(完整版)圆的证明与计算(精编版)
圆的计算和证明(自编)
圆的计算和证明1. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．第1题图2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.第2题图3. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于( )A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°第3题图4．(2018长沙24题9分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．5. 如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．8. (2017长沙中考模拟卷八)如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且⊙O 的直径AB 在线段AE 上．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 直径AB 的长；(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 直径AB 的长．9. (2014长沙24题9分)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．10. (2016长沙24题9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB、DC、DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．11. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．12. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.。
圆的概念公式及推导(完整版)
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。
圆的证明与计算范文
圆的证明与计算范文圆是几何中的基本图形之一，它是平面上所有点与固定点之间距离保持不变的集合。
下面将从不同的角度对圆的性质进行证明，并介绍一些常见的圆的计算方法。
一、圆的性质及证明1.圆的定义证明对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合。
我们要证明E是一个圆。
证明：（1）任意取平面上的一点A，若A∈E，证明OA=r。
假设A∈E，则OA的长度等于A与O的距离，即OA=r。
因此，E是以O为圆心，长度为r的圆。
（2）任意取平面上的一点B，若OB=r，证明B∈E。
假设OB=r，则OB的长度等于B与O的距离，即OB=BO=r。
因此，B∈E。
由（1）和（2）可得，对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合是一个圆。
2.圆心角的证明圆心角是指圆上两条射线所夹的角，它的度数等于弧所对的圆周角的度数。
我们要证明圆心角的度数等于所对弧的度数。
证明：任意取圆上两点A和B，以圆心O为顶点，连接OA和OB两条射线。
延长AO和OB分别与圆交于点C和D，则∠AOB是圆心角，∠ACB是所对弧所对的圆周角。
（1）∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。
由于AD是圆上的弧，所以∠ACO是所对弧AD的圆周角。
根据圆周角的性质，∠ACO的度数等于所对弧AD的度数。
（2）∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。
同样根据圆周角的性质，∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。
由（1）和（2）可得，圆心角∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。
通过证明，我们可以得出圆心角的度数等于所对弧的度数这一结论。
二、圆的计算在实际应用中，我们有时需要计算圆的周长、面积以及部分圆的面积。
以下是圆的计算公式：1.周长的计算2.面积的计算3.部分圆的面积的计算对于已知圆的半径r和所对的圆心角θ，部分圆的面积计算公式为：A=(πr²×θ)/360，其中A表示部分圆的面积，r表示半径，θ表示圆心角。
圆的计算与证明
解：(1)如图，作 OF⊥BD 于点 F，联结 OD. ∵∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°. 又∵OB＝OD，∴∠OBD＝30°. ∵AC 为⊙O 的直径，AC＝4，∴OB＝OD＝2. 在 Rt△BOF 中，∵∠OFB＝90°，OB＝2，∠OBF＝30°， ∴OF＝OB· sin∠OBF＝2sin30°＝1， 即点 O 到 BD 的距离等于 1.
专题圆计算
例 2[2012· 北京] 已知：如图 Z4－4，AB 是⊙O 的直 径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E， 联结 BE. (1)求证：BE 与⊙O 相切； (2)连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB＝9，sin∠ABC 2 ＝ ，求 BF 的长． 3
解：(1)证明：联结 OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC 平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC.∵点 C 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过 O 作 OF⊥AB 于 F， ∴∠OFA＝90°. ∵AB＝8，∴AF＝4. 在 Rt△AFO 中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2. ∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°， ∴四边形 DFOC 是矩形， ∴OC＝DF，OF＝CD. ∵AD∶DC＝1∶3， ∴设 AD＝x，则 DC＝OF＝3x， OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4， ∴(x＋4)2＝42＋(3x)2， 解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.则 OA＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
圆的证明与计算
《圆的证明与计算》一、重要考点：考点（一）垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦一直线平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧【名师提醒：1、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线２、垂径定理常用作计算，在半径r、弦长a、弦心距d和弓形高h中已知两个可求另外两个】考点（二）、圆心角、弧、弦之间的关系：定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】考点（三）圆周角定理及其推论：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线】考点（四）切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，可证圆心到直线的距离d=r来判定相切,即“有公共点连半径，无公共点作垂直”】O D C B A O ED CB A FOE D C B A考点（五）、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 考点（六）、弧长和扇形面积 1、圆周长C ＝2πR ；2、弧长180Rn L π=２、圆面积：2R S π=； 2、扇形面积：3602R n S π=扇形二、考题形式：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或阴影面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
(完整版)圆的性质及判定归纳
(完整版)圆的性质及判定归纳(完整版) 圆的性质及判定归纳1. 圆的定义圆是平面上一组距离给定点的距离都相等的所有点的集合。
给定的点称为圆心，相等的距离称为半径。
2. 圆的基本性质- 圆上任意两点与圆心的距离相等。
- 圆上任意一点到圆心的距离等于半径。
- 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段。
直径等于两倍的半径。
- 圆上的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦的长度小于等于直径长度。
- 圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
- 圆的弧长是圆上圆弧的长度。
- 圆的面积是指圆与圆心所包围的平面区域的大小。
3. 圆的判定方法- 判定一：两点判断法：如果一个点在圆上，那么它与圆心的距离等于半径。
- 判定二：三点判断法：如果一个点在圆上，且这个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上。
4. 圆与其他几何图形的关系- 圆与直线的关系：1. 切线：圆上的切线与半径垂直。
切线与半径所在直线的夹角等于该切线在圆上所切割的弧所对的圆心角的一半。
2. 弦：圆上任意两点所连成的线段叫做弦。
半径垂直于其所在弦。
- 圆与多边形的关系：1. 正多边形内接圆：正多边形的外接圆和内切圆都是与正多边形相关的圆。
2. 圆内接正三角形：圆内接正三角形的内心是圆心。
- 圆与圆的关系：1. 外切圆：两个圆外切时，切线垂直于连接两圆心的直线。
2. 内切圆：两个圆内切时，连接两圆心的直线垂直于切点。
5. 圆的应用圆在几何学中有广泛的应用。
从数学到物理，从工程到艺术，圆的特性在各领域都发挥着重要的作用。
在建筑、制图、机械、电路设计等领域，人们经常使用圆来刻画和解决问题。
在艺术中，圆被用来传达平衡、完整和和谐的感觉。
总结圆是一种特殊的几何图形，具有独特的性质和判定方法。
