角的计算与证明
三角形角度问题知识点总结
三角形角度问题知识点总结一、三角形内角的性质1. 三角形内角和三角形的内角和是180度。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个性质是三角形内角计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形内角相关的问题。
2. 等腰三角形内角在等腰三角形中，两个底边的角相等，即∠A = ∠B。
由于我们知道三角形的内角和是180度，在等腰三角形中，我们可以根据这个性质来计算另外一个角的度数。
3. 直角三角形内角在直角三角形中，有一个角是直角，即90度，其他两个角的内角和是90度。
我们可以利用这个性质来计算和证明直角三角形的相关问题。
4. 三角形内角之间的关系在三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。
例如，其中一角大于其他两角的和。
我们可以利用这些关系来解决一些与三角形内角之间的大小关系相关的问题。
二、三角形外角的性质1. 三角形外角和三角形的外角和等于360度。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的外角和：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°这个性质是三角形外角的计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形外角相关的问题。
2. 三角形外角与对应内角的关系在三角形中，一个外角的度数等于与之相对的两个内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C。
这个性质是三角形外角与内角之间的重要关系。
三、三角形角度计算和证明1. 三角形内角计算在计算三角形的内角时，一般可以通过已知的内角和性质来进行计算。
例如，根据等腰三角形的性质来计算等腰三角形的内角，或者利用直角三角形的性质来计算直角三角形的内角。
2. 三角形内角大小比较在比较三角形的内角大小时，可以利用三角形内角之间的关系来进行比较。
例如，我们可以通过比较三角形内角之间的关系来判断一个角是否大于另外一个角。
3. 三角形外角计算和证明在计算三角形的外角时，一般可以通过已知的外角和性质来进行计算。
培优专题四三角形中角度的证明与计算
三角形中角度的证明与计算类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角1、两个内角平分线的夹角如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。
2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。
3、两个外角平分线的夹角如图，在∆ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。
练习1、如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比拟∠CIH 和∠BID 的大小练习2、如图，在∆ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠ =。
类型二：三角形中两条边的高线的夹角如图，在∆ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠之间的关系。
E D CBA O类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。
练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)假设点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)假设点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)假设点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？类型四：三角形中两边中垂线的交点〔锐角、直角、钝角三角形分类讨论〕如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。
《角的和与差》
角的差的证明方法
利用三角形内角和定理
01
同样利用三角形内角和定理，证明三角形的两个内角之差等于
一个已知角度。
利用平行线的性质
02
通过平行线的性质，可以
03
利用三角形全等的性质，通过构建两个三角形并证明其全等，
从而得出角度的差。
角的和与差的几何证明
角的差在几何学中也有着广泛的 应用，如在证明几何定理、求解 几何问题时常常需要用到角的差
的知识。
角的差的计算方法是将两个或多 个角相减，用数学公式表示为：
∠A - ∠B = ∠C。
角的和与差的关系
角的和与差是角度量纲运算中的基本运算，它们之间有着密切的关系。
通过角的和与差的运算，可以得出一些重要的几何定理和性质，如三角形内角和定 理、平行线的性质等。
03
发展新的测量技术
随着科技的发展，可以探索新的测量技术来更准确地测量角度的大小。
例如，可以利用机器视觉、人工智能等技术来开发更精确的测量仪器和
方法。
对实际应用中角度和差的应用举例
建筑学中的应用
在建筑学中，角度的测量和计算非常重要。 例如，建筑师可以使用角度的测量来确定建 筑物的位置、方向和高度等参数。同时，在 桥梁、道路等基础设施建设中也经常需要进 行角度的测量和计算。
角的分类
周角
等于360度的角。
平角
等于180度的角。
锐角
小于90度的角。
直角
等于90度的角。
钝角
大于90度但小于180度的角。
角的基本性质
角的平分线
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角 ，这条射线叫做角的平分线。
角的和差倍角公式
$\angle A+\angle B=180^{\circ} \times (m-1)$； $\angle A-\angle B=180^{\circ} \div m$；$\angle A \times m=180^{\circ} \div n$；$\angle A \div n=180^{\circ} \times p$。
三角形的内角和外角的计算与证明技巧
三角形的内角和外角的计算与证明技巧三角形是几何学中最基础的图形，具有丰富的性质和特点。
在三角形中，内角和外角是两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的计算方法和证明技巧。
一、内角和外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以定义如下角度：1.内角：三角形的内角是指该角的顶点在三角形内部，两边分别位于三角形的两侧。
三角形的内角总和是180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
2.外角：三角形的外角是指该角的顶点在三角形外部，两边分别延长到三角形的另外两边上。
三角形的外角总和是360度，即∠D+∠E+∠F=360°。
内角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形内角和公式：根据定义，三角形的内角和总和为180度。
因此，可以直接通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠A=60°，∠C=90°，那么∠B=180°-∠A-∠C=30°。
2.内角关系定理：在三角形中，存在一些内角的关系定理，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，三角形的补角定理：如果∠A和∠B是一对补角，那么它们的度数之和为90度。
三角形的余角定理：如果∠A和∠B 是一对余角，那么它们的度数之和为180度。
利用这些定理，我们可以推导出一些角度的值。
3.角平分线定理：在三角形中，角平分线把一个角平分成两个相等的角。
因此，如果我们知道一个角被角平分线平分成两个相等的角，那么我们可以通过计算其中一个角的度数来得到另外一个角的度数。
4.使用三角函数：三角函数是一个强大的工具，可以帮助我们计算和证明角度。
例如，如果我们知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用正弦定理或余弦定理来计算另外两个内角的度数。
外角的计算与证明可以使用以下几种方法：1.三角形外角和公式：根据定义，三角形的外角和总和为360度。
因此，可以通过计算已知角度来求解未知角度。
例如，如果∠D=120°，∠E=150°，那么∠F=360°-∠D-∠E=90°。
角的计算与证明
