广州中考试卷---三角形应用训练题汇编题库
广东省广州市白云区中考数学试题分类汇编考点25 等腰三角形2
等腰三角形一、选择题36，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB 1.（2011某某某某，13，3分）如图，已知AB＝AC，∠A＝于点M。
下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有( )个A．4 B．3 C．2 D．1(第13题)【答案】B2. （2011某某某某，12,3分）如图4, △ABC与△DEF均为等边三角形, O为BC、EF的中点，则AD:BE 的值为( )A. 3:1B.2:1C. 5:3D. 不确定【答案】A3. （2011某某呼和浩特市，7,3分）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm ，那么它的周长是（）A. 9cmB. 12cmC. 15cm或12cmD. 15cm【答案】D4. （2011某某某某，7，4分）等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（）A.15B.12 C【答案】A5. （2011某某某某，20，3分）如图在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点E ，连结DE 、EF.下列结论：①tan ∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形 ③将△DEF 沿E 折叠，则点D 不一定落在AC 上 ④BD=BF ⑤AOF DFOE S S ∆=四边形，上述结论中正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【答案】C6. （2011某某某某，8,3分）如图，直线1l ∥2l ，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若54ABC ∠=，则1∠的大小为（A ）36．（B ）54．（C ）72．（D ）73．【答案】（C ）7. （2011年某某地区，7，4分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合D.等腰三角形是轴对称图形． 【答案】C8. （2011某某某某，8，3分）如图，在△ABC 中，AB =20㎝，AC =12㎝，点P 从点B 出发以每秒3㎝的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2㎝的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是 （ ） A ． 2.5B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒QCBPA【答案】D9. （2011某某某某，8，3分）如图，直线1l ∥2l ，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若54ABC ∠=，则1∠的大小为（A ）36． （B ）54．（C ）72．（D ）73．【答案】（C ）11. （2010乌鲁木齐，10，4分)如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且1BP =，点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒，则CD 的长为A.12 B.23 C.34【答案】B12.13. （2011某某某某，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为A ．9B ．12C ．16D ．18【答案】A二、填空题1.（2011某某某某，12，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=.【答案】100°；2. （2011某某，8，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A =36°，则∠BDC的度数为.【答案】723. （2011某某某某，15,3分）如图4，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于_________cm2．AB′C′图4【答案】34. （2011某某莱芜，15，4分）如图，已知在△ABC 中，AB=B C,∠B=0120,AB 的垂直平分线交AC 于点D.若AC=6cm ，则AD=___________cm.（第15题图）DCBA【答案】25. （2011某某，14,3分）如图，在△A BC 中，A B =AC ，∠A =80°，E ,F ,P 分别是A B ,A C ,BC 边上一点，且BE =BP ，CP =CF ，则∠EPF =度.【答案】506. （2011某某某某，12,3分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分BC ，ED=3，则CE 的长为_________．【答案】67. （2011某某某某，19，3分）如图4，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列结论中：①BE=DC ；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE.正确结论的序号是.图4BA CEO【答案】①8. （2011某某某某，12，3分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分BC ，ED=3，则CE 的长为_________．【答案】69. （2011某某，15，3分）如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 的中点，∠BAD=20°，则∠C=.【答案】70° 10． 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题1. (2011某某某某，21，本题满分9分)如图9,已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A ，B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ．（1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果）（2）连结AD 、BC ，相交于点Q ，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由；ACDB（3）如图10，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【答案】（1）223a ；（2）α的大小不会随点P 的移动而变化， 理由：∵△APC 是等边三角形，∴PA=PC, ∠APC=600,∵△BDP 是等边三角形，∴PB=PD, ∠BPD=600, ∴∠APC=∠BPD, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD ≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB,∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=1200,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=1200, ∴∠AQC=1800-1200=600; (3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600.2. （2011某某随州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=5 3. （2011某某襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；第18题图BAEDF C（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ·········· 3分 （2）（略） 6分4. (2011某某达州，20，6分)如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC⊥BC，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．【答案】解:（6分）(1)AB=AE, AB ⊥AE(2) 将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE=∠D=45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ， 在△BCG 和△ACE 中E DCB A图6∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）5. （2011某某省随州市，18，8分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 边的中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F 。
