圆的计算与证明

圆的计算与证明
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ACF；
（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DP A＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC 于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O，分别与AC和BC相交于点D和E，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）求证：AD＝DE．
12．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；
（2）求证：CE＝EF．
13．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．
（1）求证：∠ADC＝∠AOB；
（2）求AE＝2，BC＝6，求OA的长．
14．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
15．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若tan∠ACO＝，CD＝6，求⊙O的直径．
16．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A．（1）求∠A的度数．
（2）求BD的长．
17．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝DC；
（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D 作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
20．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，高AD的延长线交⊙O于点E，BC＝6，AD＝5．（1）求⊙O的半径；
（2）求DE的长．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在BC上取一点D使AD＝BD，连结AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若CD＝3，AB＝4，求AC的长．
22．如图，△ABC内接于⊙O，OE⊥BC于E，延长EO交AB于F，交⊙O于D，A为的中点，连接BD．
（1）求证：∠ACB＝3∠ABC；
（2）若OF＝5，EO＝7，求△BDF的面积．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC和∠BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，⊙O于点F，D，连接BD．
（1）求证：BD＝DE．
（2）若BD＝6，AD＝10，求EF的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC于点E，连结CO．
（1）求证：∠COD＝∠CAB；
（2）若＝2，AB＝3，求图中阴影部分面积．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
26．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，FG是⊙O的切线，FG∥BD，DF与AB交于点E．
（1）求证：BE＝BD；
（2）若AB＝8，DH＝3，求EH的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线；
（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．
28．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
29．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E 为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AF，DF＝4，求阴影部分面积．
30．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
31．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
32．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）．（1）求∠BPC的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求⊙O的半径及阴影部分的面积．
33．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
34．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△P AB是等边三角形；
（2）求AC的长．
35．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
36．已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
37．如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
38．如图，已知AB为⊙O的直径，P A，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB＝2，求P A的长（结果保留根号）．
39．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．
40．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．。