中考数学重难点和二轮专题复习讲座第1讲 线段、角的计算与证明

第一讲线段、角的计算与证明问题【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中, 难题了。

大家研究今年的北京一模就会发现,第二部分,或者叫难度开始提上来的部分,基本上都是以线段,角的计算与证明开始的。

城乡 18个区县的一模题中, 有 11个区第二部分第一道题都是标准的梯形, 四边形中线段角的计算证明题。

剩下的 7个区县题则将线段角问题与旋转, 动态问题结合, 放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。

可以说,线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数, 更重要的是对于整个做题过程中士气, 军心的影响。

在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳 , 分析研究,来探究线段,角计算证明问题的解题思路。

第一部分真题精讲【例 1】 (2010,崇文,一模如图 , 梯形 ABCD 中 ,A DB C∥ ,9038BD CD BDC AD BC =∠===, °, , .求 AB 的长.【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。

所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解, 并且熟知梯形的辅助线做法。

这道题中未知的是 AB, 已知的是AD,BC 以及△ BDC 是等腰直角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 . 于是有解如下.【解析】作 AE BC ⊥于 E DF BC ⊥, 于 F .DF ∥ AE ∴,AD BC ∴∥ , 四边形 AEFD 是矩形.3EF AD AE DF ∴===, .BD CD DF BC =⊥, , DF ∴是 BDC △的 BC 边上的中线. 19042BDC DF BC BF ∠=∴===°, . 4431AE BE BF EF ∴==-=-=, . 在 Rt ABE △中, 222AB AE BE =+AB ∴=【例 2】 (2010,海淀,一模已知:如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , 90DCB ∠=︒, AC BD ⊥于点 O , 2, 4DC BC ==,求 AD 的长 .DCB A【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系 . 求梯形上底 . 对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系 (例如对角线平分某角的题 , 一般思路是将对角线提出来构造一个三角形 . 对于此题来说 , 直接将 AC 向右平移 , 构造一个以 D 为直角顶点的直角三角形 . 这样就将 AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一 , 而另一条线段 BC 是已知的 . 于是问题迎刃而解 .EDCBA【解析】过点 D 作 //DE AC 交 BC 的延长线于点 E . ∴ BDE BOC ∠=∠. ∵ AC BD ⊥于点 O , ∴ 90BOC ∠=︒. ∴ 90BDE ∠=︒. ∵ //AD BC ,∴四边形 ACED 为平行四边形 . ∴ AD CE =.∵ 90, 90BDE DCB ∠=︒∠=︒, ∴ 2DC BC CE =⋅. ∵ 2, 4DC BC ==, ∴ 1CE =. ∴ 1AD =此题还有许多别的解法,例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系,证明△ACD 和△ DBC 相似,从而利用比例关系直接求出 CD 。

有兴趣的考生可以多发散思维去研究。

【例 3】 (2010,东城,一模如图, 在梯形 ABCD 中, AD BC ∥ , 90B ∠=︒, =25AD BC =, , E 为 DC 中点, 4tan 3C =. 求 AE 的长度.EDCBA【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道,就是我们所谓提难度的门槛题。

乍看之下好象直接过 D 做垂线之类的方法不行 . 那该怎样做辅助线呢 ? 答案就隐藏在 E 是中点这个条件中 . 在梯形中 , 一腰中点是很特殊的 . 一方面中点本身是多对全等三角形的公共点 , 另一方面中点和其他底 , 腰的中点连线就是一些三角形的中线 , 利用中点的比例关系就可以将已知条件代入 . 比如这道题 , 过中点E 做 BC 的垂线 , 那么这条垂线与 AD 延长线 ,BC 就构成了两个全等的直角三角形 . 并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的 . 于是得解 .FEMDCBA【解析】过点 E 作 BC 的垂线交于 BC 点 F ,交 AD 的延长线于点 M . 在梯形 ABCD 中, AD BC ∥ , E 是 DC 的中点, ∴ M MFC DE CE ∠=∠=,在M DE ∆和FCE ∆中, M MFCDEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ MDE FCE ∆∆≌ . ∴ EF ME DM CF ==,∵ 25AD BC ==,,∴ 32DM CF ==. 在Rt FCE ∆中, 4tan 3EF C CF==, ∴ 2EF M E ==.在Rt AME ∆中, AE【总结】以上三道真题 , 都是在梯形中求线段长度的问题 . 这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决 . 辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合 , 从而达到利用已知求未知的目的 . 一般来说 , 梯形的辅助线主要有以下 5类 :过一底的两端做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形 + 一矩形平移一腰,分梯形为平行四边形 + 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线,转化为平行四边形 +三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。