2022年广东省广州市中考三轮冲刺复习相似三角形及其应用
2022年广东省广州市中考三轮冲刺复习相似三角形及其应用)A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换2.（2022·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在某轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿某轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A.(32，2)B.(2，2)C.(114，2)D.(4，2)3.（2022·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（）A．CDEFECAEB．．ABEGCDEFC．．GCBGFDAFD．．ADAFBCCG4.(2022•沈阳)已知△ABC∽△A"B"C"，AD和A"D"是它们的对应中线，若AD=10，A"D"=6，则△ABC与△A"B"C"的周长比是A．3∶5B．9∶25C．5∶3D．25∶95.（2022·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA 的值为（）AECDBA．35B．23C．45D．326.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A.2B.3C.4D.57.（2022·河北）在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR8.（2022·威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．二、填空题9.如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=.10.（2022·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲．ABCDEF11.(2022•百色)如图，ABC△与A"B"C"△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点22A，，34B，，61C，，68B"，，则A"B"C"△的面积为__________．12.(2022•烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO△与"A"B"O△是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．13.(2022•永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．14.（2022·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为4,0、0,4，点3,Cn在第一象限内，连接AC、BC.已知2BCACAO，则n_________.15.(2022•泸州)如图，在等腰RtABC△中，90C∠，15AC，点E 在边CB上，2CEEB，点D在边AB上，CDAE，垂足为F，则AD长为__________．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．三、解答题17.(2022•广东)如图，在ABC△中，点D是边AB上的一点．(1)请用尺规作图法，在ABC△内，求作ADE，使ADEB，DE 交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若2ADDB，求AEEC的值．18.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥B C于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，求DE的长.20.（2022·杭州）如图，在ABC△中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC∥，EFAB∥．FEDCBA（1）求证：EBDEFC∽△△．（2）设12AFFC，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．21.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．22.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，ta n∠AFP=，求DE的长.23.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求FGFC的值．24.在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)如图①，求证：△AEM≌△DFM；(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.2022广州中考三轮冲刺复习：相似三角形及其应用-答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】B【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿某轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与某轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥某轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，∴EFBFACBC=，即269BF=，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴D点的横坐标为2，∴点D的坐标为(2，2)．3.【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴ECAEFDAF，∵EF∥BC，∴ECAEGCBG，∴GCBGFDAF因此本题选C．4.【答案】C【解析】∵△ABC∽△A"B"C"，AD和A"D"是它们的对应中线，AD=10，A"D"=6，∴△ABC与△A"B"C"的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．5.【答案】A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．6.【答案】B【解析】由垂径定理可得DH＝2，所以BH＝BD2－DH2＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(3)2＝1某BA，AB＝3.7.【答案】A【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P,连接CO并延长CO至点M,连接DO并延长DO至Q，可知12AOBOCODONOPOMOQO，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.8.【答案】：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG，∴tanα的值为，故选：A．二、填空题9.【【答案】[解析]∵DE∥BC，AD=1，BD=2，BC=4，∴=，即=，解得:DE=.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，又∵DE∥BC，∴∠FBC=∠F，∴∠ABF=∠F，∴BD=DF=2，∵DF=DE+EF，∴EF=2-=.故答案为:.10.【答案】22【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：22．11.【答案】18【解析】∵ABC△与A"B"C"△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点34B，，68B"，，∴位似比为31=62，∵22A，，61C，，∴44122A"C"，，，，∴A"B"C"△的面积为：1116824662818222，故答案为：18．12.【答案】(32)，【解析】如图，连接B"B并延长，A"A并延长，B"B与A"A的交点即为位似中心P点，由图可知B"、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，由图可得ABO△和"A"B"O△的位似比为3162""OBOB，2BB，所以12PBPBPB"PBBB"，解得PB=2，所以P点纵坐标为2，即P点坐标为(32)，．