线段与角的和差倍分计算Word版
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
线段和差倍分的证法
设 ＝ ， ＝ ） ， ，
Ｂ Ｄ ＝五
Ｄ Ｈ ＿ ／ ／
ｌ 、
Ｋ Ｂ ’ 。 即Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ
七、 借助辅助四法 例７ 如图， 在 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 对角线 Ａ Ｃ平 分 ／ ＿ Ｄ Ａ Ｂ， 若／ ＿Ｄ Ａ Ｂ １ ２ ０ 。 ， ＬＢ与 ＬＤ互补 ， 试证 明 Ａ 曰＋
。
点 曰作 Ｂ Ｅ－ Ｌ Ａ Ｄ交 Ａ Ｄ延长线 于 Ｅ 点 Ｄ为 Ａ Ｅ 中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ ＋Ｅ Ｇ＝２ Ａ Ｄ．
求证
Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ ．
注
因题设 中有 平行的条件 ， 可 考虑用此法证．
曰 ．
简证
延长 Ｂ Ｅ、 Ａ Ｃ交 于
Ａ
四、 代 数 法
例 ４ 如图， 已知 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ且 Ａ Ｄ＝
▲ Ａ 数学大｛ ｝ Ｉ 暴 ０ ． １ ▲ Ｉ ｖ； 。 ． 。 ＋ 。 ． 。 ． 。
则Ｄ Ｅ＝Ｃ Ｅ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｅ Ｄ， ＝ Ｂ Ｃ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｂ Ｆ，
．
。Ｌ Ｃ ＢＦ ＝ Ｃ ＤＥ． ． ‘ ． ＤＥ ＝Ｂ Ｆ ．
．
‘ ．
Ａ Ｂ＋ Ａ Ｄ：（ Ａ Ｆ＋ Ｆ） ＋（ Ａ Ｅ— Ｏ Ｅ）＝ Ａ Ｆ＋ Ａ Ｅ，
又 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｆ ： Ａ Ｃ － ｃ ０ ｓ ６ ｏ 。 ＝ ÷ Ａ ｃ ， ． ． ． Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｃ ．
三、 比 例 法
、
（ ２ ） 设 Ｂ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ａ ， 则Ｐ Ｅ＝Ｐ Ｂ・ ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ，
ＰＦ：ＰＣ ・ｓ ｉ ｎ ａ．
‘
Ｄ
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
2019人教版七年级数学上册复习课件：教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算
【思想方法】
(1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；
(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论； (3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为 x，再结合已知量找出等量关系， 列一元一次方程求解； (4)结论：已知线段 AB，点 C 是线段 AB 上任意一点，点 M，N 分别是线段 1 AC 与线段 BC 的中点，则 MN＝ AB. 2
如答图 4，∠MON＝(90° －α)－(90° －α－α)＝α. 故∠MON 的度数为 α 或 180° －α 或 180° －3α.
[2017· 长春一模]如图(1)，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC， ∠AOC＝30° ，将一直角三角板(∠M＝30° )的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射 线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． (1)将图(1)中的三角板绕点 O 以每秒 3° 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图 (2)，经过 t 秒后，OM 恰好平分∠BOC. ①求 t 的值； ②此时 ON 是否平分∠AOC ？请说明理∠DON 的度数．
解：(1)∵∠BOC＝120° ， ∴∠AOC＝180° －120° ＝60° . ∵∠AON＝150° ，∴∠BON＝180° －150° ＝30° . ∵OB 平分∠MON，∴∠BOM＝∠BON＝30° ， ∴∠COM＝180° －∠AOC－∠BOM＝90° . (2)∵由(1)可知，∠AOC＝60° ，∠BON＝30° ， ∴∠AOD＝∠AOC＝60° ， ∴∠DON＝180° －∠AOD－∠BON＝90° .
解：(1)∵∠BOD＝90° ，∠AOD＝70° ， ∴∠AOB＝90° －70° ＝20° . ∵∠AOE＝70° ，∴∠EOB＝70° －20° ＝50° ，∠EOB 与∠AOB 的比值为 5∶ 2.