1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°典题精练思路导航知识互联网角的计算与证明题型一：余角、补角及角分线的简单运算DOECBA⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1()2αβ∠-∠．正确的有（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【解析】 ⑴ C ；同角或等角的余角相等；⑵C ；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B ；⑷ 设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，由题意，得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒，解得：36x =︒．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）A ．钝角与锐角的差不可能是钝角B ．两个锐角的和不可能是锐角C ．钝角的补角一定是锐角D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角 【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C.【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）A ．108°，72°B ．95°，85°C ．108°，80°D ．110°，70°⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠【解析】⑴ B ；⑵ A ；⑶B ；⑷C. 【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒A B C OFE D CBANMAB C DOA C D E图2图1F⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°(东城区期末）⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .【解析】 ⑴ C ；⑵ A ；⑶22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒．【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来.【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠∴12MOC AOC ∠=∠∵ON 平分AOC ∠∴12NOC BOC ∠=∠∵()1122MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠35MON ∠=° ∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变 当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠． 当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.NMABOC【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠；②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，若2(60)3nBOD ∠=-︒ ，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）． 图2图1ABOEF CC FEO B A【解析】 ①设COF α∠=，则90EOF α∠=︒-，∵OF 是AOE ∠平分线， ∴90AOF α∠=︒-，∴(90)902AOC ααα∠=︒--=︒-，180BOE COE AOC ∠=︒-∠-∠ 18090(902)α=︒-︒-︒- 2α=即2BOE COF ∠=∠； ②解：成立，设AOC β∠=，则902AOF β︒-∠=， ∴145(90)22COF ββ∠=︒+=︒+， 180BOE AOE ∠=︒-∠ 180(90)β=︒-︒- 90β=︒+∴2BOE COF ∠=∠； ③解：180DOE BOD AOE ∠=︒-∠-∠ 2180(60)(90)3nn =︒--︒-︒-︒ 5(30)3n =+︒，故答案为：5(30)3n =+︒．AB C DO 图1图2A B CDO A BCDO图3图4A BCD O定 义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．B 'BAO角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线OA ，从点O 再引两条射线OB 与OC ，使40AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，则AOC ∠= ．⑵ 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为 ．⑶ 若170AOB ∠=︒，70AOC ∠=︒，60BOD ∠=︒，求COD ∠的度数．【解析】 ⑴ 20︒或60︒；⑵ 当OC 在⑴区域，所求的角度数为4︒；当OC 在⑵区域，所求的角度数为100︒； 当OC 在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角）⑶分四种情况如图1，COD ∠=40AOB AOC BOD ∠-∠-∠=︒ 如图2，COD ∠=160︒如图3，COD ∠=180︒如图4，COD ∠=60︒典题精练题型二：角度计算中的分类讨论5()4()3()2()1()O角平分线BA东北西南东南西北东西南北【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n 条射线所得的角的个数．【解析】 3,6，10，(1)(2)2n n ++ 【拓展】已知直角AOB ∠，以O 为顶点，在AOB ∠的内部画出100条射线，则以OA 、OB 及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O 为项点，在AOB ∠的内部画出n 条射线（1n ≥的自然数），则OA 、OB 以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】 200个，2n【提示】在AOB ∠的内部，以O 为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n 条射线所构成的锐角的个数．1. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围090α︒︒≤≤. 2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转6︒ ⑵ 时针每分钟转0.5︒【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误．．的是（ ） A ．OA 的方向是北偏西15°B ．OB 的方向是南偏西45°C ．OC 的方向是南偏东60°D ．OD 的方向是北偏东60°（西城区期末）典题精练思路导航题型三：角的综合应用60°75°45°30°北南西东O DCBA7654 3 2 1⑵ 如左下图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则AOC DOB ∠+∠= ．⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．① 如图1，若20AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图2，若30AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图3，若50AOD ∠=°，则COB ∠= °② 如图4，若AOD α∠=，猜想COB ∠与α的数量关系为： （用式子表示）, 证明你的结论．【解析】 ⑴ D ；⑵利用对称性得315︒； ⑶180︒；⑷ ①160︒，150︒，130︒． ② 180COB α∠=︒-．证明：90COD ∠=︒,90AOB ∠=︒,AOD α∠= ∴90AOC α∠=︒-, 90BOD α∠=︒-∴COB AOC AOB ∠=∠+∠ 9090180αα=︒-+︒=︒-．图1CAD BO 20︒图2ABCD30︒图3CADBO 50︒图4AOBDCα∠AOB 是平角直线是平角∠CAB ∠ABC B O A B A B A CC B A【例7】 饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问韩老师外出多少分钟？