涉及三角形的角平分线的两个轨迹问题

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中考数学专题复习-轨迹问题

E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。

一、尺规作图：轨迹法确定动点位置1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=22）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600C AADO B OB1)2)LALO B A B3)4)二交轨法应用1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将∆ABE对折之∆PBE位置。

若AB=2，且PC=1.1)不全图形B2) 求 tan ∠ PCD 的值ADBC2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD于点 H ，连接 BH ，则② 求 AB 的长②求 BH 的最小值。

AD HCB3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数；（2）若 AE =2，试求 AP AF 的值；（3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长．4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长yCGEAD5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，求点G移动路径的长6.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．三、坐标系中的动点问题动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P(a,3)是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．yBOCPQA xD （1）当 a =1 时，求点 Q 的坐标（2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．△8．如图， AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，1 点 A 在反比例函数 y的图象上．设点 B 的坐标xByA为 (m , n ) ，则 n 与 m 的等量关系是______________．O x3．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线 y = kx +2 与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，动点 D 在射线 AO 上，将线段 DB 绕着点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DC ．设点 D 的横坐标为 m ．（1）请直接写出 B 点的坐标；（2）当 k 为何值时，四边形 ADCB 为平行四边形？yBC（△3）当 BOC 的周长最小时，求 m 的值．AO x。

第十三讲轨迹、直角三角形的判定

第十三讲轨迹、直角三角形全等的判定知识点：一、轨迹的意义：我们有时把符合某些条件的所有点的集合叫做。

二、三条基本轨迹：（1）和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的。

（2）在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的。

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的。

三、交轨法作图的概念：利用轨迹相交进行作图的方法叫做。

四、直角三角形全等的判定方法：如果两个直角三角形的和对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（简称“H.L”）备注：证明普通三角形全等的方法也适合证明直角三角形全等。

例1.作图并说明符合条件的点的轨迹（不要求证明）（1）经过已知线段AB的两个端点的圆的圆心的轨迹。

（2）以已知线段AB为腰的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹。

例2.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B 的距离必须相等，到两条高速公路m,n的距离也必须相等，发射塔P应该修建在什么位置？例3.已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例4.已知：Rt △ABC 中，∠ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，求证：CD ⊥BE例5. 如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ，点E 在AC 上，点D 在BA 的延长线上，AD ＝AE ．求证：（1）△ADC ≌△AEB ；（2）BE=CD ．课堂练习：1．使两个直角三角形全等的条件是（）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等 D.一直角边和斜边对应相等2．如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有对全等三角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有对． 3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．（第5题）ABCE D （第2题）O4. 如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF=AC ，FD=CD ．求证：BE ⊥AC ．5. 如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C6. 已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F求证：CE=DF.A BCE FABCE F课后练习：1.到∠AOB的两边距离相等的点的轨迹是。