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
线段与角的和差倍分计算
线段与角的和差倍分计算
在几何学中，我们经常遇到线段与角之间的和、差和倍分计算问题。
这些计算方法是为了帮助我们更好地理解图形的性质和关系。
本文将详细
介绍线段与角之间的和、差和倍分计算方法。
一、线段的和、差计算
1.线段的和计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的和，即线段AB+BC。
计算方法是将线段AB和BC的长度相加，即AB+BC。
2.线段的差计算：给定线段AB和线段BC，我们需要计算出两个线段
的差，即线段AB-BC。
计算方法是将线段AB的长度减去线段BC的长度，
即AB-BC。
二、角的和、差计算
1.角的和计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的和，即
角α+角β。
计算方法是将两个角的度数相加，即α+β。
2.角的差计算：给定角α和角β，我们需要计算出两个角的差，即
角α-角β。
计算方法是将角α的度数减去角β的度数，即α-β。
三、线段与角的倍分计算
1.线段的倍分计算：给定线段AB，我们需要计算出线段AB的一半或
一四分之一的长度。
计算方法是将线段AB的长度除以2或4，即AB/2或AB/4
2.角的倍分计算：给定角α，我们需要计算出角α的一半或一四分
之一的度数。
计算方法是将角α的度数除以2或4，即α/2或α/4
以上是线段与角的和、差和倍分计算的基本方法。
在实际应用中，我们还可以利用一些几何定理和性质来简化计算，例如角的补角、互补角和对应角等关系。
线段与角的和差倍分计算
线段与角的和差倍分计算一、线段的和差倍分计算已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB.D为线段BC的中点。
求CD的长度和a的值。
解析：根据线段的定理，AC=AB+BC，又因为BC=2CD，所以AC=AB+2CD。
又因为AC=2AB.D，所以AB+2CD=2AB.D，化简得CD=(2D-1/2)a，a=3AD。
在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求BC的长度。
解析：因为O是AC的中点，所以OC=OA，又因为OB=1.5 cm，所以BC=BO+OC=1.5+OA。
根据勾股定理，OA^2+AC^2=OC^2，代入已知条件，得到OA=√(25-3.75)=4.3301.所以BC=1.5+4.3301=5.8301，约等于6 cm。
某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，___。
现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在哪里？解析：根据三角形中位线定理，AC^2+BD^2=2AM^2+2MC^2.又因为AC=CD=DB，所以AM=MC=MD=MB=AC/2=CD/2=DB/2.所以AC^2+BD^2=4AM^2+4MC^2=8AM^2，所以AM^2=(AC^2+BD^2)/8.因为AC=CD=DB=AB/3，所以AB^2=3AC^2=3BD^2，代入上式得到AM^2=AB^2/12.所以M在AB的中点。
点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度。
解析：根据线段的定理，AC=AB/2=2cm，BD=AB/2=2cm，又因为CD=AC/2=1cm，所以CD的长度为1cm。
已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长。
解析：根据线段的定理，AC+CB=AB，所以AB=AC+CB=8+2EB=18.又因为D和E分别是AB和CB的中点，所以DE=AD-EB=AB/2-EB=9/2.线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长。
教材回归(七) 线段与角的和差倍分及计算
一 线段的和差倍分及计算(教材P128练习第3题)如图1，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．图1【思想方法】 (1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算；(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论；(3)对于比较复杂的题目，可设某条线段为x ，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解；(4)结论：已知线段AB ，点C 是线段AB 上任意一点，点M ，N 分别是线段AC 与线段BC 的中点，则MN ＝12AB .P 为线段AB 上一点，且AP ＝25AB ，M 是AB 的中点，若PM ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．10 cmB ．16 cmC ．20 cmD ．3 cm如图2，在一条笔直公路的AB 段有四个车站依次是A ，C ，D ，B ，AC ＝CD ＝DB .现想在AB 段建一个加油站M ，要求使A ，C ，D ，B 站的各一辆汽车到加油站M 所行的总路程最少，则M 的位置( )图2A ．在AB 之间任一点 B ．在CD 之间任一点C ．在AC 之间任一点D ．在DB 之间任一点如图3，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN＝2 cm ，求AB 的长．图3已知线段AB 的长为4，在线段AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝53BC ，在线段AB 的反向延长线上取一点D ，使BD ＝47DC ，若E 为DC 的中点，求BE 的长．二 角的和差倍分及计算教材P140习题4.3第9题)如图4，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线． (1)如果∠AOB ＝40°，∠DOE ＝30°，那么∠BOD 是多少度？ (2)如果∠AOE ＝140°，∠COD ＝30°，那么∠AOB 是多少度？图4【思想方法】 解这种题的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之间的和差倍分关系，通过求出相关的角，从而求出要求的角．如图5，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE ＝90°，∠COF ＝90°.图5(1)图中∠AOF的余角是____(把符合条件的角都填出来)；(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出两对：____；(3)如果∠AOD＝140°，那么根据____，可得∠BOC＝____，如果∠AOF＝70°，可得∠DOB ＝____．已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.[2016春·威海期中]如图6，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知∠AOC≠90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE.(1)当0°＜∠AOC＜90°时，求∠FOB＋∠DOC的度数；(2)若∠DOC＝3∠COF，求∠AOC的度数．图6。
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专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62]
一线段的和差倍分计算
教材P153作业题第4题)
已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1
2AB.D为线段BC的中点．
(1)求CD的长；
(2)若AD＝3 cm，求a的值．
在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC
的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是()
A．6 cm B．8 cm
C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm
如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，
AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在()
A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，
求线段CD的长度．
如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB
的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN ＝2 cm ，求AB 的长．
如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝2 cm ，求AB 的长．
如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段
AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b 2－4＝0.求线段MN 的长度．
二 角的和差倍分计算
如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数．
已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小
30°，求∠α，∠β.
如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠COD 的度数．。