线段、角的计算与证明

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2019-2020学年七年级数学上册《线段、角的计算与证明》单元综合检测题(新版)新人教版

2019-2020学年七年级数学上册《线段、角的计算与证明》单元综合检
测题（新版）新人教版
一、线段
1、已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线BC ，使它等于3cm ，则线段AC= ( )
A 、11cm
B 、5cm
C 、11cm 或5cm
D 、8cm 或11cm
2、直线l 上有A 、B 、C 三点，且AB=8cm ，BC=5cm ，求线段AC 的长
3、点A 、B 、C 、 D 是直线上顺次四个点，且AB:BC:CD=2:3:4,如果AC=10cm,求BC 的长度.
4、如图，若C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，6DA ，4DB ，求CD 的长.
5、已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求AM 的长.
6、已知线段AB=12cm ，在线段AB 上有点C 、D ，已知BC=4
1AB ，AD=31
AB ，求CD 、BD 的长. 7、（1）如下图，已知点C 在线段AB 上，且AC=6cm ，BC=4cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的的长度．
（2）在（1）中，如果AC=acm ，cm BC
b ，其它条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．
（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC=6cm ，BC=4cm ，点C 在直线AB 上，点A B
C D B C D A。

八年级数学专题2_与全等三角形有关的线段和角的证明及计算练习测试

必刷题专题2 与全等三角形有关的线段和角的证明及计算刷难关知识点一求角度和线段的长度1. [2019四川成都中考，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.2. [中]正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.3. [2018江苏常州一模，较难]如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数.知识点二角度和线段之间关系的证明4. [2020辽宁鞍山立山区月考，中]如图，在△ABC中，P是∠BAC的平分线上一点，且AC>AB，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？5. [中]在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D.求证：∠2=∠1+∠C.6. [较难]如图（1），△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1）当△DEF旋转至如图（2）位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA的数量关系是（2）当△DEF继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.知识点三线段位置关系7. [2020浙江湖州校级月考，中]如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF，请问EB 与CF有什么样的位置关系？8. [2020甘肃兰州月考，中]如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE= DC；（2）BE⊥DC9. [2020河南漯河校级月考，较难]如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，则AM与CD有什么样的位置关系？参考答案1. 答案：9解析：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.在△BAD和△CAE中，BAD=CAE AB=ACB=C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD=CE=9.2.答案：【解】如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG.在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中，AB=ADABG=ADFBG=DF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG. 又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，AE=AEGE=FEAG=AF⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG =∠EAF.∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°.解析：3.答案：（1）【证明】∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，∵AB=ACBAE=CADAE=AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABD=∠ACD.（2）【解】∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACB=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°.4. 答案：【解】如图，在AC 上取点G ，使AG=AB ，连接PG.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠GAP.在△ABP 和△AGP 中，AB=AG BAP=GAP AP=AP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABP ≌△AGP （SAS ），∴PB=PG.在△PGC 中，由三边关系定理得PC-PG<CG<PC+PG.∵CG=AC-AG=AC-AB ，∴PC-PB<AC-AB<PC+PB.5. 答案：【证明】如图，延长AD 交BC 于E.∵AD ⊥BD ，∴∠BDA=∠BDE=90°.∵∠ABD=∠EBD ，BD=BD ，∴△BDA ≌△BDE （ASA ），∴∠2=∠BEA.∵∠BEA=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.6. 答案：【解】（1）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A=∠D.又∵∠AOD=∠A+∠AFD ，∠AOD=∠D+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.（2）（1）中的结论成立.理由如下：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ，∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，即∠ABF= ∠DEC .在△ABF 与△DEC 中，AB=DE ABF=DEC BF=EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABF ≌△DEC （SAS ），∴∠BAF=∠EDC ，∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC ，即∠FAC=∠CDF. 又∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.7.答案：【解】如图.∵AB∥CD，∴∠3=∠4.在△ABO和△DCO中，2=1AO=DO4=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴OB=OC. 又∵OA=OD，AE=DF，∴EO=FO.在△EBO和△FCO中，EO=FO2=1BO=CO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△EBO≌△FCO（SAS），∴∠EBO=∠FCO，∴EB∥CF.8.答案：【证明】（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中，AD=AEDAC=EABAC=AB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD.（2）设AC与BE交于点M.∵△DAC≌△EAB，∴∠ACD=∠ABE.∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°.∵∠AMB=∠QMC，∴∠QMC+∠ACQ=90°，∴∠MQC=90°，即BE⊥DC.9.答案：【解】如图，延长AM到点F，使MF=AM，交CD于点N，连接BF，EF.在△ABM和△FEM中，AM=FMAMB=FMEBM=EM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABM≌△FEM（SAS）.∴AB=FE=AC，∠ABM=∠FEM，∠BAM=∠EFM，∴AB∥EF，∴∠AEF+∠BAE=180°.∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠AEF=∠CAD，在△FEA和△CAD中，FE=CAAEF=DACAE=DA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△FEA≌△CAD（SAS），∴∠EFA=∠ACD=∠BAF.∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAF=90°，∴∠ACD+∠CAF=90°，即∠ANC=90°，∴AM⊥CD.。