【解析】 钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格6︒，秒针每分钟转过360︒，分针每分钟转过6︒，时针每分钟转过0.5︒． 设小明外出时，时间为6点x 分，又设小明回家时是6点y 分． 由题意得18060.590x x -+=°°，61800.590y y --=°°，解得41611x =，14911y =148491632111111y x -=-=．【备选】⑴α∠,β∠都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1()6αβ+的结果依次为50︒，26︒，72︒，90︒，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（ ） A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁⑵已知α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算()115αβγ++的值时，有三位同学分别计算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则αβγ++=______. 【解析】 ⑴ A ；⑵345．因为90360αβγ︒<++<︒，故()162415αβγ︒<++<︒，所以三个结果中23︒是正确的，所以1523345⨯=．训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ⑵把20.3°换算成度、分、秒的结果是 ． ⑶用度表示 722342'''︒= ； ⑷计算 3216'25''47825'︒⨯-︒=____________. ⑸计算 157435'︒÷= ．【解析】 ⑴B ；⑵2018'°；⑶72.395︒；⑷504040'''︒；⑸ 313236'''. 思维拓展训练（选讲）训练2. 如图，90AOB ∠=°，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，EOF ∠比COD ∠的4倍少28°，则COD ∠= （精确到秒）OFED CBA【解析】 205126'''︒．训练3. 从下午13：00到当天下午13:50，时钟的分针转过的角度为 度．（西城区期末）【解析】 300．训练4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，且∠AOD ＝90°．⑴ 图中∠COD 的余角是 ； ⑵ 如果∠COD =2445'︒，求∠BOD 的度数．【解析】 ⑴AOC ∠，BOC ∠；⑵解：902445'6515'AOC AOD COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 因为OC 是AOB ∠的平分线，所以213030'AOB AOC ∠=∠=︒． 所以6515'2445'4030'BOD BOC COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．题型一 余角、补角及角分线的简单运算 巩固练习【演练1】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【解析】 设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-，(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒，所以60x =︒， 所以这个角的余角的度数为30︒．【演练2】 如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角； ⑵ 求出BOD ∠的度数； ⑶ 请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠．复习巩固OE D C BAO DC B A【解析】 ⑴ 图中共有9个小于平角的角；⑵ 155︒；⑶180180902565BOE DOE AOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，902565COE ∠=︒-︒=︒，所以BOE COE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠．题型二 角度计算中的分类讨论 巩固练习【演练3】 已知100AOB ∠=°，50BOC ∠=°，求AOC ∠的度数.【解析】 AOC ∠等于50°或150°．【演练4】 已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线，85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【解析】 注意分情况讨论，容易得到答案：4324'︒或12636'︒．题型三 角的综合应用 巩固练习【演练5】 如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB 的反向延长线.若OC 是AOD ∠的平分线，则BOC ∠的度数为____________，OC 的方向是________________.【解析】 117.5︒；北偏东77.5︒．【演练6】 钟表在8点30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ） A ．60° B ．70° C ．75° D ．85°（顺义区期末）【解析】 C ．DC BAO北西南东。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
七年级数学角的度量
04 角的特殊关系与证明
平行线与同位角、内错角、同旁内角
平行线的定义及性质
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的性质包括同位角相等、内错角相等以及 同旁内角互补。
内错角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线 的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位 置关系的一对角叫做内错角。内错角的度量方法 同样是通过量角器测量角度大小。
（任何多边形的外角和为360°）。
应用举例：三角函数中的角度计算
锐角三角函数
理解正弦、余弦、正切等锐角三 角函数的基本概念，掌握这些函 数在特殊角度（如30°、45°、60°）
的值。
角度与弧度的转换
了解角度与弧度两种度量方式之间 的转换方法，知道如何在三角函数 中使用弧度进行计算。
解直角三角形
掌握利用正弦、余弦、正切等三角 函数解直角三角形的方法，能够求 解三角形的未知边或未知角。
同位角的识别与度量
当两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线 同一侧的两个内角叫做同位角。同位角的度量方 法是通过量角器测量角度大小。
同旁内角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的 同一侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位 置关系的一对角叫做同旁内角。同旁内角的度量 方法也是通过量角器测量角度大小。
应用举例：几何图形中的角度计算
01
三角形的内角和
任何三角形的内角和为180°。利用这一性质可以求解三角形中的未知角。
02
平行线与交叉线
理解平行线和交叉线所形成的同位角、内错角、同旁内角等概念，并会
利用这些角的关系进行计算。
03
多边形的内角和与外角和
掌握多边形内角和的计算公式（（n-2）×180°）以及外角和的性质
专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题(解析版)