2023年高考数学二轮复习讲练测 (新高考) 专题02 正余弦定理在解三角形

专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【命题规律】解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型核心考点二：倍角定理核心考点三：角平分线模型核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题核心考点六：四边形定值和最值核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；（2）若sin sin A C =b ．3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos sin21sin1cos2A BA B=++．（1）若23Cπ=，求B；（2）求222a bc+的最小值．【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若P 在边BC 上，且满足PC BP λ=，AP m =，则延长AP 至D ，使PD AP λ=，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c λ=，(1)AD AP λ=+．180BAC ACD ∠+∠=︒．【典型例题】例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC =，3AB =，则||AP 的值为（）A B C D例2．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知2()sin cos f x x x x =，将()f x 的图象向右平移π0<<2ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，且182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=1,=2b c ，若点D 为BC 边靠近C 的三等分点，试求AD 的长度．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 为BC 上靠近点C 的三等分点，且1AD CD ==．记ABC 的面积为S ．(1)若sin 2sin C B =，求S ； (2)求S 的取值范围．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 所对的边，且满足1cos 2c A b a =-，若P 为边AB 上靠近A 的三等分点，1CP =，求：（1）求C 的值；（2）求2+a b 的最大值．例7．（2022·全国·高三专题练习）在①ANBN=AMN S =△AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，___________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin sin()a c A a B C -=-，b =(1)求角B ；(2)若AC 边上的点D 满足2CD DA =，BD =ABC 的面积．核心考点二：倍角定理【规律方法】例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+.(1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin sin sin B C A C -=．(1)证明：2B C =；(2)若A 是钝角，2a =，求ABC 面积的取值范围．例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值.例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3． (1)若1cos 4C =-，求ABC 的面积；(2)若A ＝2B ，求BC 的长．例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =. (2)求bc 的取值范围.核心考点三：角平分线模型【规律方法】斯库顿定理：如图，AD 是ABC △的角平分线，则2·AD AB AC BD DC =⋅-，可记忆：中方=上积一下积．【典型例题】例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈. (1)若120BAC ∠=︒，12λ=，求AD 的长度； (2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin cos cos B A B B A A -=两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ，．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数()32f x a b =⋅+． (1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中=4a ，=3b . (1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.例20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． (1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．核心考点四：隐圆问题【规律方法】若三角形中出现(1)b a λλ=>，且c 为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．【典型例题】例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的动点的轨迹．已知在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin A B =，cos cos 3a B b A +=，则ABC 面积的最大值为（）A ．3B ．C ．6D ．例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）AB C ．43D ．53例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ（0,1λλ>≠）的动点的轨迹.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin ,A B =cos cos 2,a B b A +=则ABC 面积的最大值为__________．例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________.核心考点五：正切比值与和差问题【规律方法】例27．（2022·江苏南通·高三期中）在ABC 中，点D 在边BC 上，且AD BD =，记BDCDλ=. (1)当13λ=，π3ADB ∠=，求ABAC ；(2)若tan 2tan BAC B ∠=，求λ的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，2b =，且ABC 的面积2S =．(1)若4sin 5A =，求a ； (2)求tan B 的最大值．例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-，1b =(1)若)tan tan 1tan tan A C A C -=+，求边c 的值； (2)若2a c =，求ABC 的面积．例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅．(1)求角B 的大小； (2)若tan tan 4tan tan B B A C+=，求sin sin AC 的值．例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 满足22222a b c +=且90B ≠︒． (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求111tan tan tan A B C++的最小值．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan tan tan a b c A B Cλλ+=>（1）. (1)当,14A a π==，2λ=时，求c 的值；(2)判断ABC 的形状.例33．（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 满足2222sin sin 2sin A B C +=. (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求123tan tan tan A B C++最小值.例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab -+-=. (1)若4C π=，求A ，B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求2cos ab B的取值范围.例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(,sin )m a b C =-，(3,sin sin )n c b A B =-+，(0)m n λλ=≠，则1tan 24b Cc +的最小值为（）A B ．C D例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22222a c b +=，则tan tan BC=______．例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．核心考点六：四边形定值和最值【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值．例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎣⎦.(1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值.例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ=，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=--，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.核心考点七：边角特殊，构建坐标系【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程【典型例题】例45．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +2228b c +=，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2222x yx y ++222()(2x y x y ++当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++，又1()2ABC S x y h x∆=+=+22y =⨯1)2x y⎤+=⎥⎦15)25x y⎤+⨯⨯⎥⎦2252()25225h x y++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h，将h=与x y=代人222222()8h x y x y++++=中，得x y==⎭.所以ABC∆.方法3:由三角形面积公式，得1sin2ABCS ab C∆=，即()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-，由22228a b c++=，得22282a b c+=-，由余弦定理，得283cos2cCab-=，所以()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-=()22222222831831142416cca b a bab⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c cc+--=-+(当且仅当a b=时取等号)，当285c=时，42516cc-+，取得最大值45，即245ABCS∆，所以ABC∆面积的最大值为(也可以用基本不等式求2ABCS∆的最大值，即42516ABCcS∆=-+()2225165145165c cc-=⋅，所以ABC∆).方法4:在ABC∆中，由余弦定理，得2222cosc a b ab C=+-，由22228a b c++=，得()222222cos8a b a b ab C+++-=，即()22384cosa b ab C+=+，又222a b ab+，所以84cos6ab C ab+，即(32cos)4ab C-，故432cosabC-，又1sin2ABCS ab C∆=，所以2sin32cosABCCSC∆-，令2sin()32cosxf xx=-，(0,)xπ∈，得26cos4()(32cos)xf xx-'=-，令6cos40x-=，得2cos3x=，即当2cos3x=时，sin x=ABC∆.例46．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b==ABC△所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则2311(3)2n m -③，又a b =得223m n +=④，由③，④得223016m <，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCSm n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆的最大值核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例47．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC ABC 的周长.例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =． (1)若2π3C =，求ABC 的面积； (2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=-；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________． (1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．例50．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC 的中点，ADC △的面积1S =且B A >，求AD 的长度.例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x =，()3sin ,sin =b x x ，函数()12=⋅-f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin sin cos a A A B b B =+，且ab ．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c 已知22cos 2sin sin 12A B A B -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (1)求角C 的大小. (2)若1c =，求ABCS 的最大值.例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC =，且0AD AC ⋅=． (1)若b ＝c ，求A 的值； (2)求B 的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②S BA CA =⋅；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________ (1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【新题速递】一、单选题1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在ABC 中，已知30B =︒，1b =，则AB AC ⋅的最小值为（） A ．-1B ．14-C ．13-D ．12-2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则4b c +的最小值为（）A ．21B ．24C ．27D ．363．（2022·山西·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABC c =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·山东菏泽·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=，则ABC 外接圆面积与ABC 面积之比的最小值为（）．A B C D5．（2022·湖北·高三期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c tan tan A B =+，下列结论正确的是（） A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且AD =112b c+=D ．当b c -=ABC 为直角三角形6．（2022·贵州·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是边AB 上一点，CD 平分ACB ∠，且CD =cos cos 2cos a B b A c C +=，则2a b +的最小值是（）A ．4+B ．6C ．3+D ．47．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 是锐角三角形，且满足()()0b a a b ac -+-=，若△ABC 的面积2S =，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（）A ．()88， B ．()0,8C ．⎝D ．8）8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=m 的最大值为（） A ．6 B ．65C ．145D ．3二、多选题9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4CD DA ==，则（）A ．27BD =B ．四边形ABCD 的面积为C ．12AO BD ⋅=D ．16AC BD ⋅=10．（2022·江苏淮安·高三期中）在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c ++=，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（）AB C D 11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 外接圆的面积为π，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，设ABC 的周长和面积分别为P ，S ，则（）A ．π03B <≤B ．0b <≤C ．0P <≤D ．0S <≤12．（2022·山西太原·高三期中）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，cos 0C <，且tan bB c=，则下列结论正确的是（） A ．06B π<<B ．sin cos 0BC +=C ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈D ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈-三、填空题13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2sin 3tan ,2c B a A a ==；则当角A 最大时，ABC 的面积为______.14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin2B Ca A Cb ++=，且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 周长的最小值是______． 15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin()cos 06a B b A ππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，10a =，若点M 满足25BM BC =，且MAB MBA ∠=∠，则AMC 的面积为_________________．16．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且AB ＝1，CD ＝2，AD ＝4，BC ＝5，则P A 的长度为______．四、解答题17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．18．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足)cos cos 2sin a C c A b B +=，且c b >．(1)求角B ；(2)若b =ABC 周长的取值范围．19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，120ADC ∠=，角B 满足：(1sin cos )(cossin )cos 222B B BB B ++-=．(1)求角B 的大小;(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2c a a b =+.(1)求证：2C A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin 3sin B A +的取值范围.22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，sin sin sin sin sin sin sin C B A BA B C-+=+，(1)求角C 的大小；(2)求sin 22πsin 4B B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围．。

初高中数学衔接知识-第三讲-三角形与圆(含答案)

第三讲三角形与圆3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，123////l l l ，有AB D E BC EF =.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图 3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DFBC = D.AFBEDF CE=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.图3.1-6图3.1-7图3.1-83.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，2AC CD CB =?；（2）2AD BD CD =? 练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:ADE BCDE S S V 四边形等于（） A ．2:3 B ．4:9 C ．4:5 D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1）请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？图3.1-15图3.1-16习题3.11．如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（） A ．1：3 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：63．如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC =?.图3.1-18图3.1-19图3.1-20图3.1-213.2 三角形 3．2．1 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-3图3.2-8图3.2-5例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点.求证 C H A B ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.练习21．直角三角形的三边长为3，4，x ,则x =________.2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3．已知直角三角形的周长为3 1，求这个三角形的面积.习题3.2A 组1．已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（）A ．AD AB =B ．12AD AB =C ．AD BD = D ．AD BD =2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4．已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本方法和思路；3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程. 要点诠释：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善要点诠释：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.要点二、线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN 垂直平分线段AB∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.要点诠释：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；A B O D E P（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.要点三、轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.要点诠释：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.要点诠释：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.要点四、直角三角形1. 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：要点诠释：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.【典型例题】类型一、命题与证明1.下列语句不是命题的是（）A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。

