三角形中线与角平分线专题(二)
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
拓展二：解三角形三角形中线,角平分线问题 (精讲)(解析版)
拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法） 题型2：三角形中线问题（角互补法） 题型3：三角形角平分线（比例法） 题型4：三角形角平分线（等面积法） 题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题 方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+ (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=方法4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC 中，角CD 长的取值范围．c a =+又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()2211224221442a b ab ab ab ++=+=+， 由正弦定理可得22sin sin sin a b cA B C===，所以a =所以(253CD ∈，2．（2023两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角(1)求角A ；(2)若2b =，，求ABC 的BC 【答案】(1)7 (1)cos 2cos(A =(0,A π∈若选②：由正弦定理，得A ，C ∈(2)解：AD 是ABC 的BC ∴1()2AD AB AC =+，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()222AB AB AC AC +⋅+ 秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC 中，内角已知ABC 的面积； BC 上的中线为. 【答案】(1)4A π=222a c b +-和ACD 中，分别由余弦定理可得212b AD+-，212AD AD+--8=bc ，即AD 秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC 中，内角(1)求角A；，求ABC的面积2sin sin CB，在ABC在ABC 中，sin 2cos B =-因为0C <<选择条件③在ABC 中，3cos2C =因为0C <<23C π=；(1)求BAM ∠的正弦值； 在ABM 中，由余弦定理，得ACM △中，由余弦定理，得BMA 与CMA ∠在ABM 中，由余弦定理，得因为BAM ∠解法2、由题意可得，cos 45AB AC AB AC ⋅=⨯⨯AM 为边上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的11sin 22BAM AB AC BAC =⨯⨯∠126452⨯⨯⨯︒， ． 、在ABN 中，由余弦定理，得，分别为边BC ，为ABC 重心，2103=，在ABP 中，由余弦定理，得22PB AB PA PB -=⋅又由MPN ∠131050APB =解法2：因为BN 为边上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭， 2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．3．（2022·四川达州·一模）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积边上的中线长为3. 求ABC 外接圆面积的最小值. 【答案】(1)a =π. 【详解】（1）ABC 的面积sin 0A >，因此cos bc是ABC的中线，有1()2AD AB AC=+，因此22242AD AB AB AC AC=+⋅+，即有22，解得22，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即2a=.）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得）知22241cos2Abc b c=≥=+，当且仅当π<，于是得11sin3A≥所以ABC外接圆面积最小值为．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角sinsinC bcA-=2a c=，求ABC的周长；AC边的中点为D，求中线的最大值.3sinsinc CcA-=故ABC的周长a b c b++=+2）∵2BD BC BA=+，()22222222422BD BC BABC BA BC BA a c b =+++⋅+=+-=设ABC 中角(1)求b 边的长度； ，求ABC 的面积；1sin +4b B b 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC 的夹角为2211=++2=22AD AB AC AB AC c ∴⋅又()()2211+=+=+=22c AB AD AB AB AC AB AB AC ⋅⋅⋅21+4cos =cos ==417+8cos AB AD BAD AB AD⋅θθ∠，即128cos 8cos 116cos 90θθ，所以1cos =8θ或cos =θ1+4cos >0θ，所以1cos =8θ，易得ABC ∴的面积为137×41sin =24θ⨯⨯．（2022秋·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知分别为ABC 三个内角A (1)求A ；(2)若AD 为，求ABC 的面积在ABC 中，sin cos A C 3sin sin A ，又在ABC 中，3sin cos A =，即sin ⎛⎝()0,A π∈66ππ=即A 2在ABC 中，2在ABC中()12AD AB AC=+，()()222211244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅()22214964x x x=++得21x=即1x=，2b=，3c=133sin22ABCS bc A==(1)求证：2AB AC=；60）证明：因为ABD中，由正弦定理可得：180，故sin180，故cos 3，cos 3=，0180BAC <∠<，故60BAC ∠.题型4：三角形角平分线（等面积法）典型例题春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC 的内角，ABC 的面积为c 的值. 2c ab -=， 1π1πsin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S +=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =． 