中考数学复习专题知识讲座
九年及数学中考专题数与代数第二十七讲专题讲座北师大版公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
能用非负数性质解题，会利用数轴 比较大小并进行绝对值化简；
能在运算中灵活利用运算率简化运 算.
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三.考点透视 2．应用方法： 代数式部分：
列代数式求值更多是整体代入求 值求法；能灵活地运用运算率与乘法 公式简化计算过程，如幂运算性质和 乘法公式逆向应用；
分式中字母取值变化，使分式本 身有没故意义或值为零等；对于分式 化简求值一般是先化简后求值，分式 运算结过要化成最简分式.
1．考点要求： 代数式部分：
掌握代数式、整式；会求代数式值；会 进行整式加、减、乘、除、乘方等简朴运算. 其中包括整式合并同类项、幂运算、乘法公 式、单项式与单项式相乘、单项式与多项式 相乘、多项式与多项式相乘及整式除法.
分式意义和基本概念是中考必考内容； 分式运算和分式混合运算也是中考一个热点， 因此掌握分式基本性质及其化简求值.
解：B.
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四.例题精讲 例6（·湖南）将连续自然数1至36 按图2方式排成一个正方形阵列，用 一个小 正方形任意圈出其中9个数，设圈出9 个 数中心数为a，用含a代数式表示这9 个数和为 .
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四.例题精讲
思绪分析：观测正方形阵列，能够发觉其中
规律.能够用中心数a表示其它八个数， 依次为， a 7，a 6，a 5，a 1， 那么这九个a 数1，和a为 5，a. 6，a 7
136515亿元，136515亿元（用科学 计数法表
示，且保留四个有效数字）为（ ）
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013 元
C.13.652×1012元 D.1.365×1013元
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四.例题精讲
例4 （·四川广安）计算：
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(含详细参考答案)
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1 10．（2012•德州）已知
A．3 B．，则a+b等于（）C．2 D．1
考点：解二元一次方程组。810360
专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答：解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
中考数学专题讲座
五、图解法（数形结合法） 数形结合是初中数学的重要思 想，根据已知条件作出图像或画出 图形，从而利用图像或图形的性质 去直观的分析和判断，进而找到正 确的答案。
例1．在△ABC中，∠C＝90°，如果
5 tanA＝ 12 ，那么sinB的值等于
（
）
A.
5 13
12 B. 13
5 C. 12
12 D. 5
， 例1.若 0 x 1 则 小关系是（ ）
1 2 A． x x x
C． x 2 x 1
1 2 x， ，x 的大 x
1 2 x B．x x
x
1 2 D． x x x
解析：由于 0 x 1， 取x=0.5,不难发现答案 应选C.
1.根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的 规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是 （ ） A． 3n B． 3n(n 1) C．6 n D．6n(n 1)
例1.若
2 3,4 5, 则2
x y
x -2y
的值为 （ Ｂ）
5
（A）
3 5
x2 y
（B）-2
6 （C） 3 5 （D）
5
解析：此题考查逆用同底数幂的除法运算法则，由于
2
y
2 2
x
4 5
，即
2 4 3 x2 y 2 5
2y x
y
，且
2 3，
x
练习：
1.如图， 在菱形ABCD中，AB = 5， ∠BCD = 120°，则对角线AC等于 （ ） A．20 B．15 C．10 D．5
例1．把多项式 2 x 8x 8 分解因 式，结果正确的是（ ） Ｃ
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【初中数学讲座】关山初度尘未洗,策马扬鞭再奋蹄——优化复习策略,提升教学效果讲稿
关山初度尘未洗，策马扬鞭再奋蹄——优化复习策略，提升教学效果讲稿各位老师同仁，大家上午好！首先很感谢吴老师给我这个机会，进修学习给我提供这个平台，让我可以向大家学习，一起交流我们学校去年中考前的一些的措施和方法。
说实话星期一上午刚接到这个任务的时候我很忐忑，觉得自己无法胜任，在座的很多老师资历比我高，专业水平比我深，我没有勇气站在台上胡言乱语。
让我跟大家交流一下我们学校的一些做法，或许对大家会有帮助。
所以我今天斗胆在这里班门弄斧，由于时间仓促，这一周里学校事多课多，准备很不充分。
讲的不好的地方请大家海涵，讲的不对的地方请大家指正，谢谢大家！下面通过一个短视频开始我今天的话题。
我想这是多数老师的烦恼和困惑。
我们很卖力的教，恨不得使出浑身解数，只希望学生能如我们所愿掌握该掌握的知识，考出我们期待的成绩，然而理想很丰满，现实很骨感！都说教材是训练思维的重要载体，课堂是培养思维能力的主渠道。
然而无计可施，因为我们的现状是：学生学习缺乏兴趣和动力，课堂上学生睡觉、抄袭作业、做小动作、开小差，无精打采，完全找不到毕业班的紧张气氛；作业更是字迹潦草、错误连篇。
面对这样的一群学生我们不可避免的要接受全县倒二、倒三的残酷现实。
那么我们应该怎么办呢，“雄关漫道真如铁，而今迈步从头越”正如毛泽东的这句诗句，不管为了学生还是自己或是学校，我们必须正视现状并努力改变现状。
所以我们备课组四个成员开始撸起袖子埋头苦干。
章建跃博士认为，“三个理解”是教师专业发展的三大基石，教学质量的根本保证：理解数学----提高教学质量的前提，理解学生-----实现有效教学的基础，理解教学-----实施有效教学的关键。
所以我们首先必须理解学生。
一、分层教学前苏联赞科夫所说:“要求一律,就会压制个性,从而也就压制了学生的精神力量。
”当代世界著名心理学家和教育家霍华德•加德纳认为，每个人都或多或少具有8种智力，只是其组合和发挥程度不同。
著名心理学家奥苏泊尔曾提出成功的驱动力有三部分：一是认识内驱力，即获得知识解决问题为目的的内驱力；二是自我提高内驱力，即个人通过自己胜任能力和工作成就的提高来赢得相应的地位和自尊心的内驱力；三是附属内驱力，即以获得长者或集体的赞许为目的的内驱力。
中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案
