三角形 角平分线部分经典题型
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
初中数学-三角形角平分线例题
例01．已知：如图，BD 是ABC 的平分线，BC AB ，P 在BD 上，AD PM ，CD PN .求证：PN PM .分析：要证PN PM ，可以证明点P 在ADC 的平分线上. 证明：因为BD 是ABC 的平分线， 所以CBD ABD . 在ABD 和CBD 中，)()()(已知已证公共边CB AB CBD ABD BD BD 所以)(SAS CBD ABD ，所以CDB ADB （全等三角形的对应角相等） 因为CD PN AD PM ,，所以PN PM （角平分线上的点到角的两边距离相等）说明 本题也可以在证明了CBD ABD 后再证明DPN DPM . 但利用角平分线的性质定理来证明更简洁.今后证明一定要注意灵活运用所学知识.例02．已知：如图，P A 、PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的角平分线，它们交于P .求证：PB 为MBN 的角平分线.分析：要证BP 为MBN 的角平分线，只须证点P 到BM 、BN 距离相等，而P A 、PC 为外角平分线，故可过P 作AC PE ，BM PD ，BN PF .证明：过点P 作AC PE ，BM PD ，BN PF 于F . 因为P A 、PC 分别是MAC 和NCA 的平分线，且BM PD ，BN PF ，∴PE PD ，PF PE （角平分线上的点到角两边距离相等）.∴PF PD .又∵BN PF BM PD ,，∴点P 在MBN 的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∴BP 为MBN 的角平分线. 说明 当有角平分线这个条件时，常常经过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来证题. 同样，要证明某射线是角平分线时，只要经过射线上一点向角的两边作垂线，再证垂线段相等.本题不能只想到应用三角形全等来解决总是，防止形成思维误区.例03．如图，已知：AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高. 求证：AF AE .分析：因为AD 为ABC 的角平分线，DE 、DF 是点D 到AB 、AC 边上的距离，∴有DF DE . 再利用直角三角形全等可证明AF AE .证明：AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高. ∴ DF DE （角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ADE Rt 和ADF Rt 中，)()(已证公共边DF DE AD AD ∴ )(HL ADF Rt ADE Rt∴ AF AE （全等三角形的对应边相等）说明：本题也可以用AAS 来证明三角形全等，但直接使用角平分线的性质更简单.例04．已知：如图，在ABC 中， 90C ，BC AC ，AD 是A 的平分线. 求证：AB CD AC .分析：证明AB CD AC . 可用延长的方法或截取的方法，我们用截取的方法证明本题. 在AB 上取一点E ，使AE AC ，则易证ADE ACD ，由此 得到DE CD ， 90DEB ，又由 45B ，得CD BE DE . 可证明本命题，那么利用角平分线的性质，作辅助线的时候，也可作AB DE 于E ，可直接得到DE CD .证明：过D 点作AB DE 垂足为E . 则 ∵AD 为角平分线，∴DE CD （角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ACD Rt 和AED Rt 中，)()(已证公共边DE CD AD AD )(HL AED Rt ACD Rt ，∴ AE AC （全等三角形的对应边相等） ∵ CB AC （已知）， 90C （已知） ∴ 45CAB B在DEB Rt 中， 90DEB ， 45B ， ∴ 45B EDB . ∴CD BE DE ∵BE AE AB ， ∴CD AC AB .例05．已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，AB DE 于E ，AC DF 于F .求证：EF AD .分析：欲证：EF AD ，就要证9021EOF AOE AOB 所以考虑证AFO AEO由题中条件可知AEO 、AFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证AF AE 即可，所以先证明AFD AED证明：∵AD 是BAC 的平分线. AB DE ，AC DF ∴ DF DE （角平分线上的点到这个两边距离相等） 在AED Rt 和AFD Rt 中)()(公共边已证AD AD DF DE ∴)(HL AFD Rt AED Rt∴AF AE （全等三角形的对应边相等） 在AEO 和AFO 中)()()(公共边已知已证AO AO FAO EAO AF AE ∴)(SAS AFO AEO∴ AOF AOE （全等三角形对应角相等） ∴9021EOF AOE ∴ EF AD （垂直定义）例06．已知：如图，在ABC 中，BE 、CF 分别平分ABC 、ACB ，且交于点O ， 求证：点O 在A 的平分线上.分析：要证点O 在A 的平分线上，只需证明点O 到A 的两边的距离相等，即证OG OH .证明：过点O 分别作三边的垂线OD 、OG 、OH ，∵AB OH DC OD ,，BO 平分ABC （已知）∴OD OH （角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 同理OG OD ， ∴OG OH∴点O 在A 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）例07．写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）同位角相等，两直线平行. （2）如果3 x ，那么92x（3）如果ABC 是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，三角形的三个外角只有两个钝角.（4）如果C B A ABC ，那么C B BC ，C A AC ，C B A ABC . 分析：准确理解原命题、逆命题、真命题、假命题等概念，分清题设和结论，是写出逆命题的关键，对于假命题，可以举一个反例，全面地考虑问题.解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是一个真命题.（2）逆命题是：如果92x ，那3 x 它是一个假命题∵9)3(2 ，∴3 x 或3 x（3）逆命题是：如果ABC 的三个外角中只有两个钝角，那么ABC 是直角三角形. 它是一个假命题，因为ABC 还可能是钝角三角形.（4）逆命题是：如果ABC 和C B A 中，C B BC ，C A AC ，C B A ABC ，那么C B A ABC ，这是一个假命题，因为有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形.角的平分线例1、已知：如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.分析：这是证明线段相等问题，由已知利用定理不难证明.证明：（略）说明：已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，证明它们相等必须标出它们，这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理。