1专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题知识对接考点一、怎样解三角形全等的判定问题证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条线段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有“SSS"“SAS"“ASA"“AAS" ,对于直角三角形还有“HL”三角形全等的判定方法的选择:(1) 当已知两边分别相等时，可找两边的 夹角或第三边，利用“SAS"或“SSS”来证明两个三角形全等.(2) 当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的 对边，利用“ASA"或“AAS"来证明两个三角形全等.(3) 当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角,利用“AAS"来证明两个三角 形全等.(4) 当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS"或“ASA"来证明两个三角形全等,也可以找这个角的另一邻 边,利用“SAS”来证明两个三角形全等.(5)在直角三角形中除了利用“SS"S"ASA"AAS"”还可以利用“HL”来证明两个三角形全等:专项训练一、单选题1．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区九年级一模）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交BF 于点H ，//CG AE 交BF 于点G ，下列结论，①sin cos HBE HEB ∠=∠；①CG BF BC CF ⋅=⋅；①BH FG =；①22BC BG CF GF=其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D【分析】①根据正方形的性质求证BHE 是直角三角形即可得到结果；①由①求证△△CGF BCF ，利用其对应边成比例即可得到结论；①由①求证△△BHE CGF ≅即可得出结论；①利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；【详解】①在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 的中点，①ABE BCF ≅△△，①BEA CFB ∠=∠，①CG①AE ，①GCB ABE ∠=∠，①CFG GCB ∠=∠，①90CFG GCF ∠+∠=︒，即①CGF 为直角三角形，①CG①AE ，①①BHE 也是直角三角形，①sin cos HBE HEB ∠=∠．故①正确；由①得△△CGF BCF ， ①CG CF BC BF=， ①CG BF BC CF =，故①正确；由①得△△BHE CGF ≅，①BH=CG ，而不是BH=FG ，故①错误；①△△BCG BFC ， ①BC BG BF BC=， 即2BC BG BF =，同理可得：△△BCF CGF ，可得2CF BF GF =，3 ①22BF BG GF CF=， ①①正确；综上所述，正确的有①①①．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键． 2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC DE =B ．BC EF = C ．AEFD ∠=∠ D ．AB DF ⊥【答案】D【分析】 本题可通过旋转的性质得出①ABC 与①DEC 全等，故可判断A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断B ，C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断D 选项．【详解】由已知得：①ABC ≅①DEC ，则AC=DC ，①A=①D ，①B=①CED ，故A 选项错误；①①A=①A ，①B=①CED=①AEF ，故①AEF ①ABC ，则EF AE BC AB， 假设BC=EF ，则有AE=AB ，由图显然可知AE ≠AB ，故假设BC=EF 不成立，故B 选项错误；假设①AEF=①D ，则①CED=①AEF=①D ，故①CED 为等腰直角三角形，即①ABC 为等腰直角三角形，因为题干信息①ABC 未说明其三角形性质，故假设①AEF=①D 不一定成立，故C 选项错误；①①ACB=90°，①①A+①B=90°．又①①A=①D ，①①B+①D=90°．故AB①DF，D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．3．（2021·浙江九年级二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则①1+①2+①3的度数是（）A．90B．120C．135D．180【答案】D【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,①5+①7+①8=180°，即①1+①2+①3=360°-180°.【详解】①图中是三个全等三角形，①①4=①8, ①6=①7,又①三角形ABC的外角和=①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,又①5+①7+①8=180°，①①1+①2+①3=360°-180°=180°.故选D【点睛】本题考核知识点：全等三角形性质，三角形的角. 解题关键点：熟记全等三角形的性质.4．（2021·河北）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知①AOB，求作：①DEF，使①DEF＝①AOB．作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；（4）作①，则①DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．○表示PQC．*表示ED D．①表示射线EF【答案】D【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．【详解】解：由图可得作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；（4）作射线EF，①DEF即为所求作的角．故选：D．【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．5．（2021·河北邢台·）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：①AOB．5求作：①A'O'B'，使①A'O'B'=①AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则①A'O'B'=①AOB．下列说法正确的是（）A．m－p>0B．1－p>0C．p=12n>0D．m=n>0【答案】D【分析】利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，则m=n>0．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．6．（2021·四川遂宁·）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．在代数式1a ，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，xπ，42ba+是分式D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】7解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．（2021·内蒙古包头·九年级）下列说法：①若分式22xx -+的值为0，则x 的值为2±；①到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；①直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，则OP CD ⊥；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+的图象上，若122x x +=，则12y y =．正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】①根据分式的值为0的条件进行判断，即可；①由角平分线的判定定理进行判断即可；①由切线的性质进行判断即可；①先求出抛物线的对称轴，然后进行判断即可．【详解】 解：若分式22xx -+的值为0， ①20x -=，20x +≠①2x =；则①错误；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；则①错误；直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，若点P 为切点，则OP CD ⊥；则①错误；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+，①对称轴为：212m x m-=-=，①若12=12x x +，即122x x +=，则12y y =；故①正确； ①正确的结论只有1个；故选：B ．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，角平分线的定义，切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．8．（2021·上海宝山·九年级）下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的梯形是等腰梯形B ．有两个角相等的梯形是等腰梯形C ．一组对边平行的四边形一定是梯形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．【详解】解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，①四边形ABCD 为梯形，①DC∥AB ，过C 作CE ①DB 交AB 延长线于E ，①四边形BECD 为平行四边形①①DBA =①E ，BD =CE ，①AC =BD ，①AC =BD =CE ，9①①CAB =①E =①DBA ，在①ADB 和①BCA 中，AC BD CAB DBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADB ①①BCA （SAS ），①AD =BC ，四边形ABCD 为等腰梯形，故本选项正确；B 、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C 、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；D 、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．9．（2021·广西九年级）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ） A ．作一个角等于已知角 B ．作一个角的平分线C ．作一条线段的垂直平分线D ．过直线外一点P 作已知直线的垂线【答案】C【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P 作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【详解】解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．10．（2021·重庆南开中学九年级）下列命题中是假命题的是（）A．两条平行线之间的距离处处相等B．同旁内角互补C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】B【分析】利用平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法，难度不大．二、填空题11．（2021·河南）如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE CF，则四边形DEBF是________．11【答案】平行四边形 【分析】根据已知条件，推出四边形的两对边相等，从而得出四边形是平行四边形． 【详解】 ①AD BC ∥ ①DAE BCF ∠=∠ ①AD BC =，AE CF = ①ADE BCF ≌ ①DE BF =同理，ADE CFD △≌△ ①DF BE =①四边形DEBF 是平行四边形 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查了平行的性质、全等三角形、平行四边形的判定，熟练应用性质、定理是关键12．（2021·山东九年级）如图，正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ED ⊥，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将EFG 沿EF 翻折，得到EFM △，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则EMN 的周长是________．【分析】如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ =BQ =PE =1，①DEF 是等腰直角三角形，利用勾理计算DE =EF，PD =3，如图2，由平行相似证明①DGC ①①FGA ，列比例式可得FG 和CG 的长，从而得EG 的长，根据①GHF 是等腰直角三角形，得GH 和FH 的长，利用DE //GM证明①DEN ①①MNH ，则DE EN MH NH =，得EN①EMN 各边的长，相加可得周长． 【详解】解：如图1，过E 作PQ ①DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，①①BCD =①ABC =90°， ①四边形BCPQ 是矩形， ①BC =PQ ， ①DC //AB ， ①PQ ①AB ，①四边形ABCD 是正方形， ①①ACD =45°，①①PEC 是等腰直角三角形， ①PE =PC ， ①PD =EQ ，①①PED +①FEQ =90°，①EFQ +①FEQ =90°， ①①PED =①EFQ ， 在①DPE 和①EQF 中 90PED EFQDPE FQE PD EQ ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ①①DPE ①①EQF ， ①DE =EF ， ①DE ①EF ，①①DEF 是等腰直角三角形， 在①DEC 和①BEC 中13CD BC ACD ACB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①DEC ①①BEC ， ①DE =BE ， ①EF =BE ， ①EQ ①FB ， ①FQ =BQ =12BF ，①AB =4，F 是AB 的中点， ①BF =2， ①FQ =BQ =PE =1， ①CE，PD =4-1=3，Rt ①DAF 中，DF= DE =EF如图2，①DC //AB ， ①①DGC ①①FGA ， ①422CG DC DG AG AF FG ====， ①CG =2AG ，DG =2FG ， ①FG=13⨯=①AC 22442，①CG=23=⨯=①EG=连接GM 、GN ，交EF 于H ， ①①GFE =45°，①①GHF 是等腰直角三角形， ①GH =FH= ①EH =EF -FH=， 由折叠得：GM ①EF ，MH =GH①①EHM =①DEF =90°， ①DE //HM ， ①①DEN ①①MNH ， ①DE ENMH NH=，3EN NH ==，①EN =3NH ， ①EN +NH ═EH， ①EN①NH =EH -EN=Rt ①GNH 中，GN6，由折叠得：MN =GN ，EM =EG ， ①①EMN 的周长=EN +MN +EM=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE 的长是关键． 13．（2021·湖南长沙市·九年级）如图，,ABC DCB AC ≌与BD 相交于点E ，若40ACB ∠=︒，则BEC ∠等15于___________．【答案】100︒ 【分析】根据全等三角形的性质得到①DBC =①ACB =40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：①①ABC ①①DCB ，①ACB =40°， ①①DBC =①ACB =40°，①①BEC =180°-①DBC -①ACB =180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14．（2021·江苏）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE ．若30ADB ∠=︒，则如tan DEC ∠的值为_____．【分析】过C 向BD 作垂线，可以构造出一个30°直角三角①CDF ，进而求出AEB CFD △≌△，设直角CDF 最小边DF=a,并用a 的代数式表示出其他边，即可求出答案． 【详解】解：过C 作CF①BD ，垂足为F 点 ①矩形ABCD, 30ADB ∠=︒①AD①BC ，90,30,ABC BCD DBC ADB ∠=∠=︒∠=∠=︒ AB=CD ,,AE BD CF BD ⊥⊥90,BAE ABE ABE DBC∴∠+∠=∠+∠=︒90,FBC FCB FCB FCD∠+∠=∠+∠=︒①①DBC=①DCF=①BAE=30°设DF=a,则，CD=2a，BD=4a，①AE BD⊥①①AEB=①CFD=90°①AEB CFD△≌△，①EB=DF=a①EF=4a-a-a=2a①tan CFDECEF∠==【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．15．（2021·浙江）如图，在①ABC中，AC=BC①C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将①ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan①BED的值是_____．