巧用三则平面几何知识简解解析几何问题

引玉．
例２设ａ，＞Ｏ定点Ｆ（，）直线ｌｚ一ｎ交ａｏ，：一轴于点Ｈ，Ｂ是ｚ上的动点，点Ｂ垂直于ｚ的直点过线与线段Ｂ的垂直平分线交于点Ｍ，１求点Ｍ的Ｆ（）轨迹Ｃ的方程；２设直线Ｂ与曲线Ｃ交于Ｐ、（）ＦＱ２
‘
图１
Ａ椭圆左准线与轴的交点；Ｂ坐标原点；Ｃ椭圆右准线与ｘ轴的交点；Ｄ右焦点
‘
，
三角形的有关性质，得知可
△ Ｐ ∽ ＡＱＦ，以ＡＦＣ所
ＰＡ
—
Ｄ
分析
这是一类涉及到角平分线的解析几何问
，
堕ＡＧＨＡＦ一一Ｂ，
，
②
◇
浙江
洪建松
由式 ① ② 可得 △ ＢＨＭ ∽ △ＡＧ，此Ｂ一』因Ｍ
ＨＭ
，
在解析几何中，一类涉及到平面几何初步知识有
的问题，如相似三角形性质、行四边形的边长关系、平重心的性质，类题往往与平面向量、这圆锥曲线等有机结合，通过稍加改变而成创新题．类问题若仅通这过联立方程等手段破解，往往事倍功半，至无功则甚
ＰＦ
／
ｃ
】
题，破解的思路往往是通过联立方程等手段，一时但难以得解，能结合平面几何相似三角形的性质，若则

轨迹问题再探究（圆轨问题）主从联动模型

轨迹问题再探究（圆轨问题）主从联动模型专注陕西中考数学研究关注刘⽼师微信公众号“龙哥与数学”，和你⼀起挑战中考数学，冲刺名校。

轨迹问题再探索---圆轨模型导读在前⾯的学习中，我们已经认识了轨迹，知道在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，⼀它们分别对应不同的知识点。

圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。

它们分别对应不同的知识点。

圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。

长，线段上的点到直线的距离也等于定长。

但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。

⽽需要我们结合题⽬中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理⽅法⼜是什么呢？在随后的讲解中，将逐步为⼤家揭开谜底。

敬请您的期待。

⾸先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平⾯内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。

我们在理解这个定义时，可从下列⼏个⽅⾯考虑：(1)符合⼀定条件的动点所形成的图形，或者说，符合⼀定条件的点的全体所组成的集合，叫做满⾜该条件的点的轨迹。

(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。

(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。

我们要记住两点：平⾯轨迹⼀般是曲线，空间轨迹⼀般是曲⾯。

常见的平⾯内点的轨迹1.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆⼼，定长为半径的圆。

2.到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。

3.到已知⾓的两边距离相等的点的轨迹，是这个⾓的⾓平分线。

4.到直线L的距离等于定长D的点的轨迹，是平⾏于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的的两条直线。

5.到两条平⾏线距离相等的点的轨迹，是和这两条平⾏线平⾏且距离相等的⼀条直线。

6.到两定点距离和等于常数(⼤于两定点的距离)的点的轨迹是以两定点为焦点的椭圆。

7.到两定点的距离的差的绝对值等于常数(⼩于两定点的距离)的点的轨迹，是以两定点为焦点的双曲线。

2021中考数学压轴专题2以三角形为背景的新定义问题

，T（120°）= ；
，若α是等腰三角形的顶角，则 T
②学以致用：如图 2，圆锥的母线长为 9，底面直径 PQ=8，一只蚂蚁从点 P 沿着圆锥的侧面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到 0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
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慧·数学
慧·数学
以三角形为背景的新定义问题
1、定义：点 P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点 P 是△ABC 的自相似点．例如：如图 1，点 P 在△ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点 P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
1
慧·数学
以三角形为背景的新定义问题
2、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，
两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线
拓展应用
（3）如图 4，在四边形 ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD= 2 3 ，DA=6．在四
边形内部是否存在点 P，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 △PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
4
慧·数学
以三角形为背景的新定义问题
5、如图 1，△ABC 和△DEF 中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．
的“內似线”，求 EF 的长．

八年级秋季班-第17讲：垂直平分线、角平分线及轨迹-马秋燕

利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．1、线段的垂直平分线：（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．垂直平分线、角平分线及轨迹知识结构模块一：线段的垂直平分线知识精讲内容分析【例1】如图，在△ABC 中，BC =8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE的周长等于18cm ，则AC 的长等于_______________．【难度】★ 【答案】【解析】【例2】已知：AB =AC ，DB =DC ，E 是AD 上一点，求证：BE =CE ．【难度】★ 【答案】【解析】【例3】在△ABC 中，AB =AC ，BC =12,∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC的垂直平分线交BC 边于点N ．（1）求△AEN 的周长．（2）求∠EAN 的度数．（3）判断△AEN 的形状．【难度】★ 【答案】【解析】例题解析ABCDEABCDEN M【例4】如图，D 是线段AB 、AC 的垂直平分线的交点，若∠BAC =50°，求∠BDC 的度数．【难度】★ 【答案】【解析】【例5】如图，已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，且DC =AC ，求△ABC 各角的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【例6】在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角△B 的大小为___________________．【难度】★★ 【答案】【解析】【例7】如图，在三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ⊥DE ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AD 是EF 的垂直平分线．【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCDEABCEFD【例8】如图，三角形ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 边上的点，BD =BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F ，求证：BE 垂直平分CD ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，D 是AB 边上的点，AD 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，垂足为F ，ED 的延长线与CB 的延长线交于点G ，求证：点E 在GC 的垂直平分线上．【难度】★★ 【答案】【解析】【例10】如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ，求证：AF =FG =BG ．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEFABCD EF GABC DEFMGN【例11】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．【难度】★★★【答案】【解析】AB C MNAC NMB2、角平分线：（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的由一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．【例12】如图，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是 ∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．④D ．②③【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】如图，已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD ．【难度】★★ 【答案】【解析】模块二：角平分线例题解析知识精讲ABC PEDA BCDE【例14】如图，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：AD =CD ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例15】已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线．【难度】★★ 【答案】【解析】【例16】（1）如图1△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠；（2）如图2：△ABC 中，∠ABC 的外角角平分线和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠；（3）如图3：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠．【难度】★★ 【答案】【解析】【例17】如图，在直角△ABC 中，∠C =90°，直角△ABP 中，∠BAP =90°，ABCDMFNPABCDA B C P图1ABCP图2ABCP图3已知∠CBO =∠ABP ，BP 交AC 于点O ，E 为AC 上一点，且AE =OC ，求证：PE ⊥AO ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例18】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且BE =DF ，BE 与DF 交于点G ，求证：GC 平分∠BGD ．【难度】★★ 【答案】【解析】【例19】如图，在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BF 平分∠ABC ，交AC 于点F 、AD 于点E ，EG ∥BC 交AC 于点G ，求证：AF =CG ．【难度】★★★ 【答案】【解析】A BCEPOA BCDEF G ABCDF GE【例20】如图，以△ABC 两边AB 、AC 为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE 、CD 交于F 点，CD 交AB 于点G ，BE 交AC 于点H ，求证：AF 平分∠DFE ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例21】如图，在△ABC 中，∠CAB 和∠ABC 的平分线AD 、BE 交于点P ，连接CP ．（1）求证：CP 平分∠ACB ；（2）如图1，当△ABC 为等边三角形时，求证：EP =DP ；（3）如图2，当△ABC 不是等边三角形，但∠ACB =60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDEF GHABCDE图1P图2ABCDEP【例22】已知，如图AP 、BP 分别平分∠DAB 、∠CBA ，PE 、PF 分别垂直AD 、BC ，垂足为E 、F ．求证：点P 在EF 的垂直平分线上．【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】已知：如图，△ABC 中，∠BAC =64°，∠B =38°，AD 平分∠BAC ，M 是BC 延长线上的一点，过点M 作MF ⊥AD ，垂足为点H ，交AB 、AC 于点F 、E ．求∠M 的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【例24】已知：如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，再过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，且DE =DF ．求证：（1）DG =BG ；（2）BD 垂直平分EF ．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析模块三：综合ABCD E FPABCDEHMFABCDEFG【例25】如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，∠OBC 、∠OCB 的平分线相交于点G ，判断OG 与BC 的位置关系，并证明你的判断．