的角平分线交在ABC 中，由正弦定理得：0πC <<，解得所以2π3C =(2)依题意，a +是ABC 的角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，2πsin 3，整理得ab =，解得ab CD a b ==+：三角形角平分线（边长比与面积比关系）典型例题秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABCABDS S△△sin C∠ABC ABD S S =△△由正弦定理可得BDC ∠+即sin sin C A =（2）BCD ABD S S =△△设2AB =BDC ∠+22923b b b b +-⋅cos ABC ∴∠例题2．（(1)求cos C 及线段BC 的长；ABCS =sin AC∠12ADCABCS S =，3158ABC S =△. 6：三角形角平分线（角互补法）同类题型演练ABC 中，已知545cos 7AB AC B，，. AD 的长．在ABC 中，由余弦定理整理得27BC 解得7BC =97BC由于0BC >，所以7BC =因为(0,B π∈，所以sin 0B >2261cos 7B Bsin sin AC BCB A=267sin 26755BC B A ACABCABDACDSSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x 整理得20sin 240cos9sin9x在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC AAB AC2cos 22cos 1A 得cos θ=8109ADx2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在ABC 中，内角，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C 求角B 的大小；23=，角B BD ＝1，求ABC 的周长．160sin 602a BD +⋅⋅，+c ， 2222故ABC 的周长为．（2022·吉林统考模拟预测）在ABC 中，内角sin sin B b =求角A 的大小；若3AB =，的内角平分线交ABCABDADCS SS=+，1sin sin 2BAC AB AD BAD ∠=⋅⋅∠π1πsin 3sin 326AD =⨯⨯⨯+在ABC 中，由余弦定理：22AC AB +-．中，由正弦定理，中，由正弦定理，ABC 中，由余弦定理：1DC AC ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭193127913116168216⨯+⨯+⨯⨯⨯= 334AD =． ．（2022秋·全国·高三开学考试）已知在平面四边形ABCD 中，，求BDC 的面积，求CD 长BDC S=解：设CD =高三专题练习）已知ABC 的内角，ACD ABC S S=△△377，CD ACDABC S =2BD =由角平分线性质得1ABCS=12ACDS=⨯解得CD6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，2AB AC=，BAC∠的角平分线交BC于ABDADCSS的值；1,=AC【答案】（1）2【详解】解：（=ABDADCSSAB==ABDADCSS在ACD 中，224+=AD AD ．（2022·北京海淀校考模拟预测）已知ABC 的内角3sin 6B π⎛+ ⎝30c +=;条件这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题由题意知3sin B ⎛ ⎝06π⎫=⎪⎭, (0,B π∈故23B π=在ABC 中,由余弦定理可得22c ac +-22a c b +-对于条件①:与上式结合可得）在ABC 中,由正弦定理可得sin b B, 72sin 3π=, 33,cos 41=）BD 是∠ABD CBD =∠ABDBCD SAD S CD ==7AC =,AD ∴在ABD △2BD AB =35258⎛=+ ⎝故158BD =OM ON =⋅．1sin 2OM ⎛= ⎝⎭，(2,2ON =()2sin 223sin f x OM ON =⋅=+1sin 23cos 23sin 22x x x ⎛-+- ⎝222πππ==∵AD 为∠BAC 的角平分线，2AB AC =，ABC S=(3513ACD ABC S S ==．（2022·四川·校联考模拟预测）在(sin sin a A b B c =++ABC ABD ACD S S S =+，得()24bc b c bc =+≥，得值为43．ABC 中，ABC ABD ACD S S S =+，1sin 302b AD ⋅⋅︒， ()bc +，所以3b =，c =统考一模）在ABC 中，内角，3BA AC ⋅=，是ABC 的中线，求23π coscos()sin 22B C A A +==sin 0B ≠sin 2A ∴=，(0,πA ∈得cos2A =， 23A π∴=）3BA AC ⋅=,cos()3A π-=,得由余弦定理得：2b c +1()2AD AB AC =+， 2211()(44AD AB AC ∴=+=所以72AD =， AD 的长为72. ．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在sin 2B C +=2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+,22cos b bc A +，∴2216b c bc +=-,，即163≤bc , 当且仅当433b c ==时取等号2216A b c bc bc =+-=-，解：在ABC 中，因为由正弦定理sin a A ,3,=m b m 24922+=⨯m C C π<<，所以在ACD 中，所以AD =选择条件②角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件选择条件③因为ABC 的面积为1sin 2ab C 6ab =.1）知:a b 2,3,a b ==在ACD 中，所以AD =．（2022·湖北省直辖县级单位23AC =，(1)MPN ∠的余弦值．在ABC 中，由余弦定理可知：(222BC =+2BC = , AB BC =ABC ∴是等腰三角形，故120在ABM 中，由余弦定理可知：2cos AM ABC =∠在ABM 中，由正弦定理可知：sin AB AMB =∠因为AMB ∠27121cos 60)cos cos 60sin sin 60727MPN AMB AMB ∠==∠-∠=⨯-是ABC 的重心，所以23BP BN =21,3BN BP =∴= ,故112331133sin 601,sin 6012223262222BPMBCMSBP BM S BN BC =⋅⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯=所以四边形PMCN 的面积为333263BNCBMPS S-=-=统考模拟预测）向量12sin ,m x ⎛⎫= ⎪⎝，63cos 2n ⎛⎫= ⎝()2m m n =⋅+. 