中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分 真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍 始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏 另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++． 若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式． 思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <． 很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =； 当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---， 这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分 发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-． 由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数． 又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = － 经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。
专题02 新定义阅读型问题-中考数学专题拓展提高讲练(教师版)九年级数学中考复习专题讲座
专题二：新定义阅读型问题（学生版）★考点一：规律题型中的新定义◆典例一：定义： a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=-1，－1的差倒数是= ．已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2009＝．◆典例二：古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是__5_050__．★考点二：运算题型中的新定义◆典例一：对于两个不相等的实数a、b ，定义一种新的运算如下，a*b= （a+b＞0），如： 3*2==，那么6*（5*4）= 1◆典例二：对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a<2※x<7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__4≤a＜5__．★考点三：探索题型中的新定义◆典例一：设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝__5__，max{0，3}＝__3__；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图1－1－2所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．◆典例二：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图①，等腰直角四边形ABCD ，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .针对训练1. 定义一种新的运算：x *y ＝x ＋2y x ，如：3*1＝3＋2×13＝53，则(2*3)*2＝____．2. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( ) A ．1，2，3 B ．1，1， 2 C ．1，1， 3D ．1，2， 33. 我们定义：当m ，n 是正实数，且满足m ＋n ＝mn 时，就称P ⎝⎛⎭⎫m ，mn 为“完美点”，已知点A (0，5)与点B 都在直线y ＝－x ＋b 上，且B 是“完美点”，若C 也是“完美点”且BC ＝2，则点C 的坐标可以是( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(3，4)D ．(2，4)4. 如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是____(写出所有正确说法的序号)． ①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n )＝0是倍根方程，则4m 2＋5m n ＋n 2＝0；③若点(p ，q )在反比例函数y ＝2x的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M (1＋t ，s )，N (4－t ，s )都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.5. 若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x的图象上，它的“带线”l 的表达式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的表达式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积的取值范围．1.考点解析所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.2.考点分类：考点分类见下表考点分类考点内容考点分析与常见题型常考热点三角形三角形的性质与定理一般考点二次函数结合高中二次函数的内容冷门考点圆圆，曲线的新定义【方法点拨】“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.一、中考题型分析“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。
中考数学备考策略之数学冲刺复习讲座
y
C
BG
F
P
O
EA
x
图9
无锡
（2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形ABC” （如图2），N是∠ACP的平分线 上一点，则当∠AMN=60°时，结 论AM=MN是否还成立？请说明 B 理由．
（3）若将（1）中的“正方形
ABCD”改为“正n边形
ABCD……X”，请你作出猜想：
当∠AMN=
2 bd
D
A
同理可得D点的纵坐标是 2 ． O A′ D′
∴AB中点D的坐标为( a c ，b d )．
2
2
B B′ x
●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个
位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，
AB中点为D(x，y)
bd
时，x=___a_2_c____，
y=_____2______．（不必证明）
论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两 个正方形重叠部分的面积，总等于一个
正方形面积的1/4，想一想为什么？
A
D
A1
E
M
O
B1
B
FN
C
C1
还能发现哪些结论？
A1
AE=BF, BE=CF，OE=OF
⊿OEF是等腰直角三角形 ∠1= ∠ 2， ∠3+∠4=180° B1 BE+BF=AB=√2 AO，
AB、BC交DE、DF于M、N；图3延长FD 、 ED 交BC、AB于N 、M.则DM与DN，BM
与CN有怎样的数量关系，请写出结论.
