要分类讨论．因为∠AOC=4∠BOC，所以∠AOC∠BOC，则射线OC只能在射线OA的右边，分以下两种情况．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得x+4x=60°，解得x=12°，所以∠AOC=4×12°=48°．①当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠AOC的度数，设计方案：设∠BOC=x，则∠AOC=4x，依题意得4x-x=60°，解得x=20°，所以∠AOC=4×20°=80°．综上所述，∠AOC的度数为48°或80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算9.已知∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，OM平分∠AOB，则∠MOC的度数为( )A.9°或81°B.72°或54°C.9°或18°D.81°或18°答案：A解题思路：由题意，射线OC的位置不确定，因此需要分类讨论．①当射线OC在∠AOB的内部时，如图1所示，由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=18°，所以．②当射线OC在∠AOB的外部时，如图2所示，求∠MOC的度数，设计方案：由∠AOB=54°，∠AOC=2∠BOC，得∠BOC=54°，所以．综上所述，∠MOC的度数为9°或81°．故选A．试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，且∠BOC∠AOC，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数为( )A.30°或50°B.20°或60°C.30°D.50°答案：C解题思路：分析知射线OC的位置不确定，需要分类讨论，又因为∠BOC∠AOC，所以符合题意的只有一种情况．如下图所示，由∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，得∠AOC=80°，所以．综上所述，∠MOD的度数为30°．故选C．试题难度：三颗星知识点：角度的计算。
人教版初中数学八年级上册第十一单元《三角形》综合测试卷(解析版)
⼈教版初中数学八年级上册第⼗⼀单元《三⾓形》综合测试卷（解析版）⼀⼆三四总分⼀、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2023八上·双鸭⼭期中）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的⾼的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）（2023七上·沭阳⽉考）⼀块矩形草坪的⻓比宽多10米，它的周⻓是132米，求宽x所列的⽅程是（ ）A．x+10=132B．2x+10=132C．22x+10=132D．2x−10=132 3．（3分）（2020七上·庆云⽉考）代数式|x−2|+3的最⼩值是（ ）A．0B．2C．3D．54．（3分）（2020八上·余⼲⽉考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC为（ ）A．等腰三⾓形B．锐⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．钝⾓三⾓形5．（3分）（2023七下·承德期末）下列四个选项中，∠1与∠2互为邻补⾓的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）（2024八上·合江期末）根据图中的数据，可得∠B的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（3分）（2022七上·晋州期中）已知射线OC 在∠AOB 的内部，下列4个表述中：①∠AOC =12∠AOB ；②∠AOC =∠BOC ；③∠AOB =2∠BOC ；④∠AOC +∠BOC =∠AOB ，能表⽰射线OC 是∠AOB 的⾓平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）（2022八上·港南期中）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2021九下·曹县期中）如图，在平⾯直⾓坐标系中，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，…， A n 在 x 轴上，点 B 1 ， B 2 ，…， B n 在直线 y 上，若点 A 1 的坐标为 (1，0) ，且 △A 1B 1A 2 ， △A 2B 2A 3 ，…， △A n B n A n +1 都是等边三⾓形，从左到右的⼩三⾓形（阴影部分）的⾯积分别记为 S 1 ， S 2 ，．．， S n ，则 S n 可表⽰为（ ）A ．22B ．22n −C ．22n −D ．22n −10．（3分）（2021八上·诸暨⽉考）如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于G ，若∠BDC ＝130°，∠BGC ＝100°，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°⼆、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)11．（3分）过⼗边形的⼀个顶点可作对⾓线的条数为m，则m的值为 ．12．（3分）（2024七下·⽞武期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB上，BE、CF相交于点O，若AFBF =m，则OEOB= ．13．（3分）（2024七下·⻄安期中）已知三⾓形两边的⻓分别为1cm，5cm，第三边⻓为整数，则第三边的⻓为 .14．（3分）（2024七下·淮阴期中）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AC边上⼀点，AD和BE交于点O，CE=14AC，△ABC的⾯积是2024，若把△ABO的⾯积记为S1，把四边形CDOE的⾯积记为S 2，则S1−S2的值为 ．15．（3分）（2018八上·武汉⽉考）图中x的值为 .三、解答题（共7题，共65分）(共7题；共65分)16．（10分）（2018八上·潘集期中）某零件如图所⽰，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝146°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？17．（5分）（2023八上·鹿寨期中）已知⼀个多边形中，每个内⾓都相等，并且每个外⾓等于与它相，求这个多边形的边数及内⾓和．邻的内⾓的1818．（5分）（2023八上·城厢开学考）已知：△ABC中，图①中∠B、∠C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外⾓平分线相交于N，（1）（1分）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ ° ．（2）（1分）若∠A＝β，试⽤β表⽰∠BMC和∠BNC19．（11分）（2016八上·肇庆期末）⼀个零件的形状如图所⽰，按规定∠A=90º，∠C=25º，∠B=25º，检验员已量得∠BDC=150º，请问：这个零件合格吗？说明理由。
新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)
新人教版七年级数学上册专题训练：角的计算(含答案)专题训练角的计算类型1 利用角度的和、差关系要求求解的角与已知角之间有和、差关系，可以利用角度和、差来计算。
1.如图，已知 $\angle AOC=\angle BOD=75°$，$\angle BOC=30°$，求 $\angle AOD$ 的度数。
