中考专题复习与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明【中考要求及命题趋势】1、理解圆的基本概念与性质。

2、求线段与角和弧的度数。

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4、直线和圆的位置关系。

5、圆的切线的性质和判定。

6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。

8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。

两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形面积计算公式。

10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。

11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。

2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。

三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。

对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。

【应试对策】圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。

一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。

直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。

圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。

第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。

第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

【复习要点】1、圆的有关概念：（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。

（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。

2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。

3、垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。

推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

如图所示：AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距C之间的关系定理填空：（1）如果AB=CD,那么___________, __________, ______________（2）如果OE=OF,那么___________, ___________, ______________（3）如果弧AB=弧CD，那么__________, ____________, ___________（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的________,如图，∠ACB=____________（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________,所对的弧是__________.6、确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .7、点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点。

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

10、切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .11、三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫三角形的内心.12、圆和圆的位置关系：位置 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个数___________ _____ _____ _____ d 与R 、r 数量关系 ____________ ______ ______ _____ 性质无连心线必过切点连心线垂直平分公共弦连心线必过切点无1、正多边形的定义: 、 的多边形叫做正多边形。

2、正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做 。

3、正多边形的中心: 是正多边形的中心。

4、正多边形的半径: 是正多边形的半径。

5、正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的 叫做正多边形的中心角。

6、正多边形的边心距： 到 的距离叫做正多边形的边心距。

7、任何一个正多边形都有一个 和一个 ,这两个圆是 .8、正多边形的边心距与 相等。

14、弧长和扇形面积1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）5.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做 。

（2）弓形的周长＝ （3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，s 弓形= 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，s 弓形 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，s 弓形【备考指导】1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R ，弦长为a ，圆心到此弦的距离为d ，•根据垂径定理，有R 2=d 2+（2a ）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．2、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，•再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，•所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、•旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）•根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积． 【经典例析】例1已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D ，AE 是⊙O的直径，若S △ABC =S ，⊙O 的半径为R ． （1）求证：AB·AC=AD·AE ；（2）求证：AB·AC·BC=4RS ． 【解析】（1）本题要证明的结论是“等积式”，•通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式．例2如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠． （1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长． 【答案】（1）直线BD 和O ⊙相切． 证明：∵AEC ODB ∠=∠，AEC ABC ∠=∠， ∴ABC ODB ∠=∠．∵OD ⊥BC ，∴90DBC ODB ∠+∠=°．∴90DBC ABC ∠+∠=°． 即90DBO ∠=°．∴直线BD 和O ⊙相切．（2）连接AC ． ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=°．在Rt ABC △中，108AB BC ==，， ∴226AC AB BC =-=．∵直径10AB =， ∴5OB =．由（1），BD 和O ⊙相切，∴90OBD ∠=°．∴90ACB OBD ∠=∠=°． 由（1）得ABC ODB ∠=∠， ∴ABC ODB △∽△．∴AC BCOB BD=． ∴685BD =，解得203BD =． 【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．例3如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AB=13，BC=5． （1）求sin ∠BAC 的值；（2）如果OD ⊥AC ，垂足为点D ，求AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1） 【答案】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin ∠BAC=513BC AB =． （2）在Rt △ABC 中，AC= 2222135AB BC -=- =12．又∵OD ⊥AC 于点D ， ∴AD=12AC=6． （3）∵S 半圆=12π×（2AB ）2=12π×1694=1698π． S △ABC =12AC ×BC=12×12×5=30，∴S 阴影=S 半圆－S △ABC =1698π－30≈36.3 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．例4已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解析：（1）由S 扇形=2360n R 求出R ，再代入L=180n R求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．解答如下：（1）如图所示：∵300π=2120360R π； ∴R=30； ∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如右图所示：∵20π=20πr ； ∴r=10，R=30。