求函数()f x 的对称中心；若函数1()()4g x f x =+上有5个零点，求的取值范围；在ABC 中，内角A ，)C 恰好为函数(f x 【答案】(1)π12⎛ ⎝25π31π,1212⎫⎪⎭4932sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝2sin 2m n ⎛=+ ⎝()252sin 2sin 242()f x m m x n x ⎛=+-= ⎝=⋅+在ACD 中，由BCD △中，由78sin c A =在ABC 中，则可得712a =743a b +=4937123+(1)求证：::AD AB CD CB =；ABCABDCBDS SS=+，即cos θ，因为02θπ<<，则ABCS =统考三模）已知(2c ++是ABC 的角平分线，且，求ABC 的面积中，由正弦定理及sin C 得：是ABC 的角平分线，ABCABDCADSSS=+可得1因为3b =，2AD =，即有11sin 3622ABCSbc A ==⨯⨯．（2022·浙江绍兴·浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC 中，60，ABC 的面积等于，BAC ∠的角平分线___________. 【答案】217 【详解】解：2BC =，ABC 的面积等于132AB =⋅24AB AC ⋅=由余弦定理2cos BC AB AC A =⋅⋅(AB AC AB AC AB -⋅⋅=10AC +=（由于AB AC >AM 为∠所以=+ABCABMACMSSS，即ABCS=即111163642222AM AM =⨯⋅⨯+⨯⋅，解得故答案为：21；123．。
(二)三角形的中线、高线与角平分线专题训练
１ １ ． ： Ｌ ｋ Ａ Ｂ Ｃ ｌ ｆ １ ，
Ｂ １ ０平 方 米
Ｉ ） ． Ｉ ８ 方 胆 米
，
＝５ ０ 。 ， 高
， Ｃ Ｆ昕 ｆ 的
．
Ａ ． ５、 方 水
Ｃ． Ｉ ５、 办 水
线交 ｆ 点 ０，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求 Ｂ Ｏ Ｃ 的度 数
Ａ
Ｄ ． 不 能 确 定
Ｃ
图 ３
第 １题 图
Ｄ Ｃ
第 ４题 图
［ ＝ ＝ ＝～ （ 墨 ！
５ ． 如图， ／１ ＝ ／２ ， Ｇ 为 ＡＤ 中 点 ， 延长Ｂ Ｇ 交 ／ ４ Ｃ 于 Ｅ， 为 ／ ４ Ｂ上一点 ， Ｃ Ｆ上４ Ｄ交 ４ Ｄ Ａ ． １ 个 Ｂ ． ２个 Ｃ ． ３个 Ｄ ． ４个
８ ！ ｆ ｆ ｊ Ｊ ｆ Ｂ ／ ／ｅ ｌ ； ，』 』 ｒ 线Ｅ Ｆ与 Ａ ＢＣ Ｄ 分 Ｉ 十 ｝ ｛
』 一 Ｆ， ，Ｊ ｉ 勺 点， 平 分 ＿ ，过 点 ， 作
， ｌ Ｊ ｊ ＿ ， ’ ， 垂 为 Ｐ， ： ，
ｌ ｊ Ｆ ＝
｛
／ １ 疗 ｆ Ｊ ｌ ０ ’ Ｃ Ｋ｛ ｛ ｊ ‘ ， ・ ５ 分 ： ｌ ， Ｊ ｌ ¨ ｝ 卜 Ｊ ｌ 旧种 Ｊ 冬 ｝
＿ ， ｛ Ｂ＝５ 水， ｆ ＝３』 ｆ ｛ 水， 那 么 △ Ｂ Ｍ 与
△８《 长 彩一 ‘ 一
一
／ ，
形，
（ 答 案在 第 １ ９页 ）
１ ４
Ｂ ． 在 三 角 形 外 部 Ｃ ． 在 三 角 形 的 一 边 上
第 １题 图
（ ２ ） 如 图 ２所 示 ， Ｄ 是 △ Ｂ Ｃ 的高 线 ， 则
专题02_三角形的高、中线、角平分线_(知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC 上两点，且BD=DE=EC ，则图中面积相等的三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】A 【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD ，△ADE ，△ACE ，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE 和△ACD 的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD ，CE 是△ABC 的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC 的长是（ ）A ．10B ．10.8C ．12D ．15【答案】B 【解析】∵AD ，CE 是△ABC 的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC 的面积=12×12×9=12BC ⋅AD=54， 即12BC ⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，AD CE BF 、、是ABC ∆的三条高，654AB BC AD ===，，，则CE =（ ）A ．245B ．152C ．103D ．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：因为AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，654AB BC AD ===，，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE ， 可得：CE=•BC AD AB ＝546⨯＝103． 故选C ．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 等于（ ）A ．90°B ．130°C ．270°D ．315°【答案】B 【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD ⊥AB ，BE ⊥AC 可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°. 故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC ，∠BAC =90︒，AD 是三角形ABC 的高，图中相等的是（ ）．A ．∠B =∠CB ．∠BAD=∠BC ．∠C =∠BAD D ．∠DAC=∠C【答案】C 【提示】根据直角三角形的性质可得∠B +∠C =90︒，由AD 是三角形ABC 的高，可得∠BDA=∠ADC =90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC =90︒，∴∠B +∠C =90︒，故选项A 错误；∵AD 是三角形ABC 的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B 错误；∵∠BAC =90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC =90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【提示】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF的面积．【详解】解：连接AE和CD，∵BD=AB，∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2，∵AF=3AC，∴FC=4AC，∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8，同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8；S△DCE=2S△BCD=2×1=2；∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．