故答案为：(32)，．13.【【答案】18【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴13EFBE，1EBCSS△(13)219，∴S1∶S2，故答案为：18．14.【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y 轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥某轴，∴∠CAO=∠ACD,△DEC∽△OEA，∵2BCACAO，∴∠BCD=∠ACD,∴BD=DE,设BD=DE=某，则OE=4-2某,∴DCAO=DEEO,即34=某4-2某,解得某=1.2．∴OE=4-2某=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.15.【答案】92【解析】如图，过D作DHAC于H，则∠AHD=90°，∵在等腰RtABC△中，90C∠，15AC，∴15ACBC，45CAD，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴AHDH，∴CH=AC–AH=15–DH，∵CFAE，∴90DHADFA，又∵∠ANH=∠DNF，∴HAFHDF，∴ACEDHC△∽△，∴DHCHACCE，∵2CEEB，CE+BE=BC=15，∴10CE，∴151510DHDH，∴9DH，∴2292ADAHDH，故答案为：92．16.【答案】78【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525某20＝12.法一：BC·AH＝AB·AC，AH＝AB·ACBC＝15某2025＝12，S△ABE＝12某12某13＝78.法二：DE＝152－122＝9，由△CDE∽△CAH可得，CDCA＝EDHA，∴AH＝9某2022＝12，S△ABE＝12某12某13＝78.三、解答题17.【答案】(1)如图所示：(2)∵ADEB，∴DEBC∥．∴2AEADECDB．18.【答案】【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，在△AEF和△A CG中，∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)在△ADE和△ABC中，∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC；(4分)(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC＝35，(6分)又∵△AEF∽△ACG，∴AFAG＝AEAC＝35.(8分)19.【答案】解:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠D，∴CD=BC=6.在Rt△ABC中，AC===8.∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴====，∴CE=AE，DE=BE，即CE=AC=某8=3.在Rt△BCE中，BE===3，∴DE=BE=某3=.20.【答案】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．（2）①∵EF∥AB，∴BEEC＝AFFC＝12．∵BC＝12，∴12BEBE＝12，∴BE＝4．②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴EFCBACSS＝2()ECBC．∵BEEC＝12，∴ECBC＝23．又∵△EFC的面积是20，∴20BACS＝22()3，∴S△ABC＝45，即△ABC的面积是45．21.【答案】解：(1)AB与⊙O相切．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切．(3分)(2)如解图，连接CF，解图∵CD为⊙O的直径，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠CAE＝∠ADF，∴∠CAE＝∠DCF，又∵∠CPA＝∠FPC，∴△PCF∽△PAC，∴PCPA＝PFPC，(6分)又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5，故设PF＝a，则PC＝2a，∴2aa＋5＝a2a，解得a＝53，∴PC＝2a＝2某53＝103.(8分)22.【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2某，则FD=3某，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=某，所以EF=某，EO=某，DO=某，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以某=4，某=，所以ED=某=.23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵O B是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FCFG＝ABOB＝2，∴FGFC＝12.24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAM＝∠FDM＝90°，∵M是AD 的中点，∴AM＝DM，在△AME和△DMF中，∠A＝∠FDBAM＝DM∠AME ＝∠DMF，∴△AEM≌△DFM(ASA)；(2)证明：如解图①，过点G作GH⊥AD 于H，解图①∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，∴四边形ABGH是矩形，∴GH＝AB ＝2，∵M是AD的中点，∴AM＝12AD＝2，∴AM＝GH，∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°∴∠AME＋∠GMH＝90°.∵∠AME＋∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠GMH，在△AEM和△HMG中，AM＝GH∠AEM＝∠GMH∠A＝∠AHG，∴△AEM≌△HMG，∴ME＝MG，∴∠EGM＝45°，由(1)得△AEM≌△DFM，...。
专题04 解直角三角形(解析版)--2020年中考数学保A必刷压轴题(广东广州专版)
专题04 解直角三角形一．解答题（共8小题）1．（2020•亳州二模）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF ＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF﹣GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，∴DF＝＝＝，∵DE＝13.3，∴x+＝13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：灯杆AB的长度为2.8米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．2．（2019秋•蔡甸区期中）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P480千米处．（1）说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间．【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可．（2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．【解答】解：（1）作BH⊥PQ于点H．在Rt△BHP中，由条件知，PB＝480，∠BPQ＝75°﹣45°＝30°，∴BH＝480sin30°＝240＜260，∴本次台风会影响B市．（2）如图，以点B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1，P2，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝240，由条件得BP1＝BP2＝260，∴P1P2＝2＝200，∴台风影响的时间t＝＝4（小时）．故B市受台风影响的时间为4小时．【点评】本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．3．（2020•杨浦区一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．（1）求∠D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．【分析】（1）作高构造直角三角形，设AC＝3x，表示出CG、AG、DG，再利用直角三角形的边角关系，求出∠D正切值；（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，相似三角形、全等三角形，进而得出HC＝AB＝5x，将：转化为求即可．