2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。

连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。

已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长：试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，∴CD ⊥OD ，∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ，∴∠E=90°=∠CDO ，又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ．（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，∴22CE BE +=15，∵△COD ∽△CBE ．∴OD OC BE BC=，即15915r r -=， 解得：r=458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.（1）求证：DE 是圆O 的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.(1)如图所示，连接OE，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴ED＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：223AB AN -=，∴B （32）．（2）连接MC ，NC∵AN 是⊙M 的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在R t △NCB 中，D 为NB 的中点，∴CD=12NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．∴直线CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，O 是PAD ∆的外接圆.（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若28,tan 2AC BAC =∠=求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（2）364． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，∵PA=PD ，∴弧AP=弧DP ，∴OP ⊥AD ，AE=DE ，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA ，∴∠OAP=∠OPA ，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA ⊥AB ，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴DB 与AC 互相垂直平分，∵AC=8，tan ∠BAC=2，∴AF=4，tan ∠DAC=DF AF =2∴∴∴在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，∴设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴R 2=（R 2+2，∴R=4，即⊙O的半径为364．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣43π．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中OC OBOE OEEC EB⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=12BC=3，∴（r﹣1）2+（3）2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD=BDOD=3，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE=3OB=23，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2×12×2×23﹣21202360π⨯⨯343π．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC∆内接于O，,AB AC CO=的延长线交AB于点D．（1）求证AO平分BAC∠；（2）若36,sin5BC BAC=∠=，求AC和CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13.（2）过点C作CE⊥AB于E∵sin∠BAC=35,设AC=5m，则CE=3m∴AE=4m，BE=m在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36∴m=3105，∴AC=310延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5∴AH=9∴tan∠BAH=13∴OF=13AO=53∵OF∥BC∴OF DOBC DC，即5DC-53=6DC∴DC=9013.考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.(1)求证：ACD BAD△∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为52；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.试题解析：（1）连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥A C，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；（3）AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD ，∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．.考点：圆的综合题．13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠∠，D BAF ∠∠.(1)求证：AD 是O ⊙的切线；(2)若O ⊙的半径为5，2CE ，求EF 的长.（1）由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．（2）连接BF ，∴∠FAC=∠AOD ，∴△ACE∽△DCA，∴AC AE CE OC OA AC==，∴255AC AEAC==，∴AC=AE=10，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴AE BE CE EF=，∴1082EF=，∴EF=8105．考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB 是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA ，∴∠OAT=∠OTA ，∴∠PTA=∠B ，∵∠P=∠P ，∴△PTA ∽△PBT ， ∴PT PA PB PT=， ∴PT 2=PA?PB ．（2）∵∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB=3AT TB = ∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 是等边三角形，∴S 阴=S 扇形OAT ﹣S △AOT =226011360464ππ⨯-⨯=-. 考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O 与Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C 、D ，与边BC 相交于点F ，OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G ．（1）求证：DF ∥AO ；（2）若AC=6，AB=10，求CG 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.（1）证明：连接OD ．∵AB 与⊙O 相切与点D ，又AC 与⊙O 相切与点，∴AC=AD ，∵OC=OD ，∴OA ⊥CD ，∴CD ⊥OA ，∵CF 是直径，∴∠CDF=90°，∴DF ⊥CD ，∴DF ∥AO ．（2）过点作EM ⊥OC 于M ，∵AC=6，AB=10，∴22AB AC ，∴AD=AC=6，∴BD=AB-AD=4，∵BD 2=BF?BC ，∴BF=2，∴CF=BC-BF=6．OC=12CF=3，∴OA=22AC OC +=35， ∵OC 2=OE?OA ，∴OE=35， ∵EM ∥AC ，∴15EM OM OE AC OC OA ===， ∴OM=35，EM=65，FM=OF+OM=185， ∴ 3.6365EM FM CG FC ===， ∴CG=53EM=2． 考点：切线的性质．17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点D ，且AE ⊥CD ，垂足为点E ．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD 的长．（1）证明：连结OC ，如图，∵AD 平分∠EAC ，∴∠1=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，∴△CDB∽△CAD，∴CD CB BD CA CD AD==，∴CD2=CB?CA，∴（32）2=3CA，∴CA=6，∴AB=CA﹣BC=3，32262BDAD==,设BD=2K，AD=2K，在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，∴k=306，∴AD=303．考点：切线的判定与性质．18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）333-22π．（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=12CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=3，∴AC=2AB=23，AO=3，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=12π×AO2﹣12AB×BC=12π×3﹣12×3×3=33-22π．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．1. (2017北京第24题)如图，AB 是O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O的切线交CE 的延长线于点D .（1）求证：DB DE =；（2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=152. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.：(1)如图，连接AC,21世纪教育网∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°.∵050=∠ABT ，∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O 的切线．（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12 AB=2，∴CD 的长=902180π⨯⨯ =π；（Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD ︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802AOD ︒-∠=°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.(1)∵AB AC =∴∠ABC=∠ACB∵//CF AB∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥∵BF 为⊙O 的切线∴BF AB ⊥∵//CF AB∴BF CF ⊥∴BD=BF考点：圆的综合题.6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）2=233S π阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵CD CE =∴∠AOC=∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC ≌△BOC （ASA ）∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=3∴在Rt △AOC 中，OC=2∴∠AOC=∠BOC=60° ∴11==232=2322BOC S BC OC ⋅⨯△ 26022==3603S ππ⨯⨯扇形BOC ∴2==233BOC S S S π-△阴影扇形BOC考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积 7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC 外接圆的半径.【试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，42BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为22.考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G .（1）求证：DF AO ,10,6==AB AC CG（1）证明：AB 与⊙O 相切与点D BDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC 与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠= AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴ 即：DF E OC EM ⊥M 88,622=-=∴==AC AB BC AB AC 4,6=-=∴==AD AB BD AC AD ∴BCBF BD ⋅=2;2=BF ;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 5322=+=∴OC AC OA 553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得：235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DAC ．（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（2）求证：DE 2＝DF ·DA ．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ；∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．21世纪教育网∵∠G ＝∠BAD ，∴∠MDB ＝∠G ，21世纪教育网∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°．∴∠MDB ＋∠BDG ＝90°．∴直线DM 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·DA．∴DE2＝DF·DA．10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC∆中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做EF AB⊥于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且2ABG C∠=∠.（1）求证：EF是O的切线；（2）若3sin5EGC∠=，O的半径是3，求AF的长.【答案】（1）详见解析；（2）24 5.试题解析：(1)连接OE，则2EOG C∠=∠,∵2ABG C∠=∠∴ABG EOG∠=∠∴//AB OE∵EF AB⊥∴090AFE∠=∴090GEO AFE∠=∠=∴OE EG⊥又∵OE是O的半径∴EF是O的切线；（2）∵2ABG C∠=∠，∵ABG C A∠=∠+∠∴C A∠=∠∴BA=BC又O的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt△OEG中，sin∠EGC=OEOG，即335OG=∴OG=5在Rt△FGB中，sin∠EGC=BFGB，即352FB=∴BF=6 5∴AF=AB-BF=6-65=245. 考点：圆的综合题.13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =3试题解析：【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵PB 与⊙O 相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90°∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P∴△PB ∽C △ABP∴BPPC AP PB =∴PA PC PB ⋅=2（3）∵3,6==CP AC ∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2∴33=PB∴PAB ∠sin =3339==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接,OC AC ．(1)求证：AC 平分DAO ∠．(2)若105DAO ∠=，30E ∠=．①求OCE ∠的度数．②若O 的半径为2，求线段EF 的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②3（1）解：∵直线与⊙O 相切，∴OC ⊥CD ；又∵AD ⊥CD,∴AD （2）解：①∵AD ②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,∵2,∠OCE=45°.∴CG=OG=2,∴FG=2;∵在RT △OGE 中，∠E=30°，∴3,∴315. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）如图，O 为Rt C ∆AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ．已知C 3B =，C 3A =．（1）求D A 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（132）6π （1）在Rt △ABC 中，22AC BC +223(3)+3 ∵BC ⊥OC∴BC 是⊙O 的切线∵AB 是⊙O 的切线∴3∴3（2）在Rt △ABC 中，sinA=31223BC AB == ∴∠A=30°∵AB 切⊙O 于点D∴OD ⊥AB∴∠AOD=90°-∠A=60°∵tan =tan 30OD A AD=∴3 =3 3∴OD=1∴2601==3606 Sππ⨯阴影考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017浙江台州第22题）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与,B C重合），PE是ABP∆的外接圆⊙O的直径.（1）求证：APE∆是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求22PC PB+的值.【答案】（1）证明见解析（2）4（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接D E并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5219．（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠C DB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=2284-=43，Rt△ADB中，cos∠BAD=34=ADAB，∴34=8AD，∴AD=6，∴BD=2286- =27，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴BF BDFC AC=，∴2710433BF=，∴BF=521．考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．。