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例26】已知，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，判断下面四个结论中哪些成立，（1）AD 平分∠CDE ；（2）∠BAC =∠BDE ；（3）DE 平分∠ADB ；（4）BD +AC >AB 哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明【难度】★★★ 【答案】【解析】【例27】如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，E 、F 为AD 上两点，且∠ABE =∠EBF =∠FBC ，联结CF 并延长交AB 于点G ，求证：（1）△GBF 为等腰三角形；（2）GE ∥BF ．【难度】★★★ 【答案】【解析】FABCGO EABC DEABCDE FG模块四：轨迹知识精讲点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．三个基本轨迹：（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．例题解析【例28】（1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹是___________________．【难度】★★【答案】【解析】【例29】以下说法中错误的是（）A．到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆B．如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB 于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线C．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线D．经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线【难度】★★【答案】【解析】【例30】在△ABC 内找一点P ，使它到△ABC 的三个顶点的距离都相等．【难度】★★ 【答案】【解析】【例31】作图：（1）已知线段a 、b ，求做直角△ABC ，使得∠C =90°，AB =b ，BC =a ；（2）已知∠AOB ，点P 及线段a ，求作点Q ，使得点Q 到OA 、OB 的距离相等，且PQ =a ．【难度】★★★ 【答案】【解析】(1)baPaABC(2)ABC【习题1】以下说法错误的是（）．A ．如果P A =PB ，那么点P 在线段AB 的垂直平分线上B ．如果点P 在线段AB 的垂直平分线上，那么点P 到线段AB 两端距离相等C ．如果点P 在∠AOB 的内部且到OA 、OB 距离相等，那么射线OP 是∠AOB 的角平分线D ．如果OP 是∠AOB 的平分线，那么点P 到OA 、OB 上两点M 、N 的距离相等，即PM =PN【难度】★ 【答案】【解析】【习题2】如图在△ABC 中，∠B =115°，AC 的垂直平分线与AB 交于点D ，且∠ACD ︰∠BCD =5︰3，则∠BDC =_________．【难度】★ 【答案】【解析】【习题3】如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，则AB 与CD 之间的距离等于_________．【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测AB CDA BCDEO【习题4】作图：（1）到点A 的距离等于a 的点的轨迹；（2）到两条相交直线AB 、CD 距离相等的点的轨迹．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题5】如图，△ABC 中，AB =AC =8cm ，∠A =50°，线段AB 的垂直平分线分别交AB于点D ，交AC 于点E ，BC =3cm ，求：（1）∠EBC 的度数；（2）△BEC 的周长．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题6】如图，AE 是△ABC 的角平分线，AE 的垂直平分线与BC 的延长线相交于点F ，若∠CAF =50°，求∠B 的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】A BPEFC（1）AaBCD（2）OAAB CDE【习题7】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为△ABC 外一点，且AD =BD ，DE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，求证：DE =AE +BC ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】如图，正方形ABCD 中，E 是边AB 上的任意一点，F 是边BC 延长线上的一点，EF 交CD 于点G ，AE =CF ，（1）求证：点D 在线段EF 的垂直平分线上；（2）如果EF 交正方形的对角线BD 于点P ，BP =BE ，求证：EP =FG ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】如图，∠BAC 和∠CBF 的平分线相交于点P ，联结CP ，分别过点B 、C 作PC 、PB 的垂线交AC 、AB 的延长线于E ，F ，G ，H 为垂足，求证：BF =CE ．【难度】★★ 【答案】【解析】A BCDEPG FACBHEFGP ABCDE【习题10】已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，∠EBF =45，BG ⊥EF ，求证：BE =EG ．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题11】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 上的点，BE 与DF 交于点G ，GC 平分∠BGD . 求证：BE=DF ．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCD EFGA BCDGFE【作业1】已知点I 是△ABC 三内角平分线的交点，则点I()A ．到△ABC 三边距离相等；B ．到△ABC 三个顶点距离相等； C ．是△ABC 三边上的高的交点；D ．是△ABC 三边中线的交点．【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】（1）到x 轴的距离为到y 轴距离的两倍的点的轨迹是__________________；（2）底边AB 为5厘米的等腰三角形的顶点的轨迹__________________．【难度】★ 【答案】【解析】【作业3】 △ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC的周长是_____________．【难度】★ 【答案】【解析】【作业4】如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，EF =1，则点F 到BC 的距离为________________．【难度】★★ 【答案】【解析】课后作业ABCD EF【作业5】作图：（1）以线段BC 为底边的等腰三角形的顶点A 的轨迹；（2）到直线l 的距离等于2cm 的点的轨迹．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =CB ，D 在AC 上,且，AB =AD ,∠ABC =108°，过A 作AE ∥BC ，交∠ABD 的平分线于E ，联结CE ，求证：BD 垂直平分EC .【难度】★★ 【答案】【解析】（1）BCl（2）F A B CDEG 132 4A BCDE【作业8】在△ABC 中，∠A =α，AC 、AB 的垂直平分线交于点O ，求∠BOC 的度数（用含α的式子表示）．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】已知：等边△ABC 的边长为4，D 是边BC 上的一个动点（与BC 不重合），联结AD ，作AD 的垂直平分线分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，（1）求△BDE 和△DCF 的周长和；（2）设CD 的长为x ，△BDE 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDFE21 / 21 八年级秋季班【作业10】如图，已知在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：EF =BE +CF ；（2）当点D 为∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角的角平分的交点，EF 、BE 、CF 的关系又如何；请证明．（3）当点D 为∠ABC 的外角平分线和∠ACB 的外角的角平分的交点，EF 、BE 、CF 的关系又如何；请直接写出结论．【难度】★★★【答案】【解析】A B C D E F A B C D E F A B C D E F。

角平分线定理教学反思角的平分线的性质教学反思模板

角平分线定理教学反思角的平分线的性质教学反思模板在日常的学习、工作、生活中，确定对各类范文都很熟识吧。

大家想知道怎么样才能写一篇比较优质的范文吗？接下来我就给大家介绍一下优秀的范文该怎么写，我们一起来看一看吧。

角平分线定理教学反思篇一本节课的教学目标是了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。

为了让同学把握角的平分线的性质定理和逆定理的运用，对这两个定理的学习进行以下设计：用数学语言给出条件和结论，让同学熟识这两个定理的条件和结论后，再拿一些详细题目让同学在情境当中运用这两个定理。

用数学语言叙述角平分线的性质定理。

条件：点p是角aob 平分线上的一点，pd垂直oa，pe垂直ob。

结论：pd=pe。

用数学语言叙述角平分线性质定理的逆定理。

条件：点p是角aob上的一点，pd=pe，pd垂直oa,pe垂直ob。

结论：点p在角aob的平分线上。

详细题目设计，第22页第2，3题，第26页第5题。

让同学看到题目后指出该用哪个定理。

1、通过详细情境使同学能够比较简单的运用这两个定理。

很多同学学习了某个定理后，遇到相对应的题目往往不知道该用哪个定理，通过一些对应的题目，或者用数学语言给出条件，让同学得出结论，并说出用的是哪个定理，可以强化同学对定理的运用力量。

2、注意分析思路，同学学会思索问题，注意书写格式，让同学学会清晰的表达思索的`过程。

在证明的选题上，留意了减缓坡度，循序渐进。

在开头阶段，证明方向明确，过程简洁，书写简单规范化，这一阶段要求同学体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的简单程度，小步前进，每一步都为下一步做预备，下一步又留意复习前一步训练的内容。

通过细心角平分线的证明问题，减缓同学几何证明的坡度。

1、同学缺乏详细的自主探究几何的机会，只是培育了同学的几何证明思路。

2、没有理论结合实际生活。

教材有通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角平分线的两边距离相等的点在角的平分线上”的结论，使同学看到理论来自实际需要。

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2001年第8期
中学数学
涉及三角形前角平分线的两个软迹阎题
610081四川省成都大学计算机科学系文家金
定理1
设AD,BE,CF是△ABC的角
平分线，QABC内的动
点尸到其三边的距离
构成某三角形的三条
B
边之长，则点尸的轨迹

是△DEF的内部.

r,}E
Y‘\1

口D
图1

证明如图1，过点尸作直线E'F'分别
交AC,AB于点E',F'.设点P到边BC,CA,AB的距离分别为ri,r2,r3.则SAE'AF'=1，，。，气-c月乙L󰀀r2+AF'󰀀r3)，(1)、.产‘、刀产9目nJ2‘、了、SAABU=1，一只曰lar,1`口r2乙+cr3)，S6EArAE'.AFSAABCbe把(1),(2)代入(3)式可得ar,十br2+cr3“bc(r2AF+AE')(‘，推论1设BE,CF为△ABC的角平分线,P为△EAF内或线段EF上一点，过P作PQ土AC于Q，作PR土AB于R.设直线AP交线段BC于点M，则△PQR的周长QR+RP+PQ簇AM.证明作PN土BC于N，由上述定理的证明知，RP十尸Q所以QR成AP，从而
QR+RP+PQ簇AP+PM=AM.
定理2设AD,BE,CF是△ABC的角
平分线，△ABC内的动点尸到其三边的距离
的平方根为某三角形的三条边之长，则
(I)P的轨迹是一个椭圆r的内部，并且
r与△ABC的边BC,CA,AB分别相切于点
D,E,F;
由于AE=
be
a+c
，AF一奥下，所以

a州卜v

产
产
J
-
沙

、
乃
山

A
一

be命+晶，一‘a+b)r2+(a+c)r3.(5)
当A,P位于直线EF的同侧，P在直线EF
上，A,P位于直线EF的异侧时分别有
AF'<(=，>)AF，
AE'<(=，>)AE,
由(4),(5)式知，此时分别有
ar,+brz+cr3>(=，<)
(a+Or:十(a+c)r3，
即r1>(=，<)r2+r3"
因之，当ri,rz,八构成某三角形的三边之长时
点尸必在△DEF的内部，反之亦然.证毕.