【答案】7 24【分析】先根据翻折变换的性质得到①DEF①①AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到①BED=CDF，求出CD=CF=x，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：①①DEF是①AEF翻折而成，①①DEF①①AEF，①A=①EDF，17①①ABC 是等腰直角三角形， ①①A=①B=①EDF=45°，由三角形外角性质得：①CDF+45°=①BED+45°， ①①BED=①CDF ，①CD=3DB，CD DB BC +==①CD=设CF=x ，则DF=FA=x ， ①在Rt①CDF 中，由勾股定理得， CF 2+CD 2=DF 2，即222)x x +=，解得：x =①8CF =①7tan tan 24CF BED CDF CD ∠=∠===； 故答案为：724. 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题. 三、解答题16．如图，等腰直角①ABC 中，①ABC ＝90°，点D 在AC 上，将①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ．（1）求①DCE 的度数；（2）当AB ＝4，AD ①DC ＝1①3时，求DB 的长．【答案】（1）90︒；（2 【分析】（1）由题意我们知道90A ACB ∠+∠=︒，通过全等三角形得出BCE A ∠=∠，就能得出90DCE ∠=︒的结论； （2）由（1）可得出DCE 是个直角三角形，可根据勾股定理求出DE 的长，根据角的关系证明DBE 是等腰直角三角形，所以要求DB 的长，就必须求出DE 的长即可解决问题． 【详解】解：（1）①AB BC =，90ABC ∠=︒ ①45A BCA ∠=∠=︒，①①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ， ①ABD CBE ≌， ①45A BCE ∠=∠=︒，①90DCE DCB BCE ∠=∠+∠=︒， 故答案为：90︒．（2）在等腰直角三角形ABC 中，①4AB =，①AC = ①:1:3AD DC =，①14AD AC ==34DC AC == 由（1）得：AD CE =且90DCE ∠=︒， ①22218220DE DC CE =+=+=，①DE =①ABD CBE ∠=∠，BD BE =，①90DBE DBC CBE DBC ABD ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 在Rt DBE 中，根据勾股定理得：222DB BE DE +=，即2220DB =，①DB =【点睛】本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．1917．（2021·北京房山区·）如图，AB AD =，BAC DAC ∠=∠，70D ∠=︒，求B ∠的度数【答案】70B ∠=︒ 【分析】先证明①ABC ①①ADC （SAS ）得到①B ＝①D ，即可求解． 【详解】证明：在①ABC 与①ADC 中，.AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，①①ABC ①①ADC ， ①B D ∠=∠， ①70D ∠=︒， ①70B ∠=︒． 【点睛】本题考查了全等三角形的SAS 判定和性质，掌握SAS 判定方法是关键.18．（2021·北京西城·）如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形； （2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到①1=①ADC=①BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．①//BE CD ，点F 在BE 的延长线上， ①1ADC ∠=∠．①ADC BAC ∠=∠，①1BAC ∠=∠． ①1∠是ABE △的外角，①1ABE BAE ∠=∠+∠，①1ABE BAE ∠=∠-∠．21又①CAD BAC BAE ∠=∠-∠， ①CAD ABE ∠=∠． （3） AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又①AB AC = ①ABG CAD △≌△，①AG CD BGA ADC =∠=∠，． ①1ADC ∠=∠，①1BGA ∠=∠．①18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ①2AGE ∠=∠．①AE AG =． ①AE CD =． 【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键． 19．（2021·河北九年级三模）如图，在①ABC 中，AB=①B =45°，①C =60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将①AEF 折叠得到①PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求①AEP 的度数． ①如图3，连结AP ，当PF ①AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）①90°；①【分析】（1）如图1中，过点A 作AD①BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可． （2）①证明BE=EP ，可得①EPB=①B=45°解决问题．①如图3中，由（1）可知：AC=sin 60AD =︒①AEF①①ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ①BC 于点D ，在Rt①ABD 中，sin 45AD AB =⋅︒=（2）①如图2，①①AEF ①①PEF ， ①AE ＝EP . 又①AE ＝BE ， ①BE ＝EP ， ①①EPB ＝①B ＝45°， ①①AEP ＝90°.①如图3，由（1）可知：在Rt①ADC 中，sin 60AD AC ==︒ ①PF ①AC ， ①①PF A ＝90°. ①①AEF ①①PEF ，①①AFE ＝①PFE ＝45°，则①AFE ＝①B .23又①①EAF ＝①CAB ， ①①EAF ①①CAB ，①AF AB＝AE AC①AF＝在Rt①AFP 中，AF ＝PF ，则AP＝【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·辽宁大连·）如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，①B=①C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．【答案】证明见解析.【分析】求出BF=CE ，根据SAS 推出①ABF①①DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】①BE=CF ， ①BE+EF=CF+EF ， ①BF=CE ，在①ABF 和①DCE 中 AB DCB C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ABF①①DCE （SAS ）， ①①GEF=①GFE ，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．21．（2021·辽宁阜新市教育服务中心）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是直线AB ，BC 上的点（E ，F 在直线AC 的两侧），且AE CF =．（1）如图2，求证：DE DF =；（2）若直线AC 与EF 相交于点G ，如图3，求证：DG EF ⊥；（3）设正方形ABCD 的中心为O ，CFE α∠=，用含α的式子表示DGO ∠的度数（不必证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①DGO =α+45°或①DGO =α-45°或①DGO =45°-α． 【分析】（1）四边形ABCD 是正方形，AD CD =，C DAB ∠=∠，又知道AE CF =，可得到DAE DCF △≌△即可求解；（2）作//EH BC 交AC 于点H ,则EHG FCG ∠=∠,知道四边形ABCD 是正方形可得AB BC =，90B ∠=︒推出BAC BCA ∠=∠，//EH BC ，AHE ACB ∠=∠，BAH AHE ∠=∠，AE EH =，得到AE CF =，EH CF =，又知道EGH FGC ∠=∠得到EHG FCG ≌△△即可求解（3）分三种情况①点E 在线段AB 上、①点E 在线段BA 的延长线上、①点E 在线段AB 的延长线上，逐一进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①AD CD =，90C DAB ∠=∠=︒． ①90∠=∠=︒DAE C ． 