A
F
D
B M
E
N C
图2
A E
D FM
B
《中考数学专题讲座》课件
PART 02
代数部分
代数基础知识梳理
代数基础知识
包括代数式、方程、不等 式、函数等基本概念和性 质。
代数式化简
掌握代数式的化简方法， 如合并同类项、提取公因 式等。
方程与不等式解法
理解方程与不等式的解法 ，包括一元一次方程、一 元二次方程、分式方程、 一元一次不等式等。
代数解题方法与技巧
代数恒等变换
中考数学复习计划与时间安排
制定复习计划
根据中考数学的考试大纲和考试时间，制定详细的复习计划，合理 分配时间，把握重点和难点。
注重基础知识
在复习过程中，要注重基础知识的学习和掌握，不要忽视课本上的 例题和练习题，因为这些是最基本的题目，能够帮你理解概念和方 法。
练习历年真题
多做中考数学真题，熟悉考试形式和题型，有助于提高应试能力和自 信心。
考试内容
包括数与式、方程与不等 式、函数、几何、概率与 统计等部分。
考试形式
闭卷、笔试，时间为120 分钟。
中考数学考试形式与试卷结构
试卷结构
满分120分，包括选择题、填空题 和解答题三种题型。
分值分布
选择题40分，填空题30分，解答 题50分。
考试时间分配
选择题每题2分，共20题，用时30 分钟；填空题每题3分，共10题， 用时15分钟；解答题每题8分，共5 题，用时65分钟。
中考数学答题技巧与注意事项
仔细审题
在答题前，要认真审题，理解题意， 避免因误解题目而失分。
表达清晰
在答题时，要思路清晰，表达准确， 注意解题步骤和细节。
检查答案
在答完题后，要仔细检查答案，确保 没有遗漏或错误。
注意时间分配
在考试过程中，要合理分配时间，不 要在某一道题目上花费太多时间而影 响其他题目的完成。
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• 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点
的行程判断y的变化情况．
.
• 考点三：逆推代入法 • 将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件
，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据 题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. • 例3 下列四个点中，在反比例函数y＝− 的图象上的是（ ） • A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3） • 思路分析：根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可． • 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误 ． 故选A． • 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= 中 ，k=xy为定值是解答此题的关键．
• 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合 此函数的解析式．
.
• 考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）
•
分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，
从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、
判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获
• 解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； ②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 结合图象可得B选项的图象符合． 故选B．
• 点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：
2015年中考数学复习专题知识讲座
.
专题一 选择题解题方法
• 一、中考专题诠释 • 选择题是各地中考必考题型之一，各地命
题设置上，选择题的数目稳定在8～14题， 这说明选择题有它不可替代的重要性. • 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性 强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽 等特征，它有利于考核学生的基础知识， 有利于强化分析判断能力和解决实际问题 的能力的培养
.
• 考点四：直观选择法
• 利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求 最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几何性，再辅以简单计 算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多 选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.
.
三、中考典例剖析
• 考点一：直接法
• 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照 ，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
• 例1 根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）
x
-2
0
1
y
3
p
0
• A．1 B．-1 C．3 D．-3
.
二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题 小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想， 但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中 有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而， 在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程， 要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的 具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取 ，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出 发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择 支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择 题时更常用、更有效.
得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有 一个答案正确.
• 例2 如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点 A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则 y关于x的函数图象大致为（ ）
•
A．
B．
• 例4 一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆 球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中 ，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表 示y与x之间关系的选项是（ ）
•
•
பைடு நூலகம்A．
B．
C．
D．
• 思路分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小 烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大 烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
浮子始终保持在容器的正中间．
.
• 考点五：特征分析法 • 对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值
特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判 断和选择的方法 • 例5 如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为（3，4），则它们的 另一个交点坐标是（ ） • A．（-3，4） B．（-4，-3） • C．（-3，-4） D．（4，3）
• 思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可 得出kb的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．
• 解：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵x=-2时y=3；x=1时y=0， ∴， 解得 ， ∴一次函数的解析式为y=-x+1， ∴当x=0时，y=1，即p=1． 故选A．
C．
D．
• 思路分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
• 解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点， ∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3-1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B．