【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠B，在△ABC中，sin B＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，∴sin∠ACG＝＝＝sin B，∴AG＝x，CG＝x，∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，∴HC＝AB＝5x，由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．【点评】考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，作合适的辅助线将问题转化为已知是解决问题的关键．4．（2020•浙江自主招生）如图，已知在△ABC中，D是AB中点，DC⊥AC，cos∠DCB＝，求sin A．【分析】过点D作DE∥AC交BC于E，设出CD边的长，可得出DE、CE，则在Rt△ACD中，各边的长均可用CD的边表示出来，代入sin∠A的表达式即可得出答案．【解答】解：如图过点D作DE∥AC交BC于E，由cos∠DCB＝＝，设CD＝4x，则CE＝5x，DE＝3x，∵点D是AB中点，DE∥AC，∴AC＝2DE＝6x，在RT△ACD中，AD＝＝2x，故可得sin A＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，要求掌握三角函数在直角三角形中的表示方法，难度一般．5．（2019•益阳模拟）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进60米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求河的宽度．【分析】根据题意中的数据和锐角三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，tan∠DAB＝，tan，∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，AE＝60米，∴＝60，解得，DB＝30米，即河的宽度是30米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．6．（2020•临潭县校级模拟）如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，根据题意和特殊角的三角函数值求出AM和BM的值，从而求出x的值，再与18海里进行比较即可得出答案．（2）根据（1）求出CM的值，再与18进行比较，即可得出答案．【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，∵∠CAM＝30°∠CBM＝60°，∴AM＝x，BC＝x，BM＝x，由题意知：x﹣x＝×40，即x﹣x＝20，解得：x＝10（海里），∴BC＝×10＝20＞18，∴点B在暗礁区域之外；（2）由（1）知：CM＝x＝10≈17.32＜18，故继续向东航行有触礁的危险．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、方向角问题，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．7．（2020•延边州二模）如图，有一电线杆AB直立于地面，它的影子正好射在地面BC段和与地面成45°角的土坡CD上，已知∠BAD＝60°，BC＝8米，CD＝2米，求电线杆AB的高．（结果保留3个有效数字，≈1.732）【分析】构造∠B为直角，∠A为一内角的直角三角形，由CD长易得CE，DE长，在直角三角形DEF 中利用30°在正切值可求得EF的长，那么可求得线段BF的长，在直角三角形ABF中利用30°的正切值可求得电线杆AB的高．【解答】解：延长AD交BE的延长线于点F，则∠F＝30°，∵∠DCE＝45°，DE⊥CF，CD＝2 米，∴CE＝DE＝2，在直角三角形DEF中，EF＝＝2 米，∴BF＝BC+CE+EF＝（10+2 ）米，在直角三角形ABF中，AB＝BF×tan30°＝+2≈7.77米．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，把四边形的问题转换为特殊三角形利用相应的锐角三角函数知识进行解决是常用的解决问题的方法．8．（2020•新宾县四模）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据；sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75，sin23.6°＝0.4，cos66.4°＝0.4，tan21.8°＝0.4）．（1）求M，N两村之间的距离；（2）试问村庄N在村庄M的什么方向上？（精确到0.1度）【分析】（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．（2）在Rt△MND中，根据tan∠NMD＝＝＝0.4km，再根据tan21.8°＝0.4，得出∠NMD＝21.8°，再根据∠MND＝90°﹣∠NMD，即可得出村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．【解答】解：过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5km，∵sin36.5°＝＝0.6，∴CM＝3，AC＝＝4km，在Rt△ANE中，∠NAE＝90°﹣53.5°＝36.5°，AN＝10km，∵sin36.5°＝＝0.6，∴NE＝6，AE＝＝8km，∴MD＝CD﹣CM＝AE﹣CM＝5km，ND＝NE﹣DE＝NE﹣AC＝2km，在Rt△MND中，MN＝＝（km）．（2）在Rt△MND中，tan∠NMD＝＝＝0.4（km），∴∠NMD＝21.8°，∴∠MND＝90°﹣21.8°＝68.2°，∴村庄N在村庄M的北偏东68.2°方向上．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．。
2020年部编人教版广东省各市中考数学分类精析专题9三角形
一、选择题1. （2020年广东佛山3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) 【】A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m2. （2020年广东深圳3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是【】A. 13B. 617C. 55D. 1010二、填空题1. （2020年广东广州3分）如图，Rt△ABC的斜边AB=16, Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt A B C '''∆，则Rt A B C '''∆的斜边A B ''上的中线C D '的长度为 ▲ .2. （2020年广东梅州3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ▲ ．3. （2020年广东省4分）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= ▲ .4. （2020年广东湛江4分）如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，5，8，…，顶点依次用1234A A A A L 、、、、表示，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、L 均相距一个单位，则顶点3A 的坐标是 ▲ ，92A 的坐标是 ▲ ．三、解答题1. （2020年广东佛山6分）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．2. （2020年广东佛山8分）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．∴在△ABC与△DEF中，C FBC EFB E∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。
2021年广东中考数学复习专项检测卷——三角形