(II)r的面积满足:
4/-3n9SqDEF。󰀀、孕SAABC.

证明(I)如图2所
示.以△ABC的内心为原
点建立直角坐标系xoy.不
妨设△ABC的内切圆半
径为1.则直线BC,CA,
AB的方程分别为
BC:一x+1=0,
CA,xcosc一ysinC+1二0,
AB:xcosB+ysinB+1=0.
设P的坐标为(x,y),P到直线BC,CA,AB
34
中学教学
2001年第8期

的距离分别为rl,r2,r3，则
、
1

声

、
.

产

、
、

内
匕

口
才

n
o

J
了

、

了
、
、

2
‘
、

r1=一x+1>0，
r2=
r3=
xcosc一ysinC十1>0,

xcosB+ysinB+1>0.
因为V"1,V"(,V-r,能构成某三角形的三条

边之长的充要条件是[1]
(r;十r2+r3)2>2(ri+r22十砖)，
所以点尸的运动区域的限制条件是(6),(7),
(8)及仁(一1+cosB+cosc)x+(sinB一
sinC)y+3]2>2仁(一x+1)2+(xcosc一
ysinC+1)2+(xcosB+ysinB+1)2].(9)
化简得
[(cosB一cost)2+2(cosB+cost)+1]x2
+2[(cosB一cosC)(sinB+sinC)+(sinB一
sinC)]xy+(sinB+sinC)zyz+
2(1一cosB一cosc)x+2(一sinB+sinC)y
一3<0.(9)
记(9)式的左端为f(x,y)，则点P的轨
迹的边界曲线由三条直线r,=0(i=1,2,3)
及二次曲线f(X,Y)=0所围成.
令f(x,y)二axz+2bxy+Cy2+dx+ey+
f，则显见a>0,c>0.又其判别式
△=4(b'一ac)
=一16[(cosB+cosC)󰀀
[i一cos(B+C)+sinBsinC]
<0(注意到cosB+cosC>0),
故f(X,Y)=0为椭圆(型).考虑直线x=1
与f(X,Y)=0的关系.把x=1代入
f(x,Y)=0得
[(sinB+sinC)y一(cost一cosB)]Z二0，
这表明直线BC与曲线f(X,Y)=0相切于点
D，同理可知它与CA,AB相切于点E,F.于
是P点的轨迹的边界曲线必定是含于△ABC
内部的一个椭圆r(r与△ABC的三边相

切).
因为满足定理2的(I)的椭圆是唯一
的，所以(I)完全确定了尸点的轨迹(而不必
去考虑其边界的方程).
(II)新建一个直角坐标系xoy.设r的方
程为
厂:
1(a>O,b>0)，
一
一

犷
一
驴

则△ABC是r的外切三角形，而△DEF是r
的内接三角形.
作仿射变换x=ax',y=by'，则它将xoy
平面上的任意凸区域D变成x'o'夕平面上的
凸区域D‘，且它们的面积万IDT之间有关系:
万=ab󰀀万.
设此变换把r,QABC,△D'E'F'依次变为
OO'，QA'B'C',QD'E'F'，则△A'B'C'，
QD'E'F'分别为OO'的外切圆，内接圆，且
Sr=ab󰀀Spa，
SoABC=ab󰀀SAA'B'C，
SQDEF=ab󰀀SAD'-F.
由熟知的事实有
SrSoo,
SQDEFSAVE'F

Srso,
SAABC=SAA'B'C

)4争7(9
，

、,/--37r9，
即生共卫SQDEF都二
(
沙
△A石C.

推论2
平分线，则
问题

证毕.
设AD,BE,CF是△ABC的角
。，1。
。△“‘、万JAABC"

定理2中的椭圆r与△ABC的内
切圆OI是否存在关系So,镇Sr?
参考文献
1文家金.一道冬令营试题的解答及附注.中学生
学，1988,6
(收稿日期;20010204)