解：因为 $\angle AOC=75°$，$\angle BOC=30°$，所以$\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC=75°-30°=45°$。
又因为$\angle BOD=75°$，所以 $\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD=45°+75°=120°$。
2.将一副三角板的两个顶点重叠放在一起（两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°）。
1) 如图1所示，在此种情形下，当 $\angle DAC=4\angle BAD$ 时，求 $\angle CAE$ 的度数。
2) 如图2所示，在此种情形下，当 $\angle ACE=3\angle BCD$ 时，求 $\angle ACD$ 的度数。
解：(1) 因为 $\angle BAD+\angle DAC=90°$，$\angle DAC=4\angle BAD$，所以 $5\angle BAD=90°$，即 $\angle BAD=18°$。
所以 $\angle DAC=4\times18°=72°$。
因为 $\angle DAE=90°$，所以 $\angle CAE=\angle DAE-\angle DAC=18°$。
2) 因为 $\angle BCE=\angle DCE-\angle BCD=60°-\angle BCD$，$\angle ACE=3\angle BCD$，所以 $\angle ACB=\angle ACE+\angle BCE=3\angle BCD+60°-\angle BCD=90°$。
部编数学七年级上册专题13角综合运算(专题测试)(解析版)含答案
专题13 角综合运算（专题测试）满分：100分时间：90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2022春•周村区期末）若∠A＝53°17'，则∠A的余角的度数为（ ）A．36°43'B．46°43'C．36°17'D．46°17'【答案】A【解答】解：∵∠A＝53°17′，∴∠A的余角＝90°﹣53°17′＝89°60′﹣53°17′＝36°43′．故选：A．2.（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；故选：C3．（2022春•乳山市期末）已知∠α＝35°，则∠α的补角度数是（ ）A．145°B．95°C．65°D．55°【答案】A【解答】解：∵∠α＝35°，∴∠α的补角度数是180°﹣α＝180°﹣35°＝145°．故选：A．4．（2021秋•肥东县期末）互为补角的两个角的比是3：2，则较小角的余角等于（ ）A．18°B．54°C．108°D．144°【解答】解：∵互为补角的两个角的比是3：2，∴较大的角＝180°×＝108°，较小的角＝180°×＝72°，∴较小角的余角＝90°﹣72°＝18°，故选：A．5．（2021秋•威县期末）如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE的度数为（ ）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】A【解答】解：∵∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°而OE是∠AOC的角平分线，∴∠COE＝∠AOC＝50°故选：A．6．下列判断中，正确的是（ ）①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．A．①②B．①③C．①④D．②③【答案】B【解答】解：①锐角的补角一定是钝角，说法正确；②一个角的补角一定大于这个角，说法错误例如90°角的补角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，说法正确；④锐角和钝角互补，说法错误，例如60°角和100°角，正确的说法有2个，是①③，7．（2022春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．∠BOC＝∠AOD D．【答案】C【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOB，故A选项不符合题意；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，故B选项不符合题意；∴∠BOC＝∠AOD，故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，故D选项不符合题意；故选：C8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）A．图①B．图②C．图③D．图④【答案】A【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°，互补．故选：A．9.（2021秋•双牌县期末）若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】A【解答】解：∵1°＝60′；∴0.25°＝60′×0.25＝15′；∴∠C＝32°15′；∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．10．（2022春•泰安期末）如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（ ）A．56°B．62°C．72°D．124°【答案】B【解答】解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝56°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝124°．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝62°．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了 度．【答案】９０【解答】解：如图，15分钟分针转过了3个大格，每个大格30°，共转了30°×3＝90°．12．（2022春•锦江区校级期中）如图，∠COD＝28°，若∠AOB与∠COD互余，则∠AOB ＝ .若B、O、C在同一条直线上，则∠BOD＝ ．【答案】62°，152°【解答】解：∵∠AOB与∠COD互余，∴∠AOB+∠COD＝90°，∵∠COD＝28°，∴∠AOB＝90°﹣∠COD＝90°﹣28°＝62°；∵B、O、C在同一条直线上，∴∠BOD+∠COD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣28°＝152°．故答案为：62°，152°13.（2021秋•重庆期末）如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数为 °．【答案】105．【解答】解：∵点B在点O的东南方向，∴点B在点O的南偏东45°方向，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案为：105．14．（2022春•房山区期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，若∠1＝42°，则∠2＝ °，依据是 ．【答案】42，同角或等角的余角相等．【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝42°．依据是同角或等角的余角相等．故答案为：42，同角或等角的余角相等．15．如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．