专项检测卷(测试范围：三角形时间：90分钟总分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．6 cm，2 cm，4 cmB．8 cm，3 cm，4 cmC．5 cm，2 cm，4 cmD．5 cm，12 cm，6 cm2．以下列长度的三条线段为边，不能构成直角三角形的是()A．12 cm，13 cm，5 cm B．6 cm，8 cm，10 cmC．4 cm，5 cm，6 cm D．8 cm，15 cm，17 cm3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝()A．2 B．3 C．4 D．54．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于()A．10 B．5 C．4 D．35．如图，已知∠DOB＝∠COA，补充下列条件后仍不能判定△ABO≌△CDO 的是()A．∠D＝∠B，OB＝ODB．∠C＝∠A，OA＝OCC．OA＝OC，OB＝ODD．AB＝CD，OB＝OD6．如图，以O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝6，AB＝2，则CD＝()A．6 B．4 C．8 D．4.57．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B 等于()A．70°B．30°C．40°D．20°8．如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG＝50°，则∠A的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°9．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是()A．25°B．20°C．30°D．15°10．如图，在△ABC中，EF∥BC，AEEB＝23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A．913B．25 C．35 D．63二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应周长的比值是________．12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝25，则CD ＝________．13．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝30°，则∠B＝________．14．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是_________________________．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E 为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为________．16．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞________米．17．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2 020B2 020长为_____________．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，∠A＝∠F，AC＝FD．求证：AE＝FB．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，∠A＝36°.求证：AD＝BC．20．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AD＝AE，CD＝BE.求证：∠BAD＝∠CAE.四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．已知：如图，△ABC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD＝CE，BD与CE交于点F.(1)说明AB＝AC的理由；(2)连接AF并延长交BC于G，说明AG⊥BC的理由．22．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：BE＝AD；(2)求∠BFD的度数．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.(1)求证：△BEC∽△BCH；(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q.(1)如图1，当E为BC中点，且BP＝CQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图2，当ED经过点A，且BE＝CQ时，求∠EAQ的度数；(3)如图3，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，求AC的长．图1图2图325．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.图1图2图3特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG.请给予证明；猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想；联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)。
广东省中考数学试题分类解析汇编专题9 三角形
广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1. （茂名3分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=5，则BC=A 、6B 、8C 、10D 、12【答案】C 。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】利用三角形的中位线定理求得BC 即可。
故选C 。
2.（茂名3分）如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是 A 、sinA=cosAB 、sinA ＞cosAC 、sinA ＞tanAD 、sinA ＜cosA【答案】B 。
【考点】锐角三角函数的定义，三角形的边角关系。
【分析】∵45°＜A ＜90°，∴BC＞AC 。
而sinA=BC AB ，cosA=ACAB ，∴sinA＞cosA 。
又∵C=900，∴AB＞BC ＞AC 。
而tanA=BC AC，∴sinA＜tanA 。
故选B 。
3.（深圳3分）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是【答案】B 。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】如B 图△EFG 和△ABC 中，∠EFG=∠ABC=1350，AB CB 2 ,EF GF ==，AB CB EF GF∴=。
EFG ABC ∴∆∆∽。
实际上， A ，C ，D 三图中三角形最大角都小于∠ABC，即可排它，选B 即可。
4.（深圳3分）如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为不确定 【答案】A 。
【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】连接AO ，DO 。
设等边△ABC 的边长为a ，等边△ABC 的边长为b 。
∵O 为BC 、EF 的中点，∴AO、DO 是BC 、EF 的中垂线。
∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。
又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。
广东省广州市长兴中学九年级数学《相似三角形的应用》练习
B AC C ’《相似三角形的应用》初三 班 姓名 学号一、[复习]1、相似三角形的性质：相似三角形的对应 、对应 、对应 、对应 及对应 、的比都等于 。
2、相似三角形的判定：相似三角形的判定定理一：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ，那么这两个三角形相似．相似三角形的判定定理二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边 ，并且 相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定定理三：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似。
3、对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么这四条线段叫做 线段，简称比例线段。
★比例式的几种变形式是等价式子( a ≠0、b ≠0、c ≠0、d ≠0 )。
基本比例式 等积式 横比式dc b a = 变形式bb a ±= 图1 4、比例式变形是代数的运算问题，平行是几何的重要内容。
比例与几何的联系是：如图1，在△ABC 中， 如果DE ∥BC ， 那么 。
反过来，在△ABC 中， 如果DB AD =EC AE （或AD AB =AEAC ）， 那么 。
二、[相似的实际应用]1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？分析：太阳光是平行光线，所有物体高度线、阴影水平线与光线可构成相似直角三角形。
