与线段的和差倍分有关问题的处理
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计广州市天河区华景小学尤学武范美容林慕燕马伟豪教学内容：运用线段图解决和差倍问题教材分析：和差倍应用题是中年级数学课本后面的思考题，安排得比较分散，如果按教材出现一题讲解一题，就题说题的话，学生只会被动接受，缺乏自主探究的过程，感悟不了“和差倍”这种典型问题的结构特点，掌握不了这类问题的解题方法，我们认为采用适当归类、集中教学的方式组织学生学习，将会起到事半功倍的作用。
因此，本节课在学生已有的对两数倍数关系的理解基础上，把小学中年级关于“和差倍”问题的思考题归类教学，掌握“和差倍”问题的解题方法，并让学生学会用画线段图的方法帮助自己理解数量关系，为学生在高年段学习应用题打下方法基础。
学情分析：和差倍问题思考题的文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，中年级小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。
如果教师一味的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半。
即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题目而已。
线段图在小学数学应用题教学特别是和差倍问题中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会分析和解答复杂关系的和差倍应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展，所以运用线段图解决和差倍问题是行之有效的教学方法。
教学目标：1、掌握简单的和倍、差倍、和差应用题的解题方法并能正确解答。
2、学会借助线段图理解和差倍应用题的数量关系，掌握画线段图的分析数量关系的方法。
3、通过数与形有机地结合，让学生经历从抽象的文字到直观的再创造，能调动学生思维的积极性，提高他们分析和解决问题的能力。
教学重点：借助线段图理解和倍、差倍、和差应用题的结构特点和数量关系，并能正确解答。
教学难点：理解和倍、差倍、和差应用题的数量关系。
教学过程：一、复习铺垫，情景引入1、情景导入：为了迎接亚运会的到来，园林工人叔叔要用黄菊花和白菊花装饰一个花圃，在装饰的过程中，他们遇到了一些数学问题，你们能帮帮他们吗？（设计意图：结合亚运的元素，对学生进行爱我广州的教育，提高学生的学习兴趣，体现数学的应用价值。
线段和差倍分的证法
设 ＝ ， ＝ ） ， ，
Ｂ Ｄ ＝五
Ｄ Ｈ ＿ ／ ／
ｌ 、
Ｋ Ｂ ’ 。 即Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ
七、 借助辅助四法 例７ 如图， 在 四边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 对角线 Ａ Ｃ平 分 ／ ＿ Ｄ Ａ Ｂ， 若／ ＿Ｄ Ａ Ｂ １ ２ ０ 。 ， ＬＢ与 ＬＤ互补 ， 试证 明 Ａ 曰＋
。
点 曰作 Ｂ Ｅ－ Ｌ Ａ Ｄ交 Ａ Ｄ延长线 于 Ｅ 点 Ｄ为 Ａ Ｅ 中点．
’
．
ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ ＋Ｅ Ｇ＝２ Ａ Ｄ．
求证
Ａ Ｂ＝ ３ Ａ Ｃ ．
注
因题设 中有 平行的条件 ， 可 考虑用此法证．
曰 ．
简证
延长 Ｂ Ｅ、 Ａ Ｃ交 于
Ａ
四、 代 数 法
例 ４ 如图， 已知 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ且 Ａ Ｄ＝
▲ Ａ 数学大｛ ｝ Ｉ 暴 ０ ． １ ▲ Ｉ ｖ； 。 ． 。 ＋ 。 ． 。 ． 。
则Ｄ Ｅ＝Ｃ Ｅ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｅ Ｄ， ＝ Ｂ Ｃ・ ｃ ｏ ｓ ＬＣ Ｂ Ｆ，
．
。Ｌ Ｃ ＢＦ ＝ Ｃ ＤＥ． ． ‘ ． ＤＥ ＝Ｂ Ｆ ．
．
‘ ．
Ａ Ｂ＋ Ａ Ｄ：（ Ａ Ｆ＋ Ｆ） ＋（ Ａ Ｅ— Ｏ Ｅ）＝ Ａ Ｆ＋ Ａ Ｅ，
又 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｆ ： Ａ Ｃ － ｃ ０ ｓ ６ ｏ 。 ＝ ÷ Ａ ｃ ， ． ． ． Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｃ ．
三、 比 例 法
、
（ ２ ） 设 Ｂ＝ＬＡ Ｃ Ｂ＝ ａ ， 则Ｐ Ｅ＝Ｐ Ｂ・ ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ，
ＰＦ：ＰＣ ・ｓ ｉ ｎ ａ．
‘
Ｄ
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