对于角度问题,其实思路也是一样的。

通过做辅助线使得已知角度通过平行, 全等方式转移到未知量附近。

之前三道例题主要是和线段有关的计算。

我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。

【例 4】 (2010,延庆,一模如图,在梯形 CD AB 中, AB DC ∥ , DB 平分 ADC ∠,过点 A 作 AE BD ∥ ,交CD 的延长线于点 E ,且 2C E ∠=∠, 30BDC ∠=︒, 3AD =,求 CD 的长.ABDE【思路分析】此题相对比较简单,不需要做辅助线就可以得出结果。

但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。

例如对角线平分某角, 然后有角度之间的关系。

面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。

首先根据题目中条件,尤其是利用平行线这一条件, 可以得出 (见下图角 C 与角 1, 2, 3以及角 E 的关系。

于是一系列转化过后, 发现角 C=60度,即三角形 DBC 为 RT 三角形。

于是得解。

【解析】 :AB∵ AE BD ∥∴ 13∠=∠, 2∠=∠E ∵ 12∠=∠∴ 3∠=∠E∴ 32∠=∠+∠=∠ADC E E ∵ 2C E ∠=∠∴ 60∠=∠=︒ADC BCD ∴梯形 ABCD 是等腰梯形∴ 3==BC AD∵ 230∠=︒, 60∠=︒BCD ∴ 90∠=︒DBC 在 Rt DBC △中, ∵ 230∠=︒,3=BC ∴ 6=CD【例 5】 (2009,西城,一模已知:PA =4PB =,以 AB 为一边作正方形 ABCD ,使 P 、 D 两点落在直线 AB 的两侧 . 如图,当∠ APB=45°时,求 AB 及 PD 的长;【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。

如果线段角的计算出现在中间部分,往往意味着难度并不会太高。

但是一旦出现在压轴题,那么有的时候往往比函数题,方程题更为棘手。

这题求 AB 比较容易,过 A 做 BP 垂线,利用等腰直角三角形的性质,将△ APB 分成两个有很多已知量的 RT △。

但是求 PD 时候就很麻烦了。

PD 所在的三角形 PAD 是个钝角三角形,所以就需要我们将 PD 放在一个直角三角形中试试看。

构筑包含 PD 的直角三角形,最简单的就是过 P 做 DA 延长线的垂线交 DA 于 F , DF 交 PB 于 G 。

这样一来, 得到了△ PFA △ AGE 等多个 RT △。

于是与已求出的 AB 等量产生了关系,得解。

【解析】 :如图,作 AE ⊥ PB 于点 E . ∵△ APE 中,∠ APE=45°, PA =, ∴sin 1AE PA APE =⋅∠==,cos 1PE PA APE =⋅∠==. ∵ 4PB =,∴ 3BE PB PE =-=.在 Rt △ ABE 中,∠ AEB=90°, ∴AB =.如图,过点 P 作 AB 的平行线,与 DA 的延长线交于 F ,设 DA 的延长线交 PB 于G . 在 Rt △ AEG 中,可得cos cos AE AE AG EAG ABE ===∠∠,(这一步最难想到,利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系13EG =, 23PG PB BE EG =--=.在 Rt △ PFG中,可得 cos cos PF PG FPG PG ABE =⋅∠=⋅∠=, FG .【总结】由此我们可以看出,在涉及到角度的计算证明问题时,一般情况下都是要将已知角度通过平行, 垂直等关系过度给未知角度。

所以, 构建辅助线一般也是从这个思路出发, 利用一些特殊图形中的特殊角关系(例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。

第二部分发散思考通过以上的一模真题,我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。

接下来我们自己动手做一些题目。

希望考生先做题,没有思路了看分析,再没思路了再看答案。

【思考 1】如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , CD AB =.若 AC ⊥ BD ,AD+BC=310, 且︒=∠60ABC , 求 CD 的长. 【思路分析】前面我已经分析过,梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。

此题求腰,所以自然是先将腰放在某个 RT三角形中。

另外遇到对角线垂直这类问题,一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个 RT 三角形,所以此题需要两条辅助线。

在这类问题中,辅助线的方式往往需要交叉运用,如果思想放不开,不敢多做,巧做,就不容易得出答案。

[解法见后文 ]【思考 2】如图,梯形 ABCD 中, AD//BC,∠ B=30°,∠ C=60°, E , M , F , N 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点,已知 BC=7, MN=3,求 EF【思路分析】此题有一定难度,要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法,也对三点共线提出了要求。