线与角知识点

线与角知识点在我们的数学世界中，线与角是非常基础且重要的概念。

它们不仅存在于书本中的各种几何图形里，还在我们的日常生活中随处可见。

首先，咱们来聊聊线。

线可以分为直线、射线和线段。

直线，那可是没有端点的，可以向两端无限延伸。

想象一下，一条直直的路一直延伸到天边，没有尽头，这就是直线。

直线的特点就是没有长度限制，它是“无限长”的。

射线呢，有一个端点，可以向一端无限延伸。

比如说手电筒发出的光，我们就可以把它看成是一条射线，光源那一端就是端点，而光线则向着一个方向一直跑下去。

线段就不同啦，它有两个端点，长度是固定的。

像我们常见的尺子、铅笔，都可以看作是线段。

了解了线的分类，咱们再来说说线与线之间的关系。

线与线之间有平行和相交两种情况。

平行线，就是在同一平面内，永远不会相交的两条直线。

比如铁路的两条铁轨，它们始终保持着相同的距离，不会碰到一起。

相交的线呢，当两条直线相交，会形成角。

接下来，咱们重点讲讲角。

角是由从一点引出的两条射线所组成的图形。

这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。

角的大小与边的长短无关，而是与两条边张开的程度有关。

张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。

角通常用度数来度量，我们把半圆平均分成 180 等份，每一份所对的角的大小就是 1 度。

角可以按照大小来分类。

小于 90 度的角是锐角，像小朋友们用的三角板上较小的那个角。

等于 90 度的角是直角，像书本的角通常就是直角。

大于 90 度而小于 180 度的角是钝角，比如折扇打开较大时形成的角。

等于 180 度的角是平角，想象一下一条直线中间有个点，把直线分成了两条射线，这就是平角。

而等于 360 度的角是周角，整整转一圈形成的角就是周角。

在生活中，角的应用也非常广泛。

比如，建筑工人在搭建房屋时，需要测量角度来确保房屋的结构稳定；钟表上的指针转动，形成不同的角度，帮助我们读取时间。

我们在学习线与角的知识时，要多观察、多思考，从生活中发现它们的存在，这样才能更好地理解和掌握这些知识。

利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法

利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
证明线段相等在几何题目中经常出现。

其中，利用三角形相关知识（包括内角和定理、余弦定理、正弦定理等）证明线段相等是常用的证明方法。

下面将详细介绍这些方法。

一、内角和定理法：
内角和定理是指三角形中所有内角之和为180度。

这一定理可以用于证明线段相等。

例如，若要证明线段AB与CD相等，可以先作AB和CD的连线，构成三角形ABC和三
角形CBD。

通过内角和定理可以得出∠ACB和∠CDB的和为180度。

若又已知∠ABC和∠CBD 的和为180度，那么两个三角形中剩下的角必然相等。

因此可以得出线段AB与CD相等的
结论。

二、余弦定理法：
余弦定理是指在一个三角形中，若其中一边为c，而其余两边为a和b，那么三角形的任意一个角度所对应的角度的余弦值可以通过以下公式计算：
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
如果要证明线段AB与CD相等，可以根据余弦定理计算出三角形ABC和三角形DCB中
所对应的角的余弦值。

因为两个三角形中有一个角相等，所以它们所对应的角的余弦值也
相等。

这样可以得出三角形ABC中AB的长度与三角形DCB中DC的长度相等的结论。

sinC = c / (2R)
其中，R为三角形的外接圆半径。

以上就是利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法。

不同的证明方法适用于不同
的情况，而且证明方法并不局限于以上三种方法。

所以在实际应用中，需要根据具体问题
来选择合适的证明方法。

线段、角的认识

线段、角的认识◆ 锐角：大于0°，小于90°的角 ◆ 直角：等于90°的角 ◆ 钝角：大于90°而小于180°的角 ◆ 平角：等于180°的角 ◆ 周角：等于360°的角【与角相关的概念】◆ 角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

◆ 余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 同（等）角的余角相等。

◆ 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角。

同（等）角的补角相等。

【有关线段的计算】1. 延长线段AB 到C ，使AB BC 23=，反向延长线段AB 到D ，使BC DA 32=，若AB=10cm ，求CD 长。

2. 已知三条线段a 、b 、c 在同一条直线上，它们有共同的起点，线段a 的终点是线段b的中点，线段c 的中点是线段b 的终点，且cm c b a 7=++，求a 、b 、c 的长？3. 已知A 、B 、C 三点，在一条直线上，且线段AB 之长为16，当D 是BC 的中点时，线段AD 之长为12.5，试求BC 之长。

4. 已知：如图，AB=10cm ，C 为AB 上任一点，D 、E 分别为AC 、BC 中点，求DE 长。

5. 如图，线段AB 和CD 的公共部分CD AB BD 4131==，线段AB 、CD 中点分别为E 、F ，E 、F 两点间距离为20cm ，求AB 、CD 的长？【有关角度的计算】6. 如图：已知两直线AB 和CD 相交于O, OF 平分∠AOC, OE ⊥OF ，∠COE=20°，求∠AOD 的度数。