故选：D．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．考查题型三三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差=（AB+AD+BD ）-（AC+AD+CD ）=AB-AC ，∵△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，∴AB 与AC 的差为3cm ．故选B ．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC 是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）A ．高B ．角平分线C ．中线D ．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEF ABC SS ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 1111,,,2222ABD ABC BDE ABD CDE ADC BEF BEC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∴==== 14BEF ABC S S ∆∆∴= ∵△ABC 的面积是4，∴S △BEF =1．故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S=12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B 【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABD ACD ABC BDE ABD ADF ADC SS S S S S S ====，，，再得到1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==，，所以83ABC S S =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点 ∴1122BDE ABD ADF ADC S S S S ==，，12DEF ADF S S =∴1148BDE ABC DEF ABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S ∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8 故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B 【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G 是三角形的重心是解题的关键.考查题型六 三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A 【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ，又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ）A ．5°B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C 【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解．【详解】在△ABC 中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A ．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE 的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=50°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．115°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC 与∠ACB 的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB 的度数，进而求出∠BDC 的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒，∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为()A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】B【提示】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．【详解】∵O到三边的距离相等∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
11.1.2三角形的角平分线和中线
新知探究 △ABC的三条中线相交于一点，这个焦点叫做三角形的重心.
A F O B D C E
新知探究 如图，线段AD是△ABC的中线， △ABD和△ACD面积有什么关 系？
A
B
D
C
中线的性质：中线AD将△ABC分成面积相等的两部分.
典型问题 例题1.如图，点D是BC的中点，若S△ABD＝8，则S△ACD＝______.
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长差为
A
.
(2)若AE⊥BC，垂足为E，BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
B
D
C
课堂练习 3.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，AB＝13，AC＝5， (1)△ABD与△ACD的周长的差是______； (2)若E恰好是CD的中点，那么△ABE和△ACE的面积有什么样的 数量关系？请说明理由.
A
B
D
E
C
课堂练习 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE∥AC，DE交AB于点E， DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠2，理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠FAD ∵DE∥AC ∴∠1＝∠FAD ∵DF∥AB ∴∠2＝∠EAD ∴∠1＝∠2.
C
D A B
课堂练习 1. 如图，点D，E分别是BC，AD的中点，若S△ABD＝8，则 S△ACE＝______.
C
D E A B
课堂练习 2.如图，在△ABC中，D是边BC中点，E，F分别为线段AD，CE的 中点，且S△ABC＝8，则△BFE的面积为____.