【答案】１０，２１，（n+1）（n+2）【解答】解：引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出5条射线，有21个角；如果引出n条射线，有（n+1）（n+2）个角．三．解答题（共55分）16．（8分）如图，OE为∠AOD的角平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：（1）∠EOC的大小；（2）∠AOD的大小．【解答】解：（1）∵∠COD＝∠EOC＝15°，∴∠EOC＝60°；（2）∵∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠AOD＝2∠DOE＝90°．故答案为：60°，90°．17．（8分）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．【解答】解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）＝10°，解得x＝50°．故答案为50°．18．（8分）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴∠BOE＝∠AOB＝×90°＝45°，∠COF＝∠BOF＝∠BOC，∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝60°﹣45°＝15°，∴∠BOC＝2∠BOF＝30°；∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°．19．(10分）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．【解答】解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．（2）∠COD+∠COE＝∠AOB＝90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD＝∠BOC）．又OE平分∠AOC，所以∠COE＝∠AOC，所以∠COD+∠COE＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC），所以∠COD+∠COE＝∠AOB＝90°．20．（10分）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD与∠BOC的和是多少度？（2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？（3）当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD，则∠BOC多少度？【解答】解：（1）当OB平分∠COD时，有∠BOC＝∠BOD＝45°，于是∠AOC＝90°﹣45°＝45°，所以∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝45°+90°+45°＝180°；（2）当OB不平分∠COD时，有∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，于是∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC，所以∠AOD+∠BOC＝90°+90°＝180°．（3）由上得∠AOD+∠BOC＝180°，有∠AOD＝180°﹣∠BOC，180°﹣∠BOC＝4（90°﹣∠BOC），所以∠BOC＝60°．21．（11分）以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 30° ；（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°，故答案为：30°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴6x＝30或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠COD＝5°或7.5°∴∠BOD＝65°或52.5°．。
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初中数学角的相关计算和证明综合测试卷
含答案
初中数学角的相关计算和证明综合测试卷
一、单选题(共7道，每道10分)
1.已知:如图,EF和AB,CD分别相交于点K,H,且EG⊥AB,AB∥CD,∠CHF=60°,则∠E的度数为( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案：A
试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余
2.已知:如图,在△ABC中,AB⊥BC,DE∥BC,BE⊥AC于E.若∠AED=65°,则
∠ABE的度数为( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.50°
答案：C
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
3.已知∠B=30°,∠AOB=105°,CE∥AB,则∠ODC的度数为( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
答案：B
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理
4.如图,△ABC中,∠A=40°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,则∠CDF为( )
A.60°
B.70°
C.75°
D.85°
答案：C
试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余
5.如图,已知:∠ABC=∠ADC,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,BE∥DF,求
证:AD∥BC.
证明: ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC(已知) ∴=2∠3, =2∠1 (角平分线的定义) ∵∠ABC=∠ADC(已知) ∴∠3=∠1 (等式性质) ∵BE∥DF (已知) ∴ ( ) ∴∠2=∠3 (等量代换)
∴AD∥BC ( ) ①∠ADC;②∠ABC;③∠2=∠3;④∠1=∠3;⑤∠1=∠2;⑥同位角相等,两直线平行;⑦内错角相等,两直线平行;⑧两直线平行,同位角相等;⑨两直线平行,内错角相等;⑩等量代换; 在横线上依次填写正确的顺序为( )
A.②①⑤⑥⑦
B.②①⑤⑧⑦
C.②①⑤⑥⑨
D.②①⑤⑧⑨
答案：B
试题难度：三颗星知识点：平行线的性质
6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AC⊥BD,垂足为E.若∠BDC=50°,求
∠BAC的度数.
解: ∵AB∥DC (已知) ∴∠BDC=∠ABD ( ) ∵∠BDC=50°(已知) ∴∠ABD=50°( ) ∵AC⊥BD(已知)
∴∠AEB=90°(垂直的性质) ∴∠BAC+∠ABD=90°( ) ∴∠BAC=90°-50°=40°(等式性质) ①内错角相等,两直线平行;②两直线平行,内错角相等;③等量
代换;④等式性质;⑤直角三角形两锐角互余;⑥等角的余角相等在横线上依次填写正确的顺序为( )
A.②④⑤
B.①③⑥
C.②③⑤
D.①④⑥
答案：C
试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余
7.已知:如图,BP平分∠ABC,CP平分∠ACE,∠A=70°,则∠P的度数为( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.70°
答案：A
试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。