初二角平分线经典例题
初二角平分线经典例题
以下是一个初二角平分线的经典例题：
在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=76°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，连接BD。
求∠ADB的度数。
解题思路：
1.根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠ABC的补角为180°-76°=104°。
2.根据角平分线的性质，∠ABC的平分线将∠ABC分为两个相等的部分，因此
∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC=38°。
3.同样地，∠ACB的外角平分线也将∠ACB的补角分为两个相等的部分，因此
∠ACD=∠BCD=1/2(180°-∠ACB)=52°。
4.在四边形ABCD中，我们可以看到∠ADB和∠ACD是互补的，即∠ADB+∠
ACD=180°。
根据上述计算结果，可以得到∠ADB=180°-52°=128°。
答案：∠ADB的度数是128°。
这道题主要考察了三角形内角和、角平分线的性质以及四边形内角和等知识点。
通过这道题可以加深对角平分线性质的理解，提高解题能力。
角平分线模型题型归纳
角平分线模型题型归纳
角平分线模型题型是指在一道几何题中需要应用角平分线定理进行求解的题型。
通常包括以下几种：
1. 求角平分线长度或比例：已知一个三角形的三边长或两边长和夹角，求角平
分线的长度或两条角平分线的长度比例。
2. 求角平分线与三角形其他线段的关系：已知一个三角形的三边长或两边长和
夹角，求角平分线与三角形其他线段的长度比例或角度关系。
3. 求三角形的角度大小：已知一个三角形的角平分线长度或比例，求三角形角
度大小。
4. 判断三角形相似性：已知两个三角形的一些线段长度比例以及它们的夹角关系，判断它们是否相似。
5. 求平面图形内部角度：已知平面图形中一个角的角平分线长度或比例，求其
他角的度数或角平分线所在直线与其他线段的交点。
这些题型在考试中经常出现，掌握角平分线定理及其应用方法对于解决这些题
型非常关键。
初一三角形角平分线经典例题
《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。
5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。
6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。
三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。
8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。
四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。
10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。
五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。
12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。
六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。
14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。
解三角形的角平分线问题(最新版)
解三角形专题------角平分线与三角形4心秒杀秘籍一：张角定理在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则一定有ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+，（证明：等积法） 【例1】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC=120°，BD△BC 交AC 于点D ，且BD=1，则2a +c 的最小值为 .【例2】在在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知点D 在BC 边上，AD△AC ，sin△BAC=322，AB=23，AD=3，则CD 的长为【例3】（2015年全国课标卷II ）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分△BAC ，△ABD 的面积是△ACD 面积的2倍.（1）求CBsin sin 的值；（2）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.秒杀秘籍二：角平分线张角定理，当βα=时， ①)(21cos c AD b AD +=α（角平分线张角定理） ②ααtan sin )(212AD c b AD S ABC ≥+=∆（角平分线面积） 证明：αααααααtan sin 2sin 2sin sin )(21sin )11(212sin 21∆∆==≥+=+⋅==S AD S AD bc AD c b AD AD c b bc bc S 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b cosC=a ,点M 在线段AB 上，且△ACM=△BCM ，若b=6CM=6，则cos△BCM=（ ）46.47.43.410.D C B A 【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，△ABC 的平分线交AC 于点D ，BD=1，则a +c 的最小值为 .【例6】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）36.35.34.33.D C B A秒杀秘籍3：角平分线之斯库顿定理如图，AD 是△ABC 的角平分线，则DC BD AC AB AD ⋅-⋅=2.