2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ．如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB ．1.8 3 60 A ’B ’3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB ．4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h ．三、[综合练习]1、①在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是 千米。
广东2020年中考数学专题测试卷(四)---三角形
2020年广东中考数学专题测试卷(四)三角形(本卷满分120分，考试时长90分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．1．若一个角为75°，则它的余角的度数为()A．285°B．105°C．75°D．15°2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度3．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是()A．65°B．105°C．115°D．125°第3题图4．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是()A．3,4,8B．5,6,10C．5,5,11D．5,6,115．若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是()A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于()A．4B．3C．2D．17．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为()A．8B．11C．16D．178．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B ＝( ) A.35 B ．45C ．37D ．349．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是( ) A ．26° B ．38°C ．42°D ．52°10．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( ) A ．AC ＝AD B ．AB ⊥EBC ．BC ＝DED ．∠A ＝∠EBC二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知直线a ∥b ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置(∠BAC ＝30°)，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若∠1＝18°，则∠2的度数是 .12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED＝50°，则∠D的度数为.第12题图13．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝9，AE＝4，则EC的长为.第13题图14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD ＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为.第14题图15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD.若EF＝2，则AB＝.第15题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M.若BC＝a，则△FMB的周长为.第16题图17．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2,2)，B(3,4)，C(6,1)，B′(6,8)，则△A′B′C′的面积为.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18．计算：|3－2|＋(π－2 020)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1＋3tan 30°.19．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，CE 与BF 交于点G ，∠A ＝∠1，CE ∥DF ，求证：∠E ＝∠F .20．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30 m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数；参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E；(2)在(1)作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝.22．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；(2)求证：△ABC的内角和等于180°；(3)若aa－b＋c＝12(a＋b＋c)c，求证：△ABC是直角三角形．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝3＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP 为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP＝∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．25．如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°.(1)如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE.①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD＋BD＝2CD；(2)若△ABC与△ABD的位置如图2所示，请探究线段AD，BD，CD 的数量关系，并写出理由．1．D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.D 10.D11．48° 12.25° 13.5 14.9 15.8 16.92a 17.18 18．解：原式＝2－3＋1－(－3)＋3×33＝2－3＋1＋3＋3＝6. 19．证明：∵CE ∥DF ，∴∠ACE ＝∠D ，∵∠A ＝∠1，∴180°－∠ACE －∠A ＝180°－∠D －∠1，又∵∠E ＝180°－∠ACE －∠A ，∠F ＝180°－∠D －∠1，∴∠E ＝∠F .20．解：在Rt △CAD 中，tan ∠CAD ＝CD AD，∠CAD ＝31°， ∴AD ＝CD tan 31°≈53CD ， 在Rt △CBD 中，∠CBD ＝45°，∴BD ＝CD ，∵AD ＝AB ＋BD ，∴53CD ＝30＋CD ，解得CD ＝45. 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m.21．解：(1)如图． (2)12522．(1)解：∵在△ABC 中，a ＝6，b ＝8，c ＝12，∴∠A ＋∠B ＜∠C .(2)证明：如图，过点A 作MN ∥BC ，∵MN ∥BC ，∴∠MAB ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，∵∠MAB ＋∠BAC ＋∠NAC ＝180°，∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，即△ABC 的内角和等于180°.(3)证明：∵a a －b ＋c＝12(a ＋b ＋c )c ， ∴ac ＝12(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝12[(a 2＋2ac ＋c 2)－b 2]， ∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形．23．(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ， 在Rt △ABC 中，∵M 是AC 中点，∴BM ＝12AC ， ∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM .(2)解：∵∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°，由(1)可知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ， ∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝ 2. 