方程思想在线段的和差倍分计算中的应用专题练习(解析版)
方程思想在线段的和差倍分计算中的应用专题练习一、选择题1、如图，线段AC:CB=2:3，D是CB的中点，已知AB=20 cm，求BD的长（）．A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm答案：A解答：∵AC:CB=2:3∴设AC=2x（cm），CB=3x（cm），∵AB=20 cm∴2x+3x=20，解得x=4，∵D是CB的中点∴BD=12CB=32x=6 cm．2、如图所示，线段AB被点C、D分成2:3:4三部分，M为AC的中点，N为BD的中点，且MN=2.4，则AB的长度为（）．A. 3.4B. 3.5C. 3.6D. 3.7答案：C解答：设AC为2x，CD为3x，DB为4x，根据题中所给条件，可知MC=12AC=x，DN=12DB=2x，MN=MC+CD+DN=x+3x+2x=6x=2.4，x=0.4，∴AB=2x+3x+4x=9x=3.63、如图，已知线段AB上有C、D两点，AB=2CD，BD=23CD，AC=1，求BD的长度（）．A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解答：设CD=x，则AB=2x，BD=2 3 x∵AC=AB-CD-BD=13x，且AC=1∴有13x=1，解得x=3，则BD=23x=2．4、如图，点A、B在线段EF上，点M、N分别是线段EA、BF的中点，EA:AB:BF=1:2:3，若MN=8 cm，则线段EF的长是（）．A. 10 cmB. 11 cmC. 12 cmD. 13 cm答案：C解答：∵EA:AB:BF=1:2:3，设EA=x，AB=2x，BF=3x，∵M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x，∵MN=8 cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12 cm．选C.5、如图，点B，D在线段AC上，BD=13AB=14CD，E是AB的中点，F是CD的中点，EF=5，则AB的长为（）．A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B解答：设BD=x，则AB=3BD=3x，CD=4BD=4x，∵E、F分别为AB、CD中点，∴EB=12AB=32x，DF=12CD=2x，∴EF=EB+DF-DB=32x+2x-x=52x，∵EF=5，∴52x=5，∴x=2，∴AB=3x=3×2=6．二、填空题6、如图，已知BC=2AB，CD=4AB，且AD=7 cm，则BC的长为______ cm．答案：2解答：∵BC=2AB，CD=4AB∴设AB=x，BC=2x，CD=4x∵AD=AB+BC+CD=x+2x+4x=7∴x=1，∴BC=2x=2 cm．7、如图，D为线段AC的中点，BC=14AB，BD=9，则线段AC的长为______．答案：30解答：设BC=x，则AB=4x，AC=4x+x=5x，∵D为线段AC的中点，∴AD=CD=2.5x，∵BD=9，∴2.5x-x=9，∴x=6，∴AC=5x=30，故答案为：30．8、如图，AC=13AB，BD=14AB，AE=CD，则CE与AB之比为______．答案：1 12解答：AB=12x，AC=4x，BD=3x，CD=AB-AC-BD，∵AE=CD，AE=5x，CE=AE-AC=x，CE:AE=1:12．9、如图，已知线段AB:BC:CD=2:3:4，点E、F分别是AB、CD的中点，且EF=12 cm，则线段AD的长为______ cm．答案：18解答：设AD=9x，AB=2x，BC=3x，CD=4x，∴BE=x，CF=2x，EF=BE+BC+CF=6x=12，x=2，AD=18．三、解答题10、如图，已知AC:CD:DB=2:3:4，若E为AC的中点，F为DB的中点，若EF=5.4，求AB 的长．答案：8.1．解答：设AC=2x，∴CD=3x，DB=4x，∴AE=EC=x，DF=FB=2x，∵EF=5.4，∴EF=EC+CD+DF=6x=5.4，x=0.9，∴AB=AC+CD+DB=9x=8.1．11、如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10 cm，求AB，CD的长．答案：AB=12 cm，CD=16 cm．解答：设BD=x cm，则AB=3x cm，CD=4x cm，AC=6x cm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=12AB=1.5x cm，CF=12CD=2x cm，∴EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x cm．∵EF=10 cm，∴2.5x=10，解得：x=4，∴AB=12 cm，CD=16 cm．