又①AE CF =， ①DAE DCF △≌△．25（2）（解法一）作//EH BC 交AC 于点H ，如图1．则EHG FCG ∠=∠．图1①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒． ①45BAC BCA ∠=∠=︒ ①//EH BC ，①45AHE ACB ∠=∠=︒． ①BAH AHE ∠=∠． ①AE EH =． ①AE CF =， ①EH CF =． 又①EGH FGC ∠=∠， ①EHG FCG ≌△△． ①EG GF =．由（1）同理可得DE DF =， ①DG EF ⊥．（解法二）作//EH BC 交AC 于点H ，如图2．图2①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒．①45∠=∠=︒，BAC BCAEH BC，①//①45∠=∠=︒．AHE ACB①BAH AHE∠=∠．①EA EH=．=，又①AE CF=．①EH CF连接CE，FH．EH CF．又①//①四边形CEHF是平行四边形．=．①EG GF由（1）同理可得DE DF=，⊥．①DG EF（3）解：①当点E在线段AB上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①ACD=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①2=45°，①①1=45°-①3，①①BCD=90°，①①3+①2+①CFE=90°，①①3=90°-45°-α=45°-α，①①1=45°-①3=α，①①DGO=①ACD+①1，①①DGO=α+45°；①当点E在线段BA的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①BDC=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADF+①CDF=①ADC=90°，①①EDA+①ADF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①GFD=①BDC=45°，①①1=①2，①①BCD=90°，①①3+①2=90°，①①3=①CFE-①GFD=α-45°，①①2=90°-α+45°=135°-α，①①1=①2=135°-α，27①①DGO=90°-①1=α-45°；①当点E在线段AB的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①AB①CD，①ACD=45°，①ABC=①ADC=90°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①①2=①3，①DE=DF，DG①EF，①①GDE=①DEG=45°，①①1+①3=45°，①①ABC=90°，①①CFE+①2+①DEG=90°，①①CFE-①2=45°，①①CFE=①1=α，①①DGO+①1=①ACD=45°，①①DGO=45°-α．综上：①DGO=α+45°或①DGO=α-45°或①DGO=45°-α．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质29等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE =DF ，利用等腰直角三角形的性质求解． 22．（2021·河北保定市·）如图，90BCD ∠=︒，BC DC =，直线PQ 经过点D ．设PDC α∠=（45135α︒<<︒），BA PQ ⊥于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90︒，与直线PQ 交于点E ．（1）判断：ABC ∠________PDC ∠（填“>”或“=”或“<”）； （2）猜想ACE 的形状，并说明理由；（3）若ABC 的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．【答案】（1）=；（2）ACE 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590α︒<<︒． 【分析】（1）由四边形ABCD 的内角和与邻补角的性质证明EDC ABC ∠=∠，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：90ACE BCD ∠=∠=︒，证明ECD BCA ∠=∠， 再证明ECD ACB ≌，从而可得结论； （3）当90PDC ABC α∠=∠==︒时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，从而可得到答案． 【详解】 解：（1）90AB AD DCB ⊥∠=︒，，3609090180CDA ABC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒， 180CDA CDE ∠+∠=︒，.EDC ABC ∴∠=∠故答案为：=．（2）ACE 是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：90ACE BCD ∠=∠=︒， 90ECD DCA DCA BCA ∴∠+∠=︒=∠+∠， ECD BCA ∴∠=∠， 在ECD 与ACB △中，ECD BCA CD CBEDC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECD ACB ASA ∴≌ EC AC ∴=， 又90ACE ∠=︒ACE ∴是等腰直角三角形．（3）当①ABC=α=90°时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，由PDC ∠＞45EAC ∠=︒，PDC DCA EAC ∠=∠+∠＜135︒， ∴ 45°＜α＜135°，故：4590α︒<<︒． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（2021·杭州市采荷中学）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S.若AD 4=，DCB 60∠=，BS 10=，求AS 和OR 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的性质证明①ODQ①①OBP ，即可得到OP OQ =．（2）首先求AS 的长，要通过构建直角三角形求解；过A 作BC 的垂线，设垂足为T ，在Rt①ABT 中，易证得①ABT=①DCB=60°，又已知了斜边AB 的长，通过解直角三角形可求出AT 、BT 的长；进而可在Rt①ATS31中，由勾股定理求出斜边AS 的值；由于四边形ABCD 是菱形，则AD①BC ，易证得①ADO①①SBO ，已知了AD 、BS 的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA 、OS 的比例关系式，即可求出OA 、OS 的长；同理，可通过相似三角形①ADR 和①SCR 求得AR 、RS 的值；由OR=OS -RS 即可求出OR 的长．【详解】（1）证明：四边形ABCD 为菱形，AD //BC ∴．OBP ODQ ∠∠∴=, O 是BD 的中点，OB OD ∴=,在BOP 和DOQ 中，OBP ODQ ∠∠=，OB OD =，BOP DOQ ∠∠=BOP ∴①()DOQ ASAOP OQ ∴=．（2）解：如图乙，过A 作AT BC ⊥，与CB 的延长线交于T ． ABCD 是菱形，DCB 60∠=AB AD 4∴==，ABT 60∠=∴在Rt ATB 中，AT ABsin6023==TB ABcos602==,BS 10=，TS TB BS 12∴=+=，在Rt ATS 中，AS ∴=AD//BS ，AOD∴①SOB．AO AD42OS SB105∴===，则AS OS2OS5-=，AS7OS5∴=，AS2=5OS AS7∴==．同理可得ARD①SRC．AR AD42RS SC63∴===，则AS SR2RS3-=，AS5RS3∴=，3RS AS5∴==．OR OS RS∴=-==【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键．33。