24．(1)解：如图1.图1(2)证明：设∠OPM ＝α，∵线段PM 绕点P 顺时针旋转150°得到线段PN ，∴∠MPN ＝150°，PM ＝PN ，∴∠OPN ＝∠MPN －∠OPM ＝150°－α.∵∠AOB ＝30°，∴∠OMP ＝180°－∠AOB －∠OPM ＝180°－30°－α＝150°－α，∴∠OMP ＝∠OPN .(3)解：OP ＝2时，总有ON ＝QP ，证明如下：如图2，过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，图2∴∠NCP ＝∠PDM ＝∠PDQ ＝90°.∵∠AOB ＝30°，OP ＝2，∴PD ＝12OP ＝1， ∴OD ＝OP 2－PD 2＝ 3.∵OH ＝3＋1，∴DH ＝OH －OD ＝1.∵∠OMP ＝∠OPN ，∴180°－∠OMP ＝180°－∠OPN ，即∠PMD ＝∠NPC .在△PDM 与△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠PDM ＝∠NCP ∠PMD ＝∠NPCPM ＝NP ，∴△PDM ≌△NCP (AAS)，∴PD ＝NC ，DM ＝CP .设DM ＝CP ＝x ，则OC ＝OP ＋PC ＝2＋x ，MH ＝MD ＋DH ＝x ＋1.∵点M 关于点H 的对称点为Q ，∴HQ ＝MH ＝x ＋1，∴DQ ＝DH ＋HQ ＝1＋x ＋1＝2＋x ，∴OC ＝DQ .在△OCN 与△QDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OC ＝QD ∠OCN ＝∠QDP ＝90°NC ＝PD， ∴△OCN ≌△QDP (SAS)，∴ON ＝QP .25．(1)证明：①在四边形ADBC 中，∠DAC ＋∠DBC ＋∠ADB ＋∠ACB ＝360°， ∵∠ADB ＋∠ACB ＝180°，∴∠DAC＋∠DBC＝180°，∵∠EAC＋∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，又∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD＋∠DCA＝90°，∴∠ACE＋∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE.②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝2CD，∵DE＝AD＋AE，AE＝BD，∴DE＝AD＋BD，∴AD＋BD＝2CD.(2)解：AD－BD＝2CD，理由如下：如图，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°－∠BAD－∠ABC＝90°－∠BAD－45°＝45°－∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC－∠BAD＝45°－∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，又∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE(SAS)，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE＋∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE＝CD2＋CE2＝2CD2＝2CD，∵DE＝AD－AE＝AD－BD，∴AD－BD＝2CD.。
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广州中考相似三角形应用专题（押题）
动态几何中的相似三角形
例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （ 秒 ）．
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．
变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1
=
∆∆ABC
BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆
的
值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。
变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为483
y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B
，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点
P 从A 点开始在线段AO 上以每秒
1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间
为t 秒．
（1）求出点A B ，的坐标；
（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？
在直
（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所
线的函数表达式．
Q
B
y
图-2
A D O
B
C 2
1
M
N 图-1
A
D B
M N
1
2 图-3
A
D O B
C 2
1
M
N
O
例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到
图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC
BD 的值．
变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN ＝90
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P 作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）
当PC＝2P A，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG 绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
例题讲解三：如图１，PMN Rt △中，90P ∠=，PM PN =，8MN =cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令PMN Rt △不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图２），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与PMN △重叠部分的面积为y 2cm ．求y 与x 之间的函数关系式．
A B D
P
N
２
２
图２
图１
A B D
P
N
２
２
图２
图１
变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =∠，10cm AB =，4cm CD =．等
腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状 由 _ _______ 形变化为 _____ __ 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为2(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积．
P
P
A （N ）
M
P
A N
M P
B
例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B 两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度
是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
变式练习4-1：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：
（1）当t 为何值时，PE AB ∥？
（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2
25
PEQ BCD S S =△△？
A
E D
A E D
F
变式练习4-2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ________ ，点Q 到AC 的距离是 ______ ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t
（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．
P
P。