[全]中考数学有关圆的证明与计算题型解析

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圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

中考数学专题二题型六与圆有关的证明与计算

1. 已知切线例2 (2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明 ∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，于是可得到DE⊥AC； (2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
8. (2020·北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点， CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F. (1)求证：∠ADC＝∠AOF；
(2)若 sin C＝13 ，BD＝8，求 EF 的长．
(1)证明：连接OD，如解图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD，∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴ ∠ CDO ＝ 90° ， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED； (2)若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED；
3. (2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F， ∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)求证：AD＝ID； (3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

河南中考数学题型四与圆有关的证明与计算及答案.docx

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】题型四与圆有关的证明与计算(近6年连续考查)【题型解读】近6年连续在解答题中考查，考查的类型有两种：①在2017年中考查与切线性质有关的证明与计算，设问有：证明线段的相等和利用勾股定理求线段长；②其余5年考查的是特殊四边形的动态探究，考查该类型的时候，第二问往往是以两个填空题的形式出现，主要考查内容是菱形、正方形的判定，其中菱形的判定是必考内容.类型一与切线判定有关的证明与计算1.如图，D是⊙O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BD C.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长.第1题图2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半径.第2题图3.(2019南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.第3题图4.(2019济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC ︵的中点，E 为OD 延长线上一点，且∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若DH ＝9，tan C ＝34，求直径AB 的长.第4题图类型二与切线性质有关的证明与计算(2017.18)1.(2019河南定心卷)如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，连接AD，C D.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝5，BC＝3，求AE的长.第1题图2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：BC＝BH；(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长.第2题图3.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接BD并延长至点C，使CD＝BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若BD＝2，且AB＝3BD，求DE的长.第3题图4.(2019桂林改编)如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB 于点E，DE＝OE.(1)求证：∠CAE＝∠CBA；(2)求证：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值.第4题图类型三特殊四边形的动态探究题(2019、2015、2014.17；2018.19；2016.18)1.如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；(2)若AB＝12，BC＝13，P从E出发沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位.填空：①当运动时间为秒时，四边形EPCQ是矩形；②当运动时间为秒时，四边形EPCQ是菱形.第1题图2.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.(1)求证：△ACD∽△BCA；(2)若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；②当∠B＝时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形.第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)填空：①当∠BAC＝时，△CDE为等边三角形；②连接OD，当∠BAC＝时，四边形OBED是菱形.第3题图4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线，交EC于点F.(1)求证：EF＝FC；(2)填空：①当∠ACD的度数为时，四边形ODFC为正方形；②若AD＝4，DC＝2，则四边形ABCD的最大面积是.第4题图5.(2019许昌模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)填空：①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为5，AC＝3CE，则BC的长为.第5题图6.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接P A，PB，PO.(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当弧AP＝时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.第6题图7.(2019新乡模拟)如图，在⊙O中，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝AB，P A，PB交⊙O于D，E两点，∠P AB为锐角，连接DE，OD，OE.(1)求证：∠EDO＝∠EBO；(2)填空：若AB＝8，①△AOD的最大面积为；②当DE＝时，四边形OBED为菱形.第7题图8. 如图，点A ，C ，B 是⊙O 上三点，且C 是劣弧AB ︵的中点，点E ，F 是弦AB 上两点，且AF ＝BE . (1)求证：OE ＝OF ；(2)填空：若⊙O 的半径为2，①当∠AOB ＝时，四边形AOBC 是菱形； ②当∠AOB ＝90°时，四边形AOBC 的面积是 .第8题图9.(2019开封模拟)如图，在▱ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧BC ︵上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，连接P A ，PB ，P C.(1)求证：CA ＝CB ；(2)当AP ＝AC 时，试判断△APC 与△CBA 是否全等，请说明理由； (3)填空：当∠D ＝时，四边形ABCD 是菱形.第9题图10.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝时，△AOE是直角三角形.第10题图11.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，连接BD，C D.(1)求证：△BDE≌△CDE；(2)填空：①连接CF，当∠BAC＝时，四边形BDCF是菱形；②当∠FBD＝时，四边形ABDC是正方形.第11题图12.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝O C.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：①当∠B＝时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由.第12题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴在Rt△NDM中，由勾股定理得，MN＝DM2＋DN2＝2 2.2.(1)证明：如解图，连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACO＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∵OA为⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线；第2题解图(2)解：如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E . 在Rt △BCE 中，∠B ＝60°，BC ＝2， ∴BE ＝BC ·cos B ＝1，CE ＝3， ∵AB ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝2，∴在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝7， ∴AP ＝AC ＝7.∴在Rt △P AO 中，OA ＝tan30°·7＝33×7＝213， ∴⊙O 的半径为213. 3. (1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°， ∵∠BCD ＝∠A ，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴OC ⊥BC .又∵OC 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E . 在Rt △BCD 中，∵BC ＝5，BD ＝3， ∴CD ＝4.∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∠BCD ＝∠A ， ∴Rt △BDC ∽Rt △CDA . ∴CD AD ＝BD CD ＝34， ∴AD ＝163.∵OE ⊥CD ， ∴E 为CD 的中点．又∵点O 是AC 的中点， ∴OE ＝12AD ＝83.∴点O 到CD 的距离为83.第3题解图4. (1)证明：∵D 是AC ︵的中点， ∴OD ⊥AC ，即∠AFO ＝90°， ∴∠CAB ＋∠AOF ＝90°.又∵∠CAE ＝2∠C ＝2∠B ＝∠AOF ，∴∠CAE ＋∠CAB ＝∠AOF ＋∠CAB ＝90°＝∠EAO ， ∴EA ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AE 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接AD ，∵∠C ＝∠B ＝∠HDF ，D 是AC ︵的中点， ∴∠C ＝∠DAH ＝∠B ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴Rt △ADH ∽Rt △BDA ， ∵tan C ＝34，∴AD BD ＝DH DA ＝34， ∵DH ＝9，∴AD ＝12，BD ＝16，在Rt △DAB 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝20.第4题解图类型二与切线性质有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OC ， ∵直线MN 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥MN . ∵BD ∥MN ， ∴OC ⊥BD . ∴BC ︵＝CD ︵. ∴∠BAE ＝∠CAD . 在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACD AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAD， ∴△ABE ≌△ACD (ASA)；第1题解图(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD ， ∴△BCE ∽△ACB . ∴BC AC ＝CECB. ∵AC ＝AB ＝5，BC ＝3， ∴CE ＝95.∴AE ＝AC －CE ＝165.2. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC . ∵∠C ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴OE ∥BC . ∴∠CBE ＝∠OEB . ∵OE ＝OB ， ∴∠EBO ＝∠OEB . ∴∠CBE ＝∠EBO ， ∵CE ⊥BC ，EH ⊥AB ， ∴CE ＝EH .在Rt △EBC 和Rt △EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝HE ，BE ＝BE ， ∴Rt △EBC ≌Rt △EBH (HL)． ∴BC ＝BH ；第2题解图(2)解：∵AB ＝5，AC ＝4，∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得BC ＝AB 2－AC 2＝3. ∵BC ＝BH ， ∴BH ＝3.∴AH ＝AB －BH ＝5－3＝2. 设CE ＝EH ＝x ，则AE ＝4－x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得AH 2＋EH 2＝AE 2，即22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，∴CE ＝32.3. (1)证明：如解图，连接OD . ∵DE 是半圆O 的切线，切点为D ， ∴OD ⊥DE ，∵BD ＝CD ，OA ＝OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC . ∴DE ⊥AC ；第3题解图(2)解：如解图，连接AD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ，又∵DC ＝BD ＝2，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD . 又∵DE ⊥AC ， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ABD ∽△DCE . ∴DE AD ＝DCAB ，即DE ＝AD ·DC AB，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝3BD ＝6， ∴AD ＝62－22＝42，∴DE ＝42×26＝423.4. (1)证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°. ∵BC 平分∠ABM ， ∴∠ABC ＝12∠ABM ＝45°.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， ∴∠CAE ＝∠CBA ；(2)证明：如解图，连接OC 和OD . ∵OC ＝DO ，DE ＝OE ， ∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠DOE . ∴△OCD ∽△EDO ， ∴DO OE ＝DCOD，即DO 2＝OE ·DC . 又∵OA ＝DO ， ∴OA 2＝OE ·DC ；第4题解图(3)解：由(1)知，△ACB 为等腰直角三角形， ∴C 为AB ︵的中点，CO ⊥AB ，如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ，设圆的半径为r ，∠DCO ＝θ，则有∠EOD ＝∠CDO ＝θ，∠CEO ＝∠EOD ＋∠CDO ＝2θ，由θ＋2θ＝90°，得θ＝30°，在Rt △COE 中，OE ＝33r ，则AE ＝r －33r ＝3－33r ，AC ＝2r . 在Rt △AEF 中，AF ＝EF ＝22×3－33r ＝32－66r ， ∴CF ＝AC －AF ＝2r －32－66r ＝32＋66r ，∴tan ∠ACD ＝EFCF ＝32－66r 32＋66r ＝2－ 3.类型三特殊四边形的动态探究题1.解：(1)BF ＝AE . 证明如下：由题意可知∠A ＝∠BFC ＝90°，BC ＝BE . ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠FBC ，在△ABE 与△FCB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ∠AEB ＝∠FBC BE ＝CB， ∴△ABE ≌△FCB (AAS)． ∴AE ＝BF ； (2)①8；【解法提示】设运动时间为t 秒，∵四边形EPCQ 是矩形，∴∠APC ＝90°，∴四边形ABCP 是矩形，∴AP ＝BC .由勾股定理知AE ＝5，∴EP ＝13－5＝8，∴t ＝8.②13.【解法提示】∵四边形EPCQ 是菱形，∴QE ＝QC ，∴点Q 与点B 重合，∴CQ ＝CB ＝13，∴t ＝13. 2. (1)证明：∵AD 与⊙O 相切于点 A ， ∴OA ⊥AD ， ∵CD ∥OA ， ∴∠ADC ＝90°， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ADC ，又∵CD ∥OA ， ∴∠ACD ＝∠CAO ， ∵OA ＝OC ， ∴∠ACO ＝∠CAO ， ∴∠ACD ＝∠ACO ， ∴△ACD ∽△BCA ； (2)解：① 45°；【解法提示】∵四边形AOCD 为正方形，∴∠AOC ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°，∵∠BAC ＝90°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠OAB ＝90°－45°＝45°.② 60°.【解法提示】如解图，连接AE ，∵AD 为切线，∴∠DAE ＝∠ECA ，∠OAD ＝90°.∵四边形AOCE 为菱形，∴∠OAC ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠ECA ＝∠OAC ＝30°，∴∠ACO ＝30°，∴∠AOB ＝∠ACO ＋∠OAC ＝30°＋30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接OD，BD，∵∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．∵DE是⊙O的切线，∴BE＝DE.∴∠EBD＝∠EDB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠EBD＋∠C＝90°，∠EDB＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠EDC.∴DE＝CE.∴EB＝EC；第3题解图(2)解：① 30°；【解法提示】当△CDE为等边三角形时，则∠CDE＝∠C＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.②45°.【解法提示】当四边形OBED是菱形时，BO＝DE，DE∥OB，BE＝OD，BE∥OD，∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OA，∴∠BAC＝45°.4. (1)证明：∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC，∴CE是⊙O的切线．又∵DF是⊙O的切线，且交CE于点F，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°，∴∠E＝∠EDF，∴DF＝EF，∴EF＝FC；(2)解：① 45°；【解法提示】如解图，连接OD ，∵四边形ODFC 是正方形，∴∠DOC ＝90°，又∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝45°，∴∠ACD ＝∠OCD ＝45°.第4题解图② 9.【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∵AD ＝4，DC ＝2，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝25，∴要使四边形ABCD 的面积最大，则△ABC 的面积最大，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，△ABC 的面积最大，∴四边形ABCD 的最大面积＝12×4×2＋12×25×5＝9.5. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 为⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；第5题解图(2)解：① 60°；【解法提示】如解图，连接CD ，当四边形ACDO 为菱形时，AO ∥CD ，AC ∥OD ，已知AD 为∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠ADC ＝∠CAD ，又∵∠CDA ＝∠CBA ，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，∠BAC ＝60°.②8.