12、已知线段AB，点C在AB的延长线上，AC=53BC，点D在AB的反向延长线上，BD=35DC.（1）在图上画出点C和点D的位置．（2）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC，AD. （3）若AB=12 cm，求线段CD的长．答案：（1）画图见解析．（2）BC=32x，AD=54x．（3）CD=45．解答：（1）（2）BC=32x，AD=54x．（3）由（2）得：CD=AD+AB+BC，∴CD=54x+x+32x，∴CD=154x，∵AB=12，∴x=12，∴CD=45．13、如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC:CD:DB=1:2:3，M、N分别是AC，BD的中点，且AB=36 cm，求线段MN的长．答案：24 cm．解答：∵AC:CD:DB=1:2:3，∴设AC=x cm，则CD=2x cm，DB=3x cm，∵AB=36 cm，∴x+2x+3x=36，解得：x=6，∵M、N分别是AC、BD的中点，∴CM=12AC=12x，DN=12BD=32x，∴MN=CM+CD+DN=12x+2x+32x=4x=4×6=24（cm）．14、如图所示，已知：BC=13AB=14CD，点E、F分别是线段AB、CD的中点，且EF=60厘米，求线段AB的长度．答案：72 cm．解答：设BC=x cm，∵BC=13AB=14CD，∴AB=3BC=3x cm，CD=4BC=4x cm，∴AD=AB+CD-BC=6x cm，∵E、F分别是线段AB、CD的中点，∴AE=12AB=32x cm，FD=12CD=2x cm，∴EF=AD-AE-FD=6x-32x-2x=52x cm∵EF=60 cm，∴52x=60，∴x=24，∴AB=3x=3×24=72 cm．。
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
应用题——利用线段图解决及倍差倍问题
应用题——利用线段图解决及倍差倍问题线段图是一种常见的数据可视化工具，可以用来解决各种计量问题。
在实际应用中，我们经常会遇到一种问题，即如何利用线段图解决及倍差倍问题。
通过分析线段图上的长度关系，我们可以得到满足题目要求的解答。
本文将详细介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题。
一、线段图的基本概念在开始介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题之前，我们先来了解一下线段图的基本概念。
线段图由多个线段组成，每个线段表示一个数值。
线段的长度代表相应数值的大小。
线段图可以用来展示不同类别或不同变量之间的比较关系，使数据更加直观和易于理解。
二、及倍差倍问题的定义及倍差倍问题是一类常见的数学问题，通常涉及到人口增长、物体搬运等领域。
具体而言，及倍差倍问题要求我们在已知某个数值的前提下，求解相对于该数值的倍数增长或倍数减少的另一个数值。
三、利用线段图解决及倍差倍问题的步骤下面我们将具体介绍如何利用线段图解决及倍差倍问题的步骤，以帮助读者更好地理解和应用。
1. 收集已知信息并绘制线段图首先，我们需要收集已知信息，并按照线段的长度进行绘制。
根据题目要求，确定线段的长度代表的数值，并在坐标轴上进行标注。
2. 分析线段长度接下来，我们要分析线段的长度之间的关系。
根据题目要求，判断哪些线段表示及倍差倍关系。
通常，及倍差倍关系的线段长度之间会存在一定的比例关系。
3. 计算未知数值在分析线段长度之间的关系后，我们可以利用已知数值推导出未知数值。
根据线段的比例关系，进行简单的数学计算，求解未知数值。
4. 检验答案最后，我们应该检验所得的答案是否满足题目要求。
将求得的未知数值代入题目中进行验证，确保结果的准确性。
四、应用实例为了更好地理解如何应用线段图解决及倍差倍问题，我们来看一个具体的实例。
假设某城市人口在2000年为500万，按照每年人口增长20%，我们需要求解该城市在2020年的人口。
首先，我们根据已知信息绘制线段图。
将2000年的人口表示为一条线段，长度为500万。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
线段的和差倍分
１、如图所示，已知线段AB=80厘米，点P 在线段AB上，N为PB的中点，且NB=14厘米，求PA的长．解：∵N是BP中点，且NB＝14cm∴PB=2NB=2×14=28cm又∵AB=80cm∴AP=AB﹣BP=80﹣28=52cm．２、如图，已知点M是线段AB的中点，点N 在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB和线段NB的长．解：∵MN=AM，且MN=3cm，∴AM=5cm．又∵点M为线段AB的中点∴AB＝２AM＝2×５=10cm又∵NB=BM﹣MN∴NB=2cm．３、如图，已知线段AB=10cm，点N在线段AB上，NB=2cm，M是AB中点，求线段MN 的长。