A E
F C
B
D
典型问题 例题2.如图，AD是△ABC的中线．
三角形的中线与角平分线
中线与角平分线的应用
在几何学中，中线和角平分线的 性质和定理被广泛应用于证明和
解题。
例如，可以利用中线和角平分线 的性质证明三角形中的一些等式
或不等式。
此外，在三角形的面积计算中， 中线和角平分线也是常用的工具。
04 三角形中线与角平分线的定理和证明
CHAPTER
三角形中线定理
总结词
三角形中线定理描述了中线与基线之 间的关系，即三角形中线将相对边分 为两段相等的线段。
在等腰三角形中，中线也是底边 的垂直平分线，因此其长度等于
底边的一半。
在直角三角形中，斜边的中线长 度等于斜边的一半。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的线段。
02
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
角平分线的性质
角平分线上的点到该 角的两边距离相等。
三角形三条中线
一个三角形有三条中线，分别连 接每个顶点与其对边中点。
三角形中线的性质
三角形中线与对应的底边平行且等于底边的一半。 三角形中线将对应的顶点与对边中点连接，且将相对的边分为两段相等的部分。
三角形中线将相对的角分为两个相等的角。
三角形中线的长度
三角形中线的长度等于从顶点垂 直于底边的线段长度的一半。
05 三角形中线与角平分线的实际应用
CHAPTER
在几何问题中的应用
三角形中线定理
三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，且中线长度为 对应底边的一半。
角平分线定理
角平分线将相对边分为两段相等的线段，且角平分线长度为 相对边上的高的一半。
在三角函数中的应用
第07讲 拓展二：三角形中线,角平分线问题 (精讲)(学生版)
第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析高频考点一：中线长问题角度1：求中线长（或中线长范围，最值）角度2：已知中线长，求其它元素 高频考点二：已知角平分线问题角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）角度2：已知角平分线，求其它元素1、中线：在ABC ∆中，设D 是BC 的中点角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧：2AD AB AC =+结论：2221(2cos )4AD b c bc A =++ 1.2角形式：核心技巧：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯;2、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c第一部分：知 识 点 精 准 记 忆2.1内角平分线定理： 核心技巧：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 2.2等面积法 核心技巧ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 2.3角形式：核心技巧：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯;高频考点一：中线长问题角度1：求中线长（或中线长范围，最值）1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+．(1)求A ；(2)若8+=b c ，求ABC 的中线AM 的最小值．第二部分：典 型 例 题 剖 析3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在①()cos2cos A B C =+，②sin cos a C A 这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．4．（2022·云南昆明·高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，222tan 4cos tan a c b A a A B+-=. (1)已知ABC 的面积S 满足2cos S A =，求角A ； (2)若边BC 上的中线为AD ，求AD 长的最小值.角度2：已知中线长1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，()sin sin sin b B a A b c C =-+ (1)求角A 的大小(2)若BC 边上的中线AD =ABCS =ABC 的周长(1)若ABC 的面积为103，求a ；(2)若AC 边上的中线BD =sin A 的值.3．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos (cos cos )a b C c A B +=+. (1)求C ；(2)若AB 边上的中线CD 长为4，求ABC 面积的最大值.4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,,2cos 2,1a b c a B c b b =+=. (1)求角A ；(2)若BC 边的中线AD △ABC 面积.5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos cos sin cos b A a B B B +=．(1)求角B ；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，且2DC AD =，AC 边上的中线BE 交AC 于点E ，且BE =ABC 的面积．6．（2022·安徽·砀山中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos C c A =，3a =． (1)求A 大小；(2)若BC ，求ABC 的面积．高频考点二：已知角平分线问题角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）1．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=. (1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.2．（2022·山东师范大学附中高一期中）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，b =22cos12BB =+． (1)求角B 的大小及ABC 外接圆的半径R 的值；(2)若AD 是BAC ∠的内角平分线，当ABC 面积最大时，求AD 的长．3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，∠BAC 的内角平分线交BC 于点D ，求AD .4．（2022·湖南衡阳·高一期中）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a = ，(2,sin )m b C =+， (sin sin ,)n A B b c =--，m n ⊥．(1)求A ；(2)若△ABC A 的内角平分线交BC 于D ，求AD ．5．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）在条件①cos sin sin sin A B A B C =+；cos sin 2A C b A +=；③222sin sin sin sin sin B A C A C =+-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,4,3a b c a c ==注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求角B .(2)若BE 为ABC ∠的角平分线，求BE 的长.6．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(1)求角A的大小；(2)若a=32BA AC⋅=，AD是ABC的角平分线，求AD的长.角度2：已知角平分线，求其它元素1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足2tan1tanc A b B=+.(1)求角A；(2)角A的内角平分线交BC于点M，若a=AM=，求sin AMC∠.2．（2022·河南省实验中学高一期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sin A sin C．(1)求角B的大小；(2)若b=B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求ABC的周长．3．（2022·河南·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan tan tan0B C B C++=．