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角的计算与证明1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定知识互联网思路导航典题精练题型一：余角、补角及角分线的简单运算⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°⑵如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1()2αβ∠-∠．正确的有（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（ ） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（ ） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（ ）A ．钝角与锐角的差不可能是钝角B ．两个锐角的和不可能是锐角C ．钝角的补角一定是锐角D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（ ）A ．108°，72°B ．95°，85°C ．108°，80°D ．110°，70°⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A B C OFED CBA N MA B CD O A C D E图2图1F【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平 分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ） A ．35︒ B ．55︒ C ．70︒ D ．110︒⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ， 使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .【例3】 如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来.【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠；②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请 给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，若2(60)3nBOD ∠=-︒ ，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）．定 义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线OA ，从点O 再引两条射线OB 与OC ，使40AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，则AOC ∠= ．⑵ 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为 ． 图2图1ABOEF CC FEO B A典题精练题型二：角度计算中的分类讨论⑵ 若170AOB ∠=︒，70AOC ∠=︒，60BOD ∠=︒，求COD ∠的度数．【例5】 如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线， 图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n 条射线所得的角的个数．【拓展】已知直角AOB ∠，以O 为顶点，在AOB ∠的内部画出100条射线，则以OA 、OB 及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O 为项点，在AOB ∠的内部画出n 条射线（1n ≥的自然数），则OA 、OB 以及这些射线为边的锐角共有多少个？题型三：角的综合应用东北西南东南西北东西南北7654 3 2 11. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围090α︒︒≤≤. 2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转6︒ ⑵ 时针每分钟转0.5︒【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误．．的是（ ） A ．OA 的方向是北偏西15°B ．OB 的方向是南偏西45°C ．OC 的方向是南偏东60°D ．OD 的方向是北偏东60°⑵ 如左下图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则AOC DOB ∠+∠= ．⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．思路导航典题精练A BCDO 60°75°45°30°北南西东O DCBA图1CAD BO 20︒图2O ABCD30︒CADBO 50︒ADCα∠AOB 是平角直线是平角∠CAB ∠ABCB A B A CC B A① 如图1，若20AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图2，若30AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图3，若50AOD ∠=°，则COB ∠= °② 如图4，若AOD α∠=，猜想COB ∠与α的数量关系为： （用式子表示）, 证明你的结论．【例7】 饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问韩老师外出多少分钟？【备选】⑴α∠,β∠都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1()6αβ+的结果依次为50︒，26︒，72︒，90︒，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（ ） A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁⑵已知α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算()115αβγ++的值时，有三位同学分别计算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则αβγ++=______.训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ⑵把20.3°换算成度、分、秒的结果是 ． ⑶用度表示 722342'''︒=； ⑷计算 3216'25''47825'︒⨯-︒=____________. 思维拓展训练（选讲）⑸计算 157435'︒÷= ．训练2. 如图，90AOB ∠=°，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠，EOF ∠比COD ∠的4倍少28°，则COD ∠= （精确到秒）训练3. 从下午13：00到当天下午13:50，时钟的分针转过的角度为 度．训练4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，且∠AOD ＝90°．⑴ 图中∠COD 的余角是 ； ⑵ 如果∠COD =2445'︒，求∠BOD 的度数．题型一 余角、补角及角分线的简单运算 巩固练习【演练1】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【演练2】 如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角； ⑵ 求出BOD ∠的度数； ⑶ 请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠．OFED CBA复习巩固O E D C B A题型二角度计算中的分类讨论巩固练习【演练3】已知100AOB∠=°，50BOC∠=°，求AOC∠的度数.【演练4】已知：OA、OB、OC是从点O引出的三条射线，85AOB∠=︒，4136'BOC∠=︒，求AOC∠．题型三角的综合应用巩固练习【演练5】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，OD是OB的反向延长线.若OC是AOD∠的平分线，则BOC∠的度数为____________，OC的方向是________________.【演练6】钟表在8点30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（）A．60°B．70° C．75° D．85°DC BAO北西南东。