就其位置关系而言：中方=上积-下积 求证：AC AB DC BD AD ⋅=⋅+2,,~ACAEAD AB ADC ABE =∴∆∆ 即,)(,AC AB DE AD AD AC AB AE AD ⋅=+⋅∴⋅=⋅证毕注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=6，△A 的平分线AD 交BC 于点D ，则AD= . 【例8】在△ABC 中，△C=2△B ，AC=3，BC=5，求AB 之长. 秒杀秘籍4：角平分线之倍角定理)(2);(2);(2222b c c a C A a b b c B C c a a b A B +=⇔=+=⇔=+=⇔=，这样的三角形称为“倍角三角形”【例9】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）2524.257.257.257.D C B A ±-【例10】设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=1，A=2C ，则△ABC 周长的取值范围为（ ）]33,22.()33,22.()33,0.()22,0.(++++++D C B A【例11】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若bc b a +=22且)2,3(ππ∈A ，则ba的取值范围是 .【12】如图，四边形ABCD 中，CE 平分△ACD ，AE=CE=32，DE=3，若△ABC=△ACD ，则四边形ABCD 周长的最大值为（ ）3315.318.3312.24.++D C B A例1、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为_______例2、若点O 在ABC ∆的内部，且053=++OB OC OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是________. 例3、若点O 在ABC ∆的内部，且02 =++OC m OB OA ，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________. 例4、（2016清华大学自主招生）若点O 在ABC ∆的内部，2:3:4::=∆∆∆AOC BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=，则实数λ=_____，μ=_____.例5、已知ABC Δ的外接圆的圆心为O ，且60∠=A ，若)∈β,α(βαR AC AB AO +=，则βα+的最大值是 能力提升1、已知ABC ∆中，I 为内心，,4,3,2===AB BC AC 且AC y AB x AI +=,则，则y x +的值为______ .2、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC PA ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是_______.3、在ABC ∆中，H BC AC AB ,2,3,4===为ABC ∆的垂心，AC y AB x AH +=，则xy=______. 4、已知G 是ABC ∆的重心，点N M ,分别在边AC AB ,上，满足AN y AM x AG +=,1=+y x ，若,43AB AM =则ABC ∆和AMN ∆的面积之比是____________.5、正三角形ABC 内一点M ，满足CB n CA m CM +=，45=∠MCA ，则nm=______________. 6、已知ABC ∆的外接圆O 的半径为1，且BC BA BO μλ+=，若60=∠ABC ，则μλ+的最大值是________. 7、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3π=∠A ，且OC y OB x OA +=，则y x -2的取值范围是_______________.三角形的四“心”，四“线”① 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.② P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．③ 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．④ 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题角平分线是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题来探讨角平分线的性质。
练习题一：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，证明AD是角A 的平分线。
解析：首先，我们可以利用角平分线的定义来解决这个问题。
角A的平分线是将角A分成两个相等的角的线段。
假设角BAD和角CAD是角A的平分线所分出的两个角，我们需要证明这两个角是相等的。
根据角平分线的定义，我们可以得出以下两个等式：∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）∠BAD + ∠CAD = ∠BAC （角的和等于整个角）将第一个等式代入第二个等式中，得到：∠CAD + ∠CAD = ∠BAC化简得：2∠CAD = ∠BAC由于∠CAD和∠BAD是同一个角的两个平分角，所以它们是相等的。
因此，AD是角A的平分线。
练习题二：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，且AD=DC，证明△ABC是等腰三角形。
解析：要证明△ABC是等腰三角形，我们需要证明边AB和边AC的长度相等。
由于AD是角A的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又已知AD=DC，所以△ADC 是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出以下结论：∠ADC = ∠ACD （等腰三角形的底角相等）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠ADC = ∠ACD。
结合以上两个等式，我们可以得出：∠ADC = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD根据角的和等于整个角的性质，我们可以得到：∠ADC + ∠ACD + ∠BAD + ∠CAD = 180°将上述等式代入，得到：2∠ADC + 2∠ACD = 180°化简得：∠ADC + ∠ACD = 90°由于∠ADC和∠ACD是等腰三角形△ADC的两个底角，它们的和等于90°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠DAC = 90°。
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1．如图1所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．
图1 图2
2．如图2所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．mn
D ．2mn
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900
，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
4．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB
的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。
5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
6.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是( ) A 、DE=DF B 、AE=AF
C 、BD=CD
D 、∠ADE=∠ADF
7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） Ａ．三条中线的交点
Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点
Ｄ．三条角平分线的交点
8.已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。
9.如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF 。
如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个。
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13题图
D
C
B
A
10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。
A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定
11.如图，
AB //CD ,CE
平分∠ACD ，若∠1=250
，那么∠2的度
数
是 .
12．如图，
OP 平分
A O B
∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，
垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．PA P
B = B ．PO 平分APB ∠
C ．OA OB =
D ．AB 垂直平分OP
13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD•相等吗？说明理由．
O
B
A
P
D
C
E
D
C
B
A
14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ．
15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE.
17．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，试在AC 上找一点P ，使P 到斜边的距离等于PC ．（画出图形，
并写出画法）
18．已知：OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ， CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N .
求证：CM ＝CN ．
19．已知：如图，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 、CF 交于点F .
求证：一点F 必在∠DAE 的平分线上．
A
B
C D
E
20．已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．
21．如图，ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．
22．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．
23．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
24．如图1所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点.
过点E的直线分别交AM、DN于B、C.
（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：
_______________________________. （2）试证明你的猜想.
（3）若点B 、C 分别位于点AD 的两侧时，试写出AD 、AB 、CD 之间的关系，并选择一个写出证明过程。
25．已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且∠ACB=90°,AC=BC. （1）如图1，当(0,2),(1,0)A C -，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为 ； （2）如图2，当点C 在x 轴正半轴上运动，点A 在y 轴 正半轴上运动，点B 在第四象限时，作BD ⊥y 轴于点D ，
试判断OA BD OC +与OA
BD OC -哪一个是定值，
并说明定值是多少？请证明你的结论. 结论： 证明：
26．如图，△ABC 中，∠ABC=42°,D 是BC 边上一点，DC=AB ，且∠DAB=27°。
（1）△ABC 是____________ 三角形； （2）证明你的结论。
27．在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
C
D
A
B
C
B
A
D o
y
x
C
B
A
o
y x
N
M
C E
A D
B 图1
N
M
E
A
D
图2
28．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．
（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =_______________________； （2）求证：∠BAP=∠PCB ；
（3）求∠PBC 的度数．
证明：（2）
B
C
P
A。