(1)求角A的大小；(2)若2BD DC=，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有PQ QM PR MR=．4．（2022·河北·高三期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++．(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =ABC 的面积为c 的值．5．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，满足___________. 从①2sin 26a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，②cossin 2B C b a B +=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. (1)求A 的大小；(2)若AE 是的ABC 角平分线，且3b =，2AE =，求ABC 的面积.6．（2022·吉林·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交边BC 于点D ，求AD AC ⋅．7．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin B a B -．(1)求A 的大小；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且AD ＝3，求△ABC 面积的最小值．8．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.9．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知在ABC 中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin 0b A -=. (1)求角B 的大小；(2)若角B 为钝角，且角B 的角平分线与边AC 相交于点D ，满足BD =，求ABC 的面积的最小值.。
三角形的垂线角平分线和中线的关系
三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。
三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。
本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。
一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。
这条垂线被称为该顶点对边的垂线。
2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。
（2）垂线和角平分线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。
二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。
2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。
当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。
（2）垂线和中线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。
三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形中线与角平分线专题（二）
1、三角形外角平分线的四个经典结论：
结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系
已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系.
01902P A ∠=+∠
结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系．
已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
01902P A ∠=-∠
结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
12
P A ∠=∠
结论四：结论三延伸
如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线
21A E F B C 2
1P
B A C
应用举例：
例1：在四边形ABCD 中，︒=∠120D ，︒=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数.
例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形状.
例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A .
图三 图四
例4：点M 是ABC ∆两个角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB
例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
2、角平分线性质的应用
3、角平分线与等腰三角形的构造问题：
【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形
如图（1）中，AD平分∠BAC，AD//EC；
如图（2）中，AD平分∠BAC，DE//AC；
如图（3）中，AD平分∠BAC，CE//AB；
如图（4）中，AD平分∠BAC，EF//AD。
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。
求证：AE＝AP
例2：如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。
试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。
训练题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF//AB
【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如图，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则∆AEC是等腰三角形。
90，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF 例3.：如图，在等腰Rt∆ABC中，AB＝AC，∠BAC=︒
的延长线于D。
求证：BF＝2CD
【模型三】作倍角平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。
如图，若∠ABC=2∠C，作BD平分∠ABC，则∆DBC是等腰三角形。
90
例4.：如图，在∆ABC中，∠ACB=2∠B，BC＝2AC。
求证：∠A=︒
3、角平分线定理及逆定理的应用：
例1：简单的定理应用
（1）如图，ABC Rt AD ∆是的角平分线，︒=∠90C ，AB DE ⊥于点E ，点F 是AC 上一点，DF BD CF BE ==:，求证
（2）如图，BD 是ABC ∠的平分线，E AB DE 于⊥，cm AB cm S ABC 18,362==∆，
cm BC 12=，求DE 的长.
例2：在梯形中的应用（作为结论记住）
如图，BAC CD AB ∠,//的角平分线与DCA ∠的角平分线交于点M ，
经过M 的直线EF 与AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E ，求证：点M 为EF 的中点.
变式1：如图，DAB BC AD ∠,//的角平分线与ABC ∠的角平分线交于点E ，过E 的直线交AD 于D ，交BC 于C ，求证：
（1）BE AE ⊥
（2）EC DE =
（3）试证：的关系与BC AD AB +
例3：角平分线与中垂线的综合：
（1）如图，ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ，求证：CAF B ∠=∠
（2）如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的中垂线相交于点P ，
过D 作AC AB 、的垂线，垂足分别为N M 、，求证CN BM =
例4：逆定理应用
（1）将两块完全相同的直角三角板（︒=∠=∠90AFB AEC ），按如图所示的方式放置在一起，使得边AE 在AB 上，边AF 在AC 上，D CE BF 相交于点与，求证：点D 在BAC ∠的平分线上.
（2）如图，在AOB ∠的两边EM DN OE OD ON OM OB OA 和上分别取、,,==相交于点C ，求证：点C 在的平分线上AOB ∠.。