7. 如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，OE 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MOE 的度数。

七年级上册几何图形初步复习1

一.直线、射线、线段1、直线经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线. 直线有两种表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母表示. 平面上一个点及一条直线的位置有什么关系？ ①点在直线上；②点在直线外. 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点，一个点在直线外，也可以说这条直线不经过这个点.当两条直线有一个共公点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、射线和线段直尺给我们线段的形象，手电筒发出的光给我们射线的形象，射线和线段都是直线的一部分.图①中的线段记作线段AB 或线段a ；图②中的射线记作射线OA 或射线m.B A 直线AB· l直线点在直线· B · 点在直线A O b a· a · B A O A m · ②①注意：用两个大写字母表示射线时，表示端点的字母一定要写在前面.直线、射线和线段有什么联系和区别联系：线段、射线都是直线的一部分，将线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，将射线向另一方向延长得到直线，它们都有“直”的特征，它们都可以用一个小写字母或两个大写字母来表示.区别：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；直线可以向两个方向延伸，射线可以向一个方向延伸，线段不能再延伸；表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置.3、比较两条线段的长短⑴.度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较.⑵.叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，从而进行比较.如：线段AB 及线段CD 比较，且A 及C 点重合，则有以下几种情况：①B 及D 重合，两条线段相等，记作：AB ＝CD ．②B 在线段CD 内部，则线段CD 大于线段AB ，记作：CD>AB ．③B 在线段CD 外部，则线段CD 小于线段AB ，记作：CD<AB ．4、线段的中点及等分点如图（1），点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 及BM ，点M 叫做线段AB 的中点．记作AM=MB=1/2AB如图（2），点M 、N 把线段AB 分成相等的三段AM 、MN 、NB ，点M 、N 叫做线段AB 的三等分点．类似地，还有四等分点，等等． 5、线段的性质两点的所有连线中，线段最短。

角平分线分线段成比例定理证明

角平分线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是在平面几何中关于角平分线和分线段的一个重要性质。

下面我们将从基本概念出发，逐步推导证明这个定理，让大家对它有一个清晰的认识。

1. 角平分线的基本概念我们要了解什么是角平分线。

在平面几何中，如果一条直线将一个角分成两个相等的角，那么这条直线就被称为这个角的角平分线。

这是一个基本概念，也是理解角平分线分线段成比例定理的基础。

2. 角平分线分线段成比例定理的表述角平分线分线段成比例定理是指：在三角形中，如果一条角的平分线与对边相交，那么它把对边分成的两条线段的比等于另外两个边的比。

设在△ABC中，AD是角A的角平分线，D点在BC边上，那么有AB/AC=BD/DC。

3. 角平分线分线段成比例定理的证明接下来，我们来证明角平分线分线段成比例定理。

画出△ABC和角A的角平分线AD，再过点D作DE⊥AC，连接BE和CD。

4. 证明角AEB与角CED相似根据平行线性质，我们可以得出角AEB与角CED相似。

因为角AED为直角，所以三角形AED为直角三角形。

而根据直角三角形的性质，我们知道DE²=AD*DC。

5. 利用相似三角形的性质根据相似三角形的性质，我们可以得出AD/AB=CD/BC。

结合步骤4中的结论，我们可以得到AB/AC=BD/DC。

也就是说，我们证明了角平分线分线段成比例定理。

6. 定理应用举例在实际问题中，角平分线分线段成比例定理经常被用来解决各种与三角形相关的问题。

利用这个定理可以很容易地证明角平分线定理、外角平分线定理等相关定理，也可以用来计算各种角平分线上的长度比。

通过以上的证明过程，我们对角平分线分线段成比例定理有了一个清晰的认识。

这个定理在初中数学中占据着重要的位置，它不仅是理论学习的基础，也有着广泛的应用价值。

希望大家通过学习，能够深入理解这个定理，并灵活运用到实际问题中去。

7. 角平分线分线段成比例定理的重要性角平分线分线段成比例定理是三角形的基本性质之一，它在解决三角形相关问题中起着重要的作用。

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O
D
C
B A E
D
C
B
A
线段、角的计算与证明问题
1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求
AB 的长．
2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=︒，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长.
3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，=25AD BC =，
，E 为DC 中点，4
tan 3
C =
．求AE 的长度
4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=︒，3AD =，求CD 的长．
A
B
D
E
5
、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；
6、已知ABC ∆，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求
AE
AC
的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长．
7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长．
A B
F E D
P Q N M
E
D C B
A
8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、
BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，
并证明你的结论．
9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5
ABC ∠=
．求：（1）弦BC 的长；（2）∠OBC 的正切的值．
10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5
4
cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值.
（第9题图）
11．如图6，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P．
(1)求AP的长；
(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；
(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．
①求动⊙A的半径r1的取值范围；
的取值范围．
②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r。