解：∵线段AB=10cm，M是AB中点，∴BM=AB=5cm．∵NB=2cm，∴MN=BM﹣NB=5﹣2=3cm．４、已知线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点点N为BC的中点，求MN的长。
解：①如图1，∵AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点，点N为BC的中点，∴MN=（AB+BC）=（5.6+2.4）=4cm，②如图2AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点，点N为BC的中点，∴MN=（AB﹣BC）=1.6cm，故答案为：4cm或1.6cm．５、如图点B为线段AC上的点，AB=4cm，BC=3cm，M、N分别是AB、BC的中点，求：线段MN的长．解：∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MB=AB，BN=BC，而AB=4cm，BC=3cm，∴MB=2cm，BN=1.5cm，∴MN=MB+BN=2cm+1.5cm=3.5cm，即线段MN的长为3.5cm．。
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与线段的和差倍分有关问题的处理 1. 如图，已知⊿ABC 中，0
90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP<CP ）,分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F.
(1) 求证：EF=CF-BE.
(2) 若点P 为BC 延长线上一点，其他条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.
F
E C A B
P C B A
第一问:方法一:三角形AFC 绕点A 向左平移.证明AFC 和ABE 两三角形全等证明.
方法二:过A 点做BC 的垂线, 证明AFC 和ABE 两三角形全等证明.2011-11-30 第二问:全等证明.
2. 如图，⊿ABC 中，0
90BAC ∠=，AC=2AB ，BO 为中线，AD 为高，OG ⊥AC ，OE ⊥OB.求证：BC=CE+FG.
D
F
G C
O B A
证明:由已知的三角形CEO 全等于AFB(OC=AB,利用等90度角代换证得角OCE 等于角AFB,角OEC 等于角BFA),最后证得三角形AOG 全等与BAC.
3. 如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0
90）中，点D 在EG 上，点C 在BG
上，且045DAC ∠=，求证：CD=DE+CB.
一道老题.
4. 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变.
求证：DE=BC+CD. C G E A
B
D
先证明三角形BAC 全等于EA*,然后证明绿蓝两个图形全等,做等边转化.
C G E D
5.如图，AB=AE ，AB⊥AE ，AD=AC ，AD⊥AC ，点M为BC的中点，求证：DE=2AM.
M D
E
B A
C
1.倍长中线是这道题的第一难点.辅助线做出来就做出了一大半.
2.证明角CAN和角EAD相等是本题的第二关键,在于角BAC和角AED+角ADE的相等转化到三角形ANC当中,做等量代换.
6.如图，AD是⊿ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA，求
证：AE=2AD.
一. 倍长中线的使用,作AD等长的线段DE.
二. 证明蓝绿两三角形全等. A
C
7. 如图，⊿ABC 中，CA=CB ，0
45CAB CBA ∠=∠=，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，点E 为
BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，AE 交CD 于M.求证：CN+EN=AE. M N E
D B
C
A
先证明蓝绿全等,根据DE 是三角形ABC 的中位线,推导出MDE 和NDE 关于DE 称.CN=AM;EM=EN,证毕.
8. 如图，⊿ABC 中，0
90ACB ∠=，AC=BC ，若直线l 过顶点A ，BM ⊥l 于M ，CN ⊥l 于N.
（1）求证：BM+CN=AN ；
证明蓝绿两个三角形全等,通过三角形DCA 和DMB 相似得到角OBC 和CAN 相等. 最后要向学生强调这里三角形COB 绕C 点旋转得到CNA.
（2）若l 平分∠BAC ，求CN DN BM
+的值.
先证明三角形CMB 和COA 全等,重点是利用图形旋转转化为证明角OCM=90度,最后得到CN=OC,最关键是要证得点O 是三角形OCD 斜边上的中点.比值为1.。