【解法提示】如解图，设OD 与BC 交于点G ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AC ，∴四边形CEDG 是矩形，∴DG ＝CE ，∵AC ＝3CE ，∴OG ＝12AC ＝32CE ，∴OD ＝52CE ＝5，∴CE ＝2，∴AC ＝6，∵AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.6. (1)证明：如解图，∵PC 与⊙O 相切于点P ， ∴OP ⊥PC . ∵AC ⊥PC ，∴AC ∥OP . ∴∠1＝∠3. ∵OP ＝OA ， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AP 平分∠CAB ；第6题解图(2)解：① 22；【解法提示】∵AOPC 为正方形，∴OP ＝OA ＝2，∠POA ＝90°，∴AP ＝OP 2＋OA 2＝2 2. ②23π或43π. 【解法提示】当AD ＝AP ＝OP ＝OD 时，∵四边形ADOP 为菱形，∴△AOP 和△AOD 为等边三角形，则∠AOP ＝60°，lAP ︵＝60×2π180＝23π；当AD ＝DP ＝PO ＝OA 时，∵四边形ADPO 为菱形，∴△AOD 和△DOP为等边三角形，则∠AOP ＝120°，lAP ︵＝120×2π180＝43π.综上所述，当弧AP 为23π或43π时，以A ，D ，O ，P为顶点的四边形是菱形．7. (1)证明：如解图，连接AE ,第7题解图∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∵P A ＝AB ， ∴E 为PB 的中点， ∵AO ＝OB ， ∴OE ∥P A ，∴∠ADO ＝∠DOE ，∠A ＝∠EOB ， ∵OD ＝OA ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠EOB ＝∠DOE ， ∵OD ＝OE ＝OB ， ∴∠EDO ＝∠EBO ； (2)解：① 8；【解法提示】∵AB ＝8，∴OA ＝4，当OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大，此时点D 是AB ︵的中点，∴OD ⊥AB ，∴S △AOD ＝12×4×4＝8. ② 4.【解法提示】当四边形OBED 为菱形时，OD ＝OB ＝BE ＝DE ＝12AB ，∴DE ＝4. 8. (1)证明：∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵AF ＝BE ，∴AE ＝BF ，在△OAE 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠OAB ＝∠OBA AE ＝BF，∴△OAE ≌△OBF (SAS)，∴OE ＝OF ；(2)解：①120°；② 2.【解法提示】①如解图，连接OC ，∵四边形AOBC 是菱形，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∵OA ＝OC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC＋∠BOC ＝60°＋60°＝120°；②如解图，设OC 与AB 交于点D ，∵点C 是劣弧AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴AD ＝BD ，∠AOC ＝∠BOC ＝45°，∴OD ＝BD ，∵OB ＝2，∴BD ＝OD ＝1，∴AB ＝2，∴S 四边形AOBC ＝S △AOB ＋S △ACB ＝12AB ·OD ＋12AB ·CD ＝12AB ·OC ＝12×2×2＝ 2.第8题解图9. (1)证明：如解图，连接CO 并延长交AB 于点E ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴CE ⊥CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴CA ＝CB ；第9题解图(2)解：当AC ＝AP 时，△APC ≌△CBA .理由如下：∵CA ＝CB ，AC ＝AP ，∴∠ABC ＝∠BAC ，∠APC ＝∠ACP ，∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠BAC ＝∠ACP ，在△APC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠CBA ∠ACP ＝∠CAB AC ＝CA，∴△APC ≌△CBA (AAS)；(3)解：60°.【解法提示】∵ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，由(1)可知，CA ＝CB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.10. (1)证明：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA ＝90°.∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①当∠B ＝60°时，四边形BDEO 是菱形．如解图，连接OD ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴△AOE 是等边三角形，△DOE 是等边三角形，∴OB ＝BD ＝DE ＝EO , ∴四边形BDEO 是菱形；②若△AOE 是直角三角形，只有一种情况，即∠AOE ＝90°，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠AEO ＝45°，由(1)知 △ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°.第10题解图11. (1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，在△BDE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠ADB ＝∠ADC DE ＝DE，∴△BDE ≌△CDE (SAS)；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①∵四边形BDCF 是菱形，∴∠FBC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝∠DBC ，又∵∠ABD ＝90°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°；②∵四边形ABDC 是正方形，∴∠ABC ＝∠DBC ＝45°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝22.5°，∴∠FBD ＝∠FBC ＋∠DBC ＝22.5°＋45°＝67.5°.12. (1)证明：∵OA ＝OC ，AD ＝OC ，∴OA ＝AD ，∠OAC ＝∠OCA ，∴∠AOD ＝∠ADO ，∵OD ∥AC ，∴∠OAC ＝∠AOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠AOD ＝∠ADO ，∴∠AOC ＝∠OAD ，∴OC ∥AD ，∵OC ＝AD ，∴四边形OCAD 是平行四边形；(2)解：①30°；【解法提示】∵四边形OCAD 是菱形，∴OC ＝AC ，又∵OC ＝OA ，∴OC ＝OA ＝AC ，∴∠AOC ＝60°，∴∠B ＝12∠AOC ＝30°. ②当∠B ＝45°时，AD 与⊙O 相切．理由如下：∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD ＝90°，∵AD ∥OC ，∴∠AOC ＝90°，∴∠B ＝12∠AOC ＝45°.。

中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题含解析

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=，即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. π C 。

北京中考专题圆的有关计算及证明(解析版)

北京中考专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，̂=CD̂，∴BD∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，理由：在△ACB 和△ACE 中，{AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径；故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°，故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AC ̂=CD ̂， ∴AC ＝DC ， ∴AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF =√(√5)2−12=2， ∴CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3， ∴BC ＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE 【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．̂=AD̂，再根据垂径定理即可判断；【分析】①连接OC，根据作图过程可得AC②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，̂=AD̂，∴AC根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确； ③方法一：∵∠CAO ＝60°，∠ACB ＝90°，∠CBE ＝30°， ∴BC ＝2CE ．所以③正确．方法二：由△ACE ∽△CBE ，∴AC ：AE ＝BC ：CE ＝2：1， ∴BC ＝2CE ，所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan ∠OCB 的值．【解答】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ， ∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切， ∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°， ∴tan ∠OBC =ODBD ， ∴BD =ODtan30°=√333=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5， ∴tan ∠OCB =ODCD =√35．故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE 的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC，OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得OD⊥BC，得到OD⊥EF，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE＝3，AF＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC，OD，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ， ∵点D 为BC ̂中点， ∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35， ∴AE ＝3，AF ＝5， ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE=OF AF，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ， ∴r3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，依题意补全图形．证明：∵等边△ABC，∴AB＝AC，̂=AĈ，∴AB∵AD过圆心O，由垂径定理，∠AEC＝90°，∵DF∥BC，∴∠ADF＝90°，∴DF与⊙O相切．（2）解：连接DC，∵等边△ABC，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴DC=2√3，∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴CF＝2．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝45°，∴∠BCO＝∠B＝45°．∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD＝∠BOC＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接AC，BD交于点E．∵AB是直径，AB＝8，∴∠ACB＝90°．∴BC=AC=4√2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE=12AC=2√2，∴BE=2+CE2=√40=2√10，∴BD=2BE=4√10．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，由余角的性质可求∠ABO＝90°，可得结论；（2）过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．【解答】证明：（1）连接OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan ∠ACB =AP AC =12， ∴设AP ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝2x ，OP ＝OB ＝5﹣x ， ∵AO 2＝OB 2+AB 2， ∴25＝（5﹣x ）2+4x 2， ∴x ＝2， ∴AP ＝2，AC ＝4 ∴OB ＝OP ＝3， ∴CP =√AC 2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP ＝∠ODP ＝90°，∠APC ＝∠OPD ， ∴△ACP ∽△DOP ， ∴PD PA=OP CP=OD CA，∴PD =OP⋅PA CP=35√5， ∵OB ＝OP ，OD ⊥BP ， ∴BP ＝2PD =6√55． 21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ．（1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．【分析】（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到DC∥OB，DC＝OB，推出四边形OCDA是平行四边形，得到AF∥OC，根据切线的性质得到∠OCQ＝90°，于是得到结论；（2）过点B作BN⊥OC于点N，如图，根据平行四边形的性质得到BD＝2BH，CH=12CO=52．tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，求得ON＝5﹣x．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴DC∥OB，DC＝OB，∵AO＝OB，∴DC∥AO，DC＝AO，∴四边形OCDA是平行四边形，∴AF∥OC，∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，∴∠OCQ＝90°，∴∠AFC＝∠OCQ＝90°，即AF⊥CF；（2）解：过点B作BN⊥OC于点N，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BD＝2BH，CH=12CO=52．在Rt△BNC中，tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，∴ON＝5﹣x．在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2＝52，解得x1＝0（舍），x2＝1．∴BN＝3x＝3，HN=52−x=32．在Rt△HNB中，由勾股定理可得BH=3√5 2．∴BD=2BH=3√5．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，̂=CD̂，∴AD̂=AĈ，∵AD̂=CD̂=AĈ，∴AD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；③得出∠BOD＝60°，设OD＝x，则OB＝OE＝2+x，得出cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，求出x＝2，得出tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，则可求出EF的值．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB＝OE＝2+x，在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，∴cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，∴x＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴AE＝8，在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，∴tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，∴EF=8√3 3．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．【分析】（1）依据几何语言进行画图即可；（2）连接OD．求得∠FDO＝90°，即可得到直线EF是⊙O的切线；（3）连接AD．依据△ABD∽ADE，即可得到AE＝3.2．设BF＝x，则OF＝2.5+x，AF＝5+x．再根据△ODF∽△AEF，即可得到BF=45 7．【解答】解：（1）如图所示：（2）相切，理由如下：如图，连接OD．∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠F AE．∴OD∥AE．∴∠FDO＝∠E．∵AE⊥EF，∴∠E＝90°．∴∠FDO＝90°．∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝5，BD＝3，∴AD＝4．∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD=AD AB，∴AE ＝3.2．设BF ＝x ，则OF ＝2.5+x ，AF ＝5+x ． ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD OF=AE AF，∴2.52.5+x=3.25+x，解得x =457． ∴BF =457． 25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥P A ，分别交射线P A ，PB 于E ，F ．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC ＝2CF ，且DF =√3，求PE 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明DE ⊥OD 即可．（3）首先证明OF ＝2OD ，推出∠OFD ＝30°，解直角三角形求出OD ，OF ，PF 即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OD．∵OD＝OP，∴∠ODP＝∠OPD，∴PD平分∠APB，∴∠APD＝∠POD，∴∠APD＝∠ODP，∴OD∥P A，∵DE⊥P A，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵PC＝2CF，∴可以假设CF＝x，则PC＝2x，OD=12OF，∵∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°，∵DF=√3，∴OD＝DF•tan30°＝1，∴OF＝2OD＝2，PF＝3，在Rt△PEF中，∵∠PEF＝90°，∠PFE＝30°，∴PE=12PF=32．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．【分析】（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD＝OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．【分析】（1）连接OC，可证明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED＝90°，所以∠OCE＝90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．（2）连接BC，由于∠BDC＝∠BAC，所以tan∠BAC＝tan∠BDC=12，设BC＝x，AC＝2x，所以AB=√5x，列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接OC，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠COB ＝2∠OAC ，∵∠BDC ＝∠OAC ，∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠COB ＝∠ABD ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥DB ，∠CED ＝90°，∴∠OCE ＝90°，OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线．（2）连接BC ，∵∠BDC ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝tan ∠BDC =12，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴BC AC =12，设BC ＝x ，AC ＝2x ，∴AB =√5x ，∵⊙O 的半径为√5，∴√5x ＝2√5，∴x ＝2，∴AC ＝2x ＝4．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．【分析】（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE＝90°即可；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到AD＝AB•sin B=8√55，求得∠B＝∠ADE，得到sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，求得AE=√55AD=√55×8√55=85，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sin B=√5 5，∴AD＝AB•sin B=8√5 5，∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sin B＝sin∠ADE=AEAD=√55，∴AE=√55AD=√55×8√55=85，∵OD∥AE，∴△F AE∽△FOD，∴FAFO =AEOD，∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴FAFA+4= 2 5∴F A=8 3．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC 延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．【分析】（1）连接AP，根据圆周角定理得到45APD∠=︒，求得DA AP a==，得到45D APD∠=∠=︒，推出D A PA⊥，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到22.5BAP B∠=∠=︒，求得67.5PAC PCA∠=∠=︒，推出点C在P上，根据垂径定理得到AC CE=，求得90APE∠=︒，于是得到结论．【解答】解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∠=︒，22.5B∴∠=︒，45APD点D到点A的距离也等于a，∴==，DA AP aD APD∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，PAD90∴⊥，DA PA∴为P的切线，DA∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）AP BP=，∴∠=∠=︒，BAP B22.5BAC∠=︒，90∴∠=∠=︒，PAC PCA67.5∴==，PA PC a∴点C在P上，⊥交图形W于点E，AE BD=，∴AE CE∴=，AC CEDPE APD∴∠=∠=︒，45APE∴∠=︒，90===，2EP AP a∴=，45AE∠=︒，E⊥，∠=︒，AE BDB22.567.5BAE ∴∠=︒，67.5AFE BAE ∴∠=∠=︒．EF AE ∴==。

中考专题复习——圆的相关证明(附答案)

中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小；（Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长．图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解：（Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。

初三数学专题02 圆的证明与计算题研究(含答案)

专题二：圆的证明与计算题研究【题型导引】题型一：与圆的性质有关的证明与计算（1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。

题型二：与圆的切线有关的证明与计算（1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。

题型三：与扇形、弧长等有关的计算（1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的性质及其相关条件进行计算圆锥等问题；【典例解析】类型一：与圆的性质有关的证明与计算例题1：（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ．（1）求证：sin ACB＝2R ；（2）若△ABC 中∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．【解答】解：（1）如图1，连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ，则∠CD ＝90°，∠ABC ＝∠ADC ， ∵sin ∠ABC ＝sin ∠ADC ＝AC AD ＝2ACR∴sin ACB＝2R ；（2）∵sin ACB＝2R ，同理可得：sin AC B －sin AB C ＝sin BCA＝2R ，∴2R ＝3sin 60︒＝2，∴BC ＝2R •sin A ＝2sin45°＝2，如图2，过C 作CE ⊥AB 于E ， ∴BE ＝BC •cos B ＝2cos60°＝22，AE ＝AC •cos45°＝62， ∴AB ＝AE ＋BE ＝622+， ∵AB ＝AR •sin C ，∴sin C ＝＝624+．技法归纳：圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段．类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算例题2：(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E . (1)当PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE ·DE ；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【解析】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP ＝90°，∴∠PBD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠PBD .(2)∵∠A ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△CBE ， ∴DE BE ＝AECE，即DE ·CE ＝AE ·BE . 如图，连接OC .设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE ·CE ＝AE ·BE ＝(OA －OE )(OB ＋OE )＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE ·CE .(3)∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝DE ·CE ， ∴(42)2－(25)2＝DE ·25，解得DE ＝655.技法归纳：与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．类型三：与扇形面积有关的证明与计算例题3：（2019•湖北武汉•8分）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D .C 两点．（1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC .OD ，如图1所示： ∵AM 和BN 是它的两条切线， ∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ， ∴AM ∥BN ，∴∠ADE ＋∠BCE ＝180° ∵DC 切⊙O 于E ， ∴∠ODE ＝12∠ADE ，∠OCE ＝12∠BCE ， ∴∠ODE ＋∠OCE ＝90°， ∴∠DOC ＝90°， ∴∠AOD ＋∠COB ＝90°， ∵∠AOD ＋∠ADO ＝90°， ∴∠AOD ＝∠OCB ， ∵∠OAD ＝∠OBC ＝90°， ∴△AOD ∽△BCO ，∴AD OA BO BC=,∴OA2＝AD•BC，∴（12AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD 3 OA，Rt△BOC中，BC3OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB3∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×12×332120(3)π⨯3π．技法归纳：求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．【变式训练】1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 3，求AC的长．【解析】：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，∴BF＝CE.(2)∵CE＝2 3，∴CD＝2 3.又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝CDcos∠ACB＝2 3cos30°＝2 332＝4.2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．3. （2018辽宁抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD ＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接O C．∵CB ＝CD ，CO ＝CO ，OB ＝OD ， ∴△OCB ≌△OCD ， ∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 是⊙O 的切线．（2）解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △OBE 中，∵OE 2＝EB 2＋OB 2， ∴（8﹣r ）2＝r 2＋42， ∴r ＝3， ∵tan ∠E ＝＝，∴＝，∴CD ＝BC ＝6，在Rt △ABC 中，AC ＝22AB BC +＝ 2266+＝62．4. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC 中，AB ＝A C ．（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，BC ＝6，则S ⊙O ＝．【解答】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意OE ＝4，BE ＝EC ＝3，在Rt △OBE 中，OB ＝2234 ＝5， ∴S 圆O ＝π•52＝25π．故答案为25π．5. （2018云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：连接OC ，如图， ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2， ∵OA ＝OC ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC ∥AD ，∵ED 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥DE ， ∴AD ⊥ED ；（2）解：OC 交BF 于H ，如图， ∵AB 为直径， ∴∠AFB ＝90°，易得四边形CDFH 为矩形， ∴FH ＝CD ＝4，∠CHF ＝90°， ∴OH ⊥BF ， ∴BH ＝FH ＝4， ∴BF ＝8，在Rt △ABF 中，AB ＝ 22AF BF +＝ 2228+＝217，∴⊙O 的半径为17．6. （2019•四川省凉山州•8分）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1＋∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．7. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线PB.PD上，∠P AC＝30°，AC ＝3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积．【解答】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD ＝120°，点A .C 分别在射线PB .PD 上，∠P AC ＝30°，AC ＝3过A .C 分别作PB .PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，求证：PB .PC 为⊙O 的切线；证明：∵∠BPD ＝120°，P AC ＝30°，∴∠PCA ＝30°，∴P A ＝PC ，连接OP ，∵OA ⊥P A ，PC ⊥OC ，∴∠P AO ＝∠PCO ＝90°，∵OP ＝OP ，∴Rt △P AO ≌Rt △PCO （HL ）∴OA ＝OC ，∴PB .PC 为⊙O 的切线；（3）∵∠OAP ＝∠OCP ＝90°﹣30°＝60°，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝AC ＝3AOC ＝60°，∵OP 平分∠APC ，∴∠APO ＝60°，∴AP 33＝2，∴劣弧AC 与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形APCO ﹣S 形AOC ＝2×12×3×2260(23)360＝3﹣2π．8. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，P B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB＝1010，BC＝1，求PO的长．【解答】（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AE ，∵P A 为⊙O 的切线，∴∠P AE ＋∠OAE ＝90°，∵AD ⊥ED ，∴∠EAD ＋∠AED ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AED ，∴∠P AE ＝∠DAE ，即EA 平分∠P AD ，∵P A 、PD 为⊙O 的切线，∴PD 平分∠APB∴E 为△P AB 的内心；（3）解：∵∠P AB ＋∠BAC ＝90°，∠C ＋∠BAC ＝90°，∴∠P AB ＝∠C ，∴cos ∠C ＝cos ∠P AB在Rt △ABC 中，cos ∠C ＝BC AC ＝1AC ，∴AC AO ∵△P AO ∽△ABC ， ∴PO AO AC BC，∴PO ＝AO AC BC 5．9. 已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE＝∠CEF＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边形内角和为360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵＝，∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE＝CE，∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝，∵AE＝＝4，∴AM＝4×＝．10. （2019•山东威海•12分）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝A C．求证：BD＝AD＋C D．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝A C．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【解答】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM＋DM＝CD＋AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM2AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD ＝BM ＋DM ＝CD AD ；【探究2】如图③，∵若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∵∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∴∠AMD ＝30°，∴MD ＝2AD ，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AMB ＝∠ADC ＝150°，∴△ABM ∽△ACD ，∴BM CD ＝AB AC ，∴BM ，∴BD ＝BM ＋DM ＋2AD ；故答案为：BD CD ＋2AD ；（3）拓展猜想：BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋ba AD ；理由：如图④，∵若BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，∴∠MAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAC ，∴△ABM ∽△ACD ， ∴BM CD ＝AB AC ＝bc ， ∴BM ＝b c CD ， ∵∠ADB ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠NAD ＝90°，∴△ADM ∽△ACB ， ∴AD DM ＝AC BC ＝b a， ∴DM ＝b a AD ，∴BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋v A D ．故答案为：BD ＝b c CD ＋b a AD。

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中考数学有关圆的证明与计算题型解析
有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、
特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等．
本节主要对其相应的题型总结归纳如下：
类型一、切线的性质
【例题1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C，
过点C 作CE⊥AB，交⊙O 于点E，垂足为点D.
(1) 求证：∠PCB＝∠BAC；
(2) 过点B 作BM∥PC 交⊙O 于点M，交CD 于点N，连接AM .
①求证：CN＝BN；
②若cos P = 4/5 , CN = 5 , 求AM 的长 .
例题1图
【参考答案】
(1)证明：如解图1 所示，连接OC，交BM 于点F .
解图1
∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC .
∴∠PCO＝90°.
∴∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°.
∴∠PCB＝∠ACO.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠BAC.
∴∠PCB＝∠BAC.
(2)
例题1图①证明：
∵BM∥PC，
∴∠CBM＝∠PCB.
∵CE⊥AB，
∴︵BC＝︵BE .
∴∠BAC＝∠BCE.
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.
∴CN＝BN.
②解：
例题1图∵BM∥PC，
∴∠MBA＝∠P.
∴cos ∠MBA＝cos P＝4/5 .
在Rt △BDN 中，
cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，∴BD＝4.
∴CD＝CN＋ND＝8.
在Rt △OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2 .
解得r＝10.
∴AB＝2r＝20.
∵AB 是直径，
∴∠AMB＝90°.
在Rt △ABM 中，cos ∠MBA＝BM / AB ＝4 / 5，AB＝20，
∴BM＝16 .
类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2】如图，PB 与⊙O 相切于点B，过点B 作OP 的垂线BA，垂足为点C，交⊙O 于点A，
连接PA，AO，AO 的延长线交⊙O 于点E，与PB 的延长线交于点D.
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 若tan ∠BAD＝2 / 3，且OC＝4，求BD 的长．
例题2图【参考答案】
解：
(1)如解图1 所示，连接OB，则OA＝OB .
解图1
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC.
∴OP 是AB 的垂直平分线．
∴PA＝PB.
在△PAO 和△PBO 中，
∴△PAO ≌△PBO ( SSS )．
∴∠PAO＝∠PBO.
∵PB为⊙O的切线，B 为切点，
∴∠PBO＝90°.
∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA .
∴PA 是⊙O 的切线．
(2)如解图2 所示，连接BE .
解图2
在Rt △AOC 中，
tan ∠BAD＝tan ∠CAO＝OC / AC＝2 / 3，且OC＝4，∴AC＝BC = 6 .
∵PA⊥OA，OP⊥AB，
∴∠PAC＋∠OAC＝90°.
∴∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.
∴∠APC＝∠OAC .
∴△PAC∽△AOC.
∴PC / AC＝AC / OC，即PC / 6 ＝6 / 4 . 解得PC＝9 .
∴OP＝PC＋OC＝13 .
解图2
在Rt △PCB 中，由勾股定理得，
∵AC＝BC，OA＝OE，
∴OC 为△ABE 的中位线．
∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
.∴△DBE∽△DPO .
∴BD / PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AC 上一点，
过B，C，D 三点的⊙O 交AB 于点E，连接ED，EC，点F 是线段AE 上的一点，连接FD，
其中∠FDE＝∠DCE .
(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；
(2) 若D 是AC 的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF 的长．
例题3图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1 所示，连接BD.
解图1
∵∠ACB＝90°，点B，D 在⊙O上，
∴BD 是⊙O 的直径．
又∵∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，
∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90° . ∴DF⊥BD .
又∵BD 是⊙O 的直径，
∴DF 是⊙O 的切线．
(2) 解：
解图1
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.
∵点D 是AC 的中点，
∴AD＝CD＝1/2 AC＝2√3 .
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠DEB＝90°.
∴∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.
∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×2√3＝√3 . （∠A = 30°）
解图1
在Rt △BCD 中，
在Rt △BED 中，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE.
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE .
∴DF / BD = DE / BE , 即DF / 2√7 = √3 / 5 ,
∴DF＝2√21 / 5 .
类型四、三切线模型
【例题4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB⊥BD，AC 与⊙O 相切于点A，点E 为⊙O 上一点，
且AC＝CE，连接CE 并延长交BD 于点D.
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 连接AD，BE 交于点F，⊙O 的半径为2，当点F 为AD 中点时，求BD 的长．
例题4图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1，连接OC，OE .
解图1
∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A，
∴∠OAC＝90°.
在△ACO 和△ECO 中，
∴△ACO ≌△ECO ( SSS )．
∴∠OEC＝∠OAC＝90°.
∴OE⊥DC.
∴CD 为⊙O 的切线．
(2) 解：如解图2 所示，连接OF，AE，过点F 作FG⊥BD 于点G .
解图2∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.
∴FG∥AB .
∴∠ABF＝∠BFG.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝∠FGB＝90°.
∴△ABE∽△BFG .
∴AB / BF ＝BE / FG .
解图2∵点F 为AD 中点，O 为AB 中点，∴OF∥BG .
易证四边形OFGB 是矩形．
∴FG＝OB＝2.
∵AB 是⊙O 的直径，AB⊥BD，
∴BD 是⊙O 的切线．
由(1) 知CD 是⊙O 的切线，
∴DB＝DE.
∴∠DEB＝∠DBE.
∵∠ABD＝90°，点F 为AD 中点，
∴BF＝FD.
∴∠DBE＝∠FDB.
∴∠FDB＝∠DEB.
解图2又∵∠FBD＝∠DBE，
∴△FBD∽△DBE .
∴BF / BD＝BD / BE .
∴BD2＝BF·BE.
设BF＝a，BD＝n.
∵△ABE∽△BFG，
∴AB / BF = BE / FG , ∴4 / a = BE / 2 ,
∴BE = 8 / a ,
∵BD2＝BF·BE，
∴n2＝a ·8 / a .
∴n2＝8 .
∴n＝2√2 ( 负值舍去)．∴BD 的长为2√2 .。