掌握圆的性质和应用不仅有助于几何学的研究，也有助于我们更好地理解和应用几何学在实际生活和工作中的价值。
以上是关于圆的性质及判定归纳的完整版本，希望对您有所帮助。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
陕西中考圆的证明与计算(2023版)
陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cos A＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．4．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．（1）求证：∠ABC＝2∠A；（2）若⊙O半径为，AB：BD＝5：1，求AE的长．5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，∠D＝30°，连接AC、BC，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．6．已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为8，求⊙O的半径．7．如图，在△AOB中，以点O为圆心的⊙O与AB相切于点D，延长AO交⊙O于点C，连接CD，过点A作AF⊥BO，交BO的延长线于点H，交⊙O于点F，∠B＝∠C．求证：（1）AF∥CD；（2）AH2＝OH⋅BH．8．如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E＝∠B．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝6，CF＝4，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，⊙O与CD相切于点D，过点A作AE ⊥CD，垂足为E．（1）求证：AD平分∠EAC．（2）若BC＝3，，求⊙O的半径以及线段ED的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当D是OA的中点时，AB＝4，求BF的长．11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作BC平行线AM，连接BO并延长，交AM于点D，连接AO、CO．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若BC＝10，AD＝8，求⊙O的半径．12．如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、BD、BE、DE，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C．（1）求证：∠DEB＝∠CDB；（2）若BD＝DE＝6，BE＝9.6，求⊙O的半径．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE 并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D．（1）求证：OD∥AC；（2）延长EO交AB于点F，AF＝2，⊙O的直径为2，求OD的长．17．如图，已知△ABC的外接圆直径是AB，点O是圆心，点D在⊙O上，且＝，过点D作⊙O的切线，与CA、CB的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AB∥EF；（2）若⊙O的半径为5，BC＝8，求DF的长度．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．19．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，tan∠ACB＝2，求弦AF的长度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．（1）求证：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）若，BD＝4，求BE的长．23．如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC 点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．25．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CAD＝∠CDE；（2）若CD＝6，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为⊙O的直径，过点A作AE ⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．28．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的半径．29．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O 于点D，延长BA到点P，使得PE＝PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径3，PC＝4，求CD的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．31．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．（1）求证：AD是⊙O的切线：（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cos C＝，求CF的长．33．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．36．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求DF的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作⊙O的切线EF，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若⊙O的半径是，cos∠ACD＝，求DF的长．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．39．如图，BD为⊙O的直径，∠ABE＝∠BCA，过点A的直线与⊙O分别交于点E，C，与BD交于点F，连接BE，BC．（1）求证：AB为⊙O的切线．（2）若∠A＝∠ABE，BE＝5，BC＝8，求⊙O的半径．40．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CDE＝∠CAD；（2）若CD＝4，tan B＝，求⊙O的半径．。
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《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O 的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴OD OCOB AC =.∵OA=OB ，∴OD OCOA AC=.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ，∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，1.∴CFCD=OF=2A∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.课后练习：（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙证：CD 为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O 另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点）线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF E作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；射影定理：所谓射影，就是正投影。
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型（已知线段长度）；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;○6找不到，找相似（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE；CK=21BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD 于E时（如图5），则：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG=241DG=DC2图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。
点O是AC上一点，以OCE图2C图1图1A图2A图3AD图4A图5A（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。
四个论断中，知一推三。
（2）①G 是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO •DE=CO •CE=21CE 2；（3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE ，则：②AD AE =21=tan∠ADE ；③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB D ，基本结论有：如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A ③CD·CA=4BE 2, BABC BD CD RDE==CG=GD图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DE∥AB⇔⊿ABC、⊿CDE如图2：若DE的延长线交AB①31=EFDE ;②